《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第九章 二阶常微分方程

数学物理方法 第九章二阶常微分方程

数学物理方法 第九章 二阶常微分方程

二阶常微分方程 常用齐次定解问题 数学物理中的对称性 特殊函数常微分方程 常微分方程的级数解法 斯图姆一刘维尔本征值问题 本章小结

二阶常微分方程 • 常用齐次定解问题 • 数学物理中的对称性 • 特殊函数常微分方程 • 常微分方程的级数解法 • 斯图姆—刘维尔本征值问题 • 本章小结

常用齐次定解问题 常用齐次定解问题的要素 常用齐次定解问题的分类 拉普拉斯算符的形式 拉普拉斯算符形式的推导 □

常用齐次定解问题 • 常用齐次定解问题的要素 • 常用齐次定解问题的分类 • 拉普拉斯算符的形式 • 拉普拉斯算符形式的推导

常用齐次定解问题要素 演化方程: △Ll 泛定方程 稳定方程:△u=0 矩形:用直角坐标(x,y,z) 边界形状{圆形:用极(柱)坐标(p,9,z) 球形:用球坐标(r,O,Q 初始条件 初始状态:ul=0=f(F) 初始速度:1l=0=8(元)

常用齐次定解问题要素         0 2 u u n a u t 稳定方程： 演化方程： 泛定方程 （ ）      球形：用球坐标（ ， ） 圆形：用极（柱）坐标（ ， ， ） 矩形：用直角坐标（ ） 边界形状     , , , r z x y z        初始速度： （ ） 初始状态： （ ） 初始条件 u g r u f r t t t   0 0 | |

常用齐次定解问题的分类 直角坐标极坐标球坐标 稳定方程y 演化方程√

常用齐次定解问题的分类 直角坐标 极坐标 球坐标 稳定方程 演化方程 √ √ √ ！ ！ ×

拉普拉斯算符的形式 二维 维 直角坐标A2=ax+1y Δ=△2+0 极柱坐标国=0,2+ △= =△+0 pp 球坐标=+: △=1ar2a+1N =0.+2ra.+r2△

拉普拉斯算符的形式 二维 三维 直角坐标 极柱坐标 球坐标 xx yy      2 zz      2                       1 2 1 1 2 2 zz      2           2  sin 1 sin 1 ' sin 2 ' ' 1 2 1 2 1 2 2             r r r rr r r r r r

极坐标下拉普拉斯算符形式的推导 直角坐标下的形式 2 坐标变换关系 x=pcos p y= psin gp cos p-sin 微分变换关系 sin p cos p 极坐标下的形式 △2=0mn+pO+Pao 1 pAd, +a

极坐标下拉普拉斯算符形式的推导 xx yy      2          sin cos y x                         2 1 1 1 2 2                                1 sin cos cos sin y x •极坐标下的形式 •直角坐标下的形式 •坐标变换关系 •微分变换关系

数学物理中的对称性 对称性的概念 定义:对称性就是在某种变换下的不变性 分类 对称性的描述 对称性原理 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性 时,它的解也具有同样的对称性 对称性的应用

数学物理中的对称性 • 对称性的概念 – 定义：对称性就是在某种变换下的不变性 – 分类 • 对称性的描述 • 对称性原理 – 当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性 时，它的解也具有同样的对称性。 • 对称性的应用

对称性的分类 间时间平移对称性 时间反演对称性 时空对称性 空间平移对称性 空间空间反演对称性 空间转动对称性 动力学对称性

对称性的分类 空间转动对称性 空间反演对称性 空间平移对称性 空间 时间反演对称性 时间平移对称性 时间  动力学对称性 时空对称性 

对称性的描述 对称性名称 对称条件 对称函数 沿z轴反演对称xy=)=1xy3)/=八x 沿z轴平移对称|x+A(x)|1=1x 绕轴转动对称A0+)(A=A习 八Q+0)=八)=/0 绕原点转动对称0++6)=(p=/)

对称性的描述 对称性名称 对称条件 对称函数 沿z轴反演对称 沿z轴平移对称 绕z轴转动对称 绕原点转动对称 f(x, y,z)  f(x, y,z) f(x, y,za)  f(x, y,z) f(, ,z)  f(,,z) f  f(x, y,|z|) f  f(x, y) f(r, , )  f(r,,) f  f(,z) f  f(r) f(r,, )  f(r,,) f  f(r,) f(,,za)  f(,,z) f  f(,)