第十四章分离变量法 说明 ★本章计划讲授学时:6
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第十四章分离变量法 第1页 第十四章分离变量法 偏微分方程定解问题的最常用解法,分离变量法 解常微分方程定解问题时,通常总是先求出微分方程的特解,由线性无关的特解 叠加出通解,而后用定解条件(例如初条件)定出叠加系数. 一阶线性偏微分方程的求解问题,基本的方法也是转化为一阶线性常微分方程组 的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题,情况有些不同:即使可以先求出偏 微分方程的通解,由于通解中含有待定函数,一般说来,难以直接根据定解条件 定出.为了求解偏微分方程的定解问题,就必须把求解步骤加以适当的修改
1oÙ © l C þ { 1 1 1oÙ © l C þ { ©§½)¯K~^){§©lCþ{© )~©§½)¯K§Ï~o´k¦Ñ©§A)§d5Ã'A) U\ÑÏ)§ ^½)^(~XÐ^)½ÑU\Xê© 5 ©§¦)¯K§Ä {´=z 5~©§| ¦)¯K© éu ±9p ©§½)¯K§¹k ØÓµ=¦±k¦Ñ ©§Ï)§duÏ)¥¹k½¼ê§`5§J±â½)^ ½Ñ© ¦) ©§½)¯K§Ò7Lr¦)Ú½\±·?U©
14.1两端固定弦的自由振动 第2页 14.1两端固定弦的自由振动 定解问题考虑长为l、两端固定的弦的自由振动,方程及定解条件为 a+2 00, 0 0 t≥0 u=0=()mH|=(a),0≤x≤ 方程和边界条件都是齐次的,而初始条件是非齐次的 我们希望求得的特解具有分离变量的形式,即 u(a, t)=X(r(t) ★将u(x,t)代入方程,即得 等式两端除以X(x)T() 1T"(t)X"(x) 在这个等式中, 左端只是t的函数(换句话说,与x无关) 右端只是x的函数(换句话说,与t无关) 因此,左端和右端相等,就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数.设为一λ,上面的 结果就可以化成 T"(t)+Ma2T(t)=0 "(x)+AX(x)=0. ★将u(x,t)代入边界条件,得 x(0)T(t)=0,X(D)T(t)=0. 这时必须有 x(0)=0,X()=0 这样就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的 第一步:分离变量 ★目标分离变量形式的非零解u(x,t)=X(x)T(t) ★结果函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程
14.1 üà½ugdÄ 1 2 14.1 üà½ugdÄ ½)¯K Äl!üà½ugdħ§9½)^ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u ¯ ¯ x=0 = 0, u ¯ ¯ x=l = 0, t ≥ 0, u ¯ ¯ t=0 = φ(x), ∂u ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. §Ú>.^Ñ´àg§ Щ^´àg© ·F"¦A)äk©lCþ/ª§= u(x, t) = X(x)T(t). F òu(x, t)\§§= X(x)T 00(t) = a 2X 00(x)T(t). ªüàرX(x)T(t)§ 1 a 2 T 00(t) T(t) = X 00(x) X(x) . 3ù ª¥§ à´t¼ê (é{`§xÃ') mà´x¼ê (é{`§tÃ') Ïd§àÚmà §Ò7LÓ uQxÃ'!qtÃ'~ê©−λ§þ¡ (JÒ±z¤ T 00(t) + λa2 T(t) = 0, X 00(x) + λX(x) = 0. F òu(x, t)\>.^§ X(0)T(t) = 0, X(l)T(t) = 0. ù7Lk X(0) = 0, X(l) = 0. ùÒ¤ ^©lCþ{¦) ©§½)¯K 1Úµ©lCþ F 8I ©lCþ/ª")u(x, t) = X(x)T(t) F (J ¼êX(x)÷v~©§Ú>.^±9T(t)÷v~©§
14.1两端固定弦的自由振动 第3页 条件偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数X(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常 数λ,定解条件是一对齐次边界条件.这样的定解问题不同于常微分方程的初值 问题 并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零 解 只有当λ取某些特定值时,才有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的 非零解X(x) A的这些特定值称为本征值, 相应的非零解称为本征函数 函数X(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 [第二步:求解本征值问题 ★若λ=0,微分方程的通解是 (a)=Ao.T Be 代入边界条件 (0)=0,X(l)=0 就可以定出 这说明λ=0时微分方程只有零解.换句话说,入=0不是本征值 ★当入≠0时,常微分方程 x"(x)+AX(x)=0 的通解是 X(r) sIn 代入边界条件,就有 B=0. AsinVl=o 因为A≠0,故必有√A=n丌,即 本征值An= 1.2.3. 相应的本征函数就是
14.1 üà½ugdÄ 1 3 F ^ ©§Ú>.^Ñ´àg y3Ñy¼êX(x)~©§½)¯K§A:´µ©§¥¹k½~ ê맽)^´éàg>.^©ù½)¯KØÓu~©§Ð ¯K© ¿éu?Ûλ§ÑkQ÷vàg~©§!q÷vàg>.^" )© kλ, A½§âkQ÷vàg~©§!q÷vàg>.^ ")X(x)© λù A½¡ § A")¡ ¼ê© ¼êX(x)~©§½)¯K§¡ ¯K© 1Úµ¦) ¯K F eλ = 0§©§Ï)´ X(x) = A0x + B0. \>.^ X(0) = 0, X(l) = 0, Ò±½Ñ A0 = 0, B0 = 0. ù`²λ = 0©§k")©é{`§λ = 0Ø´ © F λ 6= 0§~©§ X 00(x) + λX(x) = 0 Ï)´ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx, \>.^§Òk B = 0, A sin √ λl = 0. ÏA 6= 0§7k √ λl = nπ§= λn = ³nπ l ´2 , n = 1, 2, 3, · · · . A ¼êÒ´ Xn(x) = sin nπ l x.
14.1两端固定弦的自由振动 第4页 这样求得的本征值有无穷多个,它们可以用正整数n标记,因此,在上面的结果中,把本征值 和相应的本征函数都记为入n和Xn(x) 步:求特解,并叠加出一般解 在求解了本征值问题后,对于每一个本征值λn,由方程 T"(t)+Ma2T(t)=0 可以求出相应的Tn(t), Tn(t)=Cn sin at+ Dn coat 因此,也就得到了满足偏微分方程和边界条件的特解 nT un(a, t)=(C at+Dn cos at (n=1,2,3,……) ★这样的特解有无穷多个 ★每一个特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 ★一般说来,单独任何一个特解不可能也恰好满足定解问题中的初始条件,即一般无法找 到常数Cn和Dn,满足 Dn sin ta=o(z), Cn[sin t-a= v(z) ★偏微分方程和边界条件都是齐次的,把它们的(任意有限个)特解叠加起来,仍然是满足齐 次方程和齐次边界条件的解.是否可能满足初始条件? ★把全部无穷多个特解叠加起来 (er,t)=2(Cn sin at+ Dn cos t -at)sin -, 只要级数具有足够好的收敛性(例如,可以逐项求二阶偏微商),那么,这样得到 的u(x,t)也仍然是齐次偏微分方程在齐次边界条件下的解 这种形式的解称为一般解.它不同于偏微分方程的通解,因为一般解不只是满足 偏微分方程,而且满足齐次边界条件 如何选择一般解中的叠加系数Cn和Dn? sin I=o(r), ∑ Cn-tsin"x=(a)
14.1 üà½ugdÄ 1 4 ù¦ káõ§§±^ênIP§Ïd§3þ¡(J¥§r ÚA ¼êÑPλnÚXn(x)© 1nÚµ¦A)§¿U\Ñ) 3¦) ¯K§éuz λn§d§ T 00(t) + λa2 T(t) = 0 ±¦ÑATn(t)§ Tn(t) = Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at. Ïd§Ò ÷v ©§Ú>.^A) un(x, t) = ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x (n = 1, 2, 3, · · ·). F ùA)káõ F zA)Ñ÷vàg ©§Úàg>.^ F `5§üÕ?ÛA)ØUTÐ÷v½)¯K¥Ð©^§=Ã{é ~êCnÚDn§÷v Dn sin nπ l x = φ(x), Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x). F ©§Ú>.^Ñ´àg§r§(?¿k)A)U\å5§E,´÷và g§Úàg>.^)©´ÄU÷vЩ^º F r ÜáõA)U\å5 u(x, t) = X∞ n=1 ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x, ?êäkv ÐÂñ5(~X§±Å¦ û)§@o§ù u(x, t)E,´àg ©§3àg>.^e)© ù«/ª)¡)©§ØÓu ©§Ï)§Ï)Ø´÷v ©§§ ÷vàg>.^ XÛÀJ)¥U\XêCnÚDnº X∞ n=1 Dn sin nπ l x = φ(x), (z) X∞ n=1 Cn nπa l sin nπ l x = ψ(x) (>)
14.1两端固定弦的自由振动 第5页 第四步:利用本征函数的正交性定叠加系数 论依据本征函数的正交性 在(必)式两端同乘以 lsin = r,逐项积分,就得到 p(a)sin--cdz >Disin SaNada Dn/sin 所以 φ(x)sinx,rdar 同样,由(※)式,可以得到 Cn- 2 v(a)sir 这样,根据初始条件中的己知函数(x)和v(x),就可以得到叠加系数Cn和Dn,从而就求得了 整个定解问题的解 ★本征函数正交性的证明 设Xn(x)=出了和Xm(x) x是分别对应于本征值入n和Am的两个本征函数,An m(即n≠m).它们分别满足 Xn()+An Xn(a)=0, Xn(0)=0,Xn(l)=0 Xm2(0)=0,Xm()=0 用Xm(x)乘以Xn(x)的方程,用Xn(x)乘以Xm(x)的方程,相减,并在区间[0,0上积分,即得 Xn(a)Xm(a)-Xm(r)Xn(a)dr [Xn (z)X m(=)-Xm(a)Xn(x)]=0 上面用到了Xn(x)和Xm(x)满足的边界条件,考虑到入n≠Mm,就证得本征函数的正交性
14.1 üà½ugdÄ 1 5 1oÚµ|^ ¼ê5½U\Xê nØâ ¼ê5 Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m. 3(z)ªüàÓ¦±sin mπ l x§ÅÈ©§Ò Z l 0 φ(x) sin mπ l xdx = Z l 0 X∞ n=1 Dn sin nπ l x sin mπ l xdx = X∞ n=1 Dn Z l 0 sin nπ l x sin mπ l xdx = Dm · l 2 . ¤± Dn = 2 l Z l 0 φ(x) sin nπ l xdx. Ó§d(>)ª§± Cn = 2 nπa Z l 0 ψ(x) sin nπ l xdx. ù§âЩ^¥®¼êφ(x)Úψ(x)§Ò±U\XêCnÚDn§l Ò¦ ½)¯K)© F ¼ê5y² Xn(x) = sin nπ l xÚXm(x) = sin mπ l x ´©OéAu λnÚλmü ¼ê§λn 6= λm(=n 6= m)©§©O÷v X 00 n(x) + λnXn(x) = 0, Xn(0) = 0, Xn(l) = 0, Ú X 00 m(x) + λmXm(x) = 0, Xm(0) = 0, Xm(l) = 0. ^Xm(x)¦±Xn(x)§§^Xn(x)¦±Xm(x)§§~§¿3«m[0, l]þÈ©§= (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = Z l 0 £ Xn(x)X 00 m(x) − Xm(x)X 00 n(x) ¤ dx = £ Xn(x)X 0 m(x) − Xm(x)X 0 n(x) ¤ ¯ ¯ ¯ l 0 = 0. þ¡^ Xn(x)ÚXm(x)÷v>.^©Äλn 6= λm§Òy ¼ê5 Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m.
14.1两端固定弦的自由振动 6页 △在上面的证明中只用到了 1.本征函数满足的微分方程 2.本征函数满足的边界条件 没有用到本征函数的具体函数形式 △因此,只要本征函数满足的微分方程为 x"(x)+AX(x)=0 (An -Am)/Xn(=)Xm(a)dr Ln(a)Xm(a)-Xm(a)Xn(a) 仍然成立 △如果将本征函数满足的边界条件改为 1X(0)+B1X(0)=0 a2X(1)+B2X'()=0, 其中a1和B1、a2和B2均不同时为0,则有 Xn(0)+1Xn(O)=0, Xm(O)+1Xm(0)=0 n()+B2Xn() a2Xm()+B2Xm()=0 因为a1和61不同时为0,所以 Xn(0)Xn(0) Xm(0)m0/≈0. 又因为a2和B2不同时为0,所以又有 m() ★结论:对于本征值问题 X"(x)+λX(x)=0 (0)+月1X'(0) a2X(1)+B2X()=0
14.1 üà½ugdÄ 1 6 4 3þ¡y²¥^ µ 1. ¼ê÷v©§ 2. ¼ê÷v>.^ vk^ ¼êäN¼ê/ª 4 Ïd§ ¼ê÷v©§ X 00(x) + λX(x) = 0, K(J (λn − λm) Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = £ Xn(x)X 0 m(x) − Xm(x)X 0 n(x) ¤ ¯ ¯ ¯ l 0 E,¤á© 4 XJò ¼ê÷v>.^U α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X 0 (l) = 0, Ù¥α1Úβ1!α2Úβ2þØÓ0§Kk α1Xn(0) + β1X 0 n(0) = 0, α1Xm(0) + β1X 0 m(0) = 0 Ú α2Xn(l) + β2X 0 n(l) = 0, α2Xm(l) + β2X 0 m(l) = 0. Ïα1Úβ1ØÓ0§¤± ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Xn(0) X0 n(0) Xm(0) X 0 m(0) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. qÏα2Úβ2ØÓ0§¤±qk ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ Xn(l) X 0 n(l) Xm(l) X 0 m(l) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. F (صéu ¯K X 00(x) + λX(x) = 0, α1X(0) + β1X 0 (0) = 0, α2X(l) + β2X 0 (l) = 0
14.1两端固定弦的自由振动 第7页 本征函数的正交性 Xn(a)Xm(r)d: 仍然成立 △上面的边界条件涵盖了一、二、三类三种类型的边界条件 征函数模方① IX=h ★波动在两端固定弦上的传播过程 为了简单起见,仍以单纯由初位移引起的波动为例 当t>0时,初位移也像在无界弦上分别向左右传播,不同之处是到达端点x=0或x= 时,必须反射回来,并伴有额外的相位损失π(即在端点x=0和x=1必须作奇延拓,这是由两 端固定这样的边界条件决定的).就弦上任意一点在任意一个时刻的位移而言,它就是初位移 在两个端点间多次反复反射而叠加出的结果.对于初速度激发的波动,当然也可以类似地讨 论 ★弦的总能量 在任一时刻t,弦的动能和位能分别是 总能量为 01)2 0=(m)d+/r(m 将解式代入,利用本征函数的正交归一性,就容易求得 E(t) 等式右端显然是常数,与t无关,即弦的总能量守恒② ①‖Xn‖的倒数常称为本征函数的归一因子.这是因为 即本征函数Xn(x)/‖Xn的模为1.另外,还可以合并写成 本征函数的正交归一性 更严格的办法是仿照136节的作法,直接推出dE/dt=-2,而不依赖于具体的求解方法(例如,分离变量法)
14.1 üà½ugdÄ 1 7 ¼ê5 Z l 0 Xn(x)Xm(x)dx = 0, n 6= m E,¤á© 4 þ¡>.^ºX !!nan«a.>.^© F ¼ê kXnk 2 ≡ Z l 0 X 2 n(x)dx = l 2 . F ÅÄ3üà½uþDÂL§ {üå§E±üXdÐ £ÚåÅÄ~© t > 0§Ð £3Ã.uþ©OmD§ØÓ?´à:x = 0½x = l§7L£5§¿k π(=3à:x = 0Úx = l7LÛòÿ§ù´dü à½ù>.^û½)©Òuþ?¿:3?¿ £ ó§§Ò´Ð £ 3üà:mõgE U\Ñ(J©éuÐÝ-uÅħ,±aq/? Ø© F uoUþ 3?t§uÄUÚ U©O´ 1 2 Z l 0 ρ µ ∂u ∂t ¶2 dx Ú 1 2 Z l 0 T µ ∂u ∂x¶2 dx, oUþ E(t) = 1 2 Z l 0 ρ µ ∂u ∂t ¶2 dx + 1 2 Z l 0 T µ ∂u ∂x¶2 dx. ò)ª\§|^ ¼ê85§ÒN´¦ E(t) = mπ2 a 2 4l 2 X∞ n=1 n 2 £ |Cn| 2 + |Dn| 2 ¤ . ªmàw,´~ê§tÃ'§=uoUþÅð© kXnkê~¡ ¼ê8Ïf©ù´Ï 1 kXnk 2 Z l 0 X2 n(x) dx = 1 = ¼êXn(x)/kXnk 1©, §±Ü¿¤ Z l 0 Xn(x)Xm(x) dx = l 2 δnm. ¡ ¼ê85© î{´ì13.6!{§íÑdE/dt = −2§ Ø6uäN¦){(~X§©lCþ{)©
14.1两端固定弦的自由振动 第8页 ★解的唯一性 如果此定解问题有两个解,u1(x,t)和u2(x,t),那么,v(x,t)≡u1(x,t)-u2(x,t)就一定满足定 解问题 2 22u=0, 00, t≥0, 0 0,0≤x≤l. 只要能够证明υ(x,t)=o即可,从物理上可以判断,这肯定是正确的.从能量守恒的要求来 看,当t=0时弦的总能量为0,因此以后的任一时刻t,E(t)均为0.这意味着一定有 即v(x,t)为常数.由初始条件或边界条件,都能定出此常数为0 ★利用分离变量法求解偏微分方程定解问题的基本步骤 1.第一步,分离变量 这一步之所以能够实现,先决条件是偏微分方程和边界条件都是齐次的.而 分离变量的结果,是得到了(一个或多个)含有待定常数的齐次常微分方程和 齐次边界条件,即(一个或多个)本征值问题 2.第二步,求解本征值问题 3.第三步,求出全部的特解,并进一步叠加出一般解 显然事先没有任何理由弃去其中的任何一个特解 4.第四步,利用本征函数的正交性定叠加系数 严格说来,上面得到的还只是形式解.对于具体问题,还必须验证: 1.这样得到的a(x,t)是否满足偏微分方程,换句话说,级数解是否可以逐项求二阶偏微 商 2.这样得到的u(x,t)是否满足边界条件,换句话说,级数解的和函数是否连续; 3.在定叠加系数时,逐项积分是否合法
14.1 üà½ugdÄ 1 8 F )5 XJd½)¯Kkü)§u1(x, t)Úu2(x, t)§@o§v(x, t) ≡ u1(x, t) − u2(x, t)Ò½÷v½ )¯K ∂ 2 v ∂t2 − a 2 ∂ 2 v ∂x2 = 0, 0 0, v ¯ ¯ x=0 = 0, v ¯ ¯ x=l = 0, t ≥ 0, v ¯ ¯ t=0 = 0, ∂v ∂t ¯ ¯ ¯ t=0 = 0, 0 ≤ x ≤ l. U y²v(x, t) = 0=©lÔnþ±ä§ù½´(©lUþÅð¦5 w§t = 0uoUþ0§Ïd±?t§E(t) þ0©ù¿X½k ∂v ∂x = 0, ∂v ∂t = 0, =v(x, t)~ê©dЩ^½>.^§ÑU½Ñd~ê0© F |^©lCþ{¦) ©§½)¯KÄ Ú½ 1. 1Ú§©lCþ© ùÚ¤±U ¢y§kû^´ ©§Ú>.^Ñ´àg© ©lCþ(J§´ (½õ)¹k½~êàg~©§Ú àg>.^§=(½õ) ¯K© 2. 1Ú§¦) ¯K© 3. 1nÚ§¦Ñ ÜA)§¿?ÚU\Ñ)© w,¯kvk?ÛndïÙ¥?ÛA)© 4. 1oÚ§|^ ¼ê5½U\Xê© î`5§þ¡´/ª)©éuäN¯K§7Lyµ 1. ùu(x, t)´Ä÷v ©§§é{`§?ê)´Ä±Å¦ û¶ 2. ùu(x, t)´Ä÷v>.^§é{`§?ê)Ú¼ê´ÄëY¶ 3. 3½U\Xê§ÅÈ©´ÄÜ{©
14.1两端固定弦的自由振动 第9页 关于这三个问题,都涉及到级数解的收敛性.由于系数Cn和Dn是由(x)和v(x)决定的 因而(x)和v(x)的性质就决定了对这三个问题的回答 从理论上说,分离变量法的成功,要取决于下列几个条件: 1.本征值问题有解 2.定解问题的解一定可以按照本征函数展开,换句话说,本征函数的全体是完备的 3.本征函数一定具有正交性 以后将在适当时候回答这几个问题 解的物理意义 先看特解 un(a,t)=(Cn sin T at+Dn cos T at)sin T2 (wnt+5n)sin kn I, 其中 COS ★un(x,t)代表一个驻波 ★ An sin knr表示弦上各点的振幅分布 ★sin(ant+bn)表示相位因子 ★n是驻波的园频率,称为两端固定弦的固有频率或本征频率,与初始条件无关 ★kn称为波数,是单位长度上波的周期数 ★n是初相位,由初始条件决定 ★在knx=m丌,即x=m丌/kn=(m/m)l,m=0,1,2,3,…,n的各点上,振动的振幅恒 为0,称为波节 包括弦的两个端点在内,波节点共有n+1个 ★在knx=(m+1/2),即x=(2m+1)丌/2kn=(2m+1)l/2n,m=0,1,2,3,…,n-1的 各点上,振动振幅的绝对值恒为最大,称为波峰.波峰点共有n个 ★整个问题的解则是这些驻波的叠加 正是因为这个原因,这种解法也称为驻波法
14.1 üà½ugdÄ 1 9 'uùn¯K§Ñ9?ê)Âñ5©duXêCnÚDn´dφ(x) Úψ(x)û½§ Ï φ(x)Úψ(x)5Òû½ éùn¯K£© lnØþ`§©lCþ{¤õ§ûueA^µ 1. ¯Kk)¶ 2. ½)¯K)½±Uì ¼êÐm§é{`§ ¼ê N´¶ 3. ¼ê½äk5© ±ò3·ÿ£ùA¯K© )Ôn¿Â kwA) un(x, t) = ³ Cn sin nπ l at + Dn cos nπ l at´ sin nπ l x = An sin (ωnt + δn) sin knx, Ù¥ ωn = nπ l a, kn = nπ l , An cos δn = Cn, An sin δn = Dn. F un(x, t)L7Å F An sin knxL«uþ:Ì©Ù F sin ¡ ωnt + δn ¢ L« Ïf F ωn´7Å ªÇ§¡üà½ukªÇ½ ªÇ§Ð©^Ã' F kn¡Å꧴ü ÝþűÏê F δn´Ð §dЩ^û½ F 3knx = mπ§=x = mπ/kn = (m/n)l, m = 0, 1, 2, 3, · · · , n:þ§ÄÌð 0§¡Å!© )uüà:3S§Å!:kn + 1© F 3knx = (m + 1/2)π§=x = (2m + 1)π/2kn = (2m + 1)l/2n, m = 0, 1, 2, 3, · · · , n−1 :þ§ÄÌýéð§¡Å¸©Å¸:kn© F ¯K)K´ù 7ÅU\© ´Ïùϧù«){¡7Å{©