第十讲留数定理及其应用 第1页 第十讲留数定理及其应用 §10.1留数定理 留数定理设区域G的边界C为一分段光滑的简单闭合曲线若除有限个孤立奇点 bk,k=123,…,n外,函数f(2)在G内单值解析,在G中连续,且在C上没有f(z)的奇 点,则 f()dz= 2tires f(). resf(b)称为f()在bk处的留数,它等于f(z在bk的邻域内 Laurent展开中(-b)-1的系数 (k a ⊙2 0 ⊙ ⊙ G ⊙ 图10.1留数定理 证如图10.1,围绕每个奇点b作闭合曲线k,使均在G内,且互不交叠,则根据复 连通区域 Cauchy定理及函数作 Laurent展开时的系数公式,就有 f(z)dz=∑f(z)dz =2ia =2(bk)口 k=1 留数定理告诉我们,解析函数的围道积分值与函数在围道内的奇点直接有关.为了 计算解析函数的围道积分值,只需计算出函数在围道内奇点处的留数 ★求f()在奇点b处的留数,原则上说,就是求(z)在z=b的邻域内 Laurent展开中(z-b)-1 项的系数 ★在极点的情况下,可以通过微商计算求留数
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 1 ☞ ✌✍✎ ✏✑✒✓✔✕✖✗ §10.1 ✘✙✚✛ ✜✢✣✤ ✥✦✧ G ★✩✪ C ✫✬✭✮✯✰★✱✲✳✴ ✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀ bk, k = 1, 2, 3, · · · , n ❁❂❃❄ f(z) ❅ G ❆✲❇❈❉❂❅ G ❊❋●❂❍❅ C ■❏✺ f(z) ★✿ ❀❂❑ I C f(z)dz = 2π i Xn k=1 res f(bk). res f(bk) ▲✫ f(z) ❅ bk ▼★ ◆❄❂❖P◗ f(z) ❅ bk ★❘✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ (z − bk) −1 ★❯❄ a (k) −1 ✷ ❱ 10.1 ❲❳❨❩ ❬ ❭❪ 10.1 ❂❫❴❵✼✿❀ bk ❛✳✴ ✵✶ γk ❂❜ γk ❝❅ G ❆❂❍❞❡❢❣❂❑❤✐❥ ❋❦✦✧ Cauchy ❧♠♥❃❄❛ Laurent ❙❚♦★❯❄♣q❂r✺ I C f(z)dz = Xn k=1 I γk f(z)dz = 2π i Xn k=1 a (k) −1 = 2π i Xn k=1 res f(bk). st✉✈✇①②③❂④⑤⑥t⑦ ⑧⑨⑩❶❷❸⑥ t❹ ⑧⑨ ❺⑦❻❼❽❾❿ ➀✷➁ ➂ ➃➄④⑤⑥t⑦ ⑧⑨⑩❶❷❂➅➆➃➄ ➇⑥ t❹ ⑧⑨ ❺❻❼➈⑦ st✷ F ➉ f(z) ❅✿❀ b ▼★ ◆❄❂➊ ❑■➋❂r➌➉ f(z) ❅ z = b ★❘✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ (z − b) −1 ➍ ★❯❄✷ F ❅➎❀★➏➐➑❂➒➓❦➔→➣↔↕➉ ◆❄✷
10.1留数定理 一阶极点的情形设b点是f(x)的一阶极点,则在b点的邻域内, f(z)=a-1(z-b)-1+a+a1(z-b)+a2(z-b)2+ 以(z-b乘展开式两端 (z-b)f(2)=a-1+a0(z-b)+a1(z-b)2+a2(z-b)3+ 所以 a-1= lim(2-b)f(z) ★特别常见的情况是f(2)可以表示为P(z)/Q(2),P(2)和Q(2)均在b点及其邻域内解析,b 是Q(2)的一阶零点,Q(b)=0,Q(2)≠0,P(b)≠0,则 P() a-1=1im(2-b)f(2)=imn(2-b Q(z) Q(b) 例10.1求 2+1在奇点处的留数 解z=±i是它的一阶极点 resf(±i)= 例10.2求在奇点处的留数 解z=0是它的一阶极点 f(0) ★高阶极点的情形设z=b是f(2)的m阶极点,m≥2 f(a=a-m(2-b - a-m+ a-1(z-b)-+a0+a1(z-b)+ 两端乘上(z-b) (z-b)mf(x)=a-m+a-m+1(2-b)+…+a-1(z-b)m-1+a0(2-b)m+a1(z-b)m+1+ 这时a-1是(z-b)mf(x)的展开式中(2-b)-1项的系数,故 (a-b)mf( 例10.3求1/(2+1)3在奇点处的留数 解z=±i是它的三阶极点 f(±i) 2!d2(2 z2(z±i)3
Wu Chong-shi §10.1 ✄☎✆✝ ☛ 2 ☞ F ➙➛➜➝➞➟➠ ✥ b ❀➌ f(z) ★✬➡➎❀❂❑❅ b ❀★❘✧ ❆❂ f(z) = a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + a2(z − b) 2 + · · · . ➓ (z − b) ➢❙❚q➤➥❂ (z − b)f(z) = a−1 + a0(z − b) + a1(z − b) 2 + a2(z − b) 3 + · · · . ➦ ➓ a−1 = lim z→b (z − b)f(z). F ➧➨➩➫★➏➐➌ f(z) ➒➓➭➯✫ P(z)/Q(z) ❂ P(z) ➲ Q(z) ❝❅ b ❀♥➳❘✧ ❆❈❉❂ b ➌ Q(z) ★✬➡➵❀❂ Q(b) = 0 ❂ Q0 (z) 6= 0 ❂ P(b) 6= 0 ❂❑ a−1 = lim z→b (z − b)f(z) = lim z→b (z − b) P(z) Q(z) = P(b) Q0(b) . ➸ 10.1 ➉ 1 z 2 + 1 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = ±i ➌❖★✬➡➎❀✷ res f(±i) = 1 2z z=±i = ∓ i 2 . ➸ 10.2 ➉ e iaz − e ibz z 2 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = 0 ➌❖★✬➡➎❀✷ res f(0) = limz→0 z · e iaz − e ibz z 2 . = limz→0 e iaz − e ibz z = i(a − b). F ➻➛➜➝➞➟➠ ✥ z = b ➌ f(z) ★ m ➡➎❀❂ m ≥ 2 ❂ f(z) = a−m(z − b) −m + a−m+1(z − b) −(m−1) + · · · + a−1(z − b) −1 + a0 + a1(z − b) + · · · . ➤➥➢■ (z − b) m ❂ (z − b) mf(z) = a−m + a−m+1(z − b) + · · · + a−1(z − b) m−1 + a0(z − b) m + a1(z − b) m+1 + · · · . ➼ ♦ a−1 ➌ (z − b) mf(z) ★❙❚q ❊ (z − b) m−1 ➍ ★❯❄❂➽ a−1 = 1 (m − 1)! d m−1 dzm−1 (z − b) mf(z) z=b . ➸ 10.3 ➉ 1/(z 2 + 1)3 ❅✿❀▼★ ◆❄✷ ➺ z = ±i ➌❖★➾➡➎❀✷ res f(±i) = 1 2! d 2 dz 2 (z ∓ i)3 · 1 (z 2 + 1)3 z=±i = 1 2! d 2 dz 2 1 (z ± i)3 z=±i
第十讲留数定理及其应用 第3页 2(-3)(-4(2+i) z=士i ★函数在∞点的留数 对于∞点,定义 res floo)- 1 f(z)da 这里的C′是绕∞点正向(也就是顺时针方向)一周的围道,在围道内除∞点可能是f(2)的奇点 外别无奇点 ★resf(∞)并不是f(x)在∞邻域内 Laurent展开中2项的系数 resf(∞) 点)=-2m1()共 (2)在=Q点邻域内幂级数展开中口项的系数 在=0点邻域内幂级数展开中项的系数 =-f(2)在z=∞点邻域内幂级数展开中2-1项的系数 ★这个结果和有限远处不同之处: 1.从结果上说,函数∫(2)在∞点的留数,等于∫(z)在∞点邻域內幂级数展开中z-项的 数乘以-1,这里多了一个负号 2.从概念上说,由于x-1项是属于f(2)在∞点邻域内幂级数展开式的正则部分,因此,即 ∞点不是∫(z)的奇点,res∫(∞)也可以不为0.反之,即使∞点是f(z)的奇点,甚至是一阶 极点,也可以为0 ★留数的应用一有理函数的部分分式 例.将函数 (z-1)(z-2)(2-3) 部分分式 三个待定常数,A,B和C,正好就是函数f(2)在一阶极点z=1,z=2和z=3点处的留数.因此 2)(z-3
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 3 ☞ = 1 2!(−3)(−4)(z ± i)−5 z=±i = ∓ 3 16 i. F ➚ ✢➪ ∞ ➝➞✜✢ ➶ ◗ ∞ ❀❂❧➹ res f(∞) = 1 2π i I C0 f(z)dz, ➼➘★ C 0 ➌❴ ∞ ❀➴ ➷ (➬r➌ ➮♦➱✃ ➷) ✬❐★ ❫❒❂❅ ❫❒ ❆✹ ∞ ❀➒❮➌ f(z) ★✿❀ ❁➨❰✿❀✷ F res f(∞) Ï❡➌ f(z) ❅ ∞ ❘ ✧ ❆ Laurent ❙❚ ❊ z 1 ➍ ★❯❄✷ res f(∞) = 1 2π i I C0 f(z)dz = − 1 2π i I C f 1 t dt t 2 = − 1 t 2 f 1 t ❅t = 0❀❘✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊t −1➍ ★❯❄ = − f 1 t ❅t = 0❀❘✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊t 1➍ ★❯❄ = − f(z)❅z = ∞❀❘✧ ❆ÐÑ❄❙❚ ❊z −1➍ ★❯❄✷ F ➼ ✼ÒÓ➲✺✻Ô▼❡ÕÖ▼× 1. ØÙÚÛÜ❂ ⑥ t f(z) ❹ ∞ ❼⑦ st❂ÝÞ f(z) ❹ ∞ ❼ßà ❺áâtãä å z −1 æ⑦ çtè é −1 ❂êë ì ➂íî ïð ✷ 2. ØñòÛÜ❂óÞ z −1 æôõÞ f(z) ❹ ∞ ❼ßà ❺áâtãäö⑦÷øù❶❂úû❂ü ý ∞ ❼þô f(z) ⑦❻❼❂ res f(∞) ÿ éþ➁ 0 ✷ ✁✂❂üý ∞ ❼ô f(z) ⑦❻❼❂ ✄☎ôí✆ ✝❼ ❂ÿ é ➁ 0 ✷ F ✜✢➞✞✟ ✠ ✤ ➚ ✢ ➞✡☛☛☞✷ ✌ ✷✍❃❄ f(z) = 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) ✎ ✭✭q✷ 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) = A z − 1 + B z − 2 + C z − 3 . ➾✼✏❧➩❄❂A, B ➲ C ❂➴✑r➌❃❄ f(z) ❅✬➡➎❀ z = 1, z = 2 ➲ z = 3 ❀▼★ ◆❄✷✒✓ A = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=1 = 1 2
10.1留数定理 第4页 B= res (2-1)(2-2)(2-3)2=2 (z-1)(z-2)(z-3) 如果函数f(z)具有高阶极点,也可以类似地处理.例如 (2-1)(2-2)(2-3)(2-1×分 容易看出 (z-1)(z-2)(2-3) (z-1)2(z-2)(z-3) (2-1)2(z-2)(2-3)=2 (z-1)2(z-2)(z-3) z=3 ★留数的应用一计算定积分 留数定理把围道积分的计算转化为留数的计算,只要能把定积分和一定解析函数的围道积分 联系起来,就有可能比较简便地计算出这些定积分
Wu Chong-shi §10.1 ✄☎✆✝ ☛ 4 ☞ B = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=2 = −1, C = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=3 = 1 2 . ❭ Ó❃❄ f(z) ✔✺✕➡➎❀❂➬➒➓✖✗✘▼♠✷✌❭ ❂ 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) = A (z − 1)2 + B z − 1 + C z − 2 + D z − 3 . ✙✚✛✜ A = res 1 (z − 1)(z − 2)(z − 3) z=1 = 1 2 , B = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=1 = 3 4 , C = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=2 = −1, D = res 1 (z − 1)2(z − 2)(z − 3) z=3 = 1 4 . F ✜✢➞✞✟ ✢✣✣✤ ☛✷ ◆❄❧♠✥ ❫❒✦✭★↔↕✧★✫ ◆❄★↔↕❂✩✪❮✥❧✦✭➲✬❧❈❉❃❄★ ❫❒✦✭ ✫ ❯✬✭❂r✺➒❮ ✮✯✱✰✘↔↕✜➼✱ ❧✦✭✷
第十讲留数定理及其应用 第5页 810.2有理三角函数的积分 有理三角函数的积分的形式是 R(sin 0, cos e)d8, 其中R是sin6,cos6的有理函数,在积分区间上是连续的.作变换z=e,则 相应的积分路径则变为z平面上的单位圆的圆周|2|=1.于是, z2-12+1 有理三角函数R(in,cos)在积分区间p2x上连续,就保证了有理函数R(_212 在单位圆的圆周上无奇点 例10.4计算积分I 1+Ecos |<1 解仿照上面的方法步骤,我们有 1=T+= 2 22+22+e i E2+2z+E∫ =2722+21=(-1+-M-E 计算留数时,注意函数2/(Ex2+2z+)有两个极点 -1±√1-g2 但由于它们的乘积为1,所以一定只有一个极点,z=(-1+√1-2)/,处于单位圆内
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 5 ☞ §10.2 ✲✛✳✴✵✙✶✷✸ ✺♠➾✹❃❄★✦✭★✺q➌ I = Z 2π 0 R(sin θ, cos θ)dθ, ➳ ❊ R ➌ sin θ, cos θ ★✺♠❃❄❂❅✦✭ ✦✻ ■➌❋●★✷❛✼✽ z = eiθ ❂❑ sin θ = z 2 − 1 2iz , cos θ = z 2 + 1 2z , dθ = dz iz , ✾✿★✦✭❀❁❑✼✫ z ❂❃■★✲❄ ❅★ ❅❐ |z| = 1 ✷◗➌❂ I = I |z|=1 R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z dz iz = 2π X |z|<1 res 1 z R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z . ✺♠➾✹❃❄ R(sin θ, cos θ) ❅✦✭ ✦✻ [0, 2π] ■❋●❂r❆❇❈✺♠❃❄ R z 2 − 1 2iz , z 2 + 1 2z ❅✲❄ ❅★ ❅❐■❰✿❀✷ ➸ 10.4 ↔↕✦✭ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ, |ε| < 1 ✷ ➺ ❉❊■❃★✃❋●❍❂■❏✺ I = Z 2π 0 1 1 + ε cos θ dθ = I |z|=1 1 1 + ε z 2 + 1 2z dz iz = I |z|=1 2 εz2 + 2z + ε dz i = 2π X |z|<1 res 2 εz2 + 2z + ε = 2π · 2 2εz + 2 z=(−1+√ 1−ε 2)/ε = 2π √ 1 − ε 2 . ↔↕ ◆❄♦❂❑▲❃❄ 2/(εz2 + 2z + ε) ✺➤✼➎❀❂ z = −1 ± √ 1 − ε 2 ε , ▼ ◆◗❖❏★➢✦✫ 1 ❂ ➦ ➓✬❧✩ ✺✬✼➎❀❂ z = (−1 + √ 1 − ε 2)/ε ❂▼◗✲❄ ❅❆✷
10.3无穷积分 第6页 810.3无穷积分 无穷积分的定义为 f(er)d B二 有时这种极限不存在,但如xB)x存在,称为积分主值,记为 ∫(x)dr=,lim f(er)dr 显然,当这两种极限都存在时,它们必定相等 在复平面上看,积分 f(r)d 是沿着实轴进行的,并不构成复变函数的围道积分 我们可以容易地将实函数f(x)延拓为复函数f(x) 为了能构成围道积分并应用留数定理计算,还必须 )补上适当的积分路径而形成闭合围道,计算f()d (2)在补上的路径上的积分,或者与所要求计算的无穷积分直接相关,或者可以简单方便地 计算出来 最自然的做法当然是补上以原点为圆心,R为半径的上半圆CR f /a)d==/r(@d +/ rC 图10.2 而后令R→∞,这样,我们便需要计算/f()d的极限值.只要f(x)满足适当的条件, 这是可以做到的 不妨假设函数f(2)满足下列条件:
Wu Chong-shi §10.3 ❖P◗❘ ☛ 6 ☞ §10.3 ❙❚✷✸ ❰❯✦✭★❧➹✫ Z ∞ −∞ f(x) dx = lim R1 → +∞ R2 → +∞ Z R2 −R1 f(x) dx. ✺♦➼❱ ➎✻❡❲❅❂▼ lim R → +∞ Z R −R f(x)dx ❲❅❂▲✫✦✭❳❇❂❨✫ v.p. Z ∞ −∞ f(x)dx = lim R→+∞ Z R −R f(x)dx. ❩❬❂❭ ➼ ➤ ❱ ➎✻❪❲❅♦❂❖❏❫❧ ✾ P✷ ❅❥❂❃■ ✛ ❂✦✭ Z ∞ −∞ f(x) dx ➌❴❵❛❜❝❞★❂Ï❡❡❢❥✼❃❄★ ❫❒✦✭✷ • ■❏➒➓✙✚✘✍❛❃❄ f(x) ❣❤✫❥❃❄ f(z) • ✫❈❮❡❢ ❫❒✦✭Ï✿✐ ◆❄❧♠↔↕❂❥❫❦× (1) ❧■♠❭★✦✭❀❁♥✺❢✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz ♦ (2) ❅❧■★❀❁■★✦✭❂♣qr➦✪ ➉↔↕★❰❯✦✭st✾✉❂♣q➒➓✱✲✃✰✘ ↔↕✜ ✭✷ ✈ ✇❬ ★①❋❭❬ ➌❧■➓➊ ❀✫ ❅②❂ R ✫③❁★■③ ❅ CR ❂ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z) dz. ❱ 10.2 ♥④⑤ R → ∞ ✷ ➼⑥ ❂■❏✰⑦✪ ↔↕ Z CR f(z)dz ★➎✻❇✷✩✪ f(z) ⑧⑨♠❭★⑩❶❂ ➼ ➌➒➓①❷★✷ ❡❸❹✥ ❃❄ f(z) ⑧⑨➑❺⑩❶×
第十讲留数定理及其应用 1.f(x)在上半,函除了有限个孤立奇点外是处处解析的,在作轴上没有奇点时 2.在0≤argz≤π范围内,当|2→∞时,zf(x)一致地趋于0,即对于任给的c>0,存在 M(=)>0,使当|2|≥M,0≤argz≤π时,|zf(2)<ε 这两个条件并不苛刻.第1个条件保证了原来的变积分不是极积分,并且以应用 留数定理计算围道积分 f(z)d f(a)d f(e)dz=27i res f(a) 上半以面 是算 第2个条件,首先是计为变穷积分的收敛条件 lim af(r) 的自然推广,同乘,两据s理32,又保证 f(2)dz=0. 取极限R→∞,就得到 f(x)d=2xi∑resf(2) 上半,函 例10.5计算定,分I dr 解此时显然符合上述要求的条件,故 2 (1+2)3 2./ 3i 最后,为了对用留数定理计算定。分的基本其想有一个比 的理解,不妨再重复一下 前函的三述: 例解 为了能够用留数定理计算无穷分,上们必须 1.定上理当的分点径而有成闭合围道,计算pf(2)d时 2.在定上的点径上的分,或式就所要求计算的无穷分直接相关 或式可以简单方便地计算出分
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 7 ☞ 1. f(z) ❅■③❂❃✹❈✺✻✼✽✾✿❀❁➌▼▼❈❉★❂❅❛❜■❏✺✿❀♦ 2. ❅ 0 ≤ arg z ≤ π ❻ ❫❆❂❭ |z| → ∞ ♦❂ zf(z) ✬❼✘❽◗ 0 ❂ ❾➶ ◗❿➀★ ε > 0 ❂❲❅ M(ε) > 0 ❂❜❭ |z| ≥ M ❂ 0 ≤ arg z ≤ π ♦❂ |zf(z)| < ε ✷ ê➁î➂➃➄þ➅➆✷➇ 1 î➂➃➈➉ ➂ ➊➋⑦ ➌➍⑩❶þô➎⑩❶❂➄➏ é➐➑ st✉✈➃➄ ⑧⑨⑩❶ I C f(z)dz = Z R −R f(z)dz + Z CR f(z)dz = 2π i X Û➒➓ ➔ res f(z). ➇ 2 î➂➃❂→➣ô↔➁ ➌➍↕➙⑩❶⑦➛➜➂➃ lim x→±∞ xf(x) = 0 ⑦ ➝➞➟ ➠❂➡➢❂➤➥ ➦✈ 3.2 ❂➧➈➉ ➂ lim R→∞ Z CR f(z)dz = 0. ➨ ➎✻ R → ∞ ❂r➩❷ Z ∞ −∞ f(x)dx = 2π i X ■③❂❃ res f(z). ➸ 10.5 ↔↕❧✦✭ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 ✷ ➺ ✓ ♦ ❩❬➫✴■➭ ✪ ➉★⑩❶❂➽ I = Z ∞ −∞ dx (1 + x 2) 3 = 2π i · res 1 (1 + z 2) 3 z=i =2π i · − 3i 16 = 3 8 π. ✈ ④❂✫❈ ➶✿✐ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭★➯➲➳➵✺✬✼ ✮✯➸➺★♠❈❂❡❸➻➼❥✬➑ ➽ ❃★➾➭× ✫❈❮➚ ✿✐ ◆❄❧♠↔↕❰❯✦✭❂■❏❫❦× 1. ❧■♠❭★✦✭❀❁♥✺❢✳✴ ❫❒❂↔↕ I f(z)dz ♦ 2. ❅❧■★❀❁■★✦✭❂♣qr➦✪ ➉↔↕★❰❯✦✭st✾✉❂ ♣q➒➓✱✲✃✰✘↔↕✜ ✭✷
10.3无穷积分 第8页 基于这样的理解,就可以更加灵活地运用留数定理计算定积分 ★如果是f(x)偶函数,则对于积分f(x)dx,由于 I /G)dr=2// 所以仍然可以采用图10.2的围道,并重复上面的讨论,而得到 f(a)dz=2/ f()dr=ti res f(z) 上半平面 ★如果在积分f(x)dx中,被积画数f(2)具有某种对称性质,例女 f(2)=f(ze) 那么,也可以采用图10.3中的围道来计算 y 例10.6计算定积分 1+x4 解由于这里的被积函数f(x) 是x的函数,所以,我们可以采用图10.4的围道 沿正实轴由0到R,沿圆弧到达正虚轴,再沿正虚轴由iR回到原点,这样,根据留数定理,有 fid itr+ida+fi idto 1⊥,4 =2mite1+2l=m2√2 取极限R→∞,因为 + 所以,根据引理3.2有 1+
Wu Chong-shi §10.3 ❖P◗❘ ☛ 8 ☞ ➯◗ ➼⑥ ★♠❈❂r➒➓➪➶➹➘✘➴✐ ◆❄❧♠↔↕❧✦✭✷ F ➷Úô f(x) ➬⑥ t ❂ ø➮ Þ ⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx ❂óÞ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx, ➱ é✃➞ é❐➑ ❒ 10.2 ⑦ ⑧⑨❂➄❮❰Û ➔ ⑦ÏÐ❂ÑÒÓ Z ∞ 0 f(x)dx = 1 2 Z ∞ −∞ f(x)dx = π i X Û➒➓ ➔ res f(z). F ➷Ú ❹⑩❶ Z ∞ 0 f(x)dx å ❂Ô ⑩ ⑥ t f(z) Õ ❿ Ö×➮ØÙÚ❂Û➷ f(z) = f(ze iθ ), Ü Ý❂ÿ é❐➑ ❒ 10.3 å⑦ ⑧⑨➋➃➄✷ ❱ 10.3 ❱ 10.4 ➸ 10.6 ↔↕❧✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 ✷ ➺ ◆ ◗ ➼➘★Þ✦❃❄ f(x) = 1 1 + x 4 ➌ x 4 ★❃❄❂➦ ➓❂■❏➒➓ß ✐❪ 10.4 ★ ❫❒× ❴➴❛❜ ◆ 0 ❷ R ❂❴ ❅à❷á➴â❜❂➻❴➴â❜ ◆ iR ã❷➊ ❀✷➼⑥ ❂❤✐ ◆❄❧♠❂✺ I C dz 1 + z 4 = Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 + Z 0 R idy 1 + (iy) 4 = (1 − i) Z R 0 dx 1 + x 4 + Z CR dz 1 + z 4 = 2π i res 1 1 + z 4 z=eiπ/4 = π 2 1 − i √ 2 . ➨ ➎✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 4 = 0, ➦ ➓❂❤✐ä♠ 3.2 ❂✺ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 4 = 0
第十讲留数定理及其应用 第9页 于是就得到 1+x44 在这个例子中,当然仍然可以采用半圃形的围道,这时被积函数1/(1+24)在围道内有 两个奇点:z=e/和z=e3/,计算量当然要略微大一些.可以设想,如果要计算 定积分 采用央角为π/50的扇形围道,围道内只有一个奇点;而采用半圆形围道,围道内则有 50个奇点,两者在计算量上的差异明显可见 如果说,在上面这些例子中,扇形围道和半形围道两者还都可供选择的话,那么,在 下面这个例子中,扇形围道就只能是唯一的选择 例10.7计算积分 1+x3 解显然,这时应该考虑夹角为2m/3的扇形围道(图105) 图10.5 1+z3 2丌 2丌ires 1+2312=e-/3 取极限R→∞,因为 lim 所以 1+ 最后就得到 e-in/6 3
Wu Chong-shi ✁✂ ✄☎✆✝✞✟✠✡ ☛ 9 ☞ ◗➌r➩❷ Z ∞ 0 dx 1 + x 4 = √ 2 4 π. ❹ êîÛå å ❂æ ➞✃➞ é❐➑➒ çè⑦ ⑧⑨✷ê➢Ô⑩ ⑥ t 1/(1 + z 4 ) ❹ ⑧⑨ ❺❿ ➁î❻❼× z = eiπ/4 é z = ei3π/4 ✷ ➃➄ê æ ➞ëìíîíï✷ éðñ❂➷Ú ë➃➄ ✉⑩❶ Z ∞ 0 dx 1 + x 100 , ❐➑ò ó ➁ π/50 ⑦ô è ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ ➅ ❿íî❻❼♦Ñ❐➑➒ çè ⑧⑨❂ ⑧⑨ ❺ø❿ 50 î❻❼✷➁õ❹➃➄ê Û ⑦ö÷ øùú✷ ➷ÚÜ❂❹ Û ➔êïÛå å ❂ ô è ⑧⑨é➒ çè ⑧⑨➁õûüýþÿ⑦ ❂ Ü Ý❂ ❹ ✁ ➔êîÛå å ❂ ô è ⑧⑨✂ ➅✄ô☎í⑦ þÿ✷ ➸ 10.7 ↔↕✦✭ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 ✷ ➺ ❩❬❂ ➼ ♦ ✿✆✝✞✟✹✫ 2π/3 ★✠✺ ❫❒ (❪ 10.5) ✷ ❱ 10.5 I C dz 1 + z 3 = Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 + Z 0 R e i2π/3dx 1 + x 3 = 1 − e i2π/3 Z R 0 dx 1 + x 3 + Z CR dz 1 + z 3 = 2π i res 1 1 + z 3 z=eiπ/3 = 2π 3 e −iπ/6 . ➨ ➎✻ R → ∞ ❂ ✒ ✫ limz→∞ z · 1 1 + z 3 = 0, ➦ ➓ lim R→∞ Z CR dz 1 + z 3 = 0. ✈ ④r➩❷ Z ∞ 0 dx 1 + x 3 = 2π 3 e −iπ/6 1 − e i2π/3 = π 3 cos π 6 = 2π 3 √ 3
