北京大学：《数学物理方法》课程教学资源（讲义）第二十八讲 Green函数（一）

第二十八讲 Green函数(一) §28.1点源的数学表示函数 ★介绍一种新的“函数”,函数 ★函数是由物理学家P.A.. Dirac首先引进的,在近代物理学中有着广泛的应用.它可以 用于描写物理学中的一切点量,例如点质量点电荷、瞬时源等,物理图象清晰 ★在数学上,函数可以当作普通函数一样进行运算,如进行微分和积分变换,甚至应用于 求解微分方程,而且得到的结果和物理结论是一致的 ★运用函数,可以为我们处理有关的数学物理问题,带来极大的便利 ★函数是一类“奇怪”的函数,按照“古典的数学概念是无法理解的它的严格数学理 论,要涉及泛函分析的知识 ★本节将从物理学的直观出发,引进δ函数的概念,介绍它的最基本的知识及其初步应用 作为函数的物理背景,先讨论点源、例如点电荷的电荷分布密度函数的数学表示.为 简单起见,主要讨论一维情形 如图28.1,设在无穷直线上02 -202 对于任意一个在-1/21/2,就有 f()()dx=f(),-1/2≤0≤1/2

Wu Chong-shi ￾✁✂✄☎ Green ✆✝ (✞) §28.1 ✟✠✡☛☞✌✍ δ ✎☛ F ✏✑✒✓✔✕ ✖ ✗✘✙✚ δ ✗✘✛ F δ ✗✘✜ ✢✣✤ ✥✦ P. A. M. Dirac ✧★ ✩✪✕✚✫✬✭✣✤ ✥✮✯✰ ✱✲✕✳✴✛✵✶ ✷ ✴✸✹ ✺✣✤ ✥✮✕✒✻✼✽✚✾✿✼❀✽❁✼ ❂❃❁❄❅❆❇✚✣✤ ❈❉❊❋✛ F ✫✘ ✥●✚ δ ✗✘✶ ✷❍■❏❑✗✘✒▲✪▼◆❖✚✿✪▼P◗❘❙◗❚❯✚❱❲✳✴✸ ❳❨P◗❩❬✚❭❪❫❴✕❵❛❘✣✤❵❜✜ ✒❝✕✛ F ◆✴ δ ✗✘✚✶ ✷❞❡❢❣✤✯ ❤✕ ✘ ✥✣✤ ✐❥✚❦❧♠♥✕♦♣✛ F δ ✗✘✜✒ q ✖ rs✙ ✕ ✗✘✚t✉ ✖✈✇✙ ✕ ✘ ✥①②✜③④✤❨ ✕ ✛✵ ✕⑤⑥✘ ✥✤ ❜✚⑦ ⑧⑨✲✗◗⑩✕❶❷✛ F ❸ ❹❺❻✣✤ ✥✕❼❽ ❾❿✚✩✪ δ ✗✘✕ ①②✚✏✑✵ ✕➀➁❸✕❶❷⑨➂➃ ➄✳✴✛ ■❞ δ ✗✘✕ ✣✤➅➆✚★➇❜✼❆❁✾✿✼ ❂❃✕ ❂❃◗➈ ➉➊✗✘✕ ✘ ✥➋➌✛❞ ➍➎➏➐✚➑⑦➇❜✒➒➓➔✛ →➣ 28.1 ✚↔↕➙➛➜➝➞ 0 l 2 . ➶➹➘➴➷➳ ↕ −l/2 l/2 ✚à➢ Z b a f(x)δ(x)dx = f(θl), −1/2 ≤ θ ≤ 1/2

8.1点源的数学表示—6函数 作为极限情形,当l→0时,就得到点电荷的密度函数,记为 0,当x0. 而且,对于任意一个在x=0点连续的函数f(x),有 ∫(x)6(x)dx=f(0) 实际上,积分限不一定是±∞.只要a0,就有 f(x)6(x)dx=f(0) 显然,还可以把区间内的电荷分布函数修改为其他任意连续函数,再重复上面的讨论 作为它们的极限情形,我们总会得到同样的结果. ★δ函数,并不是通常意义下的函数:它并没有给出函数与自变量之间的对应关系,或者说, 它给出的对应关系 ()=0 当x≠0 当x=0 在通常意义下是没有意义的 ★6函数表示的是(任意阶可微)函数序列的极限.它所给出的“函数值”只是在积分运算中 才有意义 f(x)6(x)dx=f(0),特别是 ★这个积分应该理解为 f( rd()dr im/f(r)(z)dr 从计算的角度来看,引进δ函数的目的,即在于简化对函数序列进行微积分计算、而后取极 限的过程.由于函数序列是由具有足够好的连续性质的函数组成的,所以,在计算中可以把6 数当作(任意阶)连续可微的函数处理,甚至可以定义6函数的导数矿(x):对于在x=0点连续并 有连续导数的任意函数f(x),有 //(e(2)dr=f(a6(2-1 f(x)6(x)dx=-f'(0) 这里,就把δ函数当作普通的连续函数一样进行分部积分 ★δ函数并不是给出普通的数值之间的对应关系,也并不像普通函数那样具有唯一、确定的 表达式

Wu Chong-shi §28.1 áâãäåæç δ èä é 2 ê ë ➲ìÛíî✚➪ l → 0 ï✚àðñò ➧ ➨ ➦ ➼➽➾➚ ✚ó➲ δ(x) = lim l→0 δl(x) =    0, ➪ x 0. ôõ✚➶➹➘➴➷➳ ↕ x = 0 ò➬➮➦➾➚ f(x) ✚➢ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0). ØÙ➞✚Ú➩ÛÜ➷❮Ý ±∞ ✛Þß a 0 ✚à➢ Z b a f(x)δ(x)dx = f(0). ö÷✚ø✶ ✷ù úûü✕ ❂❃◗➈✗✘ýþ❞ ➂ÿ￾✁✂✄✗✘✚☎✆✝● ✞ ✕➇❜✛ ■❞✵❢✕♠✟➓➔✚❡❢✠✡❫❴ ☛▲✕❵❛✛ F δ ➾➚ ✚☞ÜÝ✌✍➴✎✏➦ ➾➚✑✒☞✓➢✔✕➾➚✖ ✗✘ ➯✙➠➦➶✚✛✜✚✢✣✤✚ ✒ ✔✕➦ ➶✚✛✜ δ(x) = ( 0, ➪ x 6= 0; ∞, ➪ x = 0 ↕✌✍➴✎✏Ý✓ ➢ ➴✎ ➦ ✛ F δ ➾➚✥✦➦ Ý (➘➴✧★✩) ➾➚✪✫➦ìÛ✛✒✬✔✕➦ ✖ ➾➚❒✙ÞÝ↕ Ú➩✭✮ ❐ ✯ ➢ ➴✎✛ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = f(0), ✰✱Ý Z ∞ −∞ δ(x)dx = 1. F ✲➳Ú➩✚✳❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx = lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx. ✵✶✮ ➦✷ ➽✸✹✚✺✻ δ ➾➚ ➦ ✼➦✚✽↕➹✾✿➶➾➚✪✫✻❀✩ Ú➩✶✮ ❁ ô❁❂ì Û ➦❃❄✛❅➹➾➚✪✫Ý ❅❆➢❇❈❉➦➬➮❊❋➦ ➾➚●❍➦✚✬■✚↕✶✮ ❐★■❏ δ ➾ ➚ ➪ ë (➘➴✧ ) ➬➮★✩➦ ➾➚❑❰ ✚▲▼★■❮✎ δ ➾➚ ➦◆ ➚ δ 0 (x) ✑➶➹↕ x = 0 ò➬➮☞ ➢➬➮◆ ➚ ➦ ➘➴➾➚ f(x) ✚➢ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx = f(x)δ(x)    ∞ −∞ − Z ∞ −∞ f 0 (x)δ(x)dx = −f 0 (0). ✲❖✚à❏ δ ➾➚ ➪ ëP✌➦➬➮➾➚➷◗ ✻❀➩❘ Ú➩✛ F δ ➾➚☞ÜÝ ✔✕P✌➦ ➚❒✙➠➦➶✚✛✜✚❙☞Ü❚P✌➾➚❯◗❆ ➢❱ ➷ ❁ ❲❮ ➦ ✥❳❨✛

第二十八讲 Green函数( 第3页 ★凡是具有 f(x)6(x)dx=f(0) 性质的函数序列6(x),或是具有 m/ f(a)5n(a)dr=f(O) 性质的函数序列n(x),它们的极限都是δ函数 di (ar) n=7 第=3 (a)=exp -n2r2 图28.26函数的逼近序列举例 ★同样,有关δ函数的等式,也应当从积分意义下去理解.如 r6(x)=0 应理解为 f(r)rd(ar)dr=0, 6(-x)=6(x) 应理解为 f(a)8(-ad =/ f(r)8(r)dr 6(_x)=-6(x)应理解为 f(x)6(-x) f(x)6'(x)d 6(a)=6(x)应理解为 f(a)b(ar)dz f(a)t8()dr 9(x)(x)=90)(x)应理解为/f(x)g(l()d=/fx)[o(o)(x)]dr ★6函数还可以表示成初等函数的微商.由于 6()dx=n(x) 一 因此 o(x)=(x)

Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 3 ê F ❵ Ý❆ ➢ lim l→0 Z ∞ −∞ f(x)δl(x)dx = f(0) ❊❋➦ ➾➚✪✫ δl(x) ✚✢Ý❆ ➢ limn→∞ Z ∞ −∞ f(x)δn(x)dx = f(0) ❊❋➦ ➾➚✪✫ δn(x) ✚✒❛➦ìÛ❜Ý δ ➾➚✛ (a) n √ π exp −n 2x 2 (b) n π 1 1 + n2x2 (c) sin nx πx Ï 28.2 δ ❝❞Õ❡❢❣❤✐❥ F ❦ ◗ ✚➢ ✛ δ ➾➚ ➦❧ ❨ ✚❙✚ ➪ ✵ Ú➩➴✎✏♠❰✴✛→ xδ(x)= 0 ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)xδ(x)dx= 0, δ(−x)=δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(−x)dx= Z ∞ −∞ f(x)δ(x)dx, δ 0 (−x)=−δ 0 (x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (−x)dx=− Z ∞ −∞ f(x)δ 0 (x)dx, δ(ax)= 1 |a| δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)δ(ax)dx= Z ∞ −∞ f(x)  1 |a| δ(x)  dx, g(x)δ(x)=g(0)δ(x) ✚❰✴ ➲ Z ∞ −∞ f(x)g(x)δ(x)dx= Z ∞ −∞ f(x) g(0)δ(x) dx. F δ ➾➚♥★■✥✦❍♦❧ ➾➚ ➦ ✩♣✛❅➹ Z x −∞ δ(x)dx = η(x), qr✚ δ(x) = dη(x) dx .

28.1点源的数学表示 函数 第4页 ★也可以对δ函数作 Laplace变换, 8(t-to 8(t-to)e dt=e po, to>0 ★6函数也可以表示成初等函数的 Fourier积分.因为 8()e-Ikdz =1 所以,根据 Fourier变换的反演公式,有 维或三维δ函数 ★在平面上(x0,y)点处有一个单位点电荷,那么,密度分布函数就是6(x-xo)6(y-30) ★在三维空间(xo,v,2o)处有一个单位点电荷,密度分布函数就是6(x-xo)6(y-v0)6(z-20) ★从三维空间来看,所谓一维点电荷应该是三维空间内的面电荷;二维点电荷就是三维空间内 的线电荷 例281证明 V2=-4π6(r), 其中r=√2+y2+2,6(r)=6(x)6(y)(2) 证正像前面指出的,凡是涉及δ函数的等式都应该从积分意义下去理解,即应该去证明 当r=0gV drdy -4π当r=0∈V 当r≠0时,直接微商可得 0 +y2+2(x2+y2+2)y2 ax2yr2+y2+27(x2+y2+2)5 同理 a2 x2+2+2 (x2+y2 02ym+y2+2(x2+y2+2)5/2 三式相加,即得 ≠0. 这样就证得:当积分体积V内不包含原点r=0时,积分恒为0

Wu Chong-shi §28.1 áâãäåæç δ èä é 4 ê F ❙★■➶ δ ➾➚ë Laplace ✘s✚ δ(t − t0) ; Z ∞ 0 δ(t − t0)e−ptdt = e−pt0 , t0 > 0. F δ ➾➚❙★■✥✦❍♦❧ ➾➚ ➦ Fourier Ú➩✛q Z ➲ ∞ −∞ δ(x)e−ikxdx = 1, ✬■✚➱✃ Fourier ✘s➦t✉✈❨ ✚➢ δ(x) = 1 2π Z ∞ −∞ e ikxdk. ✇①②③① δ ④⑤ F ↕⑥⑦➞ (x0, y0) ò❑ ➢ ➷ ➳➵➸ò ➧ ➨ ✚❯⑧✚➼➽➩➫➾➚ àÝ δ(x − x0)δ(y − y0) ✛ F ↕⑨⑩❶➠ (x0, y0, z0) ❑ ➢ ➷ ➳➵➸ò ➧ ➨ ✚➼➽➩➫➾➚ àÝ δ(x−x0)δ(y −y0)δ(z −z0) ✛ F ✵⑨⑩❶➠ ✸✹✚✬❷➷⑩ ò ➧ ➨✚✳Ý⑨⑩❶➠ ➡➦⑦ ➧ ➨❸❹⑩ ò ➧ ➨ àÝ⑨⑩❶➠ ➡ ➦ ➝ ➧ ➨✛ ❺ 28.1 ❻ ❼ ∇2 1 r = −4πδ(r), ❽ ❐ r = p x 2 + y 2 + z 2, δ(r) = δ(x)δ(y)δ(z) ✛ ❾ ❿❚➀⑦➁✕➦✚❵ Ý➂➃ δ ➾➚ ➦❧ ❨❜✚✳✵Ú➩➴✎✏♠❰✴ ✚✽✚✳♠❻ ❼ ZZZ V ∇ 2 1 r dxdydz = ( 0, ➪ r = 0 6∈ V ; −4π, ➪ r = 0 ∈ V. ➪ r 6= 0 ï✚➜➄✩♣★ð ∂ ∂x 1 p x 2 + y 2 + z 2 = − x (x 2 + y 2 + z 2) 3/2 , ∂ 2 ∂x2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3x 2 − ￾ x 2 + y 2 + z 2
(x 2 + y 2 + z 2) 5/2 . ❦ ❰ ✚ ∂ 2 ∂y2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3y 2 − ￾ x 2 + y 2 + z 2
(x 2 + y 2 + z 2) 5/2 , ∂ 2 ∂z2 1 p x 2 + y 2 + z 2 = 3z 2 − ￾ x 2 + y 2 + z 2
(x 2 + y 2 + z 2) 5/2 . ⑨❨➅➆✚✽ð ∇2 1 r = 0, r 6= 0. ✲ ◗ à❻ð✑ ➪Ú➩➇ Ú V ➡ Ü➈➉➊ò r = 0 ï✚Ú➩➋ ➲ 0 ✛

第二十八讲 Green函数( 第5页 当积分体积V内包含原点r=0时,由于函数1/r在r=0点不可导,上面的结果不成立这 时不妨将V就取为整个(三维)空间.容易得到 / r2 sin eded 令r=atanθ,即可证明上面的积分与a无关,且 20 cos 0de 2 12m·sin3

Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 5 ê ➪Ú➩➇ Ú V ➡ ➈➉➊ò r = 0 ï✚❅➹➾➚ 1/r ↕ r = 0 òÜ★ ◆✚➞⑦ ➦➌➍Ü❍➎✛ ✲ ï Ü➏➐ V à❂ ➲➑➳ (⑨⑩) ❶ ➠ ✛➒➓ðñ ZZ Z ∇2 1 r dxdydz = lim a→0 Z ZZ ∇2 1 √ r 2 + a 2 dxdydz = − lim a→0 ZZ Z 3a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr sin θdθdφ = − 12π lima→0 Z ∞ 0 a 2 (r 2 + a 2) 5/2 r 2dr, ➔ r = a tan θ ✚✽★ ❻ ❼➞⑦ ➦Ú➩✖ a ➙✛ ✚õ ZZ Z ∇ 2 1 r dxdydz = −12π Z π/2 0 tan2 θ ￾ 1 + tan2 θ
3/2 dθ = −12π Z π/2 0 sin2 θ cos θdθ = −12π · 1 3 sin3 θ     π/2 0 = −4π.

282Gren函数的概念 第6页 282 Green函数的概念 先举一个静电场的例子 设在无界空间中有一定的电荷分布,电荷密度为p(r).这样,在坐标为r=(x,y,2)的体元 dr'内的电量即为p(rdr,它在空间r=(x,y,2)点的电势是 根据电势叠加原理,把空间中的全部电荷产生的电势叠加起来,就得到在r点的总电势为 p(r)= Ato/ Perrdr 这个结果说明,只要知道了单位点电荷在空间的电势分布,那么,通过电荷的分割 与叠加,就可以得到任意电荷分布时的电势 这种做法只不过是利用了偏微分方程的线性性质 如果是有界空间,原则上仍然可以把空间内的电荷无限分割 ·由于边界条件的制约,在边界面上也会有一定的(单层或偶极层的)感生面电荷分布,也需要 将这些面电荷无限分割 为了唯一地确定(有界空间内)点电荷的电势,也需要指定适当的边界条件 在有界空间的情形下,问题就是:如何通过(适当边界条件下的)点电荷电势的叠加,而给出任意 电荷分布和任意边界条件时的电势.这就是说,要用定解问题 V2G(r;r) 6(r-r)T,r'∈V 适当的边界条件 的解G(r;r)叠加出 Vou( P(r) ulx=f(∑) 的解u(r),即把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;r)表示出来 数学工具: Green第二公式(或简称Gren公式) r)Vu(r)-u(r)Vu(r) dr VU-vVu·d∑ 其中f(r)≡f(x,,2),dr= dadda,∑是V的边界面,并且规定外法线方向为正

Wu Chong-shi §28.2 Green èäã→➣ é 6 ê §28.2 Green ✎☛✡↔↕ ➙➛➷ ➳➜ ➧➝➦➞➟✛ ↔↕➙➠❶➠ ❐➢ ➷❮➦ ➧➨➩➫✚➧ ➨➼➽➲ ρ(r) ✛ ✲ ◗ ✚↕➡➢➲ r 0 = (x 0 , y0 , z0 ) ➦ ➇➤ dr 0 ➡➦ ➧➯✽➲ ρ(r 0 )dr 0 ✚✒↕❶ ➠ r = (x, y, z) ò➦ ➧➥ Ý 1 4πε0 ρ(r 0 ) |r − r 0 | dr 0 , ➱✃ ➧➥➦➆➊❰ ✚❏❶➠ ❐➦➧ ❘ ➧ ➨➨➩➦ ➧➥➦➆➫✸ ✚àðñ↕ r ò➦ ➭ ➧➥➲ φ(r) = 1 4πε0 Z ZZ ρ(r 0 ) |r − r 0 | dr 0 . ✲➳➌➍✤ ❼✚Þß➭➯➲➵➸ò ➧ ➨↕❶ ➠➦ ➧➥ ➩➫✚❯⑧✚✌ ❃ ➧ ➨ ➦ ➩➳ ✖ ➦ ➆ ✚à★■ ðñ➘➴ ➧ ➨➩➫ï➦ ➧➥ ✛ ✲➵➸➺ÞÜ ❃ Ý➻➼➲➽✩➩➾ ❄➦ ➝ ❊❊❋✛ • → ➍ Ý ➢ ➠❶➠✚➊➻➞➚➪★■❏❶➠ ➡➦ ➧ ➨➙Û➩➳✛ • ❅➹➶➠➹➘➦➴➷✚↕➶➠⑦➞❙➬➢ ➷❮➦ (➵➮ ✢➱ì➮➦) ✃ ➩⑦ ➧ ➨➩➫✚❙❐ß ➐ ✲❒⑦ ➧ ➨➙Û➩➳✛ • ➲ ➲ ❱ ➷❮❲❮ (➢ ➠❶➠ ➡) ò ➧ ➨ ➦ ➧➥✚❙❐ß➁❮❰ ➪➦➶➠➹➘✛ ↕ ➢ ➠❶➠➦íî✏ ✚ÏÐàÝ✑ ÑÒÓÔ (ÕÖ×ØÙÚÛÜ) ÝÞßÞàÜáâ✚ãäåæç Þßèéêæç×ØÙÚëÜÞà✛ ✲àÝ✤ ✚ß➼❮✴ÏÐ ∇2G(r; r 0 ) = − 1 ε0 δ(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V ❰ ➪➦➶➠➹➘ ➦ ✴ G(r; r 0 ) ➦ ➆ ✕ ∇2u(r) = − 1 ε0 ρ(r), r ∈ V u   Σ = f(Σ) ➦ ✴ u(r) ✚✽❏ u(r) ➼ ρ(r), f(Σ) ■➃ G(r; r 0 ) ✥✦✕ ✸✛ • ➚ìí❆✑ Green î❹ ✈ ❨ (✢✾ï Green ✈ ❨ ) Z ZZ V h u(r)∇2 v(r) − v(r)∇2u(r) i dr = ZZ Σ h u∇v − v∇u i · dΣ, ❽ ❐ f(r) ≡ f(x, y, z), dr = dxdydz, Σ Ý V ➦ ➶➠⑦✚☞õð❮ ➺➺ ➝➾ ñ➲ ❿✛

第二十八讲 Green函数( 方法:将G(r;r)和u(r)满足的方程分别乘以u(r)和G(r;r),相减,再在空间V内积分, urvG(r;r)-Gr;rv2u]ar=-//(r6-r)-e(r;r)p(rjdr G(r; rp(r)di 根据Gren公式,可以将上式左端的体积分化为面积分//[(r)vG(r;r)-G(r:ru(r)]d 经过移项、整理,就有 u(r)=/// G(r)(r)dr-Eo// [u(r)VG(; r)-G(r; r)Vu(r)]dE 在上面的面积分中, 第一项u(r)在边界面∑上的数值由边界条件给出,是已知的 G(r;r)可由定解问题求出,故而它的梯度VG(r;r)及其在边界面上的数值当然也可求 ·第二项中,Vu(r)在边界面上的数值未知 所以,为了要能够把u(r)用p(r),f(∑)以及G(r;r)表示出来,必须对G(r;r)加上齐次边界条件 G(r: r 于是,最后就得到 G(r;r)p(r)dr-o//f(xvGr;r)x:d罗 或者把r和r′对换一下 G(rr)p()dr'-Eo/f(E)VG(r; r)ly,d2 dG(r;r) G(rr)P(r)dr'-Eo f(')an dyy 其中的V和a/0n表示对自变量r微商,V和∑还是原来的空间区域和它的边界面,只不过 是把它们的坐标变量改成了r′ ·G(r;r')在r=r′点不连续,根本不能应用Gren公式;上面得到的结果是否正确 ·为了弥补这一缺陷,可以将G(r;r)所满足的方程修改为 r∈V 右端的电荷密度函数bn(r-r)是足够好的连续函数,在r附近一定尺度内明显不为0,而 总电量为1个单位.当n→∞时6n(r-r)→6(7-r)

Wu Chong-shi ❩❬❭❪❫ Green èä (❴) é 7 ê ➾ ➺ ✑➐ G(r; r 0 ) ò u(r) ó❇➦ ➾ ❄ ➩ ✱ô■ u(r) ò G(r; r 0 ) ✚➅õ✚ö↕❶ ➠ V ➡Ú➩ ✚ Z ZZ V u(r)∇2G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇2u(r) dr = − 1 ε0 Z ZZ V u(r)δ(r − r 0 ) − G(r; r 0 )ρ(r) dr = − 1 ε0 " u(r 0 ) − Z ZZ V G(r; r 0 )ρ(r)dr # . ➱✃ Green ✈ ❨ ✚★■➐➞❨÷ø➦ ➇ Ú➩✿ ➲ ⑦ Ú➩ ZZ Σ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) · dΣ ✛ ù ❃úû❁➑ ❰ ✚à➢ u(r 0 ) = ZZ Z V G(r; r 0 )ρ(r)dr − ε0 ZZ Σ u(r)∇G(r; r 0 ) − G(r; r 0 )∇u(r) · dΣ. ↕➞⑦ ➦ ⑦ Ú➩ ❐✚ • î ➷ û u(r) ↕➶➠⑦ Σ ➞ ➦ ➚❒ ❅➶➠➹➘✔✕✚Ý ü➭ ➦ ❸ G(r; r 0 ) ★ ❅❮✴ÏÐý✕✚þô✒ ➦ÿ ➽ ∇G(r; r 0 ) ➃❽↕➶➠⑦➞ ➦ ➚❒➪ ➪❙★ý❸ • î❹ û ❐✚ ∇u(r) ↕➶➠⑦➞ ➦ ➚❒￾➭ ✚ ✬■✚➲ ➲ß✁ ❈ ❏ u(r) ➼ ρ(r), f(Σ) ■➃ G(r; r 0 ) ✥✦✕ ✸ ✚✂✄➶ G(r; r 0 ) ➆➞☎✆➶➠➹➘ G(r; r 0 )   Σ = 0. ➹Ý✚✝❁ àðñ u(r 0 ) = ZZ Z V G(r; r 0 )ρ(r)dr − ε0 ZZ Σ f(Σ)∇G(r; r 0 )   Σ · dΣ, ✢✣❏ r ò r 0 ➶s➷✏ ✚ u(r) = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 )∇ 0G(r 0 ; r)   Σ0 · dΣ 0 = ZZZ V 0 G(r 0 ; r)ρ(r 0 )dr 0 − ε0 ZZ Σ0 f(Σ 0 ) ∂G(r 0 ; r) ∂n0     Σ0 dΣ 0 , ❽ ❐➦ ∇0 ò ∂/∂n0 ✥✦➶ ✗✘ ➯ r 0 ✩♣✚ V 0 ò Σ0 ♥Ý➊✸➦ ❶ ➠➟✞ò ✒ ➦ ➶➠⑦✚ÞÜ ❃ Ý❏✒❛➦ ➡➢✘ ➯✟ ❍➲ r 0 ✛ ✠ ✡ • G(r; r 0 ) ↕ r = r 0 òÜ ➬➮✚➱☛Ü✁✚➼ Green ✈ ❨❸➞⑦ ðñ➦➌➍Ý☞❿❲ ✌ • ➲ ➲✍✎✲ ➷✏✑✚★■➐ G(r; r 0 ) ✬ ó❇➦ ➾ ❄✒✟➲ ∇2Gn(r; r 0 ) = − 1 ε0 δn(r − r 0 ), r, r 0 ∈ V. ✓ø ➦ ➧➨➼➽➾➚ δn(r − r 0 ) Ý ❇❈❉➦➬➮➾➚ ✚↕ r 0 ✔✕➷❮✖✗ ✘✙✚✛✜ 0 ✢ ✣ ✤ ✥✦✜ 1 ✧★✩✪✫ n → ∞ ✬ δn(r − r 0 ) → δ(r − r 0 ) ✪

§28.2Gren函数的概念 第8页 这样就可以应用 Green公式 重复上面的做法,然后再令n→∞ ·引入δ函数的好处恰恰就在于略去这种极限过程,恰恰就在于可以把δ函数当成连续函数来 处理 ·因此,上面得到的结果是严格的,是正确的 ·另外一种严格的做法是把点电荷所在的r′点的附近挖去一个小体积,在这个新的空间区域 中应用Gre公式(必须注意,现在的边界面除了原来的∑之外,还有在r点处的界面) 然后再令这个小体积趋于0 以上通过静电场的实例引入了 Poisson方程在第一类边界条件下(简称 Poisson方程 的第一边值问题)的Gren函数 简言之,所谓 Green函数就是单位点电荷在齐次边界条件下的电势 对于其他类型的边界条件,原则上也可以类似地讨论 从数学上说,不含时间(稳定问题)的偏微分方程( Laplace方程, Poisson方程, Helmholtz方 程…)在一定边界条件下的Gren函数就可以定义为一个特殊的定解间题的解: ·方程和原来定解问題的方程一样,只是非齐次项改为δ函数(点源); ·同种类型的齐次边界条件 但是,在某些特殊情形下,这样定义的 Green函数本身可能无解.例如对于上面的 Poisson方程定 解问题,若边界条件改为=f(2),则按照上面的讨论,Gren函数G(r)在边界面上 必须满足齐次的第二类边界条件 aG(r;r) 在Gren公式中令u(r)=1,v(r)=G(mr;r),应该有 V-G(r; r)dr VG(r;r)d∑ aG(r;T)d∑, 将方程积分,就得到 V-G(r; r)d 这样,Gren函数G(r;r)在边界面上的面积分必须满足( Gauss定理) an dE=I 0 显然和边界条件(并)矛盾.这说明,在齐次的第二类边界条件(#)下,方程一定无解,换句话说 这样的 Green函数一定不存在.在这种情形下,需要引进广义的Gren函数

Wu Chong-shi §28.2 Green ✭✮✯✰✱ ✲ 8 ✳ • ✴✵✶✷✸✹✺ Green ✻✼✪ • ✽✾✿❀❁❂❃✢❄❅❆❇ n → ∞ ✪ • ❈❉ δ ❊❋❁●❍■■✶❏❑▲▼✴◆❖P◗❘✢■■✶❏❑✷✸❙ δ ❊❋✫❚❯❱❊❋❲ ❍❳✪ • ❨❩✢✿❀❬❭❁❪❫❴❵❛❁✢❴❜❝❁✪ • ❞❡❢◆❵❛❁❂❃❴❙❣ ✥❤✐❏❁ r 0 ❣❁❥✕❦▼❢✧❧♠♥✢❏✴✧♦❁♣qrs t ✹✺ Green ✻✼ (✉✈✇①✢②❏❁③④❀⑤⑥⑦❲❁ Σ ⑧❡✢⑨⑩❏ r 0 ❣❍❁④❀) ✢ ❄❅❆❇✴✧❧♠♥❶❑ 0 ✪ ✸✿❷◗❸ ✥❹❁❺❻❈❉⑥ Poisson ❼❘❏❽❢❾③④❿➀➁ (➂➃ Poisson ❼❘ ❁❽❢③➄➅➆) ❁ Green ❊❋✪ ➂➇⑧✢✐➈ Green ❊❋✶❴★✩❣ ✥❤❏➉➊③④❿➀➁❁ ✥➋✪ ➌ ❑➍➎❾➏❁③④❿➀✢⑦➐✿➑✷✸❾➒➓➔→✪ ➣ ❋↔✿↕✢✛➙✬q (➛➜➅➆) ❁➝➞➟❼❘ (Laplace ❼❘✢ Poisson ❼❘✢ Helmholtz ❼ ❘ · · · · · ·) ❏❢➜③④❿➀➁❁ Green ❊❋✶✷✸➜➠✜ ❢✧➡➢❁➜➤➅➆❁➤➥ • ➦➧➨➩➫➭➯ ➲➳➵➦➧➸➺✢➻➼ ➽➾➚➪➶➹ δ ➘➴ (➷➬) ➮ • ➱✃ ❐❒➵➾➚❮❰ÏÐ✪ Ñ ❴✢❏ÒÓ➡➢ÔÕ➁✢✴✵➜➠❁ Green ❊❋Ö×✷ØÙ➤✪❻Ú➌ ❑✿❀❁ Poisson ❼❘➜ ➤➅➆✢Û③④❿➀Ü✜ ∂u(r) ∂n    Σ = f(Σ) ✢➐ÝÞ✿❀❁➔→✢ Green ❊❋ G(r; r 0 ) ❏③④❀✿ ✉✈ßà➉➊❁❽á❾③④❿➀ ∂G(r; r 0 ) ∂n    Σ = 0. (#) ❏ Green ✻✼ t ❇ u(r) = 1, v(r) = G(r; r 0 ) ✢✹â⑩ ZZZ V ∇ 2G(r; r 0 )dr = ZZ Σ ∇G(r; r 0 ) · dΣ = Z Z Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ, ã ❼❘♥➟✢✶❬❭ ZZ Z V ∇2G(r; r 0 )dr = − 1 ε0 . ✴✵✢ Green ❊❋ G(r; r 0 ) ❏③④❀✿❁❀♥➟✉✈ßà (Gauss ➜❳) ZZ Σ ∂G(r; r 0 ) ∂n dΣ = − 1 ε0 6= 0. ✚ ❄ä③④❿➀ (#) åæ✪✴↕ ✙ ✢❏➉➊❁❽á❾③④❿➀ (#) ➁✢❼❘❢➜Ù➤✢çèé↕✢ ✴✵❁ Green ❊❋❢➜✛ê❏✪❏✴◆ÔÕ➁✢ëì❈íî➠❁ Green ❊❋✪