第二部分数学物理方程
第二部分 数学物理方程
第十二章数学物理方程 和定解条件 说明 ★本章计划讲授学时:6
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第十二章数学物理方程和定解条件 第1页 第十二章数学物理方程和定解条件 数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程, 有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程例如, ·静电势和引力势满足的 LaplacePoisson方程或方程 ·波的传播所满足的波动方程 ·热传导问题和扩散问题中的热传导方程 ·连续介质力学中的Navier-StockesEuler-方程组和方程组 ·描写电磁场运动变化的 Maxwell方程组 ·作为微观物质运动基本规律的 SchrodingerDirac方程和方程 ·弹性力学中的 Saint-Venant-方程组 等等.这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程().所以,本课程将集中讨论几种典型的二阶 线性偏微分方程 本章从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程以后讨论这些方程的一般性质 及解法
第十二章 数学物理方程和定解条件 第 1 页 第十二章 数学物理方程和定解条件 数学物理方程，通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程， 有时也包括与此有关的积分方程、微分积分方程和常微分方程．例如， • 静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程 • 波的传播所满足的波动方程 • 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 • 连续介质力学中的Navier–Stockes方程组和Euler方程组 • 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 • 作为微观物质运动基本规律的Schr¨odinger方程和Dirac方程 • 弹性力学中的Saint-Venant方程组 等等．这些方程(组)多是二阶线性偏微分方程(组)．所以，本课程将集中讨论几种典型的二阶 线性偏微分方程． 本章从一些物理问题导出一些典型的二阶线性偏微分方程．以后讨论这些方程的一般性质 及解法．
12.1弦的横振动方程 §121弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上 作小振动.列出弦的横振动方程 图121 取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x=0与x=l 设u(x,t)是坐标为的弦上一点在时刻的(横向)位移.在弦上隔离出长为dr的一小段(弦 ).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点 分析弦元受力:它在两个端点x及x+dx处受到张力的作用 因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力——张力T的作用,而没有法向应力.同 时,略去了重力的作用 因此有 (Tsin 0)z= dn (T cos 0)x+dz -(T cos O)x=0 小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dx,t)-a(x,t),与dx相 比是一个小量,即 Jau/ax<1 在小振动近似下, sinb≈tan6 略去了“的三级项 略去了一一的二级项 这样,就有 (T)x+dx-(T)x=0 (T)x 说明T不随x变化,弦中各点的张力相等.于是, 2=T(
§12.1 弦的横振动方程 第 2 页 §12.1 弦的横振动方程 有一个完全柔软的均匀弦，沿水平直线绷紧，而后以某种方法激发，使弦在同一个平面上 作小振动．列出弦的横振动方程． 图12.1 弦的横振动 tan θ1 = µ ∂u ∂x ¶ x , tan θ2 = µ ∂u ∂x ¶ x+dx 取弦的平衡位置为x轴，且令端点坐标为x = 0与x = l． 设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)位移．在弦上隔离出长为dx的一小段(弦 元)．弦元的弦长足够小，以至于可以把它看成是质点． 分析弦元受力：它在两个端点x及x + dx处受到张力的作用． 因为弦是完全柔软的，故只受到切向应力 张力T的作用，而没有法向应力．同 时，略去了重力的作用． 因此有 (T sin θ)x+dx − (T sin θ)x = dm ∂ 2u ∂t2 , (T cos θ)x+dx − (T cos θ)x = 0. 小振动近似：x+ dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+ dx, t)−u(x, t)，与dx相 比是一个小量，即 |∂u/∂x| ¿ 1. 在小振动近似下， sin θ ≈ tan θ = ∂u ∂x µ 略去了 ∂u ∂x的三级项 ¶ , cos θ ≈ 1 µ 略去了 ∂u ∂x的二级项 ¶ . 这样，就有 (T)x+dx − (T)x = 0 即 (T)x+dx = (T)x, 说明T不随x变化，弦中各点的张力相等．于是， ρdx ∂ 2u ∂t2 = T "µ ∂u ∂x¶ x+dx − µ ∂u ∂x¶ x # = T ∂ 2u ∂x2 dx
12.1弦的横振动方程 第3页 其中p是弦的线密度(单位长度的质量).定义 则方程可以写成 at a就是弦的振动传播速度 还可以证明:在小振动近似下,张力T与t无关.这是因为弦元的伸长 ds- dr du2tdr2-dx 所以,在准确到∂u/ar的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变 化.因此,按照 Hooke定律,T也不随时间变化 前面又已经证明过,T也不随x变化,所以T是一个常数 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作 位长度所受的外力为f,则仿照 前面的推导,有 a-u a1 Toady+fdr 因此 -- 其中的非齐次项f/p是单位质量所受的外力
§12.1 弦的横振动方程 第 3 页 即 ρ ∂ 2u ∂t2 − T ∂ 2u ∂x2 = 0, 其中ρ是弦的线密度(单位长度的质量)．定义 a = r T ρ , 则方程可以写成 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0. a就是弦的振动传播速度． 还可以证明：在小振动近似下，张力T与t无关．这是因为弦元的伸长 ds − dx = p du 2 + dx 2 − dx = s 1 + µ ∂u ∂x¶2 − 1 dx = O µ µ∂u ∂x¶2 ¶ , 所以，在准确到∂u/∂x的一级项(即小振动近似)的条件下，弦元的长度不随时间变 化．因此，按照Hooke定律，T也不随时间变化． 前面又已经证明过，T也不随x变化，所以T是一个常数． 如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用，设单位长度所受的外力为f，则仿照 前面的推导，有 ρdx ∂ 2u ∂t2 = T ∂ 2u ∂x2 dx + fdx. 因此， ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = f ρ , 其中的非齐次项f /ρ是单位质量所受的外力．
§122杆的纵振动方程 第4页 §122杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆,沿杆长方向作小振动.假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情 况(即位移)完全相同 (a) 图122杆的纵振动应力与应变 ★如图12.2,取杆长方向为x轴方向,垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡位置x标记 ★在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x,t ★在杆中隔离出一小段(x,x+dx),分析受力 通过截面x,受到弹性力P(x,t)S的作用 ·通过截面x+dx受到弹性力P(x+dx,t)S的作用 P(x,t)为单位面积所受的弹性力(应力),沿x方向为正 因此,根据 Newton第二定律,就得到 dm az=[P(a+dx, t)-P(a, t)S 若杆的密度为p,则dm=pdx:S a2u ap 如果略去垂直杆长方向的形变,根据Hoke定律,应力P与应变u/O成正比 比例系数E称为杆的 Young模量,它是一个物质常数.这样,就得到了杆的纵振动方程 a- 其中 E 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同,但它们满足的偏微分方程的形式却完全一 样.这一类方程统称为波动方程
§12.2 杆的纵振动方程 第 4 页 §12.2 杆的纵振动方程 考虑一均匀细杆，沿杆长方向作小振动．假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情 况(即位移)完全相同． 图12.2 杆的纵振动 应力与应变 F 如图12.2，取杆长方向为x轴方向，垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡位置x标记． F 在任一时刻t，此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t)． F 在杆中隔离出一小段(x, x + dx)，分析受力： • 通过截面x，受到弹性力P(x, t)S的作用 • 通过截面x + dx受到弹性力P(x + dx, t)S的作用 P(x, t)为单位面积所受的弹性力(应力)，沿x方向为正． 因此，根据Newton第二定律，就得到 dm ∂ 2u ∂t2 = [P(x + dx, t) − P(x, t)] S. 若杆的密度为ρ，则dm = ρ dx · S， ρ ∂ 2u ∂t2 = ∂P ∂x . 如果略去垂直杆长方向的形变，根据Hooke定律，应力P与应变∂u/∂x成正比 P = E ∂u ∂x, 比例系数E称为杆的Young模量，它是一个物质常数．这样，就得到了杆的纵振动方程 ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 其中 a = r E ρ . 杆的纵振动与弦的横振动机理并不完全相同，但它们满足的偏微分方程的形式却完全一 样．这一类方程统称为波动方程．
§122杆的纵振动方程 更一般地,在三维空间中的波动方程是 u=0 ax2 ay 2a 称为 Laplace算符, vV即va=V·(Va)
§12.2 杆的纵振动方程 第 5 页 更一般地，在三维空间中的波动方程是 ∂ 2u ∂t2 − a 2∇ 2 u = 0, 其中 ∇ 2 ≡ ∂ 2 ∂x2 + ∂ 2 ∂y2 + ∂ 2 ∂z2 称为Laplace算符， ∇ 2 = ∇ · ∇ 即 ∇ 2 u = ∇ · (∇u)
§123热传导方程 第6页 §123热传导方程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同.不同之处在于具体的物理规律 不同.这里用到的是热学方面的两个基本规律,即 能量守恒定律和热传导的 Fourier定律 热传导的 Fourier定律设有一块连续介质.取定一定坐标系,并用u(x,y,z,t)表示介质内 空间坐标为(x,y,2)的一点在时刻的温度.若沿x方向有一定的温度差,在x方向也就一定有热 量的传递,从宏观上看,单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比,即 q称为热流密度,k称为导热率 k与介质的质料有关,而且,严格说来,与温度u也有关系.但如果温度的变化范围 不大,则可以近似地将k看成与u无关 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反,即热量由高温流向低温 研究三维各向同性介质中的热传导,在介质中三个方向上都存在温度差,则有 Ox’qy=-k 或 即热流密度矢量q与温度梯度Vu成正比 根据 Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程. 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图123),六个面都和坐标面重合 图123热传导方程 位于(x,y,2)点的小六面体 ★△时间内沿x方向流入六面体的热量 qx)2-(q)2+△]△y△z△t=(k △y△z△t 0x)x+ ax2
§12.3 热 传 导 方 程 第 6 页 §12.3 热 传 导 方 程 推导热传导方程所用的数学方法和上面的完全相同．不同之处在于具体的物理规律 不同．这里用到的是热学方面的两个基本规律，即 能量守恒定律 和 热传导的Fourier定律． 热传导的Fourier定律 设有一块连续介质．取定一定坐标系，并用u(x, y, z, t)表示介质内 空间坐标为(x, y, z)的一点在t时刻的温度．若沿x方向有一定的温度差，在x方向也就一定有热 量的传递．从宏观上看，单位时间内通过垂直x方向的单位面积的热量q与温度的空间变化率成 正比，即 q = −k ∂u ∂x, q称为热流密度，k称为导热率． k与介质的质料有关，而且，严格说来，与温度u也有关系．但如果温度的变化范围 不大，则可以近似地将k看成与u无关． 上面公式中的负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热量由高温流向低温． 研究三维各向同性介质中的热传导，在介质中三个方向上都存在温度差，则有 qx = −k ∂u ∂x, qy = −k ∂u ∂y , qz = −k ∂u ∂z , 或 q = −k∇u, 即热流密度矢量q与温度梯度∇u成正比． 根据Fourier定律和能量守恒定律推导均匀各向同性介质中的热传导方程． 在介质内部隔离出一个平行六面体(见图12.3)，六个面都和坐标面重合． 图12.3 热传导方程 位于(x, y, z)点的小六面体 F ∆t时间内沿x方向流入六面体的热量 £ (qx)x − (qx)x+∆x ¤ ∆y∆z∆t = h µ k ∂u ∂x¶ x+∆x − µ k ∂u ∂x¶ x i ∆y∆z∆t = k ∂ 2u ∂x2 ∆x∆y∆z∆t
§123热传导方程 ★△时间内沿y方向流入六面体的热量 -u △x△z△t=k△x△y△z△t ★在△时间内沿z方向流入六面体的热量 q)2-(q-)+△3]△z△△t=k2△x△y△△ 如果六面体内没有其他热量来源或消耗,则根据能量守恒定律,净流入的热量应该等于介质在 此时间内温度升高所需要的热量, dr2 ay 2 az △x△y△z△t=p△x△y 所以 其中p是介质的密度,c是比热容 k/pc,则有 其中称为扩散率,或温度传导率 位体积介质中产生的热量为F(x,y,2,1,应发生,或通有电流, 如果在介质内有热量产生(例如,有化学反 ,单位时间内单 kvu△x△y△z△t+F(x,y,z,t)△r△y△z△t=p△r△y△z:c:△u (, y, z, t)=f(a, y, z, t) 如果介质不均匀,则导热率k与坐标(x,y,2)有关.这时,热传导方程就变为 V·(kVu)=F(x,y,2,t) 热传导方程的另一种形式令j=pcu,称为热流(强度),则 +v F(a, y,z, t) 这个方程常称为连续性方程 如果是各向异性介质,则 Fourier定律应改写成 K. Vu
§12.3 热 传 导 方 程 第 7 页 F ∆t时间内沿y方向流入六面体的热量 h (qy)y − (qy)y+∆y i ∆x∆z∆t = k ∂ 2u ∂y2 ∆x∆y∆z∆t, F 在∆t时间内沿z方向流入六面体的热量 £ (qz)z − (qz)z+∆z ¤ ∆x∆y∆t = k ∂ 2u ∂z2 ∆x∆y∆z∆t. 如果六面体内没有其他热量来源或消耗，则根据能量守恒定律，净流入的热量应该等于介质在 此时间内温度升高所需要的热量， k µ ∂ 2u ∂x2 + ∂ 2u ∂y2 + ∂ 2u ∂z2 ¶ ∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u. 所以 ∂u ∂t − k ρc ∇ 2 u = 0, 其中ρ是介质的密度，c是比热容． 令κ = k/ρc，则有 ∂u ∂t − κ∇ 2 u = 0, 其中κ称为扩散率，或温度传导率． 如果在介质内有热量产生(例如，有化学反应发生，或通有电流，· · · · · ·)，单位时间内单 位体积介质中产生的热量为F(x, y, z, t)，则有 k∇ 2 u∆x∆y∆z∆t + F(x, y, z, t)∆x∆y∆z∆t = ρ∆x∆y∆z · c · ∆u, ∂u ∂t − κ∇ 2 u = 1 ρc F(x, y, z, t) = f(x, y, z, t). 如果介质不均匀，则导热率k与坐标(x, y, z)有关．这时，热传导方程就变为 ρc ∂u ∂t − ∇ · (k∇u) = F(x, y, z, t). 热传导方程的另一种形式 令j = ρcu，称为热流(强度)，则 ∂j ∂t + ∇ · q = F(x, y, z, t). 这个方程常称为连续性方程． 如果是各向异性介质，则Fourier定律应改写成 q = −K · ∇u
§123热传导方程 第8页 这里的K是一个3×3矩阵,它和Vu按矩阵乘法的规则相乘.q和Vu都是列矢量 相应地,热传导方程变为 V·(K.Va)=F(x,y,z,t) 从分子运动的角度看,温度的高低是分子热运动激烈程度的反映.分子热运动的不平衡 通过碰撞交换能量,在宏观上就表现为热量的传递.可以设想,如果介质内存在别种不均匀状 况,例如物质浓度的不均匀,通过分子的运动也会发生物质的交换,这在宏观上就表现为分子 的扩散.这种在微观机理上的相似性,就决定了扩散方程和热传导方程有相同的形式, at-Dv-u=f(r, y, 其中的u(x,y,z,t)代表分子浓度,D是扩散率,f(x,y,z,t)则是单位时间内在单位体积中该种 分子的产率
§12.3 热 传 导 方 程 第 8 页 这里的K是一个3 × 3矩阵，它和∇u按矩阵乘法的规则相乘．q和∇u都是列矢量. 相应地，热传导方程变为 ρc ∂u ∂t − ∇ · (K · ∇u) = F(x, y, z, t). 从分子运动的角度看，温度的高低是分子热运动激烈程度的反映．分子热运动的不平衡， 通过碰撞交换能量，在宏观上就表现为热量的传递．可以设想，如果介质内存在别种不均匀状 况，例如物质浓度的不均匀，通过分子的运动也会发生物质的交换，这在宏观上就表现为分子 的扩散．这种在微观机理上的相似性，就决定了扩散方程和热传导方程有相同的形式， ∂u ∂t − D∇ 2 u = f(x, y, z, t), 其中的u(x, y, z, t)代表分子浓度，D是扩散率，f(x, y, z, t)则是单位时间内在单位体积中该种 分子的产率．