第二章解析函数 说明 ★本章计划讲授学时:4 ★§1.7为教学参考资料,不讲授
✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 4 F §1.7 ☛☞✟✌✍✎ ✏ ✑✒✝✞
第二章解析函数 第1页 第二章解析函数 §2.1导数、微商与微分 导数设w=f(z)是区域G内的单值函数,如果在G内的某点z, lim△=lim f(z+△z)-f(z) 20z4 △z 存在,则称函数f(z)在z点可导 此极限值,记为f(2),即称为f(2)在z点的导数 如果函数w=f(z)在z点的改变量△w=f(+△z)-f(z)可以写成 △w=A(z)△z+p(z) 其中 lim(42)=0 △z→0 则称w=f(z)在z点可微,△w的线性部分A(z)△z称为函数w在z点的微分,记作 dw= A()dz, 其中约定dz=△z 容易证明,如果函数w=f(z)在z点可导,则一定在该点可微,反之亦然.并且A(z)=f(z), 即 d=f()dz或=f( 因此导数也称作微商 所谓lim(△w/△z)存在,就意味着△z以任意方式趋于0时,△△都趋于同样的有限值 反过来说,如果当△以不同方式趋于0,△w/△趋于不同的值的话,则im(w)是不存 在的 特别是,考虑△z→0的两种特殊方式,就以得到函数可导的必要条件 △x→0,△y=0, △w △u+i△vuv f(2)=2=xa+ ·△x=0,△y→0, △u+i△Av avou ()= lim =limo iAy ay △→0△z△y→ =-i 因此 u=u,0u=- au
✁✂ ✄☎✆✝ ✞ 1 ✟ ✠✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ §2.1 ✏✑✒✓✔✕✓✖ ✗✘ ✙ w = f(z) ✚✛✜ G ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫ G ✢✣✬✭ z ★ lim ∆z→0 ∆w ∆z = lim ∆z→0 f(z + ∆z) − f(z) ∆z ✮ ✫★✯✰✦✧ f(z) ✫ z ✭✱✲✳ ✴✵✶✥★✷✸ f 0 (z) ★✹✰✸ f(z) ✫ z ✭✣✲✧✳ ✩✪✦✧ w = f(z) ✫ z ✭✣✺✻✼ ∆w = f(z + ∆z) − f(z) ✱✽✾✿ ∆w = A(z)∆z + ρ(∆z), ❀ ❁ lim ∆z→0 ρ(∆z) ∆z = 0, ✯✰ w = f(z) ✫ z ✭ ❂❃ ★ ∆w ✣❄❅❆❇ A(z)∆z ✰✸✦✧ w ✫ z ✭✣ ❃❈ ★✷❉ dw = A(z)dz, ❀ ❁❊❋ dz = ∆z ✳ ●❍■ ❏★✩✪✦✧ w = f(z) ✫ z ✭✱✲★✯❑❋ ✫▲✭✱▼★◆❖P◗✳ ❘❙ A(z) = f 0 (z) ★ ✹ dw = f 0 (z) dz ❚ dw dz = f 0 (z). ❯✴ ✲✧❱✰❉ ❃❲ ✳ ❳❨ lim ∆z→0 (∆w/∆z) ❩❬★❭❪❫❴ ∆z ❵❛❪❜❝❞❡ 0 ❢★∆w/∆z ❣❞❡ ❤✐❥❦❧♠✳ ♥♦♣q★rs t ∆z ❵✉ ❤❜❝❞❡ 0 ★ ∆w/∆z ❞❡✉ ❤❥♠❥✈★✇ lim ∆z→0 (∆w/∆z) ①✉❩ ❬ ❥ ✳ ②③✚★④⑤ ∆z → 0 ✣⑥⑦②⑧⑨⑩★❶✱✽❷❸ ❹ ✘ ❂ ✗❺❻❼❽❾ ✳ • ∆x → 0 ★ ∆y = 0 ★ f 0 (z) = lim ∆z→0 ∆w ∆z = lim ∆x→0 ∆u + i∆v ∆x = ∂u ∂x + i ∂v ∂x; • ∆x = 0 ★ ∆y → 0 ★ f 0 (z) = lim ∆z→0 ∆w ∆z = lim ∆y→0 ∆u + i∆v i∆y = ∂v ∂y − i ∂u ∂y . ❯✴ ∂u ∂x = ∂v ∂y , ∂u ∂y = − ∂v ∂x
§21导数、徵商与微分 这两个方程称为 Cauchy- Riemann方程 Cauchy- Riemann方程,是函数可导的必要条件,但不是充分条件.但是,可以证明, 如果∫(a)=u(x,y)+i(x,y)的实部u(x,y)和虛部υ(x,y)均可微①,且满足 Cauchy Riemann方程,则函数f(z)可导 和实数情形一样, ·如果函数f(2)在z点可导,则在z点必连续; ·但是函数在某点连续,并不能推出函数在该点可导 ·甚至有这样的情况:函数在某区域内处处连续,却处处不可导 导数的定义在形式上和实数中一样,只是把自变量x换成了z.因此,在高等数学中的各种求导 数的公式都可以搬用到复数中来.例如 0.1.2. ①即四个偏导数au/Ox,au/0y,a/ax和au/ay存在且连续
§2.1 ❿ ✝➀➁➂➃➁➄ ✞ 2 ✟ ➅ ⑥➆⑨➇✰✸ Cauchy-Riemann ⑨➇✳ Cauchy-Riemann ⑨➇★✚✦✧✱✲✣➈➉➊➋★➌➍✚➎❇➊➋✳➌✚★✱✽■ ❏★ rs f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ❥ ➏➐ u(x, y) ➑➒➐ v(x, y) ➓➔→➣ ★↔↕➙ CauchyRiemann ❜➛★✇➜➝ f(z) ➔➞✳ ➟➠✧➡➢❑➤★ • ✩✪✦✧ f(z) ✫ z ✭✱✲★✯✫ z ✭➈➥➦➧ • ➌✚✦✧✫✬✭➥➦★❘ ➍➨➩➫✦✧✫▲✭✱✲✳ • ➭➯➲➅ ➤✣➡➳➵✦✧✫✬✛✜ ✢➸➸➥➦★➺➸➸➍✱✲✳ ✲✧✣❋➻✫➢⑩➼➟➠✧ ❁ ❑➤★➽✚➾ ➚✻✼ x ➪✿➶ z ✳ ❯✴ ★✫➹➘✧➴ ❁ ✣➷⑦➬✲ ✧✣➮⑩➱✱✽✃❐❸❒✧ ❁❮✳❰✩ (z n ) 0 = nzn−1 , n = 0, 1, 2, · · · . ➣ ÏÐÑÒÓÔ ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x Õ ∂v/∂y Ö×ØÙÚÛ
3页 22解析函数 解析函数在区域G内每一点都可导的函数,称为G内的解析函数 在数学书籍中常把解析{ analytic)称作“全纯”( holomorphic).更早的文献中使用过的同义语 还有" chomodromic”(单值)、“ monogenic”(单演)、“ regular"(征正则)和“ synetic”等,这些术语原来 都是用来分别描写解析函数的某个特性,后来才认识到它们是互相等价的,因而很少再用 函数u=f(2)在G内解析的必要条件在G内处处满足 Cauchy- Riemann方程 1814年, Cauchy在讨论(实的)二重积分换序时得到了 Cauchy- Riemann方程,然而他并没有 把这些方程看成是(复)函数论的基础. Riemann是第一个要求d/dz的存在性是指△/△z的极 眼必须对于z+Δz趁近于z的每一条途径都相同的人,他认识到函数∫(z)=u+i在一点及其邻 域解析,如果它连续可嶶并且满足 Cauchy-Rieman方程 其实所谓的 Cauchy- lemani方程,更早就曾经出现在d' Alembert关于流体理论的著作中(1752 年),在 Euler(177年)和 Lagrange的著作中也出现过, 解析函数的实部和虚部不是独立的. Cauchy- Riemann方程反映了解析函数的实部与虚部之 间的联系.例如,因为 dr + ody dz ody 是全微分,因此,由解析函数的实部u(x,y),通过积分 可以唯一地(可差一个可加常数)确定虚部v(x,y) 同样,已知解析函数的虚部υ(x,引),也可以唯一地(也是可差一个可加常数)确定其实部 例21已知v(x,y)=x2-y2,求f(z) 解xxy=2(vdx+dy),所以v=2xy+C f(2)=(x2-y2)+i(2xy+C)=2+iC 另解在u(x,y)中直接代入 而后将u(x,y)化成[f(2)+f”(2)2的形式 u(, y)= 同样也能求出f(2)=2+iC
✁✂ ✄☎✆✝ ✞ 3 ✟ §2.2 Ü Ý Þ ✑ ßà❹ ✘ ✫✛✜ G ✢á❑✭➱ ✱✲✣✦✧★✰✸ G ✢✣âã✦✧✳ ❬➝ äåæ çèéêë (analytic) ìí î ïðñ (holomorphic) ✳ òó❥ôõ çö÷♦❥ ❤øù ú❦ “homodromic”(û ♠ ) ü “monogenic” (ûý) ü “regular”(þ✇) ➑ “synetic” ÿ✳✁✂ù✄♣ ❣①÷♣☎✆✝ ✞êë➜➝❥ ✟✠✡☛★☞ ♣ ✌✍✎✏✑✒①✓✔ÿ✕ ❥ ★✖✗✘ ✙✚÷✳ ❹ ✘ w = f(z) ✛ G ✜ ßà❺❻❼❽❾ ✫ G ✢➸➸✢✣ Cauchy-Riemann ⑨➇✳ 1814 ✤★ Cauchy ❬✥✦ (➏❥) ✧★✩☎✪✫❢✬ ✏ ✭ Cauchy-Riemann ❜➛★ ✮ ✗✯✰✱❦ é✁❜➛✲✳① (✴) ➜➝✦ ❥✵✶✳ Riemann ① ✷✸✠✹✺ dw/dz ❥ ❩❬☛ ①✻ ∆w/∆z ❥✼ ❧✽✾✿❡ z + ∆z ❞❀❡ z ❥❁ ✸❂❃❄❣✔ ❤❥❅ ✳✯ ✍✎✏➜➝ f(z) = u + iv ❬✸❆❇❈❉ ❊ êë★rs✑❋●➔→✰↔↕➙ Cauchy-Riemann ❜➛✳ ❈ ➏❳❨❥ Cauchy-Riemann ❜➛★ òó❭ ❍■ ❏❑ ❬ d’Alembert ▲❡▼◆❖✦ ❥P í ç(1752 ✤) ✳❬ Euler(1777 ✤) ➑ Lagrange ❥P í ç◗ ❏❑♦ ✳ âã✦✧✣➠ ❆ ➟❘ ❆➍✚❙❚✣✳ Cauchy-Riemann ⑨➇◆❯ ➶âã✦✧✣➠ ❆❱ ❘ ❆ ❖ ❲ ✣❳❨✳❰✩★❯ ✸ dv = ∂v ∂xdx + ∂v ∂y dy = − ∂u ∂y dx + ∂u ∂xdy ✚❩▼❇★❯✴ ★❬âã✦✧✣➠ ❆ u(x, y) ★❭❪❫❇ Z (x,y) − ∂u ∂y dx + ∂u ∂xdy , ✱✽❴❑❵ (✱❛❑➆✱❜❝✧) ❞ ❋❘ ❆ v(x, y) ✳ ❡ ➤★❢❣âã✦✧✣❘ ❆ v(x, y) ★❱✱✽❴❑❵ (❱✚✱❛❑➆✱❜❝✧) ❞ ❋❀➠ ❆ u(x, y) ✳ ❤ 2.1 ❢❣ u(x, y) = x 2 − y 2 ★➬ f(z) ✳ ß dv = − ∂u ∂y dx + ∂u ∂xdy = 2(ydx + xdy) ★✐✽ v = 2xy + C ★ f(z) = x 2 − y 2 + i(2xy + C) = z 2 + iC. ❥ß ✫ u(x, y) ❁❦❧♠♥ x = z + z ∗ 2 , y = z − z ∗ 2i , ♦♣q u(x, y) r✿ [f(z) + f ∗ (z)]/2 ✣➢⑩ ★ u(x, y) = z + z ∗ 2 2 − z − z ∗ 2i 2 = 1 2 z 2 + z 2 ∗ , ❡ ➤❱➨➬➫ f(z) = z 2 + iC ✳
(一定能够!为什么?否则,说明什么问题?) 解析函数的实部、虚部之间的这种互相依赖关系,还可以形象化表现出来.如果在平面上作 族曲线,u(x,y)=常数,那么,这一族曲线的切线的方向矢量便是(Ou/0y,-0u/Ox).同样,再作 族曲线,v(x,y)=常数,它们的切线的方向矢量当然也就是(/0y,-0/0x).由 Cauchy-Riemann 方程,可以求得这两族方向矢量之间的标积 auauau du dy dy ax dr 这表明,这两族曲线是互相正交的.图2.1中给出了两个这样的例子.它们分别是函数u=2和 1/2.图中的粗实线表示实部u(x,y)=常数,细实线表示虚部v(x,y)=常数 图2.1 ★任意一个二元函数,是否都可以用来作解析函数的实部或虚部呢? 回答是否定的.32节中将证明,作为解析函数的实部和虚部,u(x,y)和v(x,y),它们的二 阶偏导数一定存在并且连续,因此,根据 cauchy- Riemann方程,有 a-u a au a2v dr2 dr dy drdy y2 ay(ar a. ax( dy a2u a au a2u y2 dy dr drdy 这说明,u(x,y)和v(x,y)都必须满足二维 Laplace方程 dxr28n2=0, x2+a2=0 即解析函数的实部和虚部都必须是调和函数
§2.2 ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 4 ✟ (✸st✉ ✈ ✇① ② ③④ ✇★q ⑤① ②⑥⑦ ③ ) âã✦✧✣➠ ❆ü❘ ❆ ❖❲ ✣ ➅ ⑦⑧⑨⑩❶❷❨★ ❸ ✱✽➢❹r❺❻➫ ❮ ✳✩✪✫❼❽➼ ❉❑ ❾ ❿❄★u(x, y) = ❝✧ ★ ➀➁★ ➅ ❑ ❾ ❿❄✣➂❄✣⑨ ➃➄ ✼➅✚ (∂u/∂y, −∂u/∂x) ✳ ❡ ➤★➆ ❉❑ ❾ ❿❄★v(x, y) = ❝✧ ★ ➇➈✣➂❄✣⑨ ➃➄ ✼➉ ◗ ❱❶✚ (∂v/∂y, −∂v/∂x) ✳❬ Cauchy-Riemann ⑨➇★✱✽➬❷➅ ⑥ ❾⑨ ➃➄ ✼ ❖❲ ✣➊❫ ∂u ∂y , − ∂u ∂x ∂v/∂y −∂v/∂x = ∂u ∂y ∂v ∂y + ∂u ∂x ∂v ∂x = 0. ➅ ❺ ❏ ★ ➅ ⑥ ❾ ❿❄✚⑧⑨➋➌✣✳➍ 2.1 ❁➎ ➫➶⑥➆➅ ➤✣❰➏✳ ➇➈❇ ③ ✚✦✧ w = z 2 ➟ w = 1/z2 ✳➍ ❁ ✣➐ ➠ ❄❺➑➠ ❆ u(x, y) = ❝✧ ★➒ ➠ ❄❺➑❘ ❆ v(x, y) = ❝✧ ✳ ➓ 2.1 F ➔→➣↔↕➙❹ ✘ ★➛➜➝❂➞➟➠➡ßà❹ ✘❺➢➤➥➦➤➧ ③ ➨➩✚➫ ❋ ✣✳ 3.2 ➭ ❁q■ ❏★❉✸âã✦✧✣➠ ❆ ➟❘ ❆★ u(x, y) ➟ v(x, y) ★ ➇➈✣➯ ➲➳✲✧❑❋✮✫ ❘❙➥➦★❯✴ ★➵➸ Cauchy-Riemann ⑨➇★➲ ∂ 2u ∂x2 = ∂ ∂x ∂v ∂y = ∂ 2v ∂x∂y , ∂ 2u ∂y2 = ∂ ∂y − ∂v ∂x = − ∂ 2v ∂x∂y , ∂ 2v ∂x2 = ∂ ∂x − ∂u ∂y = − ∂ 2u ∂x∂y , ∂ 2v ∂y2 = ∂ ∂y ∂u ∂x = ∂ 2u ∂x∂y . ➅➺ ❏ ★ u(x, y) ➟ v(x, y) ➱ ➈➻✢✣➯➼ Laplace ⑨➇ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, ∂ 2v ∂x2 + ∂ 2v ∂y2 = 0. ✹âã✦✧✣➠ ❆ ➟❘ ❆ ➱ ➈➻✚➽ ➟ ✦✧✳
第5页 函数的解析性,是一个很高的要求,这表现为解析函数具有一系列的重要性质.讨论解析函 数的各种特殊性质,就是复变函数论的中心课题 函数的解析性,总是和一定的区域联系在一起的 函数在某点解析”,应理解为函数在该点及其邻域内处处可导 如果 个函数在某点20无定义, ·或者在20虽有定义但不可导, 或者在20虽可导但不解析 则20称为函数的奇点.例如,z=0就是函数=1/z的奇点 如果要讨论函数f(2)在z=∞点是否解析,则需作变换t=1/z,然后讨论函数f(1/t)在 t=0点是否解析即可
✁✂ ✄☎✆✝ ✞ 5 ✟ ✦✧✣âã❅★✚❑➆➾➹✣➉➬★➅ ❺❻✸âã✦✧➚➲❑❨➪✣➶➉❅➹✳➘➴âã✦ ✧✣➷⑦②⑧❅➹★❶✚❒✻✦✧➴✣ ❁➷➬➮✳ ✦✧✣âã❅★➱✚ ➟ ❑ ❋ ✣✛✜❳❨✫❑✃✣✳ î✦✧✫✬✭âãñ ★❐❒â✸✦✧✫▲✭❮ ❀❰ ✜ ✢➸➸✱✲✳ ✩✪ • ❑➆✦✧✫✬✭ z0 Ï ❋➻★ • ❚Ð✫ z0 Ñ➲ ❋➻➌➍✱✲★ • ❚Ð✫ z0 Ñ✱✲➌➍âã★ ✯ z0 ✰✸✦✧✣Ò✭✳❰✩★ z = 0 ❶✚✦✧ w = 1/z ✣Ò✭✳ ✩✪➉➘➴✦✧ f(z) ✫ z = ∞ ✭✚➫âã★✯Ó❉✻➪ t = 1/z ★ ◗♣ ➘➴✦✧ f(1/t) ✫ t = 0 ✭✚➫âã✹✱✳
823初等函数 ★幂函数zn ★指数函数e ★三角函数sinz,cosz ★双曲函数 sinh z, cosh z 它们都可以看成是相应实变函数在复数域中的推广 如何将相应实变函数推广到复数域 ·这些函数的解析性 ·这些函数作为复变函数所特有的性质 幂函数zn ·当n=0.,1,2,…时,zn在全平面解析,且当n=1,2,…时,z=∞是奇点 当n=-1,-2,-3,……时,zn除z=0外处处解析,在z=∞也解析 ★指数函数e2 e2=etly=e"(cosy +isin y) 指数函数实部 指数函数虚部
§2.3 Ô Õ ✆ ✝ ✞ 6 ✟ §2.3 Ö × Þ ✑ F Ø✦✧ z n F Ù✧✦✧ e z F ÚÛ✦✧ sin z, cos z, · · · F Ü ❿ ✦✧ sinh z, cosh z,· · · F · · · · · · ➇➈➱ ✱✽Ý✿✚⑨❐➠ ✻✦✧✫❒✧✜ ❁ ✣➩Þ✳ • ✩ß q ⑨❐➠ ✻✦✧➩Þ❸❒✧✜ • ➅à ✦✧✣âã❅ • ➅à ✦✧❉✸❒✻✦✧✐ ② ➲✣❅➹ F á❹ ✘ z n • ➉ n = 0, 1, 2, · · · â★ z n ✫❩❼❽âã★❙ ➉ n = 1, 2, · · · â★ z = ∞ ✚Ò✭✳ • ➉ n = −1, −2, −3, · · · â★ z n ã z = 0 ä➸➸âã★✫ z = ∞ ❱âã★ (z n ) 0 = nzn−1 . F å ✘ ❹ ✘ e z e z = ex+iy = ex (cos y + i sin y). æ ÔçÔèé æ ÔçÔêé
二章解析函数 第7页 ·“指数函数相乘等于指数相加”这个运算法则,对于复指数函数仍然成立 e 1+iyiera+ig2= e1 e2.e iy1. ely 21+x2,e(+v2)=e(x1+x2)+i(v+y2)=e21+2 ·e2在全平面解析 (e2) ·e2在无穷远点无定义,例如,当z沿正实轴、负实轴或虚轴趋于∞时,e2逼近 不同的值.所以,z=∞是指数函数e2的奇点 ·复指数函数的特有性质:周期性,其周期为2mi [cos(y+ 27)+isin(y 27) e [cosy+ising]=er+iy=e2
✁✂ ✄☎✆✝ ✞ 7 ✟ • îÙ✧✦✧⑨ë➘ìÙ✧⑨❜ñ➅ ➆íîï✯★ðì❒Ù✧✦✧ñ ◗ ✿❚✳ e z1 · e z2 = ex1+iy1 · e x2+iy2 = ex1 · e x2 · e iy1 · e iy2 = ex1+x2 · e i(y1+y2) = e(x1+x2)+i(y1+y2) = ez1+z2 . • e z ✫❩❼❽âã★ (ez ) 0 = ez . • e z ✫Ïòó✭Ï ❋➻✳❰✩★➉ z ô➋➠õ ü ö➠õ ❚ ❘õ÷ì ∞ â★ e z øù ➍ ❡ ✣✥✳✐✽★ z = ∞ ✚Ù✧✦✧ e z ✣Ò✭✳ • ❒Ù✧✦✧✣② ➲❅➹➵úû❅★❀ úû✸ 2π i ★ e z+2π i = ex+i(y+2π) = ex [cos(y + 2π) + i sin(y + 2π)] = ex [cos y + i sin y] = ex+iy = ez
§23初等 三角函数sinz,cosz, 复三角函数sinz,cosz可以用复指数函数定义, 0 正弦函数实 正弦函数虚部 余弦函数实部 余弦函数虚部 sinz,cosz在全平面解析 (sin z)=cos a, (cos z)=-sin z ·z=∞是它们的唯一奇点 ·sinz和cosz都是周期函数,周期为2r ·sinz和cosz的模可以大于1 1.1752012 +e1 COSI =1.5430806…
§2.3 Ô Õ ✆ ✝ ✞ 8 ✟ F üý❹ ✘ sin z, cos z, · · · ❒ÚÛ✦✧ sin z, cos z ✱✽❐❒Ù✧✦✧❋➻★ sin z = e iz − e −iz 2i , cos z = e iz + e−iz 2 . þÿ çÔèé þÿ çÔêé ÿ çÔèé ÿ çÔêé • sin z, cos z ✫❩❼❽âã★ (sin z) 0 = cos z, (cos z) 0 = − sin z. • z = ∞ ✚ ➇➈✣❴❑Ò✭✳ • sin z ➟ cos z ➱ ✚úû✦✧★úû✸ 2π ✳ • sin z ➟ cos z ✣✁✱✽✂ì 1 ✳ i sin i = e −1 − e 1 2 = −1.1752012 · · ·, cos i = e −1 + e1 2 = 1.5430806 · · ·
9页 其他三角函数,tanz,cotz,secz,cscz可以用sinz和cosz定义,形式和实数解一样, CoU2= 0S2 sinz’secz= 根据这些定义,容易证明,实三角函数的各种恒等式对于复三角函数仍然成立 ★双曲函数 sinh 2, cosh z, 双曲函数 sinh z, cosh z也是通过复指数函数定义的 sinh cosh tanh z= cosh z sinh z sechz= ·双曲函数和三角函数可以互化 cosh z= cos iz. tanh 2=-itan iz. 因此,双曲函数的性质完全可以由三角函数推出 ·周期性,双曲函数 sinh z, cosh z的周期是2 ·导数公式 (sinh z)= cosh z,(cosh z)= sinh z,(tanh z)=sech'z
✁✂ ✄☎✆✝ ✞ 9 ✟ ❀✄ ÚÛ✦✧★ tan z, cot z,sec z, csc z ✱✽❐ sin z ➟ cos z ❋➻★➢⑩➟➠✧â❑➤★ tan z = sin z cos z , cot z = cos z sin z , sec z = 1 cos z , csc z = 1 sin z . ➵➸➅à❋➻★ ●❍■ ❏★ ➠ ÚÛ✦✧✣➷⑦☎➘ ⑩ ðì❒ÚÛ✦✧ñ ◗ ✿❚✳ F ✆✝❹ ✘ sinh z, cosh z, · · · Ü ❿ ✦✧ sinh z, cosh z ❱✚❭❪❒Ù✧✦✧❋➻✣✳ sinh z = e z − e −z 2 , cosh z = e z + e−z 2 , tanh z = sinh z cosh z , coth z = cosh z sinh z , sech z = 1 cosh z , csch z = 1 sinh z . • Ü ❿ ✦✧➟ ÚÛ✦✧✱✽⑧r sinh z = −i sin iz, cosh z = cos iz, tanh z = −i tan iz. ❯✴ ★Ü ❿ ✦✧✣❅➹✞❩✱✽ ❬ÚÛ✦✧➩➫✳ • úû❅★Ü ❿ ✦✧ sinh z, cosh z ✣úû✚ 2π i ➧ • ✲✧➮⑩ (sinh z) 0 = cosh z, (cosh z) 0 = sinh z, (tanh z) 0 = sech2 z