第十四讲(一)偏微分方程定解问题 14.1边界条件与初始条件 ★只根据Newton第二定律列出的动力学方程并不能唯一地确定质点的运动 ★要完全确定一个质点的运动,除了微分方程之外,还必须有初始条件否则二阶常微分方程 的通解中含有两个任意常数,因而解不是唯一确定的 ★只有偏微分方程,也不能唯一地、确定地描写某一个具体的物理过程 ★二阶偏微分方程的通解,含有两个任意函数例如,偏微分方程 2u(,y)=0 0x2 的通解就是 (, y) c1()+xc2(). 其中c1(y)和c2(y)是y的任意函数 仅有方程,而解并不唯一从物理上来看,也是自然的,因为 ★在推导方程时,只考虑了介质的内部,并没有考虑介质通过表面和外界的相互作用.因此, 严格说来,方程只适用于介质内部 ★如果问题与时间有关的话,在推导方程时也并没有考虑介质的历史状况.如果我们适当选取 计时的零点,那么,就可以说,方程也只适用于t>0的任一时刻 为了完全描写一个具有确定解的物理问题,在数学上就是要构成一个定解问题,这除了微分 方程之外,还必须有边界条件和初始条件 初始条件初始条件应该完全描写初始时刻(t=0时)介质内部及边界上任意一点的状况 ★对于波动方程来说,就是应该给出初始时刻的位移和速度(如果是力学问题的话), ut=o =(,y,2), =y(,y,z),(x,y,z)∈v. ot It= ★对于热传导方程,由于方程中只出现未知函数u(x,y,z,t)对t的一阶偏微商,所以只需给出
Wu Chong-shi ✁ ✂✄ (☎) ✆✝✞✟✠✡☛☞✌ §14.1 ✍✎✏✑✒✓✔✏✑ F ✕✖✗ Newton ✘✙✚✛✜✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬✭✮✯✚✰✱✣✲✤✳ F ✴✵✶✯✚✭✷✰✱✣✲✤✸✹✺✻✼✧★✽✾✸✿❀❁❂❃❄❅❆✳❇❈✙❉❊✻✼✧★ ✣❋● ❍■❂❏✷❑▲❊▼✸◆❖●✪P✬✭✯✚✣✳ F ✕❂◗✻✼✧★✸❘✪✫✬✭✮❙✯✚✮❚❯❱✭✷❲❳✣❨❩❬★✳ F ✙❉◗✻✼✧★✣❋●✸■❂❏✷❑▲❭▼✳❪❫✸◗✻✼✧★ ∂ 2u(x, y) ∂x2 = 0 ✣❋●❴P u(x, y) = c1(y) + xc2(y), ❵ ❍ c1(y) ❛ c2(y) P y ✣❑▲❭▼✳ ❜ ❂✧★✸❖●✩✪✬✭✳❝❨❩❞❡❢✸❘P ❣ ❤ ✣✸◆✐ F ❥❦❧✧★♠✸✕♥♦✺♣✰✣ qr✸✩s❂♥♦♣✰❋❬t✉❛✾✈✣✇①②③✳◆④✸ ⑤⑥⑦❡✸ ⑧⑨⑩❶❷❸❹❺❻❼✳ F ❫❽❾❿➀♠➁❂➂✣➃✸❥❦❧✧★♠❘✩s❂♥♦♣✰✣➄➅➆➇✳❫❽➈➉➊➋➌➍ ➎ ♠✣➏✱✸➐➑✸❴➒➓⑦ ✸ ⑧⑨➔⑩❶❷❸ t > 0 →➣↔↕➙✳ ✐✺✵✶❚❯✭✷❲❂✯✚●✣❨❩❾❿✸❥▼✦❞❴P✴➛➜✭✷✚●❾❿✸➝✹✺✻✼ ✧★✽✾✸✿❀❁❂➞✈❅❆❛❃❄❅❆✳ ➟➠➡➢ ➟➠➡➢➤➥➦➧➨➩➟➠↕➙ (t = 0 ↕) ❹❺❻❼➫➭➯➲➣➳↔➵→➸➺✳ F ➻➼➽✤✧★❡⑦ ✸❴P➾➚➪✢❃❄♠➶✣➹➘❛➴➷ (❫❽P✥✦❾❿✣➃) ✸ u t=0 = φ(x, y, z), ∂u ∂t t=0 = ψ(x, y, z), (x, y, z) ∈ V . F ➻➼➬➮❧✧★✸➱➼✧★ ❍✕✢✃❐❒❭▼ u(x, y, z, t) ➻ t ✣✭❉◗✻❮✸❰➓✕Ï➪✢
§14.1边界条件与初始条件 初始时刻的温度 (x,y,2),(x,y,z)∈ 边界亲件的形式比较多样化,要由具体问题中描述的具体状况决定.总的原则是:边界亲件 应该完全描写边界上各点在任一时刻(t≥0)的状况 弦的横振动如果弦的“两端固定”,则边界条件就是 u=0=0.ul=1=0.t≥0 杆的纵振动若x=0端固定,则x=0端的边界条件仍是 若另一端(x=l)受x方向上的外力作用,单位面积上的力 是F(t).模仿推导方程的办法,在端点x=l处截取一小块 介质,长度为ε.根据 Newton第二定律可知,这一小段介质 P(l-E, ts 所受的合力(外力加内应力),应该等于介质的质量乘以介质 I-e a=l 中某一点的加速度 图14.1端点所受外力与应力平衡 F(tS-P(l-E, t). 其中0≤a≤1.令E→0,并代入 则有 1 F(t) ·如果外力为0,即x=l端是自由的,则 ·如果外力F(t)不是一个确定的已知函数,而是由弹簧提供的弹性力,则 [a(,t) k是弹簧的劲度系数,于是, 热传导问题常见的边界条件有下列几种类型: ★边界上各点的温度已知
Wu Chong-shi §14.1 ÐÑÒÓÔÕÖÒÓ × 2 Ø ❃❄♠➶✣Ù➷ u t=0 = φ(x, y, z), (x, y, z) ∈ V . ➭➯➡➢ ✣ÚÛ ÜÝÞßà✸✴ ➱❲❳❾❿ ❍❚á✣❲❳➆➇â✚✳ ã→äåæç➭➯➡➢ ➤➥➦➧➨➩➭➯➲è➵é➣↔↕➙ (t ≥ 0) →➸➺✳ ê →ëìí ❫❽î✣ ï ðñòó ô ✸❈➞✈❅❆❴P u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0. õ →öìí ÷ x = 0 ñòó ✸❈ x = 0 ø✣➞✈❅❆ùP u x=0 = 0. ÷ ú↔ñ (x = l) û x ⑧ü➲→ýþÿ❷ ✸➹✉✁❞✣✥ P F(t) ✳✂✄❦❧✧★✣☎✆✸❥ø✱ x = l ✝✞➍✭✟✠ ♣✰✸✡ ➷✐ ε ✳✖✗ Newton ✘✙✚✛➒❒✸➝✭✟☛♣✰ ❰☞✣✌✥ (✾✥✍ q➾✥) ✸➾➚✎➼♣✰✣✰✏✑➓♣✰ ❍❱✭✱✣✍➴➷✸ ρεS ∂ 2u ∂t2 x=l−αε = F(t)S − P(l − ε, t)S, ✒ 14.1 ✓✔✕✖✗✘✙✚✘✛✜ ❵ ❍ 0 ≤ α ≤ 1 ✳✢ ε → 0 ✸✩✣✤ P = E ∂u ∂x, ❈❂ ∂u ∂x x=l = 1 E F(t). • ❫❽✾✥✐ 0 ✸✥ x = l ñ æ ✦✧→ ✸❈ ∂u ∂x x=l = 0. • ❫❽✾✥ F(t) ✪P✭✷✯✚✣ ★❒❭▼✸❖P ➱✩✪✫✬✣✩✭✥✸❈ F(t) = −k u(l, t) − u0 , k P✩✪✣✮➷✯▼✸➼P✸ ∂u ∂x + k E u x=l = k E u0. ✰✱✲✳✴ ❊✵✣➞✈❅❆❂✶✜✷✸✹✺ç F ➭➯➲è➵→✻✼✽✾✸ u Σ = φ(Σ, t).
第十四讲(一)偏微分方程定解问题 第3页 ∑表示边界上的变点,同时也表示这些点的坐标 单位时间内、通过单位面积的边界面流人的热量已知 在边界内侧截取一小薄层介质,一个底面在介质的表面, 另一个底面在介质内部.柱体的两底面积相等,厚度趋于0 根据能量守恒定律可知,介质从两个底面及侧面流入的热量 之和,应该等于这一块介质温度升高所需要的热量.但是,当 介质的厚度趋于0时,通过侧面流入的热量应该趋于0(因为 侧面积趋于0),介质的热容量趋于0(因为介质的质量趋于 0),因此,通过介质表面流入的热量,应当全部通过薄层的另 底面流向介质内部.于是,可以写出边界条件 图142边界面处的热流连续 rv(∑,t), 其中an1称为法向微商,它是梯度矢量在外法线方向n上的投影 nV即 ·边界绝热,则v≡0 ins ★介质通过边界按 Newton冷却定律散热:单位时间通过单位面积表面和外界交换的热量与介 质表面温度叫和外界温度uo之差成正比,设比例系数为H H(uIs-uo) 或者写成 +hu huo 上面出现的边界条件有一个共同的特点:就未知函数而言,它们都是线性的.再进一步细分 还可以分为三类: ★第一类边界条件:给出边界上各点的函数值 ★第二类边界条件:给出边界上各点函数的法向微商值 ★第三类边界条件:给出边界上各点的函数值与法向微商值之问的线性关糸
Wu Chong-shi ✿❀❁❂ (❃) ❄❅❆❇❈❉❊❋● × 3 Ø Σ t❍➞✈❞✣■✱✸❏♠❘t❍➝❑✱✣▲▼✳ F ◆❖↕P❻❙◗❘◆❖❙❚→➭➯❙❯❱→ ✰❲✽✾✳ ❥➞✈ q❳ ✞➍✭✟❨❩♣✰✸✭✷❬✉❥♣✰✣t✉✸ ❭ ✭✷❬✉❥♣✰ qr✳❪ ❳✣❏❬✉✁✇✎✸ ❫ ➷❴➼ 0 ✳ ✖✗✫✏❵❛✚✛➒❒✸ ❜❝❞❡❢❣ ❤✐❥ ❤❦❧♠ ♥♦ ♣q✸ rst✉✈✇①❜❝②③④ ⑤⑥⑦⑧♠ ♥♦✳ ⑨ P✸➋ ♣✰✣❫ ➷❴➼ 0 ♠✸❋❬❳ ✉⑩✤✣➬✏➾➚❴➼ 0 (◆✐ ❳ ✉✁❴➼ 0) ✸♣✰✣➬❶✏❴➼ 0 (◆✐♣✰✣✰✏❴➼ 0) ✸◆④✸❋❬♣✰t✉⑩✤✣➬✏✸➾➋✶r❋❬❨❩✣ ❭ ✭❬✉⑩ ❷♣✰ qr✳➼P✸➒➓❯✢➞✈❅❆ ∂u ∂n Σ = 1 k ψ(Σ, t), ✒ 14.2 ❸❹❺❻❼❽❾❿➀ ❵ ❍ ∂ ∂n ➁ ✐✆ ❷✻❮✸➂P➃➷➄✏❥✾✆➅✧ ❷ n ❞✣➆➇✸ ∂ ∂n = n · ∇ ✥ ∂u ∂n = n · (∇u). • ➭➯➈ ✰ ✸❈ ψ ≡ 0 ✸ ∂u ∂n Σ = 0. F ❹❺◗❘➭➯➉ Newton ➊➋ó➌➍✰ ç◆❖↕P◗❘◆❖❙❚➎❙➏ý➯➐➑→ ✰❲➒❹ ❺➎❙✻✼ u|Σ ➏ý➯✻✼ u0 ➓➔→➣↔ ✳↕ Ü❪✯▼✐ H ✸ −k ∂u ∂n Σ = H u Σ − u0 , ➙➛❯➜ ∂u ∂n + hu Σ = hu0. ❞✉✢✃✣➞✈❅❆❂✭✷➜❏✣➝✱ç❴❐❒❭▼❖➞✸➂➉➟P➅✭✣✳➠➡✭➢➤✼✸ ✿➒➓✼✐➥✹ç F ➦ ✇ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸♠➺➻➼ F ➦➽ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸➺➻♠➾ ➚➪➶➼ F ➦➹ ➧➨➩➫➭ç➯ ➲➨➩➳➵➸♠➺➻➼➘➾ ➚➪➶➼♣ ➴♠➷➬ ➮➱
§14.1边界条件与初始条件 第4页 在整个边界面上,各点的边界条件并不一定能冇统一的表达式,也不见得同属于一种 类型.其实上面讨论的弹性杄的边界条件,就是如此 ★无界空间的问题 这时的边界条件就应当给出未知函数在无穷远处的极限行为,例如 函数乃至它的导数在无穷远处有界 在有界空间的问题中,有时也要出现有界条件.例如,当我们采用极坐标糸、柱坐标糸 或球坐标亲时,偏微商∂u/ωr在坐标原点失去意义.因而需要针对具体情况,在坐标原 点补充上有界条件或其他条件
Wu Chong-shi §14.1 ÐÑÒÓÔÕÖÒÓ × 4 Ø ✃ ❐ ❢ ➨➩ ❤ ➳ ✸ ➵➸♠ ➨➩➫➭❒❮✇❰ÏÐÑ✇♠ÒÓÔ✸Õ ❮Ö× ØÙ✉✇Ú ➧Û✳Ü Ý➳ ❤Þß♠à➬á♠➨➩➫➭✸âãäå✳ F æ➯çP→ ✳✴ ➝♠✣➞✈❅❆❴➾➋ èéê✾ëìéæíîï→ðñòó ✸❪❫ ❭▼ôõ➂✣❧▼❥ö÷ø✝❂✈✳ ✃Ð➩ ù➴ ♠ úû ü✸ ÐýÕ⑧ ➲þÐ➩➫➭✳ ÿ ä✸✁✂✄☎✆✝✞ ➱❙ ✟ ✝✞ ➱ ✠✡✝✞ ➱ ý ✸ ☛ ➪➶ ∂u/∂r ✃ ✝✞☞➸✌✍✎✏✳✑✒⑦⑧✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜☞ ✢✣✤✥✦✧★✩✪✫✬★✩✭
第十四讲(一)偏微分方程定解问题 第5页 814.2定解问题的适定性 在什么条件下,定解问题的解是存在的,唯一的,并且是稳定的? 解的存在性——定解问题有解. 如果定解条件过多,互相矛盾,则定解问题无解,.例如,如果一方面要求弦的两端固定,另一 方面又要求它的端点受到确定的外力作用.这两个要求就是互相矛盾的 ★解的唯一性——定解问题的解是唯一的 如果定解条件不足,定解问题的解就不是唯一的 所以,要求定解问題的解存在并且唯一,就是要求定解问题抽象得“合理”,定解条件 要不多不少,恰到好处 ★解的稳定性—如果定解问题中的已知条件(例如方程或定解条件中的已知函数有微 小改变时,解也只有微小的改变 在构造定解间题时,不可避免地总要作简化和近似,显然,只有在稳定性所许可的限度内所 作的简化和近似才是有意义的 所谓定解问题解的存在性、唯一性和稳定性,统称适定性 只要对实际物理问题的抽象是合理的,初始条件的确是完全地、确定地描写了初始时刻(通常 取为t=0)体系内部以及边界面上任意一点的状况,边界条件的确是完全而且确定地描写了边界 面上任意一点在t≥0的状况,那么,这样构成的定解问题就一定是适定的,也就是说,解一定是 存在的、唯一的,并且是稳定的 与此相关的问题是,初始条件和边界条件中出现的已知函数必须满足一定的连续性要求 以热传导问题为例.如果边界条件是 u(x,y,2,t)=f(E,1 而初始条件是 u(x,y,2,t)=0=9(x,y,2) 那么,就应当有 f(,t)=0=叭(x,y,2) 有些定解问题不一定满足这个要求,可以设想,把初始温度分布为o(x,y,2)的一块介质 放到一个恒温环境(例如温度恒为o)中,从而使介质表面的温度也迅速达到恒温uo 如果要求的精度许可,介质表面冷却或升温过程的影响可以忽略,那么,就可以简单地 将边界条件写成
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (✲) ✳✴✵✶✷✸✹✺✻ ✼ 5 ✽ §14.2 ✾✿❀❁❂❃✾❄ ❅❆❇❈❉❊✙❋●❍■❏●❑▲❅ ❏✙▼◆❏✙❖P❑◗❋❏ ❘ F ●❏▲❅❙ ❋●❍■❚●✭ ❯❱❲❳❨❩❬❭✙ ❪❫❴❵✙ ❛❲❳❜❝❞❳✭❡❯✙ ❯❱❢❣❤✐❥❦❧♠♥ ♦❲✙ ♣❢ ❣❤q✐❥r❧♥st✉✈❲❧✇①②③✭④♠⑤✐❥⑥⑦❪❫❴❵❧✭ F ●❏▼◆❙ ❋●❍■❏●❑▼◆❏✭ ❯❱❲❳❨❩⑧⑨✙ ❲❳❜❝❧❳⑥⑧⑦⑩❢❧✭ ❶ ❷✙❸❹❺❻ ❼❽❾❻❿✚➀➁➂➃✙➄➅❸❹❺❻ ❼❽➆➇➈ ➉➊➋➌✙❺❻★✩ ❸➍ ➎➍ ➏✙➐➑➒➓✭ F ●❏◗❋❙ ➔→❋●❍■➣❏↔↕❈❉ (➙ ➔➛➜➝❋ ● ❈❉➣❏↔↕➞➟) ❚➠ ➡➢➤➥✙●➦➧❚➠➡ ❏ ➢➤✭ ➨➩➫❲❳❜❝➭✙ ⑧➯➲➳➵➸✐②➺➻➼➽➾✭➚➪✙➶➹➨➘❲➴➷➬➯❧➮➱ ✃➷ ②❧➺➻➼➽➾❐⑦➹❒❮❧✭ ❰Ï❋●❍■●❏▲❅❙Ð▼◆❙Ñ◗❋❙ ✙ÒÓÔ❋❙✭ ➧ÕÖ×ØÙÚ❍■❏ÛÜ❑ÝÚ❏✙Þß❈❉❏à❑áâãÐ à❋ãäåæÞß➥ç (èé êë t = 0) ìíîïðñòóôõö÷◆ø❏ùú✙òó❈❉❏à❑áâûPà❋ãäåæòó ôõö÷◆ø❅ t ≥ 0 ❏ùú✙ü❇ ✙ ýþÿ ❏❋●❍■✁◆❋❑Ô❋❏✙➦✁❑✂✙●◆❋❑ ▲ ❅ ❏ Ð ▼◆❏✙❖P❑◗❋❏✭ ✄☎❫✆❧❜❝⑦✙ Þß❈❉Ñòó❈❉➣✝✞❏↔↕➞➟✟✠✡☛◆❋❏☞✌❙ Õ✍ ✭ ✎✏✑✒❜❝✓❡✭❯❱✔✕❨❩⑦ u(x, y, z, t) Σ = f(Σ, t), ✖✗✘❨❩⑦ u(x, y, z, t) t=0 = φ(x, y, z), ✙✚✙ ⑥✛✜➹ f(Σ, t) t=0 = φ(x, y, z) Σ . ➹✢ ❲❳❜❝⑧❢❲✣⑨④⑤✐❥✭➯✎✤✥✙ ✦✗✘✧➱★✩✓ φ(x, y, z) ❧❢✪✫✬ ✭✉❢⑤✮✧✯✰ (❡❯✧➱✮✓ u0) ✱✙ ✲✖✳✫✬✴❤❧✧➱✵✶✷✸✉✮✧ u0 ✙ ❯❱✐❥❧✹➱➬➯✙ ✫✬✴❤✺✻✼✽✧❬✾❧✿❀➯✎❁❂✙ ✙✚✙ ⑥➯✎➺❃➵ ❄✔✕❨❩❅❆ u(x, y, z, t) Σ = u0
§142定解问题的适定性 第6页 这样做的结果,尽管和精确的边界条件还有差别,但只要这种差别足够小,那么,解的 稳定性就告诉我们,由此引起的解的差异也是足够小的.当然,如果我们就是要研究这 种冷却或升温过程的影响,这种近似就是不可取的
Wu Chong-shi §14.2 ✸✹✺✻❇❈✸❉ ✼ 6 ✽ ④❊❋❧●❱ ✙ ❍■➼✹✈❧✔✕❨❩❏ ➹❑▲✙ ▼ ➶ ✐④◆ ❑▲⑨❖P✙ ✙✚✙ ❳❧ ➘❲➴⑥◗❘❙❚✙❯ ☎❱❲❧❳❧❑❳✵⑦⑨❖P❧✭✜➪ ✙ ❯❱❙❚⑥⑦✐❨❩④ ◆✺✻✼✽✧❬✾❧✿❀✙ ④◆➽➾⑥⑦⑧➯❬❧✭
热传(二)见离变量法 度7已 第十四讲(二)分离变量法 偏嶶分方程定解问题的最常用解法与分离变量法 解常做分方程定解巴时与通常蕹 先求出微分方程的特解与由线性无关的特解叠加出 通解与而后用定解 (例女 )定出叠加亲数 阶线性偏微分方程的求解问题与基本的方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求 解问题 对于二阶以及更商阶的偷登分方程定解问与外力些不同,即使可爸蕹求出撞分方 程的通解与由于通解中含待定函数与一般说来与难以直接根据定解 解偏微分方程的定解问題与就必须把求解步骤加以适当的修改 §143两端固知弦的自由振动 定解问题考虑长为l、两端固定的弦的自由振动与方程及定解条件为 00. t≥0 ul=0=(x) =v(x),0≤x≤L. 性 方程和边界条件都是齐次的与而初始条件是非齐次的 我们希望求得的特解具一分离变量的形式与即 u(a, t)=X(r(t) ★将u(x,t)代入方程与即得 X(x)T"()=a2x"(x)r() 等式两端除以X(x)T(t)与 1m"(t) a2 T(t) 在这个等式中与 左端只是t的函数(换句话说与与x无关) 右端只是x的函数(换句话说与与t无关) 因此与左端和右端相等与就必须共同等于一个既与x无关、又与t无关的常数设为一入与上面的 结果就可以化成 T"(t)+a2T()=0
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (❭) ✵❪❫❴❵ ✼ 7 ✽ ❛❜ ❝❞ (❡) ❢ ❣ ❤ ✐ ❥ ❦❧♠♥♦❺❻ ❼❽❾♣qr❻s ✙ ♠ t✉✈s✭ ❻q❧♠♥♦❺❻ ❼❽✇ ✙①q②➅③❹ ④❧♠♥♦❾⑤❻ ✙⑥⑦⑧⑨ ⑩❾⑤❻ ❶❷ ④ ①❻ ✙❸❹r❺❻★✩ (❺❻❼★✩) ❺ ④❶❷ ❽❾✭ ➃❿⑦⑧❦❧♠♥♦❾❹❻ ❼❽✙➀➁❾♥s➂➅➃➄➅➃❿⑦⑧q❧♠♥♦➆❾❹ ❻ ❼❽✭ ➇➈➉❿ ❷➊➋ ➌❿❾❦❧♠♥♦❺❻ ❼❽✙✗✘✦➍➍ ➎➏➐➑➒ ❷③❹ ④❦❧♠♥ ♦❾①❻ ✙⑥➈①❻ ➓➔✦→❺➣❾✙ ➃↔↕➙✙ ➛ ❷➜➝➞➟❺❻★✩❺ ④✭➅ ➠❹ ❻❦❧♠♥♦❾❺❻ ❼❽✙➄➡➢➤❹❻ ➥➦❷ ❷➧ ➨❾➩➫✭ §14.3 ➭➯➲✾➳❂ ➵➸➺➻ ❋●❍■ ➼➽➾✓ l Ð♠♥ ♦❲❧❦❧ ➚ ❯➪➶✙ ❣✾➹❲❳❨❩✓ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0, u x=0 = 0, u x=l = 0, t ≥ 0, u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l. ❣✾➼✔✕❨❩➘⑦➴➷❧ ✙ ✖✗✘❨❩⑦➬➴➷❧✭ ➮➱✃ ❐❹➈❾⑤❻❒✦♠ t✉✈❾❮❰✙➐ u(x, t) = X(x)T (t). F ❄ u(x, t) ÏÐ❣✾ ✙ÑÒ X(x)T 00(t) = a 2X 00(x)T (t). ÓÔ♠♥Õ✎ X(x)T (t) ✙ 1 a 2 T 00(t) T (t) = X00(x) X(x) . ➨④⑤ÓÔ ✱✙ Ö ♥ ➶ ⑦ t ❧×Ø (ÙÚÛÜ✙ ✄ x ❞✆ ) Ý♥ ➶ ⑦ x ❧×Ø (ÙÚÛÜ✙ ✄ t ❞✆ ) Þ☎ ✙ Ö ♥➼Ý♥❫Ó ✙ ⑥ßàáâÓã❢⑤ä✄ x ❞✆Ðq✄ t ❞✆❧åØ✭✤✓ −λ ✙ æ❤❧ ●❱⑥➯✎➻❆ T 00(t) + λa2T (t) = 0, X00(x) + λX(x) = 0
§14.3边界条件与初始条件 第8页 ★将u(x,t)代入边界条件,得 x(0)T(t)=0,X()T(t)=0. 这时必须有 X(0)=0,X() 这样就完成了用分离变量法求解偏微分方程定解问题的 第一步:分离变量 ★目标:分离变量形式的非零解u(x,t)=X(x)m(t) ★结果:函数X(x)满足的常微分方程和边界条件以及T(t)满足的常微分方程 条件:偏微分方程和边界条件都是齐次的 现在出现的函数X(x)的常微分方程定解问题,特点是:微分方程中含有待定常数入 定解条件是一对齐次边界条件,这样的定解问题不同于常微分方程的初值问题 并非对于任何λ值,都有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零解 只有当λ取某些特定值时,才有既满足齐次常微分方程、又满足齐次边界条件的非零 解X(x) 入的这些特定值称为本征值 相应的非零解称为本征函数 函数(x)的常微分方程定解问题,称为本征值问题 [第二步。求解本征值问题 ★若λ=0,微分方程的通解是 X(r=AoI+ Bo. 代入边界条件 ()=0,X()=0, 就可以定出 A0=0,B0 这说明λ=0时微分方程只有零解.换句话说,X=0不是本征值 ★当λ≠0时,常微分方程
Wu Chong-shi §14.3 çèéêëìíéê ✼ 8 ✽ F ❄ u(x, t) ÏÐ✔✕❨❩✙Ò X(0)T (t) = 0, X(l)T (t) = 0. ④➭ßà➹ X(0) = 0, X(l) = 0. ④❊⑥î❆ï③★ðñòó❥❳ôõ★❣✾❲❳❜❝❧ ö❢÷➏ øù➤ú F ûü➏★ðñòýÔ❧➬þ❳ u(x, t) = X(x)T (t) F ÿ →➏×Ø X(x) ✣⑨❧åõ★❣✾➼✔✕❨❩✎➹ T (t) ✣⑨❧åõ★❣✾ F ❈❉➏ôõ★❣✾➼✔✕❨❩➘⑦➴➷❧ ➨✁❧×Ø X(x) ❧åõ★❣✾❲❳❜❝✙ ✂s⑦➏õ★❣✾ ✱✄➹☎ ❲åØ λ ✙ ❲❳❨❩⑦❢✆➴➷✔✕❨❩✭④❊❧❲❳❜❝⑧âãåõ★❣✾❧✗✝❜❝✭ ✞➬✆ã✟✠ λ ✝ ✙ ➘ ➹ ä✣⑨➴➷åõ★❣✾Ðq✣⑨➴➷✔✕❨❩❧➬þ❳✭ ➶➹✜ λ ❬✡ ✢ ✂❲✝➭ ✙ ❐ ➹ ä✣⑨➴➷åõ★❣✾Ðq✣⑨➴➷✔✕❨❩❧➬þ ❳ X(x) ✭ λ ❧④ ✢ ✂❲✝☛✓ ☞✌✍ ✎ ❫✛❧➬þ❳☛✓ ☞✌➞➟ ✭ ×Ø X(x) ❧åõ★❣✾❲❳❜❝✎☛✓ ☞✌✍❍■ ✭ ö✏÷➏ ✍● ☞✌✍❍■ F ✑ λ = 0 ✎õ★❣✾❧✒❳⑦ X(x) = A0x + B0. ÏÐ✔✕❨❩ X(0) = 0, X(l) = 0, ⑥➯✎❲✁ A0 = 0, B0 = 0. ④ Ü ✓ λ = 0 ➭õ★❣✾ ➶➹þ❳✭ ÙÚÛÜ✎ λ = 0 ⑧⑦✔✕✝✭ F ✜ λ 6= 0 ➭✎åõ★❣✾ X00(x) + λX(x) = 0
第十四讲( 分离变量法 第9页 的通解是 X(r)=Asin vAr B cos VAr, 代入边界条件,就有 因为A≠0,故必有√M=nπ,即 本征值 1,2,3, 相应的本征函数就是 Xn(r) 这样求得的本征值有无穷多个,它们可以用正整数n标记,因此,在上面的结果中,把本征值和 相应的本征函数都记为An和Xn(x)
Wu Chong-shi ✮✯✰✱ (❭) ✵❪❫❴❵ ✼ 9 ✽ ❧✒❳⑦ X(x) = A sin √ λx + B cos √ λx, ÏÐ✔✕❨❩✎⑥ ➹ B = 0, A sin √ λl = 0. Þ✓ A 6= 0 ✎✖ß ➹ √ λl = nπ ✎ Ñ ✔✕✝ λn = nπ l 2 , n = 1, 2, 3, · · · . ❫✛❧✔✕×Ø⑥⑦ Xn(x) = sin nπ l x. ④❊❥ Ò ❧✔✕✝ ➹ ❞✗✘⑤✎✙❚➯✎③✚✛Ø n ✜✢✎Þ✣✎✤æ✥✦✧★ ✩✎✪✔✕✝✫ ✬✭✦✔✕×Ø➘✢✮ λn ✫ Xn(x) ✯
