第十五讲分离变量法(二) §15.1两端固定弦的自由振动(续) 定解问题考虑长为1、两端固定的弦的自由振动,方程及定解条件为 a2u a2= x2=0 00 ux=0=0,ux=1=0,t≥0 u==(x),t==(x),0≤x≤l 第一步:分离变量 ★目标分离变量形式的非零解u(x,t)=x(x)T(t) 0 ★结果函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程 ★条件偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数X(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常数入, 定解条件是一对齐次边界条件,这样的定解问题不同于常微分方程的初值问题, 并非对于任何入值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零解 只有当入取某些特定值时,才有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零 解X(x). 入的这些特定值称为本征值, 相应的非零解称为本征函数 函数X(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 第二步:求解本征值问题 本征值n=(),n123 本征函数Xn(x)=sinx 这样求得的本征值有无穷多个,它们可以用正整数n标记,因此,在上面的结果中,把本征值和 相应的本征函数都记为入n和Xn(x)
Wu Chong-shi ✁✂✄ ☎✆✝✞✟ (✠) §15.1 ✡☛☞✌✍✎ ✏✑✒✓ (✔) ✕✖✗✘ ✙✚✛✜ l ✢✣✤ ✥✦✧★✧ ✩✪✫✬✭✮✯✰✦✱✲✳✜ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. ✴✵✶✷ ✸✹✺✻ F ✼✽ ✾✿❀❁❂❃✧❄❅✱ u(x, t) = X(x)T (t) F ❆❇ ❈❉ X(x) ❊❋✧●❍✾✮✯■❏❑✲✳▲✰ T (t) ❊❋✧●❍✾✮✯ F ▼◆ ❖❍✾✮✯■❏❑✲✳P◗❘❙✧ ❚❯ ❱❚❲❳❨ X(x) ❲❩❬❭❪❫❴❵ ❛❜✭ ❝❞❡✷❬❭❪❫ ❢❣❤✐❴❩❨ λ ✭ ❴❵❥❦❡❧♠♥♦♣q❥❦rst❲❴❵ ❛❜✉ ✈✇❩❬❭❪❫❲①② ❛❜r ③ ④♠✇⑤⑥ λ ② ✭⑦❤⑧⑨⑩♥♦❩❬❭❪❫✢❶⑨⑩♥♦♣q❥❦❲ ④❷❵r ❸❤ ❹ λ ❺ ❻❼❝❴②❽✭❾❤⑧⑨⑩♥♦❩❬❭❪❫✢❶⑨⑩♥♦♣q❥❦❲ ④❷ ❵ X(x) r λ ❲s❼ ❝❴②❿➀ ➁➂➃ ✭ ➄➅❲ ④❷❵❿➀ ➁➂➆➇ r ❳❨ X(x) ❲❩❬❭❪❫❴❵ ❛❜✭❿➀ ➁➂➃✗✘ r ✴➈✶✷ ➉✖➁➂➃✗✘ ➊➋➌ λn = nπ l 2 , n = 1, 2, 3, · · · ➊➋❈❉ Xn(x) = sin nπ l x. ➍➎➏➐✧ ➊➋➌➑➒➓➔→✭➣↔↕▲➙➛➜❉ n ➝➞✭➟➠✭➡➢➤✧➥➦ ➧✭➨➊➋➌■ ➩➫✧ ➊➋❈❉P➞✜ λn ■ Xn(x) r
§15.1两端固定弦的自由振动(续) 第三步:求特解,并叠加出一般解 在求解了本征值问题后,对于每一个本征值A,由方程 可以求出相应的Tn(t) Tn(t)=Cn sin at+ Dn cos at 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 un (z, t)=(cn sin "Tat+D, cos Tat )sin Tr (n=1, 2, 3,) 这样的特解有无穷多个 ★每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 ★一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定解问题中的初始条件,即一般无法找到常 数Cn和Dn,满足 Dn sin Tz=o(z), Cn =v(a) ★偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的(任意有限个)特解叠加起来,仍然是满足齐次 方程和齐次边界条件的解.是否可能满足初始条件? ★把全部无穷多个特解叠加起来 n(x)=∑(cn at +D,costA 只要级数具有足够好的收敛性(例如,可以逐项求二阶偏微商),那么,这样得到的u(x,t)也仍然 是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解, 这种形式的解称为一般解.它不同于偏微分方程的通解,因为 般解不只是满足偏微分方程,而且满足齐次边界条件 如何选择一般解中的叠加糸数Cn和Dn? nTT v(r 第四步:利用本征函数的正交性定叠加系数 理论依据本征函数的正交性 Xn(x)Xm(x)dx=0,n≠m
Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 2 ➪ ✴➶✶✷ ➉➹✖ ✭➘ ➴➷➬➮➱✖ ➡ ➏ ✱✃➊➋➌❐❒❮✭❰ÏÐ✵→➊➋➌ λn ✭✪✮✯ T 00(t) + λa2T (t) = 0 ↕▲➏Ñ➩➫✧ Tn(t) ✭ Tn(t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at. ➟➠✭ÒÓ➐Ô✃ ❊❋❖❍✾✮✯■❏❑✲✳✧Õ✱ un(x, t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x (n = 1, 2, 3, · · ·). F ➍➎✧Õ✱➑➒➓➔→ F Ð ✵→Õ✱P❊❋❘❙❖❍✾✮✯■❘❙❏❑✲✳ F ✵Ö×Ø✭ ÙÚÛÜ✵→Õ✱Ý↕ÞÒßà❊❋✦✱❐❒ ➧✧áâ✲✳✭ã✵Ö➒äåÔ● ❉ Cn ■ Dn ✭❊❋ Dn sin nπ l x = φ(x), Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x). F ❖❍✾✮✯■❏❑✲✳P◗❘❙✧✭➨➣↔✧ (æçèéê) Õ✱ëìíØ ✭ îï◗❊❋❘❙ ✮✯■❘❙❏❑✲✳✧✱r ◗ð↕Þ❊❋áâ✲✳ ñ F ➨òó➒➓➔→Õ✱ëìíØ u(x, t) = X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x, ôõö❉÷➑ ❋øà✧ùúû (üý✭↕▲þÿ➏➈ ❖❍✁) ✭✂✄✭ ➍➎➐Ô✧ u(x, t) Ò îï ◗❘❙❖❍✾✮✯➡❘❙❏❑✲✳☎✧✱r ➍✆ ❂❃✧✱✝ ✜ ➮➱✖ r ➣Ý✞Ï❖❍✾✮✯✧✟✱✭➟✜ ✵Ö✱Ýô ◗❊❋❖❍✾✮✯✭✠✡❊❋❘❙❏❑✲✳ ☛⑥☞✌❧✍❵ ❢❲ ✎✏ ✑❨ Cn ✒ Dn ñ X∞ n=1 Dn sin nπ l x = φ(x), (z) X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x) (>) ✴✓✶✷ ✔✕➁➂➆➇✖✗✘✙✕ ➴➷✚➇ ✛✜✢✣ ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m
第十五讲分离变量法 第3页 在()式两端同乘以 sIn -T,逐项积分,就得到 mTT Dn SIn-L D 所以 同样,由(米)式,可以得到 v(a) 这样就求得了整个定解问题的解, ★本征函数正交性的证明 设Xx()=如和xm()=smx是分别对应于本征值入和入m的两个本征函数 λn≠Mmn(即n≠m),它们分别满足 Xn(r)+An Xn(a)=0, 和xm(x)+mXm(x)=0, Xn(0)=0,Xn(l)=0, 用Xm(x)乘以Xn(x)的方程,用Xn(x)乘以Xm(x)的方程,相减, (Xm(a)Xn(a)-Xn(r)Xm(r))+(An-Am)Xm(a)Xn(a)=0, 在区间[0.上积分,即得 (n-Mn)/xn(x)Xn(a)dx=/[xn(x)Xm(x)-xm(x)Xn(x)]dz [Xn(=)X m()-Xm(a)X'(a)IL=0 上面用到了Xn(x)和Xm(x)满足的边界条件,考虑到An≠Mm,就证得本征函数的正交性 0,n≠m.口 △在上面的证明中只用到了: 1.本征函数满足的微分方程2.本征函数满足的边界条件 没有用到本征函数的具体函数形式 △因此,只要本征函数满足的微分方程为 X"(x)+X(x)=0 则结果 )/Xn(x)Xm(x)dr=[Xn(x)Xmn(x)-Xm(x)Xn(x) 仍然成立
Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 3 ➪ ➡ (z) ❃✣✤✞✮▲ sin mπ l x ✭þÿ✯✾✭Ó➐Ô Z l 0 φ(x) sin mπ l xdx = Z l 0 X∞ n=1 Dn sin nπ l x sin mπ l xdx = X∞ n=1 Dn Z l 0 sin nπ l x sin mπ l xdx = Dm · l 2 . ✰ ▲ Dn = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx. ✞ ➎ ✭✪ (>) ❃✭↕▲➐Ô Cn = 2 nπa Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ➍➎Ó ➏➐✃➜→ ✦✱❐❒✧✱r F ➁➂➆➇✗✘✙✖✱✲ ✳ Xn(x) = sin nπ l x ■ Xm(x) = sin mπ l x ◗✾✴❰ ➫ Ï ➊➋➌ λn ■ λm ✧✣→➊➋❈❉✭ λn 6= λm(ã n 6= m) r ➣↔✾✴❊❋ X00 n (x) + λnXn(x) = 0, Xn(0) = 0, Xn(l) = 0, ■ X00 m(x) + λmXm(x) = 0, Xm(0) = 0, Xm(l) = 0. ➙ Xm(x) ✮▲ Xn(x) ✧✮✯✭➙ Xn(x) ✮▲ Xm(x) ✧✮✯✭➩✵ ✭ (Xm(x)X00 n (x) − Xn(x)X00 m(x)) + (λn − λm) Xm(x)Xn(x) = 0, ➡✶✷ [0, l] ➢✯✾✭ã➐ (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = Z l 0 [Xn(x)X 00 m(x) − Xm(x)X 00 n(x)] dx = [Xn(x)X0 m(x) − Xm(x)X0 n(x)] l 0 = 0. ➢➤➙Ô ✃ Xn(x) ■ Xm(x) ❊❋✧❏❑✲✳r✙✚Ô λn 6= λm ✭Ó✸ ➐ ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m. 4 ➡➢➤✧✸ ✹➧ ô ➙ Ô ✃ ✷ 1. ➊➋❈❉❊❋✧❍✾✮✯ 2. ➊➋❈❉❊❋✧❏❑✲✳ ✺➑ ➙ Ô➊➋❈❉✧÷✻❈❉❂❃ 4 ➟➠✭ ✼✽➁➂➆➇✾✿✖❀✸❁❂❃ X 00(x) + λX(x) = 0, ❄ ➥➦ (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = [Xn(x)X 0 m(x) − Xm(x)X 0 n(x)] l 0 îï❅❆r
§151两端固定弦的自由振动(续 第4页 △如果将本征函数满足边界改为 X(0)+1X'(0)=0, a2X()+B2X()=0, 其中a1和1、a2和2均不同时为0二则有 a1Xn(0)+1Xm()=0和a2Xxn()+B2xn(1)=0, a1Xm(0)+1Xm(0)=0 因为a1和1不同时为0二所以 X x10)=0. Xm(0)Xm(0) 又因为a2和2不同时为0二所以又有 ★结论对于本征值正交 a1X(0)+1x(0)=0 2X()+A2X(D)=0 本征函数的正交性 仍然成立 △上面边界。涵盖了减 明设 类三种类型、边界 讲明设 ★本征函数模方 ①‖Xn‖的倒数常称为本征函数的归一因子,这是因为 即本征函数Xn(x)/YXn‖的模为1,另外,还可以合并写成 称为本征函数的正交归一性
Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 4 ➪ 4 ý➦❇ ➊➋❈❉❊❋✧❏❑✲✳❈ ✜ α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X0 (l) = 0, ❉ ➧ α1 ■ β1 ✢ α2 ■ β2 ❊Ý✞❋✜ 0 ✭ ❄➑ α1Xn(0) + β1X0 n (0) = 0, α1Xm(0) + β1X0 m(0) = 0 ■ α2Xn(l) + β2X0 n (l) = 0, α2Xm(l) + β2X0 m(l) = 0. ➟ ✜ α1 ■ β1 Ý✞❋✜ 0 ✭ ✰ ▲ Xn(0) X0 n (0) Xm(0) X0 m(0) = 0. ● ➟ ✜ α2 ■ β2 Ý✞❋✜ 0 ✭ ✰ ▲ ●➑ Xn(l) X0 n(l) Xm(l) X0 m(l) = 0. F ➥❍ ✷ ■❏➁➂➃✗✘ X00(x) + λX(x) = 0, α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X0 (l) = 0 ➁➂➆➇✖✗✘✙ Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m ❑▲▼◆r 4 ➢➤✧❏❑✲✳❖P✃ ✵ ✢ ➈ ✢ ➶◗➶✆◗❘✧❏❑✲✳r F ➁➂➆➇❙❁❚ kXnk 2 ≡ Z l 0 X2 n (x)dx = l 2 . ❚ kXnk ❯❱❲❳❨❩ ❬❭❪❫❴❵❛❜❝ ❞❡❢❣❩ 1 kXnk 2 Z l 0 X2 n(x) dx = 1 ❤✐❥❦❲ Xn(x)/kXnk ❯❧❩ 1 ❞♠♥♦♣qrst✉✈ Z l 0 Xn(x)Xm(x) dx = l 2 δnm. ❨❩ ❬❭❪❫❴✇①❵❛② ❞
分离量法( 第5页 ★波动在两端固定弦上的传播过 形 为了简单起见,仍,单纯由初位移引起的波动为例 当t>0足,初位移也太在无a弦上分别左右传画,不同数处水到 0=1 这由两端 定这样的王份条件决是的“上任一在个是的位移雨言, 位移在两个 样求而叠加出的结果对于初此在上面的波动,当然也可 然 ★弦的总相量 在任一足刻t,弦的动能_,位能分别 对 应能,为 E()=2 将解式代入,利用本征改的正交归一性,就容易求得 nn2[n(+Dn小 E()=- 等式右端显然类又其与t无关,即弦的应能方第贾 ★的的唯一考 如果此定解问题有两个解,n1(x,t)u2(x,t),那么,m(x,1)≡1(x,t)-m2(x,1)就一定均时 定解问题 对 a2u=0 00 x=0 u==0.t≥0 ot I 只要能够小明v(xD)=0即可从物理上可续判断,这肯定地正确的从能方第页的要求来,当 t=0足弦的应能为0,因此后的任一刻t,E()满为0“这问题一定有 du 即v(x,t)为以 又其 由初始条件征于仍条作盖能定出此 又其 的办法是仿就136的作法,直接推出dE/dt=0,而不依赖于具体的求解法(例如,分离变量法)
Wu Chong-shi ✤✥✦✧ ★✩✪✫✬ (✭) ➚ 5 ➪ F ③④⑤⑥⑦⑧✕⑨⑩✖❶❷❸❂ ✜ ✃❹ Ù í❺✭ î ▲ Ù❻ ✪á❼❽❾í✧❿✬ ✜ ür ➀ t > 0 ❋✭á❼❽Ò➁➡ ➒ ❑★➢✾✴ ➂➃➄➅➆✭Ý✞➇➈◗ Ô➉ ✤➊ x = 0 ➋ x = l ❋✭ ➌➍➎➏ ➐Ø ✭➘➑ ➑➒➓✧ ➩ ❼➔→ π(ã ➡✤➊ x = 0 ■ x = l ➌➍➣↔↕➙✭ ➍ ◗ ✪✣✤ ✥✦➍➎✧❏❑✲✳➛✦✧) r Ó★➢Û➜✵ ➊➡ Û➜✵→❋➝✧❼❽✠➞✭➣Ó◗á❼❽➡✣→ ✤➊✷➔ ❙ ➎➟➎➏✠ëìÑ ✧➥➦r ❰Ïá➠➡➢➤✧❿✬✭➀ï Ò↕▲◗➥➦➧❍r F ⑨✖➨➩✻ ➡ Û✵❋➝ t ✭★✧✬Þ■❼Þ✾✴◗ 1 2 Z l 0 ρ ∂u ∂t 2 dx ■ 1 2 Z l 0 T ∂u ∂x2 dx, ➫ Þ❁✜ E(t) = 1 2 Z l 0 ρ ∂u ∂t 2 dx + 1 2 Z l 0 T ∂u ∂x2 dx. ❇✱❃➭➯✭➲➙ ➊➋❈❉✧➛➳➵✵ û✭Ó➸➺➏➐ E(t) = mπ 2a 2 4l 2 X∞ n=1 n 2 |Cn| 2 + |Dn| 2 . ➻ ❃➄✤➼ ï ◗●❉✭➽ t ➒➾ ✭ ã ★✧➫ Þ❁➚➪ ❚ r F ✖✖➶➮✙ ý➦➠✦✱❐❒➑✣ → ✱✭ u1(x, t) ■ u2(x, t) ✭✂✄✭ v(x, t) ≡ u1(x, t) − u2(x, t) Ó ✵ ✦❊❋ ✦✱❐❒ ∂ 2 v ∂t2 − a 2 ∂ 2 v ∂x2 = 0, 0 0, v x=0 = 0, v x=l = 0, t ≥ 0, v t=0 = 0, ∂v ∂t t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. ôõÞø✸ ✹ v(x, t) = 0 ã ↕r➹➘➴➢↕▲➷➬✭ ➍➮ ✦◗➛➱✧r➹ Þ❁➚➪✧ õ➏Ø✃ ✭ ➀ t = 0 ❋★✧➫ Þ❁✜ 0 ✭➟➠▲❮ ✧ Û✵❋➝ t ✭ E(t) ❊ ✜ 0 r➍➜❐❒✵ ✦ ➑ ∂v ∂x = 0, ∂v ∂t = 0, ã v(x, t) ✜ ●❉r ✪áâ✲✳➋❏❑✲✳✭PÞ✦Ñ ➠●❉✜ 0 r ❚ ❮❰Ï❯ÐÑ❢ÒÓ 13.6 Ô❯ÕÑ♦Ö×ØÙ dE/dt = 0 ♦ÚÛÜÝÞßà❯áâãÑ (äå♦æçèéÑ) ❞
§151两端固定弦的自由振动(续 第6页 利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤 1.第一步,分离变量 这一步之所以能够实现,先决条件是偏微分方程和边界条件都是齐次的.而分离变量 的结果,是得到了(一个或多个)含有待定常数的齐次常微分方程和齐次边界条件,即 个或多个)本征值问题 2.第二步,求解本征值问题 3.第三步,求出全部的特解,并进一步叠加出一般解. 显然事先没有任何理由弃去其中的任何一个特解 4.第四步,利用本征函数的正交性定叠加系数 严格说来,上面得到的还只是形式解,对于具体问题,还必须验证 1.这样得到的α(x,刂)是否满足偏微分方程,换勺话说,级数解是否可以逐顼求二阶偏微商 2.这样得到的α(x,t)是否满足边界条件,换句话说、级数解的和函数是否连续 3.在定叠加糸数时,逐项积分是否合法 关于这三个问题,都涉及到级数解的收敛性.由于系数Cn和Dn是由以(x)和v(x)决定的 因而o(x)和v(x)的性质就决定了对这三个问题的回答 从理论上说,分离变量法的成功,要取决于下列几个条件: 1.本征值问题有解 2.定解问題的解一定可以按照本征函数展开,换句话说,本征函数的全体是完备的 3.本征函数一定具有正交性 以后将在适当时候回答这几个问题一
Wu Chong-shi §15.1 ➭➯➲➳➵➸ ➺➻➼➽ (➾) ➚ 6 ➪ F ✔✕✸✹✺✻ê➉✖ë❀✸❁❂✕✖✗✘✖ì➁íî 1. ✴✵✶✭✾✿❀❁r s❧ ïðñ òóô õ❚ ✭ö÷❥❦❡ø❬❭❪❫✒ ♣q❥❦⑦ ❡♥♦❲rù❭ úûü ❲ýþ✭ ❡ÿ ✁ (❧✂✄ ☎✂) ❣❤✐❴❩❨❲♥♦❩❬❭❪❫✒ ♥♦♣q❥❦✭✆ (❧✂✄ ☎✂) ✝✞② ❛❜r 2. ✴➈✶✭ ➏ ✱ ➊➋➌❐❒r 3. ✴➶✶✭ ➏Ñòó✧Õ✱✭➘✟ ✵✶ëìÑ✵Ö✱r ✠✡☛ö☞❤⑤⑥✌ ✍✎✏✑ ❢❲⑤⑥❧✂❝❵r 4. ✴✓✶ ✭➲➙ ➊➋❈❉✧➛➳û✦ëì✒❉r ✓✔×Ø✭➢➤➐Ô✧✕ ô ◗❂❃✱r ❰Ï÷✻ ❐❒✭✕ ➌➍✖ ✸ ✷ 1. stÿ❲ u(x, t) ❡✗⑨⑩ø❬❭❪❫✭ ✘ ✙✚✛✭✜❨❵❡✗✢ ò✣✤✥✦✧ø❬★✩ 2. stÿ❲ u(x, t) ❡✗⑨⑩♣q❥❦✭ ✘ ✙✚✛✭✜❨❵❲✒ ❳❨❡✗✪✫✩ 3. ❯❴ ✎✏ ✑❨❽✭ ✣✤✬❭❡✗✭✮✯ ➾✰✱✲✳✴✵✶✷✸✹✺✻✼✽✾✿❀❁✯❂✰❃✼ Cn ❄ Dn ❅ ❂ φ(x) ❄ ψ(x) ❆❇✾✶ ❈❉ φ(x) ❄ ψ(x) ✾❁❊❋❆❇●❍✱✲✳✴✵✾ ■❏✯ ❑▲▼◆❖✶P◗❘❙❚✾❯❱✶❲❳❆ ✰❨❩❬✳❭❪❫ 1. ❴❵❛ ❜❝❞❡❢ 2. ❣❡ ❜❝❤❡✐❣❥ ❦❧♠❴❵♥♦♣q✶r st✉✶❴❵♥♦❤✈✇① ②③❤❢ 3. ❴❵♥♦✐❣④❞⑤⑥⑦✯ ⑧⑨⑩❶❷❸❹❺ ■❏✱❬✳✴✵✯
第十五讲分离变量法 第7页 解的物理意义 先看特解 un(z, t)=(Cn sin at+Dn cos tat)sin I An sin(wnt+5n) 其中 An cos 5n= Cn, An sin n= D ★un(x,t)代表一个驻波 ★ An sin hr表示弦上各点的振幅分布 ★sin(unt+bn)表示相位因子 ★山n是驻波的圆频率,称为两端固定弦的固有频率或本征频率,与初始条件无关 ★kn称为波数,是单位长度上波的周期数 ★6n是初相位,由初始条件决定 ★在knx=m,即x=m/kn=(m/m)l,m=0,1,2,3.…,n的各点上,振动的振幅恒为0,称 为波节 包括弦的两个端点在内,波节点共有n+1个 ★在knx=(m+1/2)丌,即x=(2m+1)m/2k=(2m+1)/2m,m=0.,1,2,3,…,n-1的各点上 振动振幅的绝对值恒为最大,称为波峰.波峰点共有n个 ★整个问题的解则是这些驻波的叠加 正是因为这个原因,这种解法也称为驻波法 就两端固定的弦来说,固有频率中有一个最小值, 称为基频,其他固有频率wn都是基频∞1的整数倍, 称为倍频 ★弦的基频就决定了所发声音的音调在弦乐器中,当弦的质料一定(即p一定)时,通过改 变弦的绷紧程度(即改变张力T的大小),就可以调节基频ω1的大小 ★解式中基频和倍频的叠加系数{Cn}和{Dn}的相对大小决定了声音的频谱分布,即决定了声 音的音色
Wu Chong-shi ❻❼❽❾ ❿➀➁➂➃ (➄) ➅ 7 ➆ ➇➈➉➊➋➌ ➍➎➏✽ un(x, t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x = An sin (ωnt + δn) sin knx, ➐ ➑ ωn = nπ l a, kn = nπ l , An cos δn = Cn, An sin δn = Dn. F un(x, t) ➒➓➔✳→➣ F An sin knx ➓↔↕◆➙➛✾➜➝P➞ F sin ωnt + δn ➓↔➟➠❈➡ F ωn ❅ →➣✾ ➢➤➥✶➦➧➨➩ ➫❇↕✾ ➫➭➤➥➯➲➳➤➥✶➵➸➺❭❪➻➼ F kn ➦➧➣✼✶❅➽➠➾➚◆➣✾➪➶✼ F δn ❅ ➸ ➟➠✶❂➸➺❭❪❆❇ F ❶ knx = mπ ✶➹ x = mπ/kn = (m/n)l, m = 0, 1, 2, 3, · · ·, n ✾➙➛◆✶➜➘✾➜➝➴➧ 0 ✶➦ ➧➣➷✯ ➬➮↕ ✾➨✳➩➛❶ ➱✶➣➷➛✃➭ n + 1 ✳✯ F ❶ knx = (m + 1/2)π ✶➹ x = (2m + 1)π/2kn = (2m + 1)l/2n, m = 0, 1, 2, 3, · · ·, n − 1 ✾➙➛◆✶ ➜➘➜➝✾❐❍❒➴➧❮❰✶➦➧➣Ï✯➣Ï➛✃➭ n ✳✯ F Ð ✳✴✵✾✽Ñ❅ ✱Ò→➣✾ÓÔ✯ ⑤① ÕÖ×ØÙ Õ✶ ×Ú❡✮ÛÜÖ ÝÞß ✯ ❋➨➩ ➫❇ ✾ ↕à❖✶➫➭➤➥ ➑➭➔ ✳❮á❒ ✶➹ ω1 = π l a, ➦➧ âã ✶➐ä ➫➭➤➥ ωn ✷ ❅å➤ ω1 ✾ Ð ✼æ✶ ωn = nω1, n = 2, 3, · · · , ➦➧ çã ✯ F ↕ ✾ å ➤❋❆❇●èéêë✾ ìí ✯❶ ↕îï ➑✶❸ ↕ ✾❊ð➔❇ (➹ ρ ➔❇) ❹✶ñòó ❘ ↕ ✾ôõö➚ (➹ó❘÷ø T ✾❰á) ✶❋ù⑧ú➷ å ➤ ω1 ✾❰á✯ F ✽û ➑å ➤ ❄ æ➤✾ÓÔ❃✼ {Cn} ❄ {Dn} ✾ ➟❍❰á❆❇●êë✾➤üP➞✶➹ ❆❇●ê ë ✾ ìý ✯
§15.1两端固定弦的自由振动(续 第8页 ★和数 与弦的总能量成正比,所以就决定了声音的强度 ★分离变量法的解和行波解的联系 将初始条件叭(x)和v(x)作奇延拓 (x)=-0(-x) o() 0≤x≤l, ax(x-a)+sm(+叫+∑ Bn cos -(a-at)-cos -(+at nato (x-at)+中(x+at)+ 和行波解的形式完全一致,只不过这里的(x)和(x)是由初始条件o(x)和(x)按照前面的法则 延拓而得的 这样得到的解式u(x,t),当然只适用于区间0≤x≤1中
Wu Chong-shi §15.1 þÿ✁✂✄ ☎✆✝✞ (✟) ➅ 8 ➆ F ❄ ✼ X∞ n=1 n 2 |Cn| 2 + |Dn| 2 ➵ ↕ ✾✠✡❙❯☛ ☞✶ è ⑧❋ ❆❇●êë✾ ✌✍ ✯ F ✎✏✑✒ß ➈➇✓✔Þ ➇➈✕✖ ⑩➸➺❭❪ φ(x) ❄ ψ(x) ✗✘✙✚ Φ(x) = −φ(−x), −l ≤ x ≤ 0, φ(x), 0 ≤ x ≤ l, Ψ(x) = −ψ(−x), −l ≤ x ≤ 0, ψ(x), 0 ≤ x ≤ l, ✛⑨✜ ✙✚➧➪➶➧ 2l ✾➪➶✢✼ (✣✤➧ Φ(x) ❄ Ψ(x)) ✯✱✥ ✙✚✾✦✧★✩● ❶➩➛ x = l ✪ ❅✘✙✚✯⑩ Φ(x) ❄ Ψ(x) ✫✬➧ Fourier ✻✼ Φ(x) = X∞ n=1 αn sin nπ l x, Ψ(x) = X∞ n=1 βn sin nπ l x, ➐ ➑ αn = 1 l Z l −l Φ(x) sin nπ l xdx = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx, βn = 1 l Z l −l Ψ(x) sin nπ l xdx = 2 l Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ➵✭✮❇✯ ✾ Cn ❄ Dn ➟ ☞✰✶❋ù⑧➎ ✯ αn = Dn, βn = nπa l Cn. è ⑧ u(x, t) = X∞ n=1 Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at sin nπ l x = 1 2 X∞ n=1 Dn h sin nπ l (x − at) + sin nπ l (x + at) i + 1 2 X∞ n=1 Cn h cos nπ l (x − at) − cos nπ l (x + at) i = 1 2 X∞ n=1 αn h sin nπ l (x − at) + sin nπ l (x + at) i + 1 2 X∞ n=1 βn nπa h cos nπ l (x − at) − cos nπ l (x + at) i = 1 2 [Φ(x − at) + Φ(x + at)] + 1 2a Z x+at x−at Ψ(x)dx. ❄✱ ➣✽✾✲û✳✴➔✵ ✶✶✷ò✱✸✾ Φ(x) ❄ Ψ(x) ❅ ❂➸➺❭❪ φ(x) ❄ ψ(x) ✹✺✭✮✾❚Ñ ✙✚❉✻✾✯ ✱✥✻✺✾✽û u(x, t) ✶❸✛✶❷✼✰✽✾ 0 ≤ x ≤ l ➑✯
第十五讲分离变量法 第9页 §15.2矩形区域内的稳定问题 分离变量法也适用于热传导方程和稳定问题(例如, Laplace方程)的定解问题 设有定解问题 B2+a2=0 < 0. 0≤y≤b, f(a) <r 仍用分离变量法求解.令 (a,y)=x(rr(y) ★代入方程,分离变量,即得 X"(x)Y(y)=-X(x)Y"(y) 于是就得到 X"(x) X(a) Y(y) 在这个等式中, 左端只是x的函数(与y无关)右端只是y的函数(与x无关 因此 Y"(y) X(a) =-A=X"(x)+AX(x) 和Y"(y)-MY(y)=0 代入关于x的一对齐次边界条件 X(0)Y(y)=0,、X(a)Y(y)=0 也可以分离变量得 X(0)=0,X(a)=0 这样,又得到了一个本征值问题 X"(a )+AX(r)=0, x(0)=0,X(a)=0. ★求解本征值问题 若A=0,常微分方程的通解是 代入(齐次)边界条件,得A0=0,B0=0.因此微分方程只有零解.→A=0不是本征值
Wu Chong-shi ❻❼❽❾ ❿➀➁➂➃ (➄) ➅ 9 ➆ §15.2 ✿❀❁❂ ❃❄❅❆❇❈ ❉ ❊❋●❍Û■❏❑ ▲▼◆❖P◗❘❣ ❜❝ (❙❚✶ Laplace ❖P) ❤❣❡ ❜❝✯ ❯➭ ❇ ✽✴✵ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 = 0, 0 < x < a, 0 < y < b, u x=0 = 0, ∂u ∂x x=a = 0, 0 ≤ y ≤ b, u y=0 = f(x), ∂u ∂y y=b = 0, 0 ≤ x ≤ a. ✣ ✼P◗❘❙❚❱✽✯❲ u(x, y) = X(x)Y (y), F ➒❳❨ö✶P◗❘❙✶➹✻ X00(x)Y (y) = −X(x)Y 00(y). ✰ ❅ ❋✻✺ X00(x) X(x) = − Y 00(y) Y (y) . ❶✱✳❩û ➑✶ ❬❭ ❪① x ❤♥♦ (❫ y ❴ ❵) ❛ ❭ ❪① y ❤♥♦ (❫ x ❴ ❵) ❈❜✶ X00(x) X(x) = − Y 00(y) Y (y) = −λ =⇒ X00(x) + λX(x) = 0 ❄ Y 00(y) − λY (y) = 0. F ➒❳ ➼❝ x ✾ ➔❍❞❡❢❣❭❪ X(0)Y (y) = 0, X0 (a)Y (y) = 0, ✪ù⑧P◗❘❙✻ X(0) = 0, X0 (a) = 0. ✱✥✶❤✻✺ ●➔✳➲➳❒ ✴✵ X00(x) + λX(x) = 0, X(0) = 0, X0 (a) = 0. F ✐ ➇❥❦❧♠♥ ♦ λ = 0 ✶♣qP ❨ ö✾ñ✽❅ X(x) = A0x + B0. ➒❳ (❞❡) ❢❣❭❪✶✻ A0 = 0, B0 = 0 r ❈❜qP ❨ ö✶➭s✽ r =⇒ λ = 0 ✷ ❅ ➲➳❒r
152矩形区域内的稳定问题 第10页 若λ≠0,常微分方程的通解就是 X(r)=Asin VAz+B cos vAr 代入(齐次)边界条件,得B=0,A≠0,cosa=0.于是,就求出了 本征值 0,1,2,3, 本征函数Xn(x)=sin 2n+1 相应地 于是,就得到了既满足 Laplace方程、又满足齐次边界条件的特解 2n+1 2n+1 2n+1 un(a, y)=(Cn sinh -y D, 将这无穷多个特解叠加起来,就得到一般解 C sinh 2a/y+D, costner)a 代入关于y的一对(非齐次)边界条件, D 2n+1 =f(x) 2n+1 2n+1 Cn cosh 2a 7b+ Dn sinh 0, 再次根据本征函数的正交归一性, 2n+1 2m+1 ordo n73 就可以求得 f(r) 和 C. cosh 2n+1 b=0 由此得 D tanb 2n+1 这样,就最后求出了矩形区域内 Laplace方程边值问题的级数解.如果知道了f(x)的具体形式, 就可以进一步求出叠加系数Cn和Dn的具体形式 这个问题是稳定问题,与时间t无关,因此不出现初始条件. 用分离变量法求解时,采用齐次边界条件构成本征值问题,而用非齐次边界条件定叠加系数
Wu Chong-shi §15.2 t✉✈✇ ①✄②✁③④ ➅ 10 ➆ ♦ λ 6= 0 ✶♣qP ❨ ö✾ñ✽❋❅ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx. ➒❳ (❞❡) ❢❣❭❪✶✻ B = 0, A 6= 0, cos √ λa = 0 r ❝ ❅ ✶❋❱ ✯● ➲➳❒ λn = 2n + 1 2a π 2 , n = 0, 1, 2, 3, · · · ➲➳✢✼ Xn(x) = sin 2n + 1 2a πx. ➟⑤⑥✶ Yn(y) = Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy. ❝ ❅ ✶❋✻✺ ●⑦⑧⑨ Laplace ❨ ö⑩❤⑧⑨❞❡❢❣❭❪✾➏✽ un(x, y) = Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy sin 2n + 1 2a πx. ⑩✱➻❶❷✳➏✽ÓÔ❸ à ✶❋✻✺ ➔❹ ✽ u(x, y) = X∞ n=0 Cn sinh 2n + 1 2a πy + Dn cosh 2n + 1 2a πy sin 2n + 1 2a πx. ➒❳ ➼❝ y ✾ ➔❍ (❺❞❡) ❢❣❭❪✶ u y=0 = X∞ n=0 Dn sin 2n + 1 2a πx = f(x), ∂u ∂y y=b = X∞ n=0 2n + 1 2a π Cn cosh 2n + 1 2a πb + Dn sinh 2n + 1 2a πb sin 2n + 1 2a πx = 0, ✜ ❡❻❼➲➳✢✼✾☛❽❾➔ ❁✶ Z a 0 sin 2n + 1 2a πx sin 2m + 1 2a πxdx = a 2 δnm, ❋ù⑧❱✻ Dn = 2 a Z a 0 f(x) sin 2n + 1 2a πxdx ❄ Cn cosh 2n + 1 2a πb + Dn sinh 2n + 1 2a πb = 0, ❂❜✻ Cn = −Dn tanh 2n + 1 2a πb. ✱✥✶❋❮⑨❱ ✯●❿ ✲✽➀ ➱ Laplace ❨ ö ❢❒ ✴✵✾✻✼✽r➁✧➂➃● f(x) ✾➄➅✲û✶ ❋ù⑧➆ ➔➇ ❱ ✯ ÓÔ❃✼ Cn ❄ Dn ✾➄➅✲û r F ✱✳✴✵❅➈❇ ✴✵✶➵❹✾ t ➻➼✶❈❜✷ ✯➉➸➺❭❪r F ✼P◗❘❙❚❱✽❹✶➊✼ ❞❡❢❣❭❪➋❯➲➳❒ ✴✵✶❉✼ ❺❞❡❢❣❭❪❇ ÓÔ❃✼r
