第十六讲分离变量法() §16.1多于两个自变量的定解问题 定解问题 u a2u a2u ot x20y2=0, 00 aul= u Oxlx=0 0,a=a=0,0≤y≤b,t≥0 yy=00yy=b00≤at0 u==(x,y) t=0 0≤x≤a,0≤y≤b 设u(x,y,t)=v(,y)T(t),代入方程,分离变量, 2v2u ar2 a (,y)(t)- 22 [z2*] T(t)=0 (y)1T(t)=- T() 得 a2v a2v ax2* ay2 +u(x,y)=0, T'(t)+a(t)=0, 其中入是分离变量时引进的待定常数.同时由边界条件,也可推得 =0 ayly=o=0 ay ly=b 再令v(x,y)=x(x)Y(y),进一步分离变量 X"()Y()+X()Y"()+()Y(y)=0= X()+=-"()v X"(x) Y(y) 得 X"(x)+μx(x)=0y(y)+v(y)=0 这里多引进了常数μ,但μ,v和入中只有两个是独立的,它们必须满足μ+v= 再将边界条件分离变量,又可得到 X(0)=0,x(a)=0和(0)=0,'(b)=0. 求解关于X(x)的本征值问题 "(x)+μx(x)=0
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) §16.1 ✡☛☞✌ ✍✎✏✑✒✓✔✕ ✖✗✘✙ ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, 0 0, ∂u ∂x x=0 = 0, ∂u ∂x x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, t ≥ 0, ∂u ∂y y=0 = 0, ∂u ∂y y=b = 0, 0 ≤ x ≤ a, t ≥ 0, u t=0 = φ(x, y), 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b. ✚ u(x, y, t) = v(x, y)T (t) ✛✜✢✣✤✛✥✦✧★✛ v(x, y)T 0 (t) − κ ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 T (t) = 0 =⇒ ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 v(x, y) = 1 κ T 0 (t) T (t) = −λ ✩ ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 + λv(x, y) = 0, T 0 (t) + λκT (t) = 0, ✪ ✫ λ ✬✥✦✧★✭✮✯✰✱✲✳✴✵✶✭ ✷✸✹✺✻✛✼✽✾✩ ∂v ∂x x=0 = 0 ∂v ∂x x=a = 0 ∂v ∂y y=0 = 0 ∂v ∂y y=b = 0 ✿❀ v(x, y) = X(x)Y (y) ✛✯❁❂✥✦✧★✛ X00(x)Y (y) + X(x)Y 00(y) + λX(x)Y (y) = 0 =⇒ X00(x) X(x) + λ = − Y 00(y) Y (y) = ν ✩ X00(x) + µX(x) = 0 Y 00(y) + νY (y) = 0 ❃❄❅✮✯❆✳✴ µ ✛❇ µ, ν ❈ λ ✫❉❊❋●✬❍■✰✛❏❑▲▼◆❖ µ + ν = λ ✵ ✿P✸✹✺✻✥✦✧★✛◗✽✩❘ X0 (0) = 0, X0 (a) = 0 ❈ Y 0 (0) = 0, Y 0 (b) = 0. ❙✗❚❯ X(x) ❱❲❳❨✘✙ X00(x) + µX(x) = 0
16.1多于两个自变量的定解问题 ★当μ=0时,常微分方程的通解是 X(r)=Ao z + Bo 代入(齐次)边界条件,得 A0=0,B0任意 这说明A=0是一个本征值,本征函数可取为 X(x)=1 和前两节不同的的是这里的μ=0是本征值,这是因为当μ=0时,本征值问題有非零 解X(x)=B0,Bo是任意常数 ★当μ≠0时,常微分方程的通解是 X(r)= Asin vEr +Bcos var 代入(齐次)边界条件,又得到 A=0, VAsin VRa=0 所以,√a=n丌 本征值 An 3, 本征函数Xxn(x)=cos-x 把μ=0和μ>0的结果合并起来,就可以统一写成 本征值 (n)2 n=0,1,2,3, 本征函数 X. fr)_oo n7 同样可以解得关于Y(y)的本征值问题 Y"(y)+bY(y)=0 Y(0=0,Y(b)=0 的解为 本征值 T 0.1.2 本征函数 mTt
Wu Chong-shi §16.1 ❩❬❭❪ ❫❴❵❛❜❝❞❡ ❢ 2 ❣ X0 (0) = 0, X0 (a) = 0 F ❤ µ = 0 ✭✛✳✐✥✣✤✰❥❦✬ X(x) = A0x + B0. ✜✢ (❧♠) ✸✹✺✻✛✩ A0 = 0, B0♥♦. ❃♣ q λ = 0 ✬❁●rst✛ rs✉✴✽✈✇ X(x) = 1. ①②③ ④⑤ ⑥⑦⑦⑧⑨⑩⑦ µ = 0 ⑧❶❷❸✛⑨⑧ ❹❺ ❻ µ = 0 ❼✛❶❷❸ ❽❾❿ ➀➁ ➂ X(x) = B0, B0 ⑧➃➄➅➆✵ F ❤ µ 6= 0 ✭✛✳✐✥✣✤✰❥❦✬ X(x) = A sin √ µx + B cos √ µx. ✜✢ (❧♠) ✸✹✺✻✛◗✩❘ A = 0, √ µ sin √ µa = 0. ➇➈✛ √ µa = nπ ✛➉ rst µn = nπ a 2 , n = 1, 2, 3, · · · rs✉✴ Xn(x) = cos nπ a x. ➊ µ = 0 ❈ µ > 0 ✰➋➌➍➎➏➐✛➑✽➈➒❁➓➔ rst µn = nπ a 2 , n = 0, 1, 2, 3, · · · , rs✉✴ Xn(x) = cos nπ a x. ✶→✽➈ ❦ ✩➣↔ Y (y) ✰ rst↕➙ Y 00(y) + νY (y) = 0 Y 0 (0) = 0, Y 0 (b) = 0 ✰❦✇ rst νm = mπ b 2 , m = 0, 1, 2, 3, · · ·, rs✉✴ Ym(x) = cos mπ b y
第十六讲分离变量法 第3页 对于给定的n和m,再进一步求出 Tm()=Anme-hnmM,其他情形, 也可以写成统一的形式 Tm()=A1nme-mnx,n=0,1,2,3,…,m=0,1,2,3 m7\ 2 Anm =un+v, 因此,就求得整个定解问题的特解 (,y, t) a COS 和一般解 u(a, y, t) y, t) n=0m=0 not 6ye-anmnl n=0m=0 代入初始条件,有 31=0=∑∑An (x,y) n=0m=0 下一步就应当根据本征函数的正交性定出叠加系数.现在既要用到{Xn(x),n=0,1,2,…}的正交 性,又要用到{Yn(y),m=0,1,2,…}的正交性,缺一不可.其次,考虑到它们的正交归一性 Xn(Xn(adr =o(1+8no8nn' m(y)Ym()dy==(1+5mo 计算中还需要留心区分n=0与n≠0和m=0与m≠0的情形.计算的结果是 Amm=ab (+om(+omo/o(, y cos at- cos"bmydrdy
Wu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 3 ❣ ➤↔➥✲✰ n ❈ m ✛ ✿ ✯❁❂➦➧ T00(t) = A00, n = m = 0, Tnm(t) = Anm e −λnmκt , ✪➨➩➫, ✼✽➈ ➓➔➒ ❁✰➫➭ Tnm(t) = Anm e −λnmκt, n = 0, 1, 2, 3, · · · , m = 0, 1, 2, 3, · · · , λnm = µn + νm = nπ a 2 + mπ b 2 . ➯➲✛➑➦✩➳● ✲❦↕➙✰➵❦ unm(x, y, t) = Xn(x)Ym(y)Tnm(t) = Anm cos nπ a x cos mπ b y e −λnmκt ❈❁➸❦ u(x, y, t) = X∞ n=0 X∞ m=0 unm(x, y, t) = X∞ n=0 X∞ m=0 Anm cos nπ a x cos mπ b y e −λnmκt = X∞ n=0 X∞ m=0 Anm cos nπ a x cos mπ b y exp − nπ a 2 + mπ b 2 κt . ✜✢➺➻✺✻✛❊ u(x, y, t) t=0 = X∞ n=0 X∞ m=0 Anm cos nπ a x cos mπ b y = φ(x, y). ➼ ❁❂➑➽❤➾➚rs✉✴✰➪➶➹✲➧➘➴➷✴✵➬➮➱✃❐❘ {Xn(x), n = 0, 1, 2, · · ·} ✰➪➶ ➹✛◗✃❐❘ {Ym(y), m = 0, 1, 2, · · ·} ✰➪➶➹✛❒❁❮✽✵✪ ♠✛❰Ï❘ ❏❑✰➪➶Ð❁➹ Z a 0 Xn(x)Xn0 (x) dx = a 2 (1 + δn0) δnn0 , Z b 0 Ym(y)Ym0 (y) dy = b 2 (1 + δm0) δmm0 . ÑÒ ✫ÓÔ✃ ÕÖ×✥ n = 0 Ø n 6= 0 ❈ m = 0 Ø m 6= 0 ✰ ➩➫✵ ÑÒ✰➋➌✬ Anm = 4 ab 1 (1 + δn0) (1 + δm0) Z a 0 Z b 0 φ(x, y) cos nπ a x cos mπ b y dxdy
§16.2两端固定弦的强迫振动 第4页 §16.2两端固定弦的强迫振动 齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用:因为方程和边界条件 是齐次的,分离变量才得以实现 如果定解冋题中的方程和边界条件不是齐次的,还有没有可能应用分离变量法? 定解问题 f(x,t),00, t≥0 0,0≤x≤l 为了突出对于方程非齐次项的处理,这里研究纯粹由外力引起的两端固定弦的强迫振动,弦的初 位移和初速度均为0 基本解法一方程和边界条件同时齐次化 (x,t)=v(x,t)+(x,t) 在将非齐次方程齐次化的同时,必须保持原有的齐次边界条件不变 解法的关键就在于求得特解u(x,t).适用于f(x,t)形式比较简单的情形 解按照求解非齐次方程的一贯做法,先求得非齐次方程的一个特解v(x,t) an=f(r, t) 这样,如果设u(x,t)=v(x,t)+u(x,t),则 0x2 u=0=0a f(a, t) x=0 0 0 t=0 旦求得了特解υ(x,t),就可以求出u(x,t)的一般解
Wu Chong-shi §16.2 ÙÚ ÛÜÝÞßàáâ ã 4 ä §16.2 ☞åæ✒ç✑èéêë ìíîïðñò①ìíóôõö÷ð øùúû üýþ ÿ✁✂✄❹❺ñò①óôõö ⑧ìí⑦ ✛ ð øùú ☎✆ ✝✞✟✵ ✠✡☛➂ ❽❾ ü⑦ñò①óôõö⑤⑧ìí⑦ ✛☞❿✌❿✍✎✏✂ð øùúû ✑ ✖✗✘✙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ✇❆✒➧ ➤↔ ✣✤✓❧♠✔✰✕✖✛ ❃❄✗✘✙✚ ✷✛✜✮➏✰❋✢ ✣ ✲✤✰✥✦✧★✛✤✰➺ ✩✪❈➺✫✬✭✇ 0 ✵ ✮ ❲ ✗✯✰ ✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), ➮ P ✓❧♠✣✤❧♠✽✰✶✭✛▲▼✾✿❀❊ ✰❧♠✸✹✺✻❮✧✵ ❦❁✰ ➣❂ ➑➮↔ ➦ ✩ ➵❦ v(x, t) ✵ ❃ ❐ ↔ f(x, t) ➫➭ ❄❅❆❇✰ ➩➫✵ ✗ ❈❉➦❦✓❧♠✣✤✰❁❊❋❁✛●➦ ✩ ✓❧♠✣✤✰❁● ➵❦ v(x, t) ✛ ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = f(x, t). ⑨❍ ✛✠✡■ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t) ✛ ❏ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x, t) u x=0 = 0 u x=l = 0 u t=0 = 0 ∂u ∂t t=0 = 0 = ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = f(x, t) v x=0 = 0 v x=l = 0 + ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0 w x=0 = 0 w x=l = 0 w t=0 = −v t=0 ∂w ∂t t=0 = − ∂v ∂t t=0 ❑▲▼✆ ◆❖➂ v(x, t) ✛P✍ ✝▼ ◗ w(x, t) ⑦❑❘➂ w(x, t) = X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x
第十六讲分离变量法 第5页 u(r,t)=v(a,t)+2(cn sin" Tat+D, cos tat) sin 代入初始条件 no Dn sin t=0 利用本征函数的正交归一性,定出叠加数 du(a, t) sin-r dr 这种解法称为方程和边界条件的同时齐次化 在將非齐次方程齐次化的同时,必须保持原有的齐次边界条件不变 解法的关键就在于求得特解υ(x,t)·适用于∫(x,t)形式比较简单的情形 齐次初始条件的限制可以取消 例16.1求解定解问题 a2-2=f(x(00 u=0=0,u==0,t≥0 0,0≤x≤l t=0 其中f(x)为已知函数 解只给出解题的主要思路 由于方程的非齐次项只是x的函数,就可以把齐次化函数也取为只是x的函数,即设 u(a, t)=v(r)+w(a, t), 其中u(x)满足常微分方程的边值问题 "(x) 1 而u(x,t)则满足定解问题 aw t≥0, u(r), at 0 0<x<l
Wu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 5 ❣ ❙ ✝ u(x, t) = v(x, t) + X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x, ❚❯❱❲õö✛ X∞ n=1 Dn sin nπ l x = −v(x, t) t=0, X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = − ∂v(x, t) ∂t t=0 , ❳✂❶❷❨➆⑦❩❬ ❭❑❪✛☛ ◗❫❴ ❵➆ Cn = − 2 nπa Z l 0 ∂v(x, t) ∂t t=0 sin nπ l x dx, Dn = − 2 l Z l 0 v(x, 0) sin nπ l x dx. • ⑨❛➂û❜❺ñò①óôõö⑦ ⑥❼ ìí❝ ✵ • ÷❞ ➀ìíñòìí❝⑦ ⑥❼✛❡❢❣❤✐❿⑦ìíóôõö⑤ù ✵ • ➂û⑦ ÿ P ÷❥▼✆❖➂ v(x, t) ✵❦ ✂❥ f(x, t) ❧♠♥♦ ♣q⑦r ❧✵ • ìí❱❲õö⑦st✍ ✝✉ ✈✵ ✇ 16.1 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f(x), 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l, ✪ ✫ f(x) ✇ ①②✉ ✴✵ ✗ ❉➥ ➧❦➙ ✰③✃④⑤✵ ✷ ↔ ✣✤✰✓❧♠✔ ❉ ✬ x ✰ ✉ ✴✛➑✽➈➊ ❧♠✽ ✉ ✴✼✈✇❉ ✬ x ✰ ✉ ✴✛➉✚ u(x, t) = v(x) + w(x, t), ✪ ✫ v(x) ◆❖✳✐✥✣✤✰✸t↕➙ v 00(x) = − 1 a 2 f(x), v(0) = 0, v(l) = 0; ⑥ w(x, t) ⑦◆❖✲❦↕➙ ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0, 0 0, w x=0 = 0, w x=l = 0, t ≥ 0, w t=0 = −v(x), ∂w ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l
§16.2两端固定弦的强迫振动 第6页 例16.2求解定解问题 92u202u t≥0, 其中a,A0及u均为已知常数 解设 u(a, t)=v(a, t)+w(r, t), 考虑到非齐次项的具体形式,可将齐次化函数v(x,t)取为 v(x,t)=∫(x)inut 使得v(x,t)满足非齐次方程及齐次边界条件 Ao sin wt, 0O t≥0, 也就是选择∫(x),使得 w2f(=)-a2f"(a)=Ao f(0)=0,f(D)=0. 这个非齐次常微分方程的通解为 f(r) 2+ Asin -+Bcos w 代入齐次边界条件可以定出 B A 于是 f(a)=_Ao os ==sin Ao「1-cos(u(z=1/2/a) 这样就能导出u(x,t)所满足的定解问题, 00., t≥0, x=0 =o=0 uf(x),0≤x≤l. 它的一般解为 =∑[nsia+Dncx
Wu Chong-shi §16.2 ❭⑧⑨❜⑩❛❶❷❸❹ ❢ 6 ❣ ✇ 16.2 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = A0 sin ωt, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = 0, ∂u ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l, ✪ ✫ a, A0 ❺ ω ✭✇ ①②✳✴✵ ✗ ✚ u(x, t) = v(x, t) + w(x, t), ❰Ï❘ ✓❧♠✔✰❻❼➫➭✛✽P ❧♠✽ ✉ ✴ v(x, t) ✈✇ v(x, t) = f(x) sin ωt. ❽✩ v(x, t) ◆❖✓❧♠✣✤❺❧♠✸✹✺✻✛ ∂ 2v ∂t2 − a 2 ∂ 2v ∂x2 = A0 sin ωt, 0 0, v x=0 = 0, v x=l = 0, t ≥ 0, ✼➑✬❾❿ f(x) ✛ ❽✩ − ω 2 f(x) − a 2 f 00(x) = A0, f(0) = 0, f(l) = 0. ❃●✓❧♠✳✐✥✣✤✰❥❦✇ f(x) = − A0 ω2 + A sin ω a x + B cos ω a x. ✜✢❧♠✸✹✺✻✽➈ ✲➧ B = A0 ω2 , A = A0 ω2 tan ωl 2a . ↔ ✬ f(x) = − A0 ω2 1 − cos ω a x − tan ωl 2a sin ω a x = − A0 ω2 1 − cos(ω(x − l/2)/a) cos(ωl/2a) . ❃ →➑➀➁➧ w(x, t) ➇ ◆❖✰✲❦↕➙✛ ∂ 2w ∂t2 − a 2 ∂ 2w ∂x2 = 0, 0 0, w x=0 = 0, w x=l = 0, t ≥ 0, w t=0 = 0, ∂w ∂t t=0 = −ωf(x), 0 ≤ x ≤ l. ❏✰❁➸❦✇ w(x, t) = X∞ n=1 h Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l ati sin nπ l x
第十六讲分离变量法 第7页 利用上面的初始条件就可以定出 f(a)sin zdr 2an2(ma)2-(u)2 只有n=奇数时,Cn才不为0.这样,最后就求出了 w(a, t) m'a h=0 L(2n+1)(2n+ 1)7al2-(o) sin I T sin-t-matl 和 u(a, t) A cos w(a-1/2)/a sin wt 4[1 2m+1 2n+1 T-a n= (2n+1)2[(2n+1)]2-(u 特殊情形:强迫力的角频率ω正好是弦的某些固有频率 u=(2k+1)πa/,k为某个确定的非负整数 弦在强迫力的作用下会发生共振现象 例16.3求解定解问题 0<x<a,0<y<b 0≤y≤b, l=0=ox,叫=b=v(x),0sx≤a 解容易求出方程的通解 cry+f(r+iy)+g(r-iy) 适当选择函数f和g,例如, x iy) 使得到的解 6 满足齐次边界条件 (x,y)=0 0 r=a u(a
Wu Chong-shi ➛➜➝➞ ➟➠❴❵➡ (➢) ❢ 7 ❣ ➂ ❐➃➄✰➺➻✺✻➑✽➈ ✲➧ Dn = 0, Cn = − 2ω nπa Z l 0 f(x) sin nπ l xdx = − 2A0ωl3 π2a 1 − (−) n n2 1 (nπa) 2 − (ωl) 2 . ❉❊ n = ➅✴ ✭✛ Cn ➆❮✇ 0 ✵ ❃ →✛➇➈➑➦➧❆ w(x, t) = − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0 1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat ❈ u(x, t) = − A0 ω2 1 − cos ω(x − l/2)/a cos(ωl/2a) sin ωt − 4A0ωl3 π2a X∞ n=0 1 (2n + 1)2 1 [(2n + 1)πa] 2 − (ωl) 2 sin 2n + 1 l πx sin 2n + 1 l πat . ➉➊➋➌ ✄ ✥✦✜✰➍➎➏ ω ➪➐✬✤✰➑➒ ✣❊ ➎➏✛ ω = (2k + 1)πa/l, k✇➑ ●➓ ✲✰✓➔➳ ✴ ✤➮✥✦✜✰→❐ ➼➣↔↕➙✧➬➛✵ ✇ 16.3 ➦❦✲❦↕➙ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = xy, 0 < x < a, 0 < y < b, u x=0 = 0, u x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, u y=0 = φ(x), u y=b = ψ(x), 0 ≤ x ≤ a. ✗ ➜➝➦➧✣✤✰❥❦ 1 6 x 3 y + f(x + iy) + g(x − iy). ❃ ❤❾❿✉ ✴ f ❈ g ✛➞➟✛ f(x + iy) + g(x − iy) = − a 2 24i (x + iy) 2 − (x − iy) 2 = − 1 6 a 2xy, ❽✩❘✰❦ v(x, y) = 1 6 x 2 − a 2 xy ◆❖❧♠✸✹✺✻ v(x, y) x=0 = 0, v(x, y) x=a = 0. ❀ u(x, y) = v(x, y) + w(x, y),
§16.2两端固定弦的强迫振动 第8页 就可以导出u(x,t)所应满足的定解问题, 0z2ay2=0 0<x<a,0<y<b 0≤y≤b, ul=0=(x,l=b=()-6(2-2)x,0sr≤a 其中的方程和一对边界条件都是齐次的,因此,很容易求解
Wu Chong-shi §16.2 ❭⑧⑨❜⑩❛❶❷❸❹ ❢ 8 ❣ ➑✽➈ ➁➧ w(x, t) ➇ ➽◆❖✰✲❦↕➙✛ ∂ 2w ∂x2 + ∂ 2w ∂y2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, w x=0 = 0, w x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, w y=0 = φ(x), w y=b = ψ(x) − b 6 x 2 − a 2 x, 0 ≤ x ≤ a. ✪ ✫✰✣✤❈❁➤ ✸✹✺✻➠✬❧♠✰✛➯➲✛➡ ➜➝➦❦✵