第十八章分离变量法总结 说明 ★本章计划讲授学时:4 ★关于内积空间及函数空间只作概念性的 简单介绍
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第十八章分离变量法总结 第1页 第十八章分离变量法总结 到现在为止,我们已经处理了几种典型的偏微分方程定解问题,介绍了求解这些定解问 题的一种有效方法,分离变量法.这种方法,当然有一定的适用条件,例如,要求方程和定解 条件都是线性的,因此定解问题的解具有叠加性.在第十四章中,我们曾经结合具体的求解过 程,分析了这种解法对于定解问题的要求.特别是,曾经指出(见14.1节)这种方法是否能够普 遍地应用于求解偏微分方程定解问题,在理论上,取决于下列几个问题 1.本征值问题是否一定有解,换句话说,在什么条件下,本征值问题一定有解; 2.定解问题的解是否一定可以按照某一组本征函数展开,换句话说,在什么条件下, 本征函数是完备的; 3.本征函数是否一定具有正交性 在这一章中,我们就要从理论上回答这几个问题,从而为分离变量法奠定一个坚实的理论基 础.当然,严格说来,这里介绍的也只是充分条件.在一般物理问题中,这些条件是能够满足 的
1lÙ ©lCþ{o( 1 1 1lÙ ©lCþ{o( y3§·®²?n A«;. ©§½)¯K§0 ¦)ù ½)¯ K«k{§©lCþ{©ù«{§,k½·^^§~X§¦§Ú½) ^Ñ´5§Ïd½)¯K)äkU\5©31oÙ¥§·Q²(ÜäN¦)L §§©Û ù«){éu½)¯K¦©AO´§Q²Ñ(14.1!)ù«{´ÄU Ê H/A^u¦) ©§½)¯K§3nØþ§ûueA¯Kµ 1. ¯K´Ä½k)§é{`§3o^e§ ¯K½k)¶ 2. ½)¯K)´Ä½±Uì,| ¼êÐm§é{`§3o^e§ ¼ê´¶ 3. ¼ê´Ä½äk5© 3ùÙ¥§·ÒlnØþ£ùA¯K§l ©lCþ{C½j¢nØÄ :©,§î`5§ùp0 ´¿©^©3Ôn¯K¥§ù ^´U ÷v ©
§181内积空 第2页 18.1内积空间 设在数域K上定义了n维矢量空间V,它的元素(矢量)用a,y,…表示,我们可以把三维 矢量空间中矢量的长度的概念推广到n维矢量空间.为此,先定义η维矢量的内积 对于实n维矢量空间(即K为实数域),在选定了一组基{ea,i=1,2,…,n}之后,空间中 的任意一个矢量m都可以用它在这一组基上的投影(坐标)x1,x2,…,xn表示 =1e1+x2e2+…+nen 对于空间中的矢量m和y,最常见的内积定义为 (x,y)=x1+x22+…+xnn=∑x孙 这是一个实数.显然有 (ay)=(叫和[(叫)≥0 并且,当且仅当=0时,才有(x,m)=0.在此基础上,就可以定义矢量c的长度|l‖l ,a)1/2 对于复n维矢量空间,如果仍保留上述内积定义,容易看出,这时的矢量长度就可能不是 实数.为了保持矢量长度仍是实数,不妨在保持长度定义的前提下,把内积定义修改为 (a, y)=Ti+a232+.+anyn i=1 其中r是x的复共轭.显然,在复矢量空间中 (ac 这样的内积概念显然是三维矢量的标积的简单推广.但还不够普遍和抽象,特别是矢量的 内积明显依赖于基的选取.我们当然需要从内积的各种可能定义中抽象出它的最本质的要素 从而给出一个公理化的内积定义(以后就称为内积公理) 定义1(定义在实数或复数域K上的)矢量空间中矢量a和y的内积(a,y)是它们的标量 值函数,满足 1 2.(aa+Bv,z)=a’(m,z)+β"(3,z),其中α和β是数域K上的标量; 3.对于任何,(a,a)≥0;当且仅当=0时,(a,a)=0. 例1若
§18.1 SÈm 1 2 §18.1 SÈm 3êKþ½Â n¥þmV §§ (¥þ)^x, y, · · · L«©·±rn ¥þm¥¥þÝVgí2n¥þm©d§k½Ân¥þSÈ© éu¢n¥þm(=K¢ê)§3À½ |Ä{ei, i = 1, 2, · · · , n}§m¥ ?¿¥þx ѱ^§3ù|ÄþÝK(I) x1, x2, · · · , xnL«§ x = x1e1 + x2e2 + · · · + xnen = Xn i=1 xiei. éum¥¥þxÚy§~SȽ (x, y) = x1y1 + x2y2 + · · · + xnyn = Xn i=1 xiyi. ù´¢ê©w,k (x, y) = (y, x) Ú (x, x) ≥ 0, ¿ § =x = 0§âk(x, x) = 0©3dÄ:þ§Ò±½Â¥þxÝkxk kxk = (x, x) 1/2 . éuEn¥þm§XJE3þãSȽ§N´wѧù¥þÝÒUØ´ ¢ê© ±¥þÝE´¢ê§Ø3±Ý½ÂcJe§rSȽÂ?U (x, y) = x ∗ 1y1 + x ∗ 2y2 + · · · + x ∗ nyn = Xn i=1 x ∗ i yi, Ù¥x ∗ i ´xiEÝ©w,§3E¥þm¥§ (x, y) = (y, x) ∗ . ùSÈVgw,´n¥þIÈ{üí2©Ø ÊHÚħAO´¥þ SȲw6uÄÀ©·,IlSÈ«U½Â¥Äѧ © l ÑúnzSȽÂ(±Ò¡SÈún)© ½Â1 (½Â3¢ê½EêKþ)¥þm¥¥þx ÚySÈ(x, y)´§Iþ ¼ê§÷vµ 1. (x, y) = (y, x) ∗¶ 2. (αx + βy, z) = α ∗ (x, z) + β ∗ (y, z)§Ù¥αÚβ ´êKþIþ¶ 3. éu?Ûx§(x, x) ≥ 0¶ =x = 0§(x, x) = 0© ~1 e x = x1 x2 . . . xn Ú y = y1 y2 . . . yn
§181内积空 第3页 是实数域上的列矢量,P为(给定的)对角矩阵,对角元Pa均为正实数,则可定义矢量c和y的 内积为 P110 T1,2 例2实变量t的所有复系数的多项式的集合,在多项式加法以及多项式和复数的乘法下 构成一个复矢量空间.不妨假设0≤t≤1.若x(t)和y(t)是此矢量空间中的两个矢量(即多项 式),则它们的内积可以定义为 (a, y)=/ r(t)y(t)p(c)dt 其中已知函数p(x)≥0且≠0 它的特殊情形是p(x)≡1 (a, y)=/a'(t)y(t)dt. 根据内积公理中的第1条要求,可以看出,不论是实的或复的矢量空间,一个矢 量和它自身的内积总是实数,这样第3条要求中的不等式才有意义 在此基础上,就把 称为矢量c的模(即矢量m的“长度” 从上面内积公理中的第1和第2条要求,可得 a, ay 因此 laz=(aa, az) /2=[aa"(a, x1/=lallarll 任何一个非零矢量除以它的模就成为“单位长度”的矢量,或称为归一化的矢量 (m=)=1 ★定义了内积的矢量空间称为内积空间 ★具有内积的实矢量空间称为欧几里德空间( Euclidean space) ★具有内积的复矢量空间称为酉空间( unitary space) 在建立了内积定义后,就可以引入矢量正交的概念
§18.1 SÈm 1 3 ´¢êþ¥þ§P (½)éÝ §éPii þ¢ê§K½Â¥þxÚy SÈ (x, y) = ³ x1, x2, · · · , xn ´ P11 0 · · · 0 0 P22 · · · 0 . . . . . . 0 0 · · · Pnn y1 y2 . . . yn . ~2 ¢Cþt¤kEXêõª8ܧ3õª\{±9õªÚEê¦{e ¤E¥þm©Øb0 ≤ t ≤ 1©ex(t)Úy(t)´d¥þm¥ü¥þ(=õ ª)§K§Sȱ½Â (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) ρ(x) dt, Ù¥®¼êρ(x) ≥ 0 6≡ 0© §AÏ/´ρ(x) ≡ 1§ (x, y) = Z 1 0 x ∗ (t) y(t) dt. âSÈún¥11^¦§±wѧØØ´¢½E¥þm§¥ þÚ§g SÈo´¢ê§ù13^¦¥Ø ªâk¿Â© 3dÄ:þ§Òr (x, x) 1/2 = kxk ¡¥þx (=¥þx/Ý0)© lþ¡SÈún¥11Ú12^¦§ (x, αy) = α(x, y). Ïd kαxk = (αx, αx) 1/2 = h αα ∗ (x, x) i1/2 = |α| kxk. ?Û"¥þر§ Ò¤/ü Ý0¥þ§½¡8z¥þ§ ³ x kxk , x kxk ´ = 1. F ½Â SÈ¥þm¡SÈm© F äkSÈ¢¥þm¡îApm(Euclidean space)¶ F äkSÈE¥þm¡jm(unitary space)© 3ïá SȽ§ұÚ\¥þVg©
§181内积空 第4页 ★当且仅当(a,y)=0时,两矢量a,y正交 ★零矢量和任何矢量都正交 ★任何一组线性无关矢量,都可通过标准步骤使之两两正交 设这组线性无关的矢量为{y1,y2,y,…},作线性组合 T2=y2+a211, 要求它们是两两正交的 (a1,m2)=(m1,y+a21m1) (c1,v2)+a21(c1,a1) (c1,m3)=(a1,+a3c+a32m2 0. (c2,c3)=(m2,33+a31a1+a322) (c2,y)+a32(m2,m2)=0 所以 (a2,v3) 更普遍的结果是 (ak, yi) 这样的步骤称为 Schmidt正交化 定义2若对于所有的和j,(m2;m)=6,则称矢量组{1m2,…}是正交归一的 正交归一的矢量一定是线性无关的,这是因为如果将它们线性组合成零矢量, a1正1+a22+a33+…=0, 则一定有 aj=0,j=1,2,3 所以η维矢量空间中的任何一组n个正交归一矢量都可以构成此空间的基,称为正 交归一基(或称正交标准基) 选择正交归一基,无论在理论上或实用上,都具有极大的重要性
§18.1 SÈm 1 4 F =(x, y) = 0§ü¥þx, y© F "¥þÚ?Û¥þÑ© F ?Û|5Ã'¥þ§ÑÏLIOÚ½¦üü© ù|5Ã'¥þ{y1, y2, y3, · · · }§5|Ü x1 = y1, x2 = y2 + α21x1, x3 = y3 + α31x1 + α32x2, . . . ¦§´üüµ (x1, x2) = (x1, y2 + α21x1) = (x1, y2) + α21(x1, x1) = 0, (x1, x3) = (x1, y3 + α31x1 + α32x2) = (x1, y3) + α31(x1, x1) = 0, (x2, x3) = (x2, y3 + α31x1 + α32x2) = (x2, y3) + α32(x2, x2) = 0, . . . ¤± α21 = − (x1, y2) (x1, x1) , α31 = − (x1, y3) (x1, x1) , α32 = − (x2, y3) (x2, x2) . ÊH(J´ αjk = − (xk, yj ) (xk, xk) . ùÚ½¡Schmidtz© ½Â2 eéu¤kiÚj§(xi, xj ) = δij§K¡¥þ|{x1, x2, · · · }´8© 8¥þ½´5Ã'§ù´ÏXJò§5|ܤ"¥þ§ α1x1 + α2x2 + α3x3 + · · · = 0, K½k αj = 0, j = 1, 2, 3, · · · . ¤±n¥þm¥?Û|n8¥þѱ¤dmħ¡ 8Ä(½¡IOÄ)© ÀJ8ħÃØ3nØþ½¢^þ§Ñäk45©
§181内积空 第5页 在n维矢量空间V中,设有一组正交归一矢量 ,Tk},k≤n. 则对于任意一个矢量a∈V,可求得a=(a1,m).显然,应当有 ∑aa|=(a-∑a,a,m->am)20 i=1 另一方面, aiai a,m)-∑am,m)+∑aa(a;,m) (m,c)-∑aia4-∑a;a:+∑aia5 于是,得到一个重要的不等式 |12≥∑!(a,m) 这个不等式称为 Bessel不等式 Bessel不等式的一个重要推论就是 Schwarz不等式:若m,y是内积空间中的两个矢量,则 如果y是零矢量,y=0,上式中的等号成立,如果v≠0,则可在 Bessel不等式中的k取为1, 且1=y/y‖,于是就有 Schwarz不等式即证.口 定义3在有限维矢量空间中,如果一组正交归一的矢量(称为一个正交归一矢量集),并 不包含在另一个更大的正交归一矢量集之中,则称该正交归一矢量集是完备的 ★在有限维的矢量空间中,一个完备的正交归一矢量集中矢量的个数必然与空间的维数相
§18.1 SÈm 1 5 3n¥þmV ¥§k|8¥þ {x1, x2, · · · , xk}, k ≤ n. Kéu?¿¥þx ∈ V §¦αi = (xi, x)©w,§Ak ° ° ° x − X k i=1 αixi ° ° ° 2 ≡ ³ x − X k i=1 αixi, x − X k i=1 αixi ´ ≥ 0. ,¡§ ³ x − X k i=1 αixi, x − X k i=1 αixi ´ = (x, x) − X k i=1 α ∗ i (xi, x) − X k i=1 αi(x, xi) + X k i,j=1 α ∗ i αj (xi, xj ) = (x, x) − X k i=1 α ∗ i αi − X k i=1 αiα ∗ i + X k i,j=1 α ∗ i αj δij = (x, x) − X k i=1 α ∗ i αi, u´§Ø ª (x, x) ≥ X k i=1 ¯ ¯(xi, x) ¯ ¯ 2 , = kxk 2 ≥ X k i=1 ¯ ¯(xi, x) ¯ ¯ 2 , ùØ ª¡BesselØ ª© BesselØ ªíØÒ´SchwarzØ ªµex, y´SÈm¥ü¥þ§K |(x, y)| ≤ kxk · kyk. XJy´"¥þ§y = 0§þª¥ Ò¤á©XJy 6= 0§K3BesselØ ª¥k1§ x1 = y/kyk§u´Òk ¯ ¯ ¯ ¯ µ x, y kyk ¶¯ ¯ ¯ ¯ 2 ≤ kxk 2 , SchwarzØ ª=y© ½Â3 3k¥þm¥§XJ|8¥þ(¡8¥þ8)§¿ ع3,8¥þ8¥§K¡T8¥þ8´© F 3k¥þm¥§8¥þ8¥¥þê7,mê Ó©
§181内积空 第6页 ★实际问题中,往往并不是先知道矢量空间的维数,反而是要通过找出一组完备的正交归 一矢量(一组特殊的最大线性无关矢量组)来判断空间的维数,而建立这个矢量空间的一组 基 ★在一个内积空间V中,有一组正交归一的矢量 ai, 2 要判断它是否完备,是一个非常现实的问题 常用的判别法有下列几个: 1.当且仅当=0时,(a,m)=0,i=1,2,…,k. 2对于任意的∈V,恒有m=∑(m;,a)lm 3. Bessel不等式中的等号成立,即对于任意的∈V,恒有 4 Parseval方程成立,即对于任意的,y∈V,恒有 (3,a)=∑(y,m)(a;,a) 它们都是正交归一矢量组完备的充分必要条件,因而也是完全等价的
§18.1 SÈm 1 6 F ¢S¯K¥§ ¿Ø´k¥þmê§ ´ÏLéÑ|8 ¥þ(|AÏ5Ã'¥þ|)5ämê§ ïáù¥þm| Ä© F 3SÈmV ¥§k|8¥þ {xi, i = 1, 2, · · · , k}, 䧴ħ´~y¢¯K© ~^O{keAµ 1. =x = 0§(xi, x) = 0, i = 1, 2, · · · , k© 2. éu?¿x ∈ V §ðkx = X k i=1 (xi, x)xi© 3. BesselØ ª¥ Ò¤á§=éu?¿x ∈ V §ðk kxk 2 = X k i=1 |(xi, x)| 2 . 4. Parseval§¤á§=éu?¿x, y ∈ V §ðk (y, x) = X k i=1 (y, xi)(xi, x). §Ñ´8¥þ|¿©7^§Ï ´ d©
§182函数空间 第7页 8182函数空间 函数空间是一类特殊的矢量空间:空间的元素是函数,更确切地说,是定义在一定区 间(为确定起见,设为闭区间a≤x≤b上的复值函数f(x),并且积分/|(a)2dr在(“函 数f(x)平方可积”) ★定义元素f1和f2的加法f1+f2就是两函数相加 (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x) ★元素f和复数a的数乘af是 (af)(ar)=af(a), 这样的平方可积函数的集合,对于加法和数乘是封闭的,因此的确构成一个矢量空间 特别是,因为 (x)+12(x)2+|f()-f2(x)12=2Uf(x)2+(x) 所以,两个平方可积函数之和仍是平方可积的 (x)+f2(x)2≤2f1(x)2+(x)/] 定义4设f1(x)和=2(x)是函数空间中的两个函数,它们的内积是 (1, f2)=/fi(a)f2(a)dr 由于 f1(x)+|f2(x)-2f1(x)·|J2(a) h(x)-|f(x)川]2≥0 因此 fa)(x)=|f(2)|()≤5[(x)2+1(x) 所以积分/f(x)(x)d存在.又因为 fr(a)f2(a)dxs/Ifi(ar)f2(a)dr, 所以,只要f1(x)和2(x)平方可积,那么它们的内积也一定存在 回顾一下内积公理中的三条要求,前两条是显然满足的.而且,对于空间中的任意函 数f(x),恒有(f,f)≥0.在此基础上,可以定义函数f(x)的“长度” ‖f=(f,f)2/2, 称为函数∫(x)的范数
§18.2 ¼êm 1 7 §18.2 ¼êm ¼êm´aAÏ¥þmµm´¼ê§(/`§´½Â3½« m((½å§4«ma ≤ x ≤ b)þE¼êf(x)§¿ È© Z b a ¯ ¯f(x) ¯ ¯ 2 dx3(/¼ êf(x)²È0)© F ½Âf1Úf2\{f1 + f2Ò´ü¼ê\§ (f1 + f2)(x) = f1(x) + f2(x), F fÚEêαê¦αf´ (αf)(x) = αf(x), ù²È¼ê8ܧéu\{Úꦴµ4§Ïd(¤¥þm© AO´§Ï ¯ ¯f1(x) + f2(x) ¯ ¯ 2 + ¯ ¯f1(x) − f2(x) ¯ ¯ 2 = 2£ |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ¤ , ¤±§ü²È¼êÚE´²È§ ¯ ¯f1(x) + f2(x) ¯ ¯ 2 ≤ 2 £ |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ¤ . ½Â4 f1(x)Úf2(x)´¼êm¥ü¼ê§§SÈ´ (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx. du ¯ ¯f1(x) ¯ ¯ 2 + ¯ ¯f2(x) ¯ ¯ 2 − 2 ¯ ¯f1(x) ¯ ¯ · ¯ ¯f2(x) ¯ ¯ = £ |f1(x)| − |f2(x)| ¤2 ≥ 0, Ïd ¯ ¯f ∗ 1 (x)f2(x) ¯ ¯ = ¯ ¯f1(x) ¯ ¯ · ¯ ¯f2(x) ¯ ¯ ≤ 1 2 £ |f1(x)| 2 + |f2(x)| 2 ¤ , ¤±È©Z b a ¯ ¯f ∗ 1 (x)f2(x) ¯ ¯dx3©qÏ ¯ ¯ ¯ Z b a f ∗ 1 (x)f2(x)dx ¯ ¯ ¯ ≤ Z b a ¯ ¯f ∗ 1 (x)f2(x) ¯ ¯dx, ¤±§f1(x)Úf2(x)²È§@o§SȽ3© £eSÈún¥n^¦§cü^´w,÷v© §éum¥?¿¼ êf(x)§ðk(f, f) ≥ 0©3dÄ:þ§±½Â¼êf(x)/Ý0 kfk = (f, f) 1/2 , ¡¼êf(x)ê©
§182函数空间 第8页 ★问题是:在这样的内积定义下,如果(f,f)=0,f(x)并不见得在整个区间上处处为0 事实是,∫(x)可以在有限个点上不为0,但这些不为0的函数值并不会影响积分值,所以 仍可以有(f,f)=0 ★准确地说,如果(f,∫)=0,则f(x)可以在测度为零的点集上取非零值.所以只能 说(f,∫)=0隐含着∫(x)几乎处处为0 ★如果采用广义的零函数的概念,把任何几乎处处为0的函数称为零函数,那么,这里定义 的内积也就符合内积公理中的第3条要求 这样,定义4给出的函数内积的定义的确符合内积公理的要求 函数内积的定义还可以进一步推广为 (1, f2)=/fi(a)f2(=)p(a)da, 其中p(x)≥0且≠0.这样,有关公式均需要作相应的修改.特别是,关于函数 平方可积的要求也应该修改为要求积分 f(a) p(a)dr 存在 在定义了函数的内积之后,就可以定义函数的正交性与归一性,并建立函数的正交归一集 合的概念 若函数f(x)和g(x)满足 ( g)=/f(a)g(a)dr=0, 则称它们是(在区间a,b上)正交的.若函数f(x)和它自身的内积 0n=/)/=1,亦即= 则称f(x)是归一化的.而若对于函数集合{f},恒有 (i, f,)=/f(a)f,(a)dr =dij 则称此函数集合是正交归一的 例3函数集合{en/√2,n=0,±1,±2,…}在区间[一x,可上是正交归一的 正交归一函数集的完备性概念,如果对于(函数空间中的)任意函数f(x),总可以表示成正 交归一函数集{f,i=1,2,……}的线性组合 f(x)=∑cif(x) (k) i=1 则称正交归一函数集{f,讠=1,2,…}是完备的
§18.2 ¼êm 1 8 F ¯K´µ3ùSȽÂe§XJ(f, f) = 0§f(x)¿Ø3«mþ??0© ¯¢´§f(x)±3k:þØ0§ù Ø0¼ê¿Ø¬KÈ©§¤± E±k(f, f) = 0© F O(/`§XJ(f, f) = 0§Kf(x)±3ÿÝ":8þ"©¤±U `(f, f) = 0Û¹Xf(x)A??0© F XJæ^2Â"¼êVg§r?ÛA??0¼ê¡"¼ê§@o§ùp½Â SÈÒÎÜSÈún¥13^¦© ù§½Â4ѼêSȽÂ(ÎÜSÈún¦© ¼êSȽ±?Úí2 (f1, f2) = Z b a f ∗ 1 (x) f2(x) ρ(x) dx, Ù¥ρ(x) ≥ 0 6≡ 0©ù§k'úªþIA?U©AO´§'u¼ê ²È¦AT?U¦È© Z b a ¯ ¯f(x) ¯ ¯ 2 ρ(x) dx 3© 3½Â ¼êSȧұ½Â¼ê585§¿ïá¼ê88 ÜVg© e¼êf(x)Úg(x)÷v (f, g) ≡ Z b a f ∗ (x)g(x)dx = 0, K¡§´(3«m[a, b]þ)©e¼êf(x)Ú§g SÈ (f, f) ≡ Z b a f ∗ (x)f(x)dx = 1, ½= kfk = 1, K¡f(x)´8z© eéu¼ê8Ü{fi}§ðk (fi, fj ) ≡ Z b a f ∗ i (x)fj (x)dx = δij , K¡d¼ê8Ü´8© ~3 ¼ê8Ü © e inx/ √ 2π, n = 0, ±1, ±2, · · · ª 3«m[−π, π]þ´8© 8¼ê85Vg©XJéu(¼êm¥)?¿¼êf(x)§o±L«¤ 8¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }5|Ü f(x) = X∞ i=1 cifi(x), (z) K¡8¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }´©
§182函数空间 第9页 正交归一函数集的完备性概念总是和任意函数是否可以按该函数集展开相联系 ★第一,一般说来,这个函数集应该含有无穷多个函数,否则(式不可能对任意f(x)均成 立.这一事实告诉我们,函数空间是无穷维的矢量空间. ★第二,(式应该对区间[a,b内的每一点x都成立,或者说,对于区间[a,b内的每 点x,级数∑caf(x)都应该收敛于∫(x).这种收敛性称为逐点收敛 ★为了和广义零函数的概念相适应,也可以把(式理解为左右两端相差一个广义的零函 数,换句话说,把级数∑cf(x)理解为平均收敛于∫(x),即 =/|a)-2a dx=0. ★第三,由函数集{f1,i=1,2,…}的正交归一性,可求得 fi(e)f(er)dr=(i, f) ★第四,容易证明 (a)-∑=f(o)dx (,)-∑(,)-∑c(,1)+∑|l|2 i=1 =(f,f)-∑|2, 因此,只要函数集{f,i=1,2,…}是完备的,那么,根据(#)式,就有 ,)=∑2=∑|(f,f 这就是函数集{f,i=1,2,…}的完备性关系,亦称 Parseval方程 函数集{f,i=1,2,…}的完备性的另一种表达形式,将()式代入()式,就有 f(r) ∫(x)f(x)f(x)dr i=1 f(x)∑f(x)(x)dr
§18.2 ¼êm 1 9 8¼ê85Vgo´Ú?¿¼ê´Ä±UT¼ê8ÐméX © F 1§`5§ù¼ê8AT¹káõ¼ê§ÄK(z) ªØUé?¿f(x)þ¤ á©ù¯¢w·§¼êm´Ã¡¥þm© F 1§(z)ªATé«m[a, b]Sz:xѤ᧽ö`§éu«m[a, b]Sz :x§?ê P∞ i=1 cifi(x) ÑATÂñuf(x)©ù«Âñ5¡Å:Âñ© F Ú2Â"¼êVg·A§±r(z)ªn)müà 2Â"¼ ê§é{`§r?ê P∞ i=1 cifi(x)n)²þÂñuf(x)§= limn→∞ Z b a ¯ ¯ ¯f(x) − Xn i=1 cifi(x) ¯ ¯ ¯ 2 dx = 0. (#) F 1n§d¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }85§¦ ci = Z b a f ∗ i (x)f(x)dx = (fi, f). (~) F 1o§N´y² Z b a ¯ ¯ ¯f(x) − Xn i=1 cifi(x) ¯ ¯ ¯ 2 dx = (f, f) − Xn i=1 c ∗ i (fi, f) − Xn i=1 ci(f, fi) +Xn i=1 ¯ ¯ci ¯ ¯ 2 = (f, f) − Xn i=1 ¯ ¯ci ¯ ¯ 2 , Ïd§¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }´§@o§â(#)ª§Òk (f, f) = X∞ i=1 ¯ ¯cn ¯ ¯ 2 = X∞ i=1 ¯ ¯(fi, f) ¯ ¯ 2 . ùÒ´¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }5'X§½¡Parseval§© ¼ê8{fi, i = 1, 2, · · · }5,«L/ª©ò(~)ª\(z)ª§Òk f(x) = X∞ i=1 Z b a f(x 0 )fi(x)f ∗ i (x 0 )dx 0 = Z b a f(x 0 ) "X∞ i=1 fi(x)f ∗ i (x 0 ) # dx 0 .
