第十七章柱函数 说明 ★本章计划讲授学时:7 ★第10-11页(关于J(z)及N(z)的零点) 为教学参考资料,不讲授
3 ✁ F ✂☎✄☎✖✟✗✘✆☎✝✏✞☛✠☛✙ 7 F ✚ 10–11 ✛ (✜✣✢ Jν(z) ✤ Nν(z) ✥✣✦✣✧) ★✘✩ ✞✘✪✟✫✟✬✮✭✏✯✱✰✌✆☛✝
第十七章柱函数 第十七章柱函数 将 Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量时,曾经得到常微分方程 l d dr(r) r dr ]+12--m 如果k2-≠0,作变换x=Vk2-Ar,y(x)=R(r),则方程变为(u阶) Bessel方程 d dy (r) y(x)=0 r dr 其中 Bessel方程有两个奇点:x=0和x=∞;x=0是正则奇点,x=∞是非正则 奇点 在正则奇点x=0处,指标p=土v 第六章中已经求出了 Bessel方程在x=0点的正则解. 下面扼要地罗列一下已经得到的结果 当v≠整数时, Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 如果v=整数n,则Jn(x)和J-n(x)线性相关 J-n(x)=(-)Jn(x), 这时, Bessel方程的第一解仍是Jn(x),第二解则可取为 Nn(a)=-Jn(a)In (n-k-1)!/x)2k-n 中(m+k+1)+(k+1)(2) 2k+n k!(k+n)! 并且约定,当n=0时,需去掉表达式中第二项的有限和
第十七章 柱 函 数 第 1 页 第十七章 柱 函 数 将Helmholtz方程在柱坐标系下分离变量时，曾经得到常微分方程 1 r d dr · r dR(r) dr ¸ + h k 2 − λ − µ r 2 i R(r) = 0. 如果k 2 − λ 6= 0，作变换x = √ k 2 − λr, y(x) = R(r)，则方程变为(ν阶)Bessel方程 1 x d dx · x dy(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ y(x) = 0, 其中µ = ν 2． Bessel方程有两个奇点：x = 0和x = ∞；x = 0是正则奇点，x = ∞ 是非正则 奇点． 在正则奇点x = 0处，指标ρ = ±ν． 第六章中已经求出了Bessel方程在x = 0点的正则解． 下面扼要地罗列一下已经得到的结果． 当ν 6= 整数时，Bessel方程的两个(线性无关)正则解是 J±ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k ± ν + 1) ³ x 2 ´2k±ν . 如果ν = 整数 n，则Jn(x)和J−n(x)线性相关， J−n(x) = (−) n Jn(x), 这时，Bessel方程的第一解仍是Jn(x)，第二解则可取为 Nn(x) = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! ³ x 2 ´2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (k + n)! £ ψ(n + k + 1)+ψ(k + 1)¤ ³ x 2 ´2k+n , 并且约定，当n = 0时，需去掉表达式中第二项的有限和．
171 Bessel函数的基本性质 第2页 §171 Bessel函数的基本性质 Bessel程中的v2,即,通常是由本征值问题 p9=0, 中(0)=重(2),更(0)=更(2丌) 决定的,u=m2,m=0,1,2 因此,本节中将着重介绍整数阶 Bessel函数的性质.下面先列出以前已经得到过的一些结 果(图171中给出了前几个 Bessel函数的图形) l0(x) 2(x) J3(x) J4(x) 图171 Bessel函数 1.J-n(x)和Jn(x)线性相关, 证明见6.4节. 2.Jn(x)的奇偶性 Jn(-x)=(-)"Jn(x) 可以从u=n时的表达式直接看出 3.Jn(x)的生成函数 ∑Jn(x)t",0<<∝ n=一 证明见5.4节例7 整数阶 Bessel函数的其他一些性质
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 2 页 §17.1 Bessel函数的基本性质 Bessel方程中的ν 2，即µ，通常是由本征值问题 Φ 00 + µΦ = 0, Φ(0) = Φ(2π), Φ0 (0) = Φ 0 (2π) 决定的，µ = m2 , m = 0, 1, 2, · · · ． 因此，本节中将着重介绍整数阶Bessel函数的性质．下面先列出以前已经得到过的一些结 果(图17.1中给出了前几个Bessel函数的图形)． 图17.1 Bessel函数 1. J−n(x)和Jn(x)线性相关， J−n(x) = (−) n Jn(x). 证明见6.4节． 2. Jn(x)的奇偶性， Jn(−x) = (−) n Jn(x). 可以从ν = n时的表达式直接看出． 3. Jn(x)的生成函数 exp · x 2 µ t − 1 t ¶¸ = X∞ n=−∞ Jn(x)t n , 0 < |t| < ∞. 证明见5.4节例7． 整数阶Bessel函数的其他一些性质：
171 Bessel函数的基本性质 第3页 4.Jn(x)的积分表示 Jn(a) cos(rsin 8-ne) 证在生成函数表达式 exp=(t-D)l-2 Ja(aje 中令t=ef isin e ∑Jn(a)e 这就是函数esn°的 Fourier展开式(复数形式).由 Fourier展开的系数公式,就能证得 1 Jn(r)=2T_ 2 cos(a sin 8-n0)+isin(a sin 0-ne)de 在右端积分的被积函数中,虚部是奇函数,所以积分为0;实部是偶函数,所以就能直接化为 上面的积分表示.口 如果将被积函数中的整数n改为任意复数〃,这样得到的并不是函数J(x)的积分表 5.如果在生成函数表达式中令t 还可以得到 Jn(r)i =J()+∑PJn(x)m0+J-)-"e10 =l(2)+∑[PJ,(xk+(-y-J(a=- =J(x)+2∑i"Jn()cosn 特别是,如果再令x=kr,于是就有 0()+2∑iJn(kr)c 把上式中的r和θ理解为柱坐标系中的坐标变量,并且把k理解为波数,同时取相位的时间因 子为e-t,则上式两端都分别对应于波动过程相位因子的空间部分:左端是沿正x轴方向传
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 3 页 4. Jn(x)的积分表示 Jn(x) = 1 π Z π 0 cos(x sin θ − nθ)dθ. 证 在生成函数表达式 exp · x 2 µ t − 1 t ¶¸ = X∞ n=−∞ Jn(x)t n 中令t = eiθ， 1 2 µ t − 1 t ¶ = 1 2 ¡ e iθ − e −iθ ¢ = i sin θ e ix sin θ = X∞ n=−∞ Jn(x)einθ . 这就是函数e ix sin θ的Fourier展开式(复数形式)．由Fourier展开的系数公式，就能证得 Jn(x) = 1 2π Z π −π e ix sin θ ³ e inθ´∗ dθ = 1 2π Z π −π [cos(x sin θ − nθ) + i sin(x sin θ − nθ)] dθ. 在右端积分的被积函数中，虚部是奇函数，所以积分为0；实部是偶函数，所以就能直接化为 上面的积分表示． 如果将被积函数中的整数n改为任意复数ν，这样得到的并不是函数Jν(x)的积分表 示． 5. 如果在生成函数表达式中令t = ieiθ，还可以得到 e ix cos θ = X∞ n=−∞ Jn(x)in e inθ = J0(x) + X∞ n=1 h i n Jn(x)einθ + J−n(x)i−n e −inθi = J0(x) + X∞ n=1 h i n Jn(x)einθ + (−) n i −n Jn(x)e−inθi = J0(x) + 2 X∞ n=1 i n Jn(x) cos nθ. 特别是，如果再令x = kr，于是就有 e ikr cos θ = J0(kr) + 2 X∞ n=1 i n Jn(kr) cos nθ. 把上式中的r和θ理解为柱坐标系中的坐标变量，并且把k理解为波数，同时取相位的时间因 子为e −iωt，则上式两端都分别对应于波动过程相位因子的空间部分：左端是沿正x轴方向传
171 Bessel函数的基本性质 第4页 播①的平面波,因为它的等相位面是 kr cos6-ut=常数 而右端各项中的J0(kr)和Jn(kr)描述的是柱面波(理由见下面的性质8).因此,这个展开式的意 义就是平面波按柱面波展开 以上介绍的都是整数阶 Bessel函数的性质.下面再介绍几个性质,对任意阶 Bessel函数都 成立 6. Bessel函数J(x)和J-(x)的 Wronsk行列式 Jv(a)J-v(a) W[J(x),J-u(x)≡ sin丌 Jy(a) J-v(a) 证根据 Bessel方程 r dr de 1 d r d J-p(x)=0 以xJ-(x),xJ(x)分别乘这两个方程,相减即得 j_(d dJv(a-j,(a da[da d dJ-v(a) {x[-()()-J()J-()}=0 所以 )J-v(r)-J-v(a)Jl(r)=WJ, 积分常数C就是J(x)J(x)-J-u(x)J(x)中x-1项的系数 2k+1 上HI(++1) (u+1) (u+2)(2 J(x)=r(v+1)2 r(u+2)2 () k!r(k-+1) (_+1) (-+1)2(2 ①传播方向当然与相位的时间因子的规定有关.如果取时间因子为e,那么这个平面波就是向负x轴方向传播
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 4 页 播①的平面波，因为它的等相位面是 kr cos θ − ωt = 常数; 而右端各项中的J0(kr)和Jn(kr)描述的是柱面波(理由见下面的性质8)．因此，这个展开式的意 义就是平面波按柱面波展开． 以上介绍的都是整数阶Bessel函数的性质．下面再介绍几个性质，对任意阶Bessel函数都 成立． 6. Bessel函数Jν(x)和J−ν(x)的Wronski行列式 W [Jν(x), J−ν(x)] ≡ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Jν(x) J−ν(x) J 0 ν(x) J0 −ν(x) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − 2 πx sin πν. 证 根据Bessel方程 1 x d dx · x dJν(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ Jν(x) = 0, 1 x d dx · x dJ−ν(x) dx ¸ + · 1 − ν 2 x2 ¸ J−ν(x) = 0. 以xJ−ν(x), xJν(x)分别乘这两个方程，相减即得 J−ν(x) d dx · x dJν(x) dx ¸ − Jν(x) d dx · x dJ−ν(x) dx ¸ = d dx n x £ J−ν(x)J0 ν(x) − Jν(x)J0 −ν(x) ¤ o = 0. 所以 Jν(x)J0 −ν(x) − J−ν(x)J0 ν(x) ≡ W [Jν(x), J−ν(x)] = C x . 积分常数C就是Jν(x) J0 −ν(x) − J−ν(x) J0 ν(x)中x −1项的系数． Jν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) ³ x 2 ´2k+ν = 1 Γ (ν + 1) ³ x 2 ´ν − 1 Γ (ν + 2) ³ x 2 ´ν+2 + · · · J 0 ν(x) = 1 Γ (ν + 1) ν 2 ³ x 2 ´ν−1 − 1 Γ (ν + 2) ν + 2 2 ³ x 2 ´ν+1 + · · · J−ν(x) = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k − ν + 1) ³ x 2 ´2k−ν = 1 Γ (−ν + 1) ³ x 2 ´−ν − 1 Γ (−ν + 2) ³ x 2 ´−ν+2 + · · · J 0 −ν(x) = 1 Γ (−ν + 1) −ν 2 ³ x 2 ´−ν−1 − 1 Γ (−ν + 2) −ν + 2 2 ³ x 2 ´−ν+1 + · · · ①传播方向当然与相位的时间因子的规定有关．如果取时间因子为e iωt，那么这个平面波就是向负x轴方向传播 的．
171 Bessel函数的基本性质 因此 1 C r(u+1)2r(-+1)2-r(-u+1)2-r(u+1)2 r(u+1)r(-+1)r(u)r(1-v) 所以就证得 W[(x),J-(x) ★当〃≠整数时,W[J-(x),J-(x≠0,J(x)和J-(x)线性无关 ★当v=整数n时,W[Jn(x),J-n(x)=0,Jn(x)和J-n(x)线性相关 7. Bessel函数J(x)和J-(x)的递推关系 xJ(x)]=x"J-1(x), dnx-“J(x)=-x-J+(x) 证直接从 Bessel函数的级数表达式出发.由于级数在全平面收敛,所以可以逐项微商 d d d(2=xkI(k+u+1)2 HT(+D)2+ r Jv-1aL 这就是第一式.同样 a[-J(]-= k!r(k++1) 92k+D (k-1)1(k++1)2k+ k!r(k+u+2)22k+u+1 I Ju+1(a) 这样就又证明了第二式.口 从这两个递推关系中消去J(x)或J(x),又可以得到两个新的递推关 J-1(x)-J+1(x)=2J(x) J-1(x)+J+1(x)=-J(x)
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 5 页 因此 C = 1 Γ (ν + 1) 1 2 ν · 1 Γ (−ν + 1) −ν 2−ν − 1 Γ (−ν + 1) 1 2−ν · 1 Γ (ν + 1) ν 2 ν = − 2ν Γ (ν + 1) Γ (−ν + 1) = − 2 Γ (ν) Γ (1 − ν) = − 2 π sin πν. 所以就证得 W [Jν(x), J−ν(x)] = − 2 πx sin πν. F 当ν 6=整数时，W [Jν(x), J−ν(x)] 6= 0，Jν(x)和J−ν(x)线性无关； F 当ν = 整数 n时，W [Jn(x), J−n(x)] = 0，Jn(x)和J−n(x)线性相关． 7. Bessel函数Jν(x)和J−ν(x)的递推关系 d dx [x ν Jν(x)] = x ν Jν−1(x), d dx £ x −ν Jν(x) ¤ = −x −ν Jν+1(x). 证 直接从Bessel函数的级数表达式出发．由于级数在全平面收敛，所以可以逐项微商． d dx [x ν Jν(x)] = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k+2ν 2 2k+ν = X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν) x 2k+2ν−1 2 2k+ν−1 = x ν Jν−1(x). 这就是第一式．同样， d dx h x −ν Jν(x) i = d dx X∞ k=0 (−) k k! Γ (k + ν + 1) x 2k 2 2k+ν = X∞ k=1 (−) k (k − 1)! Γ (k + ν + 1) x 2k−1 2 2k+ν−1 = X∞ k=0 (−) k+1 k! Γ (k + ν + 2) x 2k+1 2 2k+ν+1 = − x −ν Jν+1(x). 这样就又证明了第二式． 从这两个递推关系中消去Jν(x)或J 0 ν(x)，又可以得到两个新的递推关系： Jν−1(x) − Jν+1(x) = 2J0 ν(x), Jν−1(x) + Jν+1(x) = 2ν x Jν(x).
171 Bessel函数的基本性质 第6页 特别是,令u=0 8. Bessel函数的渐近展开. Bessel函数的渐近展开有两种基本的类型.一种适用于x→ Ju(r) r(+1)(2)+ 这可以直接由 Bessel函数的级数表达式得到.另一种渐近展开适用于x→∝ J()~V∞(x-2-2),1mg科-1或为整数时,Jl(x)有无穷多个零点,它们全部都 是实数,对称地分布在实轴上 关于J(x)零点的存在性,这里不证 只证明后两个结论.而且不必讨论负整数阶的 Bessel函数 所以,只需讨论>一1的情形 ★J(x)的零点不可能是纯虚数,因为当x是纯虚数时,J(x)的无穷级数表示是一个正项级 数,级数和不可能为0
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 6 页 特别是，令ν = 0， J 0 0(x) = −J1(x). 8. Bessel函数的渐近展开．Bessel函数的渐近展开有两种基本的类型．一种适用于x → 0， Jν(x) = 1 Γ (ν + 1) ³ x 2 ´ν + O ³ x ν+2´ . 这可以直接由Bessel函数的级数表达式得到．另一种渐近展开适用于x → ∞， Jν(x) ∼ r 2 πx cos ³ x − νπ 2 − π 4 ´ , | arg x| −1或为整数时，Jν(x)有无穷多个零点，它们全部都 是实数，对称地分布在实轴上． 关于Jν(x)零点的存在性，这里不证． 只证明后两个结论．而且不必讨论负整数阶的Bessel函数． 所以，只需讨论ν > −1的情形． F Jν(x)的零点不可能是纯虚数，因为当x是纯虚数时，Jν(x)的无穷级数表示是一个正项级 数，级数和不可能为0．
171 Bessel函数的基本性质 ★设a是J(x)的一个零点,即J(a)=0,则a的复共轭a*也一定是J(x)的零点 J(a*)=[J(a)=0. 即J(ax)和J(ax)均以x=1为零点.它们分别满足方程 1 d[dJv(a2+ r dr J(ar)=0, l dJv(aa) n-J (a'x)= 将两个方程分别乘以xJ(a*x)和xJ(ax),相减,再在区间0,1上积分,即得 rJv(ar)Jv(a .)dr -Jm(o' dJv(azl-JvardJ(ar)ll=0 由于 rJ(a)Jv(ar)=rJ(ar)1220, 且不恒为0,所以当>-1时,积分 J(ax)J(a,x)dx≠0 这样就证得 即a2是实数 ★这时有两个可能 a2≥0即a为实数 a2<0即a为纯虚数, 但由于a不可能为纯虚数,所以a一定是实数 ★一旦J(a)=0,则由J(x)的级数表达式可以看出,也一定有JL(-a)=0.所以J(x)的 零点对称地分布在实轴上.口 更进一步,根据递推关系和Roll定理,就可以知道J(x)的相邻的两个零点之间,必定 有J士1(x)的一个零点
§17.1 Bessel函数的基本性质 第 7 页 F 设α是Jν(x)的一个零点，即Jν(α) = 0，则α的复共轭α ∗也一定是Jν(x)的零点， Jν(α ∗ ) = [Jν(α)]∗ = 0. 即Jν(αx)和Jν(α ∗x)均以x = 1为零点．它们分别满足方程 1 x d dx · x dJν(αx) dx ¸ + · α 2 − ν 2 r 2 ¸ Jν(αx) = 0, 1 x d dx · x dJν(α ∗x) dx ¸ + · α ∗2 − ν 2 r 2 ¸ Jν(α ∗ x) = 0. 将两个方程分别乘以xJν(α ∗x)和xJν(αx)，相减，再在区间[0, 1]上积分，即得 ³ α 2 − α ∗2 ´ Z 1 0 xJν(αx)Jν(α ∗ x)dx = −x · Jν(α ∗ x) dJν(αx) dx − Jν(αx) dJν(α ∗x) dx ¸¯¯ ¯ ¯ 1 0 = 0. 由于 xJν(αx)Jν(α ∗ x) = x |Jν(αx)| 2 ≥ 0, 且不恒为0，所以当ν > −1时，积分 Z 1 0 xJν(αx)Jν(α ∗ x)dx 6= 0, 这样就证得 α 2 = α ∗2 , 即α 2是实数． F 这时有两个可能： α 2 ≥ 0 即α为实数 和 α 2 < 0 即α为纯虚数， 但由于α不可能为纯虚数，所以α一定是实数． F 一旦Jν(α) = 0，则由Jν(x)的级数表达式可以看出，也一定有Jν(−α) = 0．所以Jν(x) 的 零点对称地分布在实轴上． 更进一步，根据递推关系和Rolle定理，就可以知道Jν(x)的相邻的两个零点之间，必定 有Jν±1(x)的一个零点．
§172 Neumann 第8页 172 Neuman函数 ★Bese方程的两个解J±v(x)当v≠整数时是线性无关的, WJ,(r),J-v(a) 2 sIn Tv, 方程的通解可以表示为J±u(x)的线性组合; ★当〃=整数n时,J±n(x)是线性相关的,因此还需要重新求出方程的第二解 ★从原则上来说,最基本的办法是取第二解为含对数项的正则解,代入方程定系数 ★比较巧妙的办法是当υ≠整数时,把第二解也不是简单地取为J-n(x),而是仍然取 为J±(x)的线性组合.完全可以适当地选择组合系数,例如取 2(x)=d()-1=(, 就一定有 WJ(,()=2 这样,即使v→整数n,y2(x)仍然与Jn(x)线性无衣xx ★当〃→整数n时,解式y(x)的分母 sIn VaT→0,因此还必须适当选择另一个组合系数c, 使得y2(x)的分子也变为0,解式才可能有意义 ★考虑到 J-n(a)=(-"Jn(a)=cos nTN(a), 故可取c= COS VT 这样就定义了 Neumann函数① (x) 不论v是否为整数,它总可以取为 Bessel方程的第二解. 整数阶的 Neuman函数Nn(x),应该理解为u→n时N(x)的极限 Nn(a)= lim coS vT Jv(a)-J-v(a slnU丌 aJv(a) ()naJ-v(a) v-n Jn(r)In (n+6Ap(n+k+1) 2k+n +ψ(k+1) ①在有的文献中也写作Yv(x
§17.2 Neumann 函数 第 8 页 §17.2 Neumann 函数 F Bessel方程的两个解J±ν(x)当ν 6= 整数时是线性无关的， W [Jν(x), J−ν(x)] = − 2 πx sin πν, 方程的通解可以表示为J±ν(x)的线性组合； F 当ν = 整数 n时，J±n(x)是线性相关的，因此还需要重新求出方程的第二解． F 从原则上来说，最基本的办法是取第二解为含对数项的正则解，代入方程定系数． F 比较巧妙的办法是当ν 6= 整数时，把第二解也不是简单地取为J−ν(x)，而是仍然取 为J±ν(x)的线性组合．完全可以适当地选择组合系数，例如取 y2(x) = cJν(x) − J−ν(x) sin νπ , 就一定有 W [Jν(x), y2(x)] = 2 πx . 这样，即使ν → 整数n，y2(x)仍然与Jn(x)线性无关． F 当ν → 整数n时，解式y2(x)的分母sin νπ → 0，因此还必须适当选择另一个组合系数c， 使得y2(x)的分子也变为0，解式才可能有意义． F 考虑到 J−n(x) = (−) n Jn(x) = cos nπJn(x), 故可取c = cos νπ． 这样就定义了Neumann函数① Nν(x) = cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ , 不论ν是否为整数，它总可以取为Bessel方程的第二解． 整数阶的Neumann函数Nn(x)，应该理解为ν → n时Nν(x)的极限． Nn(x) = limν→n cos νπ Jν(x) − J−ν(x) sin νπ = 1 π · ∂Jν(x) ∂ν − (−) n ∂J−ν(x) ∂ν ¸ ν=n = 2 π Jn(x) ln x 2 − 1 π nX−1 k=0 (n − k − 1)! k! ³ x 2 ´2k−n − 1 π X∞ k=0 (−) k k! (n + k)! £ ψ(n + k + 1) + ψ(k + 1)¤ ³ x 2 ´2k+n , | arg x| < π. ①在有的文献中也写作Yν(x)．
§172 Neumann 第9页 并且约定,当n=0时要去掉右端第二项的有限和 当x→0,Rev>0时,N(x)的渐近行为完全由J-p(x)决定 T(v) 而对于No(x No(a)N-In 所以,不论v是否为整数,Nu(x)在x=0点都是发散的 当x→∞时, Neumann函数的渐近表达式是 Nv(r) sin(= argr<丌 因此,N(x)也可以用来描写柱面波,同样也是发散的柱面波和会聚的柱面波的叠加 Nu(x)的递推关系的形式和 Bessel函数完全相同 d x"N(x)=xN-1(x), xN(x)]=-xN+1(x) Bessel函数又称为第一类柱函数, Neumann函数又称为第二类柱函数 No(x),N1(x)和N2(x)的图形见图172 图172 Neumann函数 在历史上, Hankel也曾把 Bessel程的第二解取为 J(x)-(-)2J-(2) mJ(2)-(-)J-(2)=lim[(2)-n(2-(-)yJ-(2)-J-n(2) 0J(z) ( Watson,§3.5)
§17.2 Neumann 函数 第 9 页 并且约定，当n = 0时要去掉右端第二项的有限和． 当x → 0, Re ν > 0时，Nν(x)的渐近行为完全由J−ν(x)决定， Nν(x) ∼ − Γ (ν) π ³ x 2 ´−ν . 而对于N0(x)， N0(x) ∼ 2 π ln x 2 . 所以，不论ν是否为整数，Nν(x)在x = 0点都是发散的． 当x → ∞时，Neumann函数的渐近表达式是 Nν(x) ∼ r 2 πx sin ³ x − νπ 2 − π 4 ´ , | arg x| < π. 因此，Nν(x)也可以用来描写柱面波，同样也是发散的柱面波和会聚的柱面波的叠加． Nν(x)的递推关系的形式和Bessel函数完全相同． d dx [x νNν(x)] = x νNν−1(x), d dx £ x −νNν(x) ¤ = −x −νNν+1(x). Bessel函数又称为第一类柱函数，Neumann函数又称为第二类柱函数． N0(x), N1(x)和N2(x)的图形见图17.2． 图17.2 Neumann函数 在历史上，Hankel也曾把Bessel方程的第二解取为 Jν(z) − (−) n J−ν(z) ν − n . 当ν → n时 limν→n Jν(z) − (−) n J−ν(z) ν − n = limν→n · Jν(z) − Jn(z) ν − n − (−) n J−ν(z) − J−n(z) ν − n ¸ = · ∂Jν(z) ∂ν − (−) n ∂J−ν(z) ∂ν ¸ ν=n = π Nn(z). (Watson, § 3.5)