《数学物理方法》课程教学资源（教案讲义）第一章 复变函数

第一章复变函数(6) 基本要求: 1.熟悉复数的基本概念和基本运算; 2.了解复变函数的定义,连续性; 3.了解多值函数的概念; 4.掌握复变函数的求导方法及科希一里曼方程; 5.了解解析函数的概念,熟悉一些简单的解析函数的表示式。 6.了解从实变函数到复变函数的推广过程中的创新思想与方法。 教学内容: §1.1.复数与复数运算。复平面,复数的表示式,共轭复数,无穷远 点,复数的四则运算,复数的幂和根式运算,复数的极限运算。 §1.2.复变函数。复变函数的概念,开、闭区域,几种常见的复变函 数,复变函数的连续性。 §1.3.导数。导数,导数的运算,科希一里曼方程。 ,, §1.4.解析函数。解析函数的概念,正交曲线族,调和函数。 §1.5.平面标量场。稳定场,标量场,复势。 本章重点: 复变函数的运算,科希一里曼条件,解析函数 习题 §1.1.(第5—6页):1(1)(3)(5)(7)(9),2(1)(3)(5)(7) 3(1)(3)(5)(7) §1.2.(第9页):2(1)(3)(5)(7)(9),3 §1.3.(第13页):1。 §1.4.(第18页):1,2(1)(4)(6)(7)(10),3

  
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、复数 1、数的扩张(完善化) 自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2→实数 方程可解性→复数 2、复数的表示 2.1代数表示 x=Real(),y =Imagine(z) 2.2三角表示 (cosφ+isinφ) r=|zl,中=Arg(z) 2.3指数表示 exp(i中)=cosφ+isinφ 2.4几何表示 关系 rcos中y=rsin中 r=√(x2+y2)φ= Arctan(y/x) 特点 无序性复数无大小 矢量性复数有方向 3、运算 3.1加减法 3.2乘除法 riexp(i中1)×rexp(i中2)= rira exp[i(中计+中2)] 3.3幂和开方 [rexp(i中)]=r"exp(in中) [rexp(iφ)]°=r"exp(id/n) 3.4复共轭 z=rexp(iφ)→z*=rexp(-i中)


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复变函数 概念 1.1定义 函数:从一个数域(定义域)到另一个数域(值域)的映射 实变函数:f 复变函数:f:z→W 1.2举例 f(n)=f。=(1+i),n∈N f(z)=z f(z) f(z)=1n(z) 复变函数的分类 1.3更多的例子 复变函数(广义) w= az+ bz +c W=1/(az+b) w= Ln(az +b) 复数数列 复变函数(狭义) w= Arccos z ∑ an sin(nωz) 初等函数 非初等函数 W=∫exp(-z2)dz 1.4复变函数的分 代数函数超越函数无限次运算无限次复合 类 有理函数无理函数 级数 无穷乘积 整式 分式 幂级数傅立叶级数 2、分析与比较 2.1定义域和值域 相同点 都是数集 不同点 实数集是一维的,可以在(直)线上表示 复数集是二维的,必须在(平)面上表示 典型例子: x<2是连通的,1<|x|是不连通的;


 
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z|<2是单连通的,1<z|是复连通的。 2.2映射 相同点 在形式上:y=f(x),w=f(z) 不同点 在变量上:z=x+iy,w=u+iv 在描述上: 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表示 复变函数不能用一个图形完全表示。 2.3联系 (x,y) (x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部 2.4结构 相同点 复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。 不同点 基本实变函数 x", x, exp(x), In(x), sin(x), arctan(x) 基本复变函数 原因 cos(z)=(e2+e)/2,sin(z)=(e"-e-2)/2i 三、基本函数 1、二次函数 定义 分析 u+ iv=(x+iy)=x+2ixy -y 性质 对称性 无周期性 无界性 单值性 次函数 定义 分析 3ixy-3xy -iy

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性质 对称性 无周期性 无界性 单值性 3.指数函数 定义 w= exp(z) 分析 u+ iv exp (x+iy)= exp(x)[cosy +i siny 性质 不对称性 周期性 FErexp(z+2ri)= exp(z) 4、对数函数 定义 分析 性质 非周期性 无界性 多值性:|4|≤π 5、三角函数 定义

 
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分析 u+ iv= sin(x+iy)= sin(x)ch(y)+ i cos(x)sh(y) u= sin(x)ch(y) (x)sh(y) 性质 对称性 周期性 无界性 单值性 四、复变函数的导数 1、基本概念 实变函数 复变函数 lim f(x)=A lim f(=)=A 极限 lim f(x=f(xo) limf(=)=f(二0) 连续 导数 lim lim =f(=0) r→xo△x 2→0△ 可导条件 △f() =f(-0)=m(-) △f(二) △+iyat lim 0i△ y Oy ay 分析

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C-R条件 充要条件 偏导数u,vy,v,u连续 满足C-R条件 意义 可导函数的虚部与实部不是独立的,而是相互紧密联系的。 典型情况 初等函数在定义域内都可导; 函数Re(z),Im(z),|z|,Arg(z),z*不可导。 3、导数的计算 法则 复变函数的求导法则与实变函数完全相同 例子 =2 sin z cos z Lexp(z)],=2 z exp(z (z)”=6z 4、导数的意义 微商表示 f’(z)=dw/d 模: lf’(z)|=|dw|/dz 幅角 Arg[f’(z)] Arg(dw)- Arg(dz) 五、解析函数 、定义 点解析 函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导 区域解析 函数f(z)在区域B上每一点都解析 2、性质 调和性 解析函数的实部与虚部都是调和函数, 即△u 0 正交性 解析函数的实部与虚部梯度正交, Ep VuV=(uxi+uy j)(vi+v, j)=uv, +u V,=0 或曲线u(x,y)=C,v(x,y)=C2相互垂直。 3、应用 例1:已知平面电场的电势为u=x2-y2,求电力线方程 分析:等势面与电力线相互正交,对应的函数组成一个解析函数的实部与

 

 

 

 

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虚部,满足C-R条件 解:设电力线为v(x,y)=C,由C-R条件得 dv = v, dx+v, dy=2ydx+2xdy=d(2xy) 注意:电力线方程的一般形式为f(2xy)=C 例2:已知平面电场的等势线为x2+y2=C,求电势u(x,y) 分析:等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式,电势必须有调和性, 可看成某个解析函数的实部。 解:设电势为u=f(x+y2) u=2xf’,ux=2f'+4x2f” u=2yf’,u2=2f’+4y2f” u+un=4f”+4(x2+y2)f”=0 令t y, g f’(t)→g g in t +c 例3:已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2,求热流量函数 分析:热流的方向与等温线相互正交,对应的函数组成一个解析函数的实 部与虚部,满足C-R条件 解:设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 VX--U =2y, vy=ux =2X dv vxdx+vxdy=2ydx+ 2xdy=d ( 2xy 注意:热流线方程的一般形式为f(2xy)=C 本章小结 1、复变函数 定义:两个复数集合之间的映射 特点:定义域和值域为2维 定义域出现复连通现象 不能用一个图形完全描述; 极限存在的要求提高 分析:可以分解成2个二元实函数 2、解析函数 满足CR条件 实部和虚部都是调和函数,相互正交

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