北京大学：《数学物理方法》课程教学资源（讲义）第十九章 积分变换的应用

第十九章积分变换的应用 说明 ★本章计划讲授学时:2 ★§19.3起不讲授

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第十九章积分变换的应用 第1页 第十九章积分变换的应用 介绍求解偏微分方程定解问题的另一种做法,即将积分变换应用于在求解偏微分 方程定解问题 常用的积分变换有 Laplace变换和 Fourier变换两种

1›ÊÙ È©C†A^ 1 1  1›ÊÙ È©C†A^ 0¦) ‡©§½)¯K,«‰{§=òÈ©C†A^u3¦) ‡© §½)¯K© ~^È©C†kLaplaceC†ÚFourierC†ü«©

§19.1 Laplace变换 第2页 §19.1 Laplace变换 Laplace变换可用于求解含时间的偏微分方程定解问题.变换后,自变量的个数比原来减 少一个,例如,原来是x和两个自变量的偏微分方程定解问题,变换后就只需求解常微分方 程(自变量为x)的定解问题.一般说来,后者总比较容易求解。这样求得的是原始的定解问题的 解的象函数,还必须反演,才能得到原始问题的解. 例1求无界杆的热传导问题 ouan2sf(x,t),-∞0; 0, <T< 的解 解①作 Laplace变换.令 u(a, t)=U(, p) u(a, t) p da 利用初始条件,有 Ot =PU(E,p) 把变换后的象函数只看成是x的函数,p是参数,所以 a2u. d2U(a, p) 微商运算就是一元函数的微商.再进一步令 f(r, t)=.F(r, p), 这样,在经过 Laplace变换后,定解问题就变成 U(a, p)-kdU(a, p) dx2 F(a, p) 利用例11.11的结果,可以得到 U(x,p)=1-1 2√J 再根据 Laplace变换的反演公式(见例10.7) exp P 以及卷积定理(见10.3节),就能够最后得到 x u(r, t) (x-x)21f dx∞甲-t-7v ①在这种无界区间的定解问题中,往往并不明确列出边界条件,实际上,无界区间,只是一个物理上的抽象 它只是表明在所考察的限度(时间,精度,……)内,两端的影响可以忽略.因此,如果要完整地列出定解问题的 则还应当有边界条件

§19.1 LaplaceC† 1 2  §19.1 LaplaceC† LaplaceC†Œ^u¦)¹žm ‡©§½)¯K©C†￾§gCþ‡ê'5~ ‡©~X§5´xÚtü‡gCþ ‡©§½)¯K§C†￾ҐI¦)~‡© §(gCþx)½)¯K©„`5§￾öo'N´¦)©ù¦´©½)¯K )¼ê§„7L‡ü§âU©¯K)© ~1 ¦Ã.\9D¯K ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ 0; u ¯ ¯ t=0 = 0, − ∞ .^‡©¢Sþ§Ã.«m§´‡Ônþħ §´L²3¤ Ý(žm§°Ý§· · · )S§üàKŒ±Ñ©Ïd§XJ‡/ѽ)¯K {§K„Ak>.^‡ u ¯ ¯ x→±∞ → 0.

§19.1 Laplace变换 第3页 用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题題,除了可以减少自变量的数目以外,某 些已知函数的象函数(例如方程的非齐次项,它的形式可能很复杂)甚至都不必具 体求出,在求反演时只需应用卷积定理即可 例2用 Laplace变换求解无界弦的波动问题 0; o(a), at lt (x}∞<x<∞. 解设在 Laplace变换之下, u(r, t)=U(a, p), 于是,原来的定解问题就化为 2d-U(, p) d po(r)+v(a) 根据例11.1的结果,可以求得此方程的解(实际上还考虑了U(x,p)在x→土∞的行为) U(x,p)=1 Npo+∞(2p- 因为 6(t-a) 所以 u(x=2a/。)t-12-a 1 u(x)( l r-a'l p(a)(at-I-I'D v(a)n(at-lI-rD) 注意到 6--1)=0.|a-1≠ch 以及 (at-|x-x1) 0,|x-r r-r< at 就可以求出 x dr'+ a-)+a+叫]+m/叫)d

§19.1 LaplaceC† 1 3  ^LaplaceC†¦) ‡©§½)¯K§Ø Œ±~gCþê8± §, ®¼ê¼ê(~X§šàg‘§§/ªŒUéE,) $ÑØ7ä N¦Ñ§3¦‡üžIA^òȽn=Œ© ~2 ^LaplaceC†¦)Ã.uÅįK ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ 0; u ¯ ¯ t=0 = φ(x), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(x)− ∞, at; 1, |x − x 0 | < at, Ҍ±¦Ñ u(x, t) = 1 2 Z ∞ −∞ φ(x 0 )δ ³ t − |x − x 0 | a ´ dx 0 + 1 2a Z x+at x−at ψ(x 0 )dx 0 = 1 2 h φ(x − at) + φ(x + at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(x 0 )dx 0 .

§19.1 Laplace变换 第4页 这也正是第十三章中用行波法得到的结果 用 Laplace变换求解偏微分方程定解问题还有一个优点,这就是不必将非齐次的 边界条件齐次化(尽管在这个例子中,边界条件的齐次化是十分容易的),因为这 时原有的偏微分方程定解问题的非齐次边界条件将转化为常微分方程的非齐次边 界条件(因为原来的问题只是两个自变量的问题),这并不会带来原则的困难

§19.1 LaplaceC† 1 4  ù´1›nÙ¥^1Å{(J© ^LaplaceC†¦) ‡©§½)¯K„k‡`:§ùÒ´Ø7òšàg >.^‡àgz(¦+3ù‡~f¥§>.^‡àgz´›©N´)§Ïù žk ‡©§½)¯Kšàg>.^‡ò=z~‡©§šàg> .^‡(Ϗ5¯K´ü‡gCþ¯K)§ù¿Ø¬‘5K(J©

§19.2 Fourier变换 第5页 19.2 Fourier变换 Fourier变换可对空间变量进行.根据空间变量的变化区间,可以选用 ★ Fourier变换对于无界区间(-∞,∞)上的函数f(x),如果在任意有限区间上只有有限个 极大极小和有限个第一类间断点,且 积分/f(x)dx绝对收敛,则它的 Fourier变换存在 F(k) f(a) dr, 而逆变换(反演)是 F(k) dk 这里的Fomr变換和逆变换的形式可能和读者熟悉的形式略有不同.形式更加对 称,更多地为物理学家所采用 ★正弦变换和余弦变换如果f(x)是定义在半无界区间[0,∞)上,则可根据x=0端边界条 件的不同类型,选用正弦变换 ()=V()如hbd F(k)sin k rdk 或余弦变换 F(k) f(a)cos krde f(x)= F(l)cos k rdk. ★有限正弦、余弦变换如果∫(x)是定义在有界区间上,则应釆用有限正弦或余弦变换 本节介绍无界空间上的 Fourier变换 为了将 Fourier变换应用于求解偏微分方程定解问题,必然涉及函数的 阶导数 的 Fourier变换.设∫(x)的 ourier变换存在,并且引进记号 F(k) f(are dr= 3f(ar) 于是, =f(x) 一ik工 x

§19.2 Fourier C† 1 5  §19.2 Fourier C† FourierC†ŒémCþ?1©ŠâmCþCz«m§Œ±À^ F FourierC† éuÃ.«m(−∞, ∞)þ¼êf(x)§XJ3?¿k«mþkk‡ 4Œ4Úk‡1amä:§… È© Z ∞ −∞ f(x)dxýéÂñ§K§FourierC†3§ F(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx, _C†(‡ü)´ f(x) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k)eikxdk. ùpFourierC†Ú_C†/ªŒUÚÖöÙG/ªÑkØÓ©/ª\é ¡§õ/ÔnÆ[¤æ^© F uC†Ú{uC† XJf(x)´½Â3ŒÃ.«m[0, ∞)þ§KŒŠâx = 0à>.^ ‡ØÓa.§À^uC† F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) sin kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) sin kxdk, ½{uC† F(k) = r 2 π Z ∞ 0 f(x) cos kxdx, f(x) = r 2 π Z ∞ 0 F(k) cos kxdk.. F ku!{uC† XJf(x)´½Â3k.«mþ§KAæ^ku½{uC†© !0Ã.mþFourierC†©  òFourierC†A^u¦) ‡©§½)¯K§7,9¼ê!ê FourierC†©f(x)FourierC†3§¿…Ú?PÒ F(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx = F[f(x)], u´§ 1 √ 2π Z ∞ −∞ f 0 (x)e−ikxdx = 1 √ 2π f(x)e−ikx ¯ ¯ ¯ ∞ −∞ + ik √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx,

§19.2 Fourier变换 第6页 由于积分/f(x)d绝对收敛,就一定有limf(x)=0,所以 3f(x) f(x)-kdx=√2 f(r)e ik F(k)=ik3 f(a) 更进一步,当然就有 [f(a)=-k 3f(a) 用 Fourier变换来求解上一节的例1和例2 ★对于例1,即无界杆的热传导问题 -KBx2=f(x,1,-∞0 u ∞<x<∞. 可以假设a(x,t)的 Fourier变换存在, U(k 并设 F(k, t) f(a, t) dr 这样,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 dU(k, t) +rkU(k, t)=F(k, t) (k,t) 用常数变易法求解这个一阶常微分方程的初值问题,就得到 F(k, T)e" dT. 再求反演, U T F(k,r)e-kk(t-r)eikz dk dr 利用第四章中的结果, e cos 2zt dt= VTe 可以算出 cos rdk 2(-4k(t-7)

§19.2 Fourier C† 1 6  duÈ© Z ∞ −∞ f(x)dxýéÂñ§Ò½k lim x→±∞ f(x) = 0§¤± F[f 0 (x)] = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f 0 (x)e−ikxdx = ik √ 2π Z ∞ −∞ f(x)e−ikxdx = ikF(k) = ikF[f(x)]. ?Ú§,Òk F[f 00(x)] = −k 2F[f(x)]. ^FourierC†5¦)þ!~1Ú~2© F éu~1§=Ã.\9D¯K ∂u ∂t − κ ∂ 2u ∂x2 = f(x, t), − ∞ 0; u ¯ ¯ t=0 = 0, − ∞ < x < ∞. Œ±bu(x, t)FourierC†3§ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ¿ F(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(x, t)e−ikxdx, ù§3ŠFourierC†￾§½)¯KÒC dU(k, t) dt + κk2U(k, t) = F(k, t), U(k, t) ¯ ¯ t=0 = 0, ^~êC´{¦)ù‡~‡©§Њ¯K§Ò U(k, t) = e−κk2 t Z t 0 F(k, τ )eκk2τ dτ. 2¦‡ü§ u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ U(k, t)eikxdk = Z t 0 · 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, τ )e−κk2 (t−τ) e ikxdk ¸ dτ. |^1oÙ¥(J§ Z ∞ 0 e −t 2 cos 2xt dt = 1 2 √ πe −x 2 , Œ±ŽÑ 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ e −κk2 (t−τ) cos kxdk = 1 p 2κ(t − τ ) exp · − x 2 4κ(t − τ ) ¸ ,

§19.2 Fourier变换 第7页 再利用 f(a, t)= F(h, t)edk 根据 Fourier变换的卷积公式 3[f1(x)3[f2(x)]=3 f1()f2(x-)d 就能最后得到 u(r, t) 2√丌 f( T)exp 和上一节中得到的解式完全一样 从解法上看, Fourier变换的反演问题似乎要比 Laplace变换简单一些,因为往往 不需要用留数定理来计算反演中出现的定积分.就本例而言,两种方法都要用到 卷积公式 ★再来解例2,无界弦上的自由振动问题, 02u202 ∞0; ul=0=叭(x), =p(x}∞<x<∞ dt lt=o 仍设u(x,t)的 Fourier变换存在 U(k, t)= 1 u(a, t)e da, 开 (k) p(a)e wl(ar)edr, 于是,在作 Fourier变换后,定解问题就变为 dt2+kaU(k, t)=0, (k,)=0=(k),U(k,t)1=0=(k 这是一个二阶常微分方程的初值问题,解之即得 U(k,t)=更(k) cos kat+业(k) sin kat

§19.2 Fourier C† 1 7  2|^ f(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ F(k, t)eikxdk, ŠâFourierC†òÈúª§ F[f1(x)] F[f2(x)] = F · 1 √ 2π Z ∞ −∞ f1(ξ)f2(x − ξ)dξ ¸ , ÒU￾ u(x, t) = Z t 0 ( 1 √ 2π Z ∞ −∞ f(ξ, τ ) p 2κ(t − τ ) exp · − (x − ξ) 2 4κ(t − τ ) ¸ dξ ) dτ = 1 2 √ κπ Z t 0 ½Z ∞ −∞ f(ξ, τ ) exp · − (x − ξ) 2 4κ(t − τ ) ¸ dξ ¾ dτ √ t − τ . Úþ!¥)ª© l){þw§FourierC†‡ü¯Kq‡'LaplaceC†{ü §Ï ØI‡^3ê½n5OŽ‡ü¥Ñy½È©©Ò~ ó§ü«{ч^ òÈúª© F 25)~2§Ã.uþgdįK§ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, − ∞ 0; u ¯ ¯ t=0 = φ(x), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(x)− ∞, < x < ∞. Eu(x, t)FourierC†3§ U(k, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ u(x, t)e−ikxdx, ¿ Φ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ φ(x)e−ikxdx, Ψ(k) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ ψ(x)e−ikxdx, u´§3ŠFourierC†￾§½)¯KÒC d 2U(k, t) dt 2 + k 2 a 2U(k, t) = 0, U(k, t) ¯ ¯ t=0 = Φ(k), U(k, t) ¯ ¯ t=0 = Ψ(k). ù´‡~‡©§Њ¯K§)ƒ= U(k, t) = Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka .

§19.2 Fourier变换 第8页 根据 Fourier变换的反演公式,就可以求出 u(, t) √2r gp(k)cos kat e dk [(x+a)+(x-at) 类似地,还有 dk (k)/cos kat dr eikzdk a(a +ar)+v(r-ar)dr a+at v(e)de -at 代入上面的结果,最后就得到 u(ar,t_1 o(+at)+p(-at)+2a 2 v(E)da 这当然和用 Laplace变换得到的形式完全一样 例3求解三维无界空间波动方程的定解问题 f(r,t),t>0, t=0 解首先作 Fourier变换.令 U(k, t) (2x)3 u(r,t)exp{-ik·r}dr, F(k,t) f(r,t)exp{-ik·T}d p(T)exp{-ik·T}dr (27)3/2

§19.2 Fourier C† 1 8  ŠâFourierC†‡üúª§ÒŒ±¦Ñ u(x, t) = 1 √ 2π Z ∞ −∞ · Φ(k) cos kat + Ψ(k) sin kat ka ¸ e ikxdk. 5¿ 1 √ 2π Z ∞ −∞ Φ(k) cos kat e ikxdk = 1 √ 2π 1 2 Z ∞ −∞ Φ(k) h e ik(x+at) + eik(x−at) i dk = 1 2 £ φ(x + at) + φ(x − at) ¤ , aq/§„k 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) sin kat ka e ikxdk = 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) ·Z t 0 cos kaτ dτ ¸ e ikxdk = Z t 0 · 1 √ 2π Z ∞ −∞ Ψ(k) cos kaτ e ikxdk ¸ dτ = 1 2 Z t 0 h ψ(x + aτ ) + ψ(x − aτ ) i dτ = 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ, \þ¡(J§￾Ò u(x, t) = 1 2 h φ(x + at) + φ(x − at) i + 1 2a Z x+at x−at ψ(ξ)dξ. ù,Ú^LaplaceC†/ª© ~3 ¦)n‘Ã.mÅЧ½)¯K§ ∂ 2u ∂t2 − c 2∇ 2 u = f(r, t), t > 0, u ¯ ¯ t=0 = φ(r), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(r). ) ÄkŠFourierC†©- U(k, t) = 1 (2π) 3/2 ZZZ u(r, t) exp{−ik · r} dr, F(k, t) = 1 (2π) 3/2 ZZZ f(r, t) exp{−ik · r} dr, Φ(k) = 1 (2π) 3/2 ZZZ φ(r) exp{−ik · r} dr, Ψ(k) = 1 (2π) 3/2 ZZZ ψ(r) exp{−ik · r} dr,

§19.2 Fourier变换 第9页 则定解问题化为常微分方程初值问题 d-U k222U(k, t)=F(k, t) 更p(k) y(k) t=0 再作 Laplace变换 (k,t)=I(k,p), F(k,t)=3(k,p) 于是,定解问题进一步变成代数方程 p u(k, p)-p(k)-v(k)+kcs(k, p)=3(k, p) 解之即得 出(k,p)=2+k2(3(k,+)+( 求反演.先作 Laplace变换的反演,有 ,t)=y()sin kct (k)cos ko T F(k, t-T)dT 再作 Fourier变换的反演 u(T,t)=(2m)3/2 U(k,)exp{ik·r}dk x)3/2 业(k explik. r)dk )3/2 sin ker F(k, t-r)dr expfik. r)dk 利用 Fourier变换的折积公式,就可以求出上述各项的反演,从而就最终求出定解问题的解 采用k空间的球坐标,可以算出 p{ik·T}dk rose k2 sin 0 dk de do k sin kct dk ke 2

§19.2 Fourier C† 1 9  K½)¯Kz~‡©§ÐŠ¯K d 2U dt 2 + k 2 c 2U(k, t) = F(k, t), U ¯ ¯ t=0 = Φ(k), dU dt ¯ ¯ ¯ t=0 = Ψ(k). 2ŠLaplaceC† U(k, t) ; U(k, p), F(k, t) ; F(k, p). u´§½)¯K?ÚC¤ê§ p 2U(k, p) − pΦ(k) − Ψ(k) + k 2 c 2U(k, p) = F(k, p). )ƒ= U(k, p) = 1 p 2 + k 2c 2 £ F(k, p) + pΦ(k) + Ψ(k) ¤ . ¦‡ü©kŠLaplaceC†‡ü§k U(k, t) = 1 kcΨ(k) sin kct + Φ(k) cos kct + 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ )dτ. 2ŠFourierC†‡ü§ u(r, t) = 1 (2π) 3/2 ZZZ U(k, t) exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 ZZZ Ψ(k) sin kct kc exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 ZZZ Φ(k) cos kct exp{ik · r} dk + 1 (2π) 3/2 ZZZ · 1 kc Z t 0 sin kcτ F(k, t − τ ) dτ ¸ exp{ik · r} dk. |^FourierC†òÈúª§ÒŒ±¦Ñþ㈑‡ü§l ҁª¦Ñ½)¯K)© æ^km¥‹I§Œ±ŽÑµ F 1‘ 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kct kc exp{ik · r} dk = 1 (2π) 3/2 ZZZ sin kct kc e ikr cos θ k 2 sin θ dk dθ dφ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 k sin kct dk Z π 0 e ikr cos θ sin θ dθ = 1 √ 2πc Z ∞ 0 sin kct 1 −ir e ikr cos θ ¯ ¯ ¯ π 0 dk = 1 √ 2πc 2 r Z ∞ 0 sin kct sin kr dk = r π 2 1 cr δ(r − ct).