第八章函数 说明 ★本章计划讲授学时:4 ★§8.3((z)可只作简单介绍 ★§8.5(函数的普遍表达式)不讲授
Γ ✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 4 F §8.3(ψ(z)) ☛☞✌ ✍ ✎✏✑ F §8.5(Γ ✒✓✔✕✖✗✘ ✙) ✚✝✞
第八章函数 81r函数的定义 定义r函数的最常用定义是 这个积分称为第二类 Euler积分,其中的积分变量t应该理解为argt=0 积分在右半平面代表一个解析函数 因为这是一个反常积分,它既是一个瑕积分(在t=0端),又是一个无穷积分,所以要把它拆 成两部分来分别讨论 t- dt 先看第二部分.显然,当t≥1时,被积函数e-t2-1是t的连续函数,并且作为z的函数,在 全平面解析.由定理42可知,要证明它代表一个解析函数,就只需证明积分一致收敛.因为 所以对于任意正整数N 故对于z平面上任一闭区域(此区域内的任意一点,均有Rezo),积分/t-N-dt就收敛,故/e-t-1d在z 面的任一闭区域中一致收敛,因此在全平面解析 要证明第一部分的积分在右半平面解析,关键也是证明它的一致收敛性.因为 c= Re
✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 1 ✝ ✞✟✠ Γ ✡ ☛ §8.1 Γ ☞✌✍✎✏ ✑✒ Γ ✓✔✕✖✗✘✙✚✛ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1dt, Re z > 0. ✜✢✣✤✥✦✧★✩ Euler ✣✤✪✫ ✬✕ ✣✤✭✮ t ✯✰✱✲✦ arg t = 0 ✳ F ✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁❂✳ ❃✦✜✛❄✢❅✗ ✣✤✪❆❇✛❄✢❈✣✤ (❉ t = 0 ❊) ✪❋ ✛❄✢●❍✣✤✪■❏❑▲❆▼ ◆❖P✤◗✤❘❙❚✳ Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = Z 1 0 e −t t z−1 dt + Z ∞ 1 e −t t z−1 dt. ❯❱✧★P✤✳ ❲❳✪❨ t ≥ 1 ❩ ✪❬✣✓✔ e −t t z−1 ✛ t ✕❭❪✓✔✪❫❴❵✦ z ✕✓✔✪ ❉ ❛❜❝✲❞✳❡✙✱ 4.2 ❢❣✪❑❤ ✐❆❥❦❄ ✢ ✲❞✓✔✪❧♠♥❤ ✐✣✤❄♦♣q✳❃✦ e t = X∞ n=0 t n n! , ■❏rst✉✈✇✔ N ✪ e t > t N N! , e −t x0) ✪✣✤ Z ∞ 1 t x0−N−1dt ❧ ♣q✪① Z ∞ 1 e −t t z−1dt ❉ z ❜ ❝ ✕ t ❄③④⑤ ✬ ❄♦♣q✪❃ ⑥❉❛❜❝✲❞✳ ❑❤ ✐✧ ❄ P✤✕ ✣✤❉➁➂❜❝✲❞✪➃➄➅✛ ❤ ✐❆ ✕❄♦♣q➆✳❃✦ e −t t z−1 = e−t t x−1 , x = Re z
因此,对于z平面上右半平面的任一区域,有Rez=x≥6>0 e-t2-1≤t-1 而/-d收敛,故积分/e--dt在z平面上右半平面的任一闭区域中一致收敛,因此在右 半平面解析 把两部分合起来,就得到 在z的右半平面解析.口 ★积分路径的修改 ·上面的积分定义中,积分路径并不需要限定在实轴上,而可修改为 T(2)=/e-tti-ldt, Rez>0 积分路径L是t平面上从t=0出发的半射线,argt=a为常数,la0.注意积分的笫二部分是在全平面解析的 因此,为了延拓到z的全平面,只要用适当的方法将积分第一部分延拓到全平面即可 比较直接的方法是将指数函数作 Taylor展开 dt (-) 这个结果是在Rez>0的条件下得到的.但等式左端在右半平面解析,而右端的级数显然在全平 面上(z≠0,-1,-2,…)一致收敛,因而在全平面解析(z≠0,-1,-2,…).这说明,等式右端的级 数表达式就是左端积分表达式在全平面上的解析延拓
§8.1 Γ ✄☎➇➈➉ ✆ 2 ✝ ❃ ⑥ ✪rs z ❜❝②➁➂❜❝✕ t ❄④⑤✪⑩ Re z = x ≥ δ > 0 ✪ e −t t z−1 ≤ t δ−1 , ➊ Z 1 0 t δ−1dt ♣q✪①✣✤ Z 1 0 e −t t z−1dt ❉ z ❜❝②➁➂❜❝✕ t ❄③④⑤ ✬ ❄♦♣q✪❃ ⑥❉➁ ➂ ❜❝✲❞✳ ▲❖P✤➋➌◗✪❧➀➍ Γ (z) = Z ∞ 0 e −t t z−1 dt ❉ z ✕➁➂❜❝✲❞✳ F ✴✵➎➏➐➑➒ • ②❝✕ ✣✤✙✚ ✬✪✣✤➓➔❫→♥❑➣✙❉↔↕②✪➊ ❢➙➛✦ Γ (z) = Z L e −t t z−1dt, Re z > 0, ✣✤➓➔ L ✛ t ❜❝②➜ t = 0 ➝➞✕➂➟➠✪ arg t = α ✦ ✗✔✪ |α| 0 ✳ ÐÑÒÓ➬ ÔÕÖÓ×ØÙÚ ➘ÛÜ➬✪ ÝÞ✪ß àáâã z ➬ÙÚ ➘✪❒ä❰❮ å➬æçèÒÓ ÔéÖÓáâãÙÚ ➘êë✳ ìíîï✕➻ð✛ñò✔✓✔❵ Taylor óô Z 1 0 e −t t z−1 dt = X∞ n=0 (−) n n! Z 1 0 t n+z−1 dt = X∞ n=0 (−) n n! 1 n + z . ✜✢➩õ✛❉ Re z > 0 ✕ö÷ø➀➍✕✳ùú➼û❊❉➁➂❜❝✲❞✪➊ ➁❊✕ü✔❲❳❉ ❛❜ ❝② (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ❄♦♣q✪❃➊ ❉ ❛❜❝✲❞ (z 6= 0, −1, −2, · · ·) ✳ ✜ý ✐✪ ú➼➁❊✕ü ✔ ❦þ➼ ❧ ✛û❊✣✤❦þ➼❉❛❜❝②✕✲❞ÿ✳
章r函 第3页 ()=c4+∑ (-)n1 !n+ =0
✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 3 ✝ Γ ( z) = Z ∞ 1 e − t t z − 1 d t + X∞n=0 ( − ) n n ! 1 n + z
82r函数的基本性质 性质1r(1)=1 直接在r函数的定义中代入z=1即可得到这个结果 性质2r(z+1)=zr(2) 证根据r函数的定义 T(2+1)=ett=dt =2/e-t2-dt=zr(2).口 对于这个结果可以从两个角度来理解 一是尽管在证明过程中用到了条件Rez>0.但由于r(z+1)和zI(z)都在全平面解 析(z=0,-1,-2,…除外),因此,根据解析延拓原理,可以断定,这个递推关糸在 全平面均成立 另一方面,也可以直接通过递推关糸来完成『函数的解析延拓.这时,可将递推关急 改写成 r(x)=-r(z+1) 上式左端的函数在半平面Rez>0上解析,右端的函数在半平面Rez>-1上解析 两者在公共区域Rez>0上相等;由此可见,r(z+1)/z就是右端的I(z)在区域 ez>-1上的解析延拓.而且,如果把延拓后得到的结果仍记为r(z),这就是说, 可以把 看成是r()在区域Rez>1上的定义,而z=0点是r函数的一阶极点,resr(0)=1 ·重复上述步骤,还可以将『函数延拓到区城Rez>-2 r(2) 2(2+1) r(2+2),2≠0,-1 z=-1也是『函数的一阶极点,resr(-1)=-1 如此继续,就可以将『函数解析延拓到全平面,而z=0,-1,一2,…都是『函数的一 阶极点
§8.2 Γ ✄☎➇✁✂✄☎ ✆ 4 ✝ §8.2 Γ ☞✌✍✆✝✞✟ ✠✡ 1 Γ (1) = 1 ✳ îï❉ Γ ✓✔✕✙✚ ✬❥☛ z = 1 ➚❢➀➍✜✢➩õ✳ ✠✡ 2 Γ (z + 1) = zΓ (z) ✳ ☞ ✌✍ Γ ✓✔✕✙✚ Γ (z + 1) = Z ∞ 0 e −t t zdt = −e −t t z ∞ 0 + Z ∞ 0 e −t ztz−1 dt = z Z ∞ 0 e −t t z−1 dt = zΓ (z). ✎Ï✏✑✒✓ë ✔✕✖✑ ✗✘✙✚Û ✳ • é×✛ ✜Ø✢ ✣✤✥ ✦❰ã à✧★ Re z > 0 ✳✩ ✪Ï Γ (z + 1) ✫ zΓ (z) ✬ ØÙÚ ➘Û Ü (z = 0, −1, −2, · · · ✭✮) ✪ÝÞ✪✯✰ÛÜáâ✱✚✪ë ✔✲✃✪✏✑✳✴ ✵✶Ø ÙÚ ➘✷✸✹✳ • ✺ éæ ➘✪✻ë ✔✼✽✾✤✳✴ ✵✶✙ ✿✸ Γ ➮➱➬ÛÜáâ✳✏❀✪ëè✳✴ ✵✶ ❁ ❂✸ Γ (z) = 1 z Γ (z + 1). ➹❃❄❅➬ ➮➱Ø❆Ú ➘ Re z > 0 ➹ÛÜ✪❇❅➬ ➮➱Ø❆Ú ➘ Re z > −1 ➹ÛÜ❈ ✖❉Ø❊❋ ●❍ Re z > 0 ➹■❏❈✪Þë❑✪ Γ (z + 1) /z ▲ ×❇❅➬ Γ (z) Ø ●❍ Re z > −1 ➹➬ÛÜáâ✳▼◆✪❖✓Páâ◗❘ã➬✒✓❙❚ß Γ (z) ✪✏ ▲ ×❯✪ ë ✔P Γ (z) = 1 z Γ (z + 1), z 6= 0 ❱✸× Γ (z) Ø ●❍ Re z > 1 ➹➬✃❐✪ ▼ z = 0 ❲ × Γ ➮➱➬é❳❨❲ ✪ res Γ (0) = 1 ✳ • ❩❬➹❭ ❪❫✪❴ë ✔è Γ ➮➱áâã ●❍ Re z > −2 ✪ Γ (z) = 1 z(z + 1)Γ (z + 2), z 6= 0, −1. z = −1 ✻× Γ ➮➱➬é❳❨❲ ✪ res Γ (−1) = −1 ✳ • ❖Þ❵❛✪ ▲ë ✔è Γ ➮➱ÛÜáâãÙÚ ➘✪ ▼ z = 0, −1, −2, · · · ✬ × Γ ➮➱➬é ❳❨❲ ✪ res Γ (−n) = (−1)n n! .
推论1对于正整数n, 正是因为这个原因,函数又称为阶乘函数 性质3互余宗量定理 r(z)r(1-z) 这个公式的证明见后面的第8.4节 推论2r(1/2) 只要在上面的性质3中代入z=1/2,并且注意r(1/2)>0因为被积函数值恒为正)即可得到 此结果 推论3r函数在全平面无零点 证因为π/sinπ2≠0,所以r(z)r(1-2)≠0,这样,如果在z=20点有r(20)=0,则 必有r(1-20)=∞,这只能发生在1-20=-n(亦即20=n+1),n=0,1,2,……时.但此时 r(x0)=r(n+1)=n!,与所设矛盾.因此r函数在全平面无零点,口 图83中给出了r(x)(x为实数)的图形.它从实数范围直观地表现出这个推论以及r函数的 奇点分布 图8.3自变量取实数时的r函数值 性质4倍乘公式 r(2)=2 2(+) 这个公式的证明也见8.4节
✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 5 ✝ ❜❝ 1 rs✈✇✔ n ✪ Γ (n) = (n − 1)!. ✈ ✛ ❃✦✜✢❞❃✪ Γ ✓✔❋✥✦❡❢✓✔✳ ✠✡ 3 ❣❤✐✮ ✙✱ Γ (z) Γ (1 − z) = π sin πz . ✜✢❥ ➼✕❤ ✐❶➺❝ ✕ ✧ 8.4 ❦✳ ❜❝ 2 Γ (1/2) = √ π ✳ ♠❑ ❉ ②❝✕➆❧ 3 ✬❥☛ z = 1/2 ✪❫❴♠✉ Γ (1/2) >0 (❃✦❬✣✓✔♥♦✦✈ ) ➚❢➀➍ ⑥ ➩õ✳ ❜❝ 3 Γ ✓✔❉❛❜❝●♣ ⑧✳ ☞ ❃✦ π/sin πz 6= 0 ✪■❏ Γ (z) Γ (1 − z) 6= 0 ✳ ✜❹✪➥ õ ❉ z = z0 ⑧ ⑩ Γ (z0) = 0 ✪q r⑩ Γ (1 − z0) = ∞ ✳ ✜♠➨➞s❉ 1 − z0 = −n (t➚ z0 = n + 1) ✪ n = 0, 1, 2, · · · ❩✳ù⑥❩ Γ (z0) = Γ (n + 1) = n! ✪✉■✈✇①✳ ❃ ⑥ Γ ✓✔❉❛❜❝●♣ ⑧✳ ❷ 8.3 ✬② ➝③ Γ(x)(x ✦ ↔✔) ✕❷④✳ ❆➜ ↔✔⑤ ➢î⑥⑦❦⑧ ➝ ✜✢⑨❚❏⑩ Γ ✓✔✕ ❶ ⑧ ✤❷ ✳ ❸ 8.3 ❸ ❹❺❻❼❽❾❿ Γ ➀ ❽➁ ✠✡ 4 ➂ ❢❥➼ Γ (2z) = 22z−1π −1/2Γ (z) Γ z + 1 2 . ✜✢❥ ➼✕❤ ✐➅ ❶ 8.4 ❦✳
性质5r函数的渐近展开,即 Stirling公式:当|2|→∞,|argx<π时,有 r()x231/2e-豇1++~1 571 12z288z251840232488320 Inr(a) 11m2=2+1n(27)+ 122-36023126025-168027 在物理中更常用的结果是 Inn!nInn-
§8.2 Γ ✄☎➇✁✂✄☎ ✆ 6 ✝ ✠✡ 5 Γ ✓✔✕➃➄óô✪ ➚ Stirling ❥ ➼➯❨ |z| → ∞ ✪ | arg z| < π ❩ ✪⑩ Γ (z) ∼ z z−1/2 e −z √ 2π n 1 + 1 12z + 1 288z 2 − 139 51840z 3 − 571 2488320z 4 + · · ·o , ln Γ (z) ∼ z − 1 2 ln z − z + 1 2 ln(2π) + 1 12z − 1 360z 3 + 1 1260z 5 − 1 1680z 7 + · · · . ❉➅✱ ✬➆ ✗✘✕➩õ✛ ln n! ∼ n ln n − n
§83ψ函数 中函数是r函数的对数微商 dIn r ψ(x) r(2) 根据r函数的性质,可以得出ψ(2)的下列性质: 都是ψ(2)的一阶极点,留数均为-1;除了这些点以外,ψ(x)在全平面 解析 2.(2+1)=中(2)+ 中(2+n)=(2)+1+ 2+n-1n=2,3 3.ψ(1-2)=ψ(2)+ cot 72 4.W()-(-2)=-1-reor 5.(2)=时()+中(2+)+h2 6.u(2)~lnz 2520+ →∞,| arg zl<兀 7.Iim[(2+n)-ln]=0 中函数的特殊值有 ψ(1)= ψ(1) 2In2 7-2ln2+2,ψ -3ln2 中(2)=-+2一3m2 32 其中=-(1)是数学中的一个基本常数,称为 Euler常数 7=0.57721566490153286060651209008240 它的定义是 1 ★利用ψ函数,可以方便地求出通项为有理式的无穷级数 p(n)
✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 7 ✝ §8.3 ψ ☞ ✌ ψ ✓✔✛ Γ ✓✔✕r ✔➇➈ ψ(z) = dln Γ (z) dz = Γ 0 (z) Γ (z) . ✌✍ Γ ✓✔✕➆❧ ✪ ❢ ❏ ➀➝ ψ(z) ✕ø➉➆❧➯ 1. z = 0, −1, −2, · · · ➊✛ ψ(z) ✕❄❡➋⑧ ✪ ➦✔⑨✦ −1 ❈➌③ ✜➍ ⑧ ❏➎✪ ψ(z) ❉ ❛❜❝ ✲❞✳ 2. ψ(z + 1) = ψ(z) + 1 z . ψ(z + n) = ψ(z) + 1 z + 1 z + 1 + · · · + 1 z + n − 1 , n = 2, 3, · · · . 3. ψ(1 − z) = ψ(z) + π cot πz. 4. ψ(z) − ψ(−z) = − 1 z − π cot πz. 5. ψ(2z) = 1 2 ψ(z) + 1 2 ψ z + 1 2 + ln 2. 6. ψ(z) ∼ ln z − 1 2z − 1 12z 2 + 1 120z 4 − 1 252z 6 + · · · , z → ∞, | arg z| < π. 7. limn→∞ ψ(z + n) − ln n = 0. ψ ✓✔✕➏➐♥⑩ ψ(1) = −γ, ψ 0 (1) = π 2 6 , ψ 1 2 = −γ − 2 ln 2, ψ 0 1 2 = π 2 2 , ψ − 1 2 = −γ − 2 ln 2 + 2, ψ 0 − 1 2 = π 2 2 + 4, ψ 1 4 = −γ − π 2 − 3 ln 2, ψ 3 4 = −γ + π 2 − 3 ln 2, ψ 1 3 = −γ − π 2 √ 3 − 3 2 ln 3, ψ 2 3 = −γ + π 2 √ 3 − 3 2 ln 3. ➑ ✦ γ = −ψ(1) × ➱ ➒ ✦➬é✑➓➔→➱ ✪➣ß Euler → ➱ γ = 0.5772 1566 4901 5328 6060 6512 0900 8240 · · · . ↔➬✃❐× γ = limn→∞ "Xn k=1 1 k − ln n # . F ↕✘ ψ ✓✔✪ ❢ ❏ ➻➙ ⑦➛➝➜➝✦⑩✱➼✕●❍ü✔ X∞ n=0 un = X∞ n=0 p(n) d(n)
和,其中p(n)和d(n)都是n的多出式,为了保证级数收敛,p(n)的数至如要比d(n)的。数 低2,即 如果dn)是n的m田多出式,并且全部零点都是一阶零点 n)=(n+a1)(n+a2)…( 即un只有一阶极点,则可部分分式为 d(n) 利用ψ函数的递推关能,即可求得 ak p(ok+ N)-v(ak) ∑a(ak+N)-hnN-(ak月 其中利用了∑ak=0.取极限N→∞,即得 k=1 n ok+ N)-In NI ψ(ak) k=1 结8.1求无穷级数∑ 发 (3n+1)(3n+2)(3n+3) 解因 所以,根据上面上出的求和代式,有 ψp(1) 代入ψ函数的特殊值,即得 3= 结8.2求无穷级数∑和,其中a>0
§8.3 ψ ✄ ☎ ✆ 8 ✝ ➞➟✪✫ ✬ p(n) ➟ d(n) ➊✛ n ✕➠➝➼✳✦ ③➡❤ ü✔♣q✪ p(n) ✕➢✔➤➥❑ ì d(n) ✕➢✔ ➦ 2 ✪ ➚ limn→∞ un = limn→∞ n · un = 0. ➥ õ d(n) ✛ n ✕ m ➢➠➝➼ ✪❫❴❛P♣ ⑧➊✛❄❡♣⑧ ✪ d(n) = (n + α1)(n + α2)· · ·(n + αm), ➚ un ♠⑩❄ ❡➋⑧ ✪q ❢ P✤✤➼ ✦ un = p(n) d(n) = Xm k=1 ak n + αk . ↕✘ ψ ✓✔✕➧ ⑨➃➨✪ ➚❢➛ ➀ X N n=0 un = Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ψ(αk)] = Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N − ψ(αk)] , ✫ ✬↕✘③ Pm k=1 ak = 0 ✳ ➡➋➣ N → ∞ ✪ ➚➀ X∞ n=0 un = lim N→∞ Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N − ψ(αk)] = lim N→∞ Xm k=1 ak [ψ(αk + N) − ln N] − Xm k=1 akψ(αk) = − Xm k=1 akψ(αk). ➩ 8.1 ➛●❍ü✔ P∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) ➞➟✳ ✿ ❃✦ 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 1 6 1 n + 1/3 − 1 3 1 n + 2/3 + 1 6 1 n + 1 , ■❏✪✌✍②❝② ➝✕➛➟❥ ➼ ✪⑩ X∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = − 1 6 ψ 1 3 − 2ψ 2 3 + ψ(1) . ❥☛ ψ ✓✔✕➏➐♥✪ ➚➀ X∞ n=0 1 (3n + 1)(3n + 2)(3n + 3) = 1 4 π √ 3 − ln 3 . ➩ 8.2 ➛●❍ü✔ P∞ n=0 1 n2 + a 2 ➞➟✪✫ ✬ a > 0 ✳
解因为 所以 m+a2=-2n(a)-(-i 利用上面列出的中函数的性质4 ap(ia)-p(-ia)=-ia-rcotita=i a+ coth Te 就可以求得 ★如果un还有二阶极点,例如 d(n)=(n+a1)(n+a2)…(n+am)(n+B1)2(m+B2)2…(n+h)2 d(n) 2+ak[n+A+7n+) 相应地,级数收敛的条件是 k=1 根据ψ函数的递推关系,即得 ∑un=-∑aak)-∑[k中()-b2(A小 n=0 k=1 k=1 例8.3求无穷级数 (n+1)2(2n+1)2 之和. 解因为 +1+-[++m n+1/2(n+1/2)2 所以 m+)(2n+1=-14)-(1+(2)+中( 2x2 8In2
✁✂ Γ ✄ ☎ ✆ 9 ✝ ✿ ❃✦ 1 n2 + a 2 = i 2a 1 n + ia − 1 n − ia , ■❏ X∞ n=0 1 n2 + a 2 = − i 2a [ψ(ia) − ψ(−ia)] . ↕✘ ②❝➉➝✕ ψ ✓✔✕➆❧ 4 ✪ ψ(ia) − ψ(−ia) = − 1 ia − π cot iπa = i 1 a + π coth πa , ❧ ❢ ❏➛ ➀ X∞ n=0 1 n2 + a 2 = 1 2a 2 1 + πa coth πa . F ➥ õ un ➫ ⑩★❡➋⑧ ✪➭ ➥ ✪ d(n) = (n + α1)(n + α2)· · ·(n + αm)(n + β1) 2 (n + β2) 2 · · ·(n + βl) 2 , q un = p(n) d(n) = Xm k=1 ak n + αk + X l k=1 b1k n + βk + b2k (n + βk) 2 . ➯ ✯ ⑦✪ ü✔♣q✕ö÷✛ Xm k=1 ak + X l k=1 b1k = 0. ✌✍ ψ ✓✔✕➧ ⑨➃➨✪ ➚➀ X∞ n=0 un = − Xm k=1 akψ(αk) − X l k=1 b1kψ(βk) − b2kψ 0 (βk) . ➩ 8.3 ➛●❍ü✔ P∞ n=0 1 (n + 1)2(2n + 1)2 ➞➟✳ ✿ ❃✦ 1 (n + 1)2(2n + 1)2 = 4 n + 1 + 1 (n + 1)2 − 4 n + 1/2 − 1 (n + 1/2)2 , ■❏ X∞ n=0 1 (n + 1)2(2n + 1)2 = − 4ψ(1) − ψ 0 (1) + 4ψ 1 2 + ψ 0 1 2 = 2π 2 3 − 8 ln 2.
