习题解答 第八章线性空间上的函数 习题8-1 1.设V是区间[-1,1上全体连续实函数所组成的线性空间证明: R ∫1f(x)dx 是V上的一个线性函数 证明:显然ψ是V到R的一个映射.且对任意的f(x)g(x)∈V,k∈R,有 v(f(a)+g())= (f(r)+g(a)dr f(a)dr+ g(a)dx =v(f(r))+v(g(a)) w(kf(=))=, kf(r)dr=k f(r)dx=k(f(a)) 所以v是V上的一个线性函数 2.设V是数域K上的一个3维线性空间,m,n2,m3是它的一个基,f是V上的一个线性函数,且 f(m-2m+m)=2,f(m+n)=2,f(-m+m+n)=-1 求f(x1m+x22+x373) =71-2n2+n3 a3=-m+n+73 则(a1,a2,a3)=(m,m2,3)A,其中 则(mh1,m2,7)=(a1,a2,a3)A-1,所以 f(x1m+z2n2+r3m)=((mn),f(m),f(m)x2=(f(a1,f(a2,a3)-1(x2 321 202 3.V及m,m2,T3同上题.试求一线性函数g,使 g(37+m2)=2,g(n-n3)=1,g(2n1+n3)=2 g(m) g(m2)=b,g(3) 则由已知得 3a+b=2
✁✂✄ ☎✆✝✞✟✠✡☛ ☞ ✌ 8–1 1. ✍ V ✎✏✑ [−1, 1] ✒✓✔✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣✤✥✑. ✦✧: ψ : V −→ R f(x) 7−→ R1 −1 f(x)dx ✎ V ✒✢★✩✣✤✘✙. ✪✫: ✬✭ ψ ✎ V ✮ R ✢★✩✯✰. ✱✲✳✴✢ f(x), g(x) ∈ V , k ∈ R, ✵ ψ(f(x) + g(x)) = Z 1 −1 (f(x) + g(x))dx = Z 1 −1 f(x)dx + Z 1 −1 g(x)dx = ψ(f(x)) + ψ(g(x)), ψ(kf(x)) = Z 1 −1 kf(x)dx = k Z 1 −1 f(x)dx = kψ(f(x)). ✚✶ ψ ✎ V ✒✢★✩✣✤✘✙. 2. ✍ V ✎✙✷ K ✒✢★✩ 3 ✸✣✤✥✑, η1, η2, η3 ✎✹✢★✩✺, f ✎ V ✒✢★✩✣✤✘✙, ✱ f(η1 − 2η2 + η3) = 2, f(η1 + η3) = 2, f(−η1 + η2 + η3) = −1. ✻ f(x1η1 + x2η2 + x3η3). ✼ : ✽ α1 = η1 − 2η2 + η3 α2 = η1 + η3 ✾ α3 = −η1 + η2 + η3 (α1, α2, α3) = (η1, η2, η3)A, ✿❀ A = 1 1 −1 −2 0 1 1 1 1 . ✾ (η1, η2, η3) = (α1, α2, α3)A−1 , ✚✶ f(x1η1 + x2η2 + x3η3) = (f(η1), f(η2), f(η3)) x1 x2 x3 = (f(α1), f(α2), f(α3))A −1 x1 x2 x3 = (2, 2, −1) · 1 4 −1 −2 1 3 2 1 −2 0 2 x1 x2 x3 = 3 2 x1 + 1 2 x3. 3. V ❁ η1, η2, η3 ❂✒❃. ❄ ✻ ★✣✤✘✙ g, ❅ g(3η1 + η2) = 2, g(η2 − η3) = 1, g(2η1 + η3) = 2. ✼ : ✍ g(η1) = a, g(η2) = b, g(η3) = c, ✾❆❇❈❉ 3a + b = 2 b − c = 1 2a + c = 2. · 1 ·
解得 b=5,c=4.从而所求的线性函数为 g(x1m+x22+x33)=-r1+5x2+4x3 4.设V是数域K上的n维线性空间,m hn是它的一个基,a1,…,an是K中任意n个数证 明:存在v上唯一的线性函数f,使 证明:(存在性)设a=x1m+x2n2+…+xnm∈V.令 f: V a→f(a)=∑a;r 容易证明∫是V上线性函数,且满足所需条件 (唯一性)设g为V的线性函数,使 g(ni) 则对任意的a=x1m+x2m+…+xnmn∈V有 g(a)=∑9m)=∑r=f(a) 这就证明了唯一性. 5.设V=K3,a=(x1,x2,x3),B=(y,y,y),判断下列二元函数∫是否为V上的双线性函数 (1)f(a,B)=2r1+x1y-3r2+x2y (2)f(a,B)=(x1-y2)2+x21 ∈K (4)f(a,B)=(2x1+x2-3r3)(-v+y) 解:(1)是 (3)当c≠0时,否;当c=0时,是 (4)是 6.设∫为n维线性空间V上的双线性函数,令 W1={a∈v|f(a,B)=0.,vB∈V}, W2={a∈vlf(,a)=0,v∈V} 证明:W1与W2都是V的线性子空间,且dimW1=dimW2 证明:(1)由于对任意的∈V有f(0,0)=0,因此0∈W1,W1非空.又对任意的a1,a2∈W k∈K以及任意的β∈V有 f(a1+a2,B)=f(a1,B)+f(a2,B)=0 f(kan k 因此 ka1∈W 所以W1是V的线性子空间同理可证V2也是V的线性子空间
❊❉ a = −1, b = 5, c = 4. ❋●✚✻ ✢✣✤✘✙❍ g(x1η1 + x2η2 + x3η3) = −x1 + 5x2 + 4x3. 4. ✍ V ✎✙✷ K ✒✢ n ✸✣✤✥✑, η1, · · · , ηn ✎✹✢★✩✺, a1, · · · , an ✎ K ❀✳✴ n ✩✙. ✦ ✧: ■❏ V ✒❑★✢✣✤✘✙ f, ❅ f(ηi) = ai , i = 1, · · · , n. ✪✫: (■❏✤) ✍ α = x1η1 + x2η2 + · · · + xnηn ∈ V . ✽ f : V −→ K α 7−→ f(α) = Pn i=1 aixi ▲▼✦✧f ✎ V ✒✣✤✘✙, ✱◆❖✚P◗❘. (❑★✤) ✍ g ❍ V ✢✣✤✘✙, ❅ g(ηi) = ai , i = 1, · · · , n. ✾ ✲✳✴✢ α = x1η1 + x2η2 + · · · + xnηn ∈ V ✵ g(α) = Xn i=1 xig(ηi) = Xn i=1 xiai = f(α). ❙❚✦✧❯ ❑★✤. 5. ✍ V = K3 , α = (x1, x2, x3), β = (y1, y2, y3), ❱❲❳❨❩❬✘✙ f ✎❭❍ V ✒✢❪✣✤✘✙: (1) f(α, β) = 2x1y1 + x1y2 − 3x2y1 + x2y2; (2) f(α, β) = (x1 − y2) 2 + x2y1; (3) f(α, β) = c, c ∈ K; (4) f(α, β) = (2x1 + x2 − 3x3)(y1 − y2 + y3). ✼ : (1) ✎. (2) ❭. (3) ❫ c 6= 0 ❴, ❭; ❫ c = 0 ❴, ✎. (4) ✎. 6. ✍ f ❍ n ✸✣✤✥✑ V ✒✢❪✣✤✘✙, ✽ W1 = {α ∈ V | f(α, β) = 0, ∀β ∈ V }, W2 = {α ∈ V | f(β, α) = 0, ∀β ∈ V }. ✦✧: W1 ❵ W2 ❛✎ V ✢✣✤❜✥✑, ✱ dim W1 = dim W2. ✪✫: (1) ❆❝ ✲✳✴✢ β ∈ V ✵ f(0, β) = 0, ❞❡ 0 ∈ W1, W1 ❢✥. ❣✲✳✴✢ α1, α2 ∈ W1, k ∈ K ✶❁✳✴✢ β ∈ V ✵ f(α1 + α2, β) = f(α1, β) + f(α2, β) = 0, f(kα1, β) = kf(α1, β) = 0, ❞❡ α1 + α2 ∈ W1, kα1 ∈ W1. ✚✶ W1 ✎ V ✢✣✤❜✥✑. ❂❤✐✦ W2 ❥✎ V ✢✣✤❜✥✑. · 2 ·
(2)设m,……,mn为V的基∫在基m,…,mh2下的度量矩阵为B.则对任意的向量 f(a, B)=(a 从而 0→(x1…rn)为齐次线性方程组XB=0的解 所以dmW1=齐次线性方程组XB=0的解空间的维数=n- rank B 同理可证dimV2=n- ranke,所以dimW1=dimW2 7.设f为Kn上的一个二元函数,证明:f为Kn上的双线性函数的充分必要条件是存在矩阵 (K),使 证明:(→)设∫为K上双线性函数,取f的度量矩阵A,则A∈Mn(K),且 f(X,Y)=XTAY,VX,Y∈K (÷)如二元函数满足 f(X,Y)=XAY,VX,Y∈K”, 则f显然是K上双线性函数 8.对于第5题中的双线性函数,试求相应的度量矩阵 解:(1)|-310 (3)当c=0时,度量矩阵=0 9.设V=K4,如下定义V的二元函数f f(a,3)=m1m+x2y-x3-x4 其中 (1)证明:f是V上的一个双线性函数; (2)求∫在基 (2,1,-1,1) (0,2,1,0) (1,1,-2,1),n4=(0,0,1, 下的度量矩阵 3)找出一个满足f(a,a)=0的向量a≠0
(2) ✍ η1, · · · , ηn ❍ V ✢✺, f ❏✺ η1, · · · , ηn ❳✢❦❧♠♥❍ B. ✾ ✲✳✴✢♦❧ α = (x1 · · · xn) η1 . . . ηn , β = (y1 · · · yn) η1 . . . ηn , f(α, β) = (x1 · · · xn)B y1 . . . yn . ❋● α = Pn i=1 xiηi ∈ W1 ⇐⇒ (x1 · · · xn)B y1 . . . yn = 0 ∀(y1, · · · , yn) ∈ Kn ⇐⇒ (x1 · · · xn)B = 0 ⇐⇒ (x1 · · · xn) ❍♣q✣✤rs✛ XB = 0 ✢ ❊ . ✚✶ dim W1 = ♣q✣✤rs✛ XB = 0 ✢ ❊ ✥✑✢✸✙ = n − rank B. ❂❤✐✦ dim W2 = n − rank B, ✚✶ dim W1 = dim W2. 7. ✍ f ❍ Kn ✒✢★✩❩❬✘✙, ✦ ✧: f ❍ Kn ✒✢❪✣✤✘✙✢t✉✈✇◗❘✎■❏♠♥ A ∈ Mn(K), ❅ f(X, Y ) = XTAY, X, Y ∈ Kn . ✪✫: (⇒) ✍ f ❍ Kn ✒❪✣✤✘✙, ① f ✢❦❧♠♥ A, ✾ A ∈ Mn(K), ✱ f(X, Y ) = XTAY, ∀X, Y ∈ Kn . (⇐) ②❩❬✘✙◆❖ f(X, Y ) = X TAY, ∀X, Y ∈ Kn , ✾ f ✬✭✎ Kn ✒❪✣✤✘✙. 8. ✲❝③ 5 ❃❀✢❪✣✤✘✙, ❄ ✻④⑤✢❦❧♠♥. ✼ : (1) 2 1 0 −3 1 0 0 0 0 . (3) ❫ c = 0 ❴, ❦❧♠♥ = 0. (4) 2 −2 2 1 −1 1 −3 3 −3 . 9. ✍ V = K4 , ②❳⑥⑦ V ✢❩❬✘✙ f: f(α, β) = x1y1 + x2y2 − x3y3 − x4y4, ✿❀ α = (x1, x2, x3, x4), β = (y1, y2, y3, y4). (1) ✦✧: f ✎ V ✒✢★✩❪✣✤✘✙; (2) ✻ f ❏✺ η1 = (2, 1, −1, 1), η2 = (0, 2, 1, 0), η3 = (1, 1, −2, 1), η4 = (0, 0, 1, 2) ❳✢❦❧♠♥; (3) ⑧⑨★✩◆❖ f(α, α) = 0✢♦❧ α 6= 0. · 3 ·
解:(1)代入验证即可.证略 (2)我们有 010 (mh1n2n3n)=(1E2E3E4) 而f在基1,E2,E3,E4下的度量矩阵为 因此f在基m,m,T3,7下的度量矩阵为 2010 0210 1210334-1 11-21 11-21 (3)取a=(1,1,1,1),显然有f(a,a)=0. 10.设V=K4,a=(x1,x2,x3,x4),B=(y1,y2,y3,y4) f(a, B)=3T192-5T291+r3y (1)求∫在基 mh1=(2,1,-1,1),m=(1,2,1,-1) 7=(-1,1,2,1),n4=(1,-1,1,2) 下的度量矩阵 (2)另取V的基E1,E2,E3,E4 (1,E2,E3,E4)=(m,m2,m3,n)T, 其中 111 l11 1-1-1 11 求∫在E1,E21E3,∈4下的度量矩阵 解:(1)把∫在自然基下的度量矩阵记为B,把由自然基到基m1,m2,73,n4的过渡矩阵记为A,则 0300 5000 121 1-121 00-40 于是f在基m,m,T,7下的度量矩阵为 2 C=A BA
✼ : (1) ⑩❶❷✦❸✐. ✦❹. (2) ❺❻✵ (η1 η2 η3 η4) = (ε1 ε2 ε3 ε4) 2 0 1 0 1 2 1 0 −1 1 −2 1 1 0 1 2 ● f ❏✺ ε1, ε2, ε3, ε4 ❳✢❦❧♠♥❍ 1 1 −1 −1 , ❞❡ f ❏✺ η1, η2, η3, η4 ❳✢❦❧♠♥❍ 2 1 −1 1 0 2 1 0 1 1 −2 1 0 0 1 2 1 1 −1 −1 2 0 1 0 1 2 1 0 −1 1 −2 1 1 0 1 2 = 3 3 0 −1 3 3 4 −1 0 4 −3 0 −1 −1 0 −5 . (3) ① α = (1, 1, 1, 1), ✬✭✵ f(α, α) = 0. 10. ✍ V = K4 , α = (x1, x2, x3, x4), β = (y1, y2, y3, y4), f(α, β) = 3x1y2 − 5x2y1 + x3y4 − 4x4y3. (1) ✻ f ❏✺ η1 = (2, 1, −1, 1), η2 = (1, 2, 1, −1), η3 = (−1, 1, 2, 1), η4 = (1, −1, 1, 2) ❳✢❦❧♠♥; (2) ❼① V ✢✺ ε1, ε2, ε3, ε4: (ε1, ε2, ε3, ε4) = (η1, η2, η3, η4)T, ✿❀ T = 1 1 1 1 1 1 −1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −1 1 , ✻ f ❏ ε1, ε2, ε3, ε4 ❳✢❦❧♠♥. ✼ : (1) ❽ f ❏ ❾✭✺❳✢❦❧♠♥❿❍ B, ❽ ❆ ❾✭✺✮✺ η1, η2, η3, η4 ✢➀➁♠♥❿❍ A, ✾ B = 0 3 0 0 −5 0 0 0 0 0 0 1 0 0 −4 0 , A = 2 1 −1 1 1 2 1 −1 −1 −1 2 1 1 −1 1 2 , ❝ ✎ f ❏✺ η1, η2, η3, η4 ❳✢❦❧♠♥❍ C = A TBA = −1 4 2 −17 −20 −1 22 −7 −7 −17 −4 −2 22 2 −17 −4 . · 4 ·
(2)f在基e1,E2,E3,E4下的度量矩阵为 -45939-27 39-953 11.设f是n维线性空间V上的双线性函数,证明:f非退化的充分必要条件是:从 f(a,3)=0,对所有的a∈V 可以推出B=0 证明:(→)令 W1={a∈V|f(a,B)=0,vB∈V W2={a∈v|f(,a)=0.,v∈V} 如∫非退化则由定义13及W1的定义知W1=0,从而由习题6得W2=0.因此由f(a,B)=0va∈V 可以推出a=0. ()如f(a,B)=0va∈V可以推出a=0,则W2=0,同理可得W1=0,则由定义1.3及W1的 定义知f非退化 12.设A∈Mm(K),V=Mm,n(K).定义V上的二元函数f如下: f(X,Y)=Tr(X AY),X,YE V (1)证明:f是V上的一个双线性函数 (2)求f在基E1,E12,…,E1n,…,Em1,…,Emn下的度量矩阵; (3)在什么条件下,∫是非退化的 解:(1)设X=(x1)mxn,Y=(v)mxm,A=(a1)m,则 f(X,Y Clank yki 1l=1 从而知f是双线性的 (2)由于f(Ex,E1)=6a,因此f在基E1,E12,…,E1n,…,Em1,…,Emn下的度量矩阵为 E B amIe 其中E是n阶单位方阵 3)由于|B=|4P,所以f非退化台→B≠0→|A|≠0.即∫非退化的充分必要条件是A 是可逆矩阵 13.证明:Mn(K)上的双线性函数 f(A, B)=Tr AB, A, BE Mn(K) 是非退化的 证明:设A=(a)∈Mn(K).如果 f(A, B)=Tr AB=0 VBE Mn(K) 则f(A,E)=0v,j=1 而 f(A, Eii)= Tr AEii=a
(2) f ❏✺ ε1, ε2, ε3, ε4 ❳✢❦❧♠♥❍ D = T TCT = −45 9 39 −27 9 −45 9 −117 −39 −9 5 3 27 117 3 45 . 11. ✍ f ✎ n ✸✣✤✥✑ V ✒✢❪✣✤✘✙, ✦✧: f ❢➂➃✢t✉✈✇◗❘✎: ❋ f(α, β) = 0, ✲✚✵✢ α ∈ V, ✐✶➄⑨ β = 0. ✪✫: (⇒) ✽ W1 = {α ∈ V | f(α, β) = 0, ∀β ∈ V }, W2 = {α ∈ V | f(β, α) = 0, ∀β ∈ V }. ② f ❢➂➃, ✾❆⑥⑦ 1.3 ❁ W1 ✢⑥⑦❈ W1 = 0, ❋●❆➅ ❃ 6 ❉ W2 = 0. ❞❡❆ f(α, β) = 0∀α ∈ V ✐✶➄⑨ α = 0. (⇐) ② f(α, β) = 0 ∀α ∈ V ✐✶➄⑨ α = 0, ✾ W2 = 0, ❂❤✐❉ W1 = 0, ✾❆⑥⑦ 1.3 ❁ W1 ✢ ⑥⑦❈ f ❢➂➃. 12. ✍ A ∈ Mm(K), V = Mm,n(K). ⑥⑦ V ✒✢❩❬✘✙ f ②❳: f(X, Y ) = Tr(XTAY ), X, Y ∈ V. (1) ✦✧: f ✎ V ✒✢★✩❪✣✤✘✙; (2) ✻ f ❏✺ E11, E12, · · · , E1n, · · · , Em1, · · · , Emn ❳✢❦❧♠♥; (3) ❏➆➇◗❘❳, f ✎❢➂➃✢. ✼ : (1) ✍ X = (xij )m×n, Y = (yij )m×n, A = (aij )m, ✾ f(X, Y ) = Xn i=1 Xm l=1 Xm k=1 xlialkyki, ❋●❈ f ✎❪✣✤✢. (2) ❆❝ f(Est, Euv) = δtvasu, ❞❡ f ❏✺ E11, E12, · · · , E1n, · · · , Em1, · · · , Emn ❳✢❦❧♠♥❍ B = a11E · · · a1mE . . . . . . . . . am1E · · · ammE , ✿❀E ✎ n ➈➉➊r♥. (3) ❆❝ |B| = |A| n, ✚✶ f ❢➂➃ ⇐⇒ |B| 6= 0 ⇐⇒ |A| 6= 0. ❸ f ❢➂➃✢t✉✈✇◗❘✎ A ✎✐➋♠♥. 13. ✦✧: Mn(K) ✒✢❪✣✤✘✙ f(A, B) = Tr AB, A, B ∈ Mn(K) ✎❢➂➃✢. ✪✫: ✍ A = (aij ) ∈ Mn(K). ②➌ f(A, B) = Tr AB = 0 ∀B ∈ Mn(K) ✾ f(A, Eij ) = 0 ∀i, j = 1, · · · , n. ● f(A, Eij ) = Tr AEij = aji, · 5 ·
所以aj=0对i,j=1,…,n,即A=0.因此f非退化 另证:因为 f(A,B)=Tr AB=Tr((ATB)=Tr((ATTEB 由习题12(3)可知f非退化 1.设∫是线性空间V上的对称或反称双线性函数,W是V的真子空间 证明:对gW,必有非零向量n∈W+L(5),使对所有的a∈W,都有f(n,a)=0 证明:如W=0,则结论显然成立.现设W≠0.设a1,…,a。为W的基,则因5gW,5,a1,…,a 线性无关.考察线性方程组 x0f(5,a1)+r1f(a1,a1)+…+xsf(as,a1)=0 rof(5,a2)+x1f(a1,a2)+…+xsf(as,a2)=0 cof(S,as)+aif(a1,as)+.+Isf(as, as)=0 此齐次线性方程组的方程个数s小于未知量个数s+1,故(*)有非零解(ao,a1,……,a).令 则n∈W+L(),且n≠0因a1,…,as线性无关,且a0,a1,…,as不全为零.且由(*)知 f(7,az)=0,i=1,2, 又因a1,…,a为W的基故对任意的a∈W都有f(n,a)=0 2.V与∫同上题,W是V的线性子空间,令 W={a∈vlf(a,B)=0.v∈W} 证明:(1)W是V的线性子空间 (2)如果W∩W={0},则V=W由W. 证明:(1)由f(0,B)=0VB∈W,可得0∈W,因此W非空 对任意的a1,a2∈W,k∈K,则v∈W,有 f(a1+a2,3)=f(a1,3)+f(a2,B)=0 f(ka1,3)=kf(a1,B)=0 因此a1+a2∈W,ka1∈W,故W是V的线性子空间 (2)对任意的W,由上题所证,存在n≠0∈W+L(),使得f(n,a)=0va∈W,即n∈W 记n=a+a,则因W∩W=0,必有a≠0.所以 1n-a-a∈W+W 证得V≤W-+W 3.求可逆矩阵T,使TAT为对角形.其中A为下列矩阵 (1)122 2)-242
✚✶ aji = 0 ✲ i, j = 1, · · · , n, ❸ A = 0. ❞❡ f ❢➂➃. ❼✦: ❞❍ f(A, B) = Tr AB = Tr((A T) TB) = Tr((A T) TEB), ❆➅ ❃ 12(3) ✐ ❈ f ❢➂➃. ☞ ✌ 8–2 1. ✍ f ✎✣✤✥✑ V ✒✢✲➍➎➏➍❪✣✤✘✙, W ✎ V ✢➐❜✥✑. ✦✧: ✲ ξ /∈ W, ✈✵❢➑♦❧ η ∈ W + L(ξ), ❅✲✚✵✢ α ∈ W, ❛✵ f(η, α) = 0. ✪✫: ② W = 0, ✾➒➓✬✭✜➔. →✍ W 6= 0. ✍ α1, · · · , αs ❍ W ✢✺, ✾ ❞ ξ /∈ W, ξ, α1, · · · , αs ✣✤➣↔. ↕➙✣✤rs✛ x0f(ξ, α1) + x1f(α1, α1) + · · · + xsf(αs, α1) = 0 x0f(ξ, α2) + x1f(α1, α2) + · · · + xsf(αs, α2) = 0 .. . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . . . . . . . . .. . x0f(ξ, αs) + x1f(α1, αs) + · · · + xsf(αs, αs) = 0 (*) ❡♣q✣✤rs✛✢rs✩✙ s ➛❝➜❈ ❧✩✙ s + 1, ➝ (*) ✵❢➑❊ (a0, a1, · · · , as). ✽ η = a0ξ + a1α1 + · · · + asαs, ✾ η ∈ W + L(ξ), ✱ η 6= 0 (❞ α1, · · · , αs ✣✤➣↔, ✱ a0, a1, · · · , as ➞✓❍➑). ✱ ❆ (*) ❈ f(η, αi) = 0, i = 1, 2, · · · , s. ❣❞ α1, · · · , αs ❍ W ✢✺, ➝✲✳✴✢ α ∈ W ❛✵ f(η, α) = 0. 2. V ❵ f ❂✒❃, W ✎ V ✢✣✤❜✥✑, ✽ W⊥ = {α ∈ V | f(α, β) = 0, ∀β ∈ W}. ✦✧: (1) W⊥ ✎ V ✢✣✤❜✥✑; (2) ②➌ W ∩ W⊥ = {0}, ✾ V = W ⊕ W⊥. ✪✫: (1) ❆ f(0, β) = 0 ∀β ∈ W, ✐ ❉ 0 ∈ W⊥, ❞❡ W⊥ ❢✥. ✲✳✴✢ α1, α2 ∈ W⊥, k ∈ K, ✾ ∀β ∈ W, ✵ f(α1 + α2, β) = f(α1, β) + f(α2, β) = 0, f(kα1, β) = kf(α1, β) = 0, ❞❡ α1 + α2 ∈ W⊥, kα1 ∈ W⊥, ➝ W⊥ ✎ V ✢✣✤❜✥✑. (2) ✲✳✴✢ ξ /∈ W, ❆ ✒❃✚✦, ■❏ η 6= 0 ∈ W + L(ξ), ❅ ❉ f(η, α) = 0 ∀α ∈ W, ❸ η ∈ W⊥. ❿ η = α + aξ, ✾ ❞ W ∩ W⊥ = 0, ✈✵ a 6= 0. ✚✶ ξ = a −1 η − a −1α ∈ W⊥ + W. ✦ ❉ V ⊆ W⊥ + W. 3. ✻ ✐➋♠♥ T , ❅ T TAT ❍✲➟➠. ✿❀A ❍❳❨♠♥: (1) 1 1 0 1 2 2 0 2 5 ; (2) 1 −2 1 −2 4 2 1 2 1 ; · 6 ·
解:(1)取T=01-2,则TAT=010 10 00 (2)取T 则TAT=010 22 (3)取 0,则rTT=0 ()取T=(010),则rr=(000 001 000 证明 相合,其中i,…,in是1,…,n的一个排列 证明:考察n维线性空间V.设∫为V上的对称双线性函数,它在基m1,……,m下的度量矩阵为 易知m1,…,mn仍是V的基,且∫在n2 nn下的度量矩阵为 因此这两个矩阵相合 5.证明:秩等于r的对称矩阵可以表为r个秩等于1的对称矩阵之和 证明:设A是秩为r的对称矩阵,则存在可逆矩阵T,使得 a1≠0. 0
(3) 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ; (4) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ; ✼ : (1) ① T = 1 −1 2 0 1 −2 0 0 1 , ✾ T TAT = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 . (2) ① T = 1 0 −1 0 1 4 − 1 4 0 1 2 1 2 , ✾ T TAT = 1 0 0 0 1 0 0 0 −1 . (3) ① T = 1 −1 1 0 1 0 1 −1 −1 , ✾ T TAT = 2 0 0 0 −2 0 0 0 −2 . (4) ① T = 1 −1 −1 0 1 0 0 0 1 , ✾ T TAT = 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . 4. ✦✧: λ1 λ2 . . . λn ❵ λi1 λi2 . . . λin ④➡, ✿❀i1, · · · , in ✎ 1, · · · , n ✢★✩➢❨. ✪✫: ↕➙ n ✸✣✤✥✑ V . ✍ f ❍ V ✒✢✲➍❪✣✤✘✙, ✹❏✺ η1, · · · , ηn ❳✢❦❧♠♥❍ λ1 λ2 . . . λn , ▼❈ ηi1 , · · · , ηin ➤✎ V ✢✺, ✱ f ❏ ηi1 , · · · , ηin ❳✢❦❧♠♥❍ λi1 λi2 . . . λin , ❞❡❙➥✩♠♥④➡. 5. ✦✧: ➦➧❝ r ✢✲➍♠♥✐✶➨❍ r ✩➦➧❝ 1 ✢✲➍♠♥➩➫. ✪✫: ✍ A ✎➦❍ r ✢✲➍♠♥, ✾ ■❏✐➋♠♥ T , ❅ ❉ T TAT = a1 . . . ar 0 . . . 0 , ai 6= 0. · 7 ·
A;= T-T 则A1也是对称矩阵, rank a=1且A=A1+42+…+A 6.设A为实矩阵,证明:AA与A的秩相等 证明:易知,ATA是实对称矩阵.考察实数域上的齐次线性方程组 ATAX=O AX=0 显然(2)的解都是(1)的解 设X∈R为(1)的一个解令 Y=AX YTY=XTATAX=O 从而 y2+v2+…+v2 由于v均为实数,因此=y 0,Y=0,即 AX=0. 从而(1)的解也都是(2)的解.(1)与(2)同解.由齐次线性方程组解的性质知 rank aA= rank a 7.设A为正定矩阵,证明:A-1与A*都是正定矩阵 证明:易知A-1与A*都是实对称矩阵且A=|4·A-1.因A正定,存在可逆实矩阵C使 CrC=A.从而A-1=C-C-1也正定.由|4>0可知A*=|4·4-1也正定 8.证明:任意一个双线性函数都可唯一表为一个对称双线性函数和一个反称双线性函数之和 证明:(1)设f(a,B)是一个双线性函数,易知 g(a,B)=[f(a,B)+f(,a) 是对称双线性函数 为反称双线性函数,且 f(a, B) (2)又设 f(a, B)=g(a, B)+h(a, B)
✽ Ai = T −T 0 . . . ai 0 . . . 0 T −1 , ✾ Ai ❥✎✲➍♠♥, rank Ai = 1 ✱ A = A1 + A2 + · · · + Ar. 6. ✍ A ❍✗♠♥, ✦✧: ATA ❵ A ✢➦④ ➧. ✪✫: ▼❈ , ATA ✎✗✲➍♠♥. ↕➙✗✙✷✒✢♣q✣✤rs✛ A TAX = 0 (1) ❵ AX = 0. (2) ✬✭ (2) ✢ ❊ ❛✎ (1) ✢ ❊ . ✍ X ∈ R n ❍ (1) ✢★✩❊ . ✽ Y = AX = y1 . . . yn . ✾ Y TY = XTA TAX = 0, ❋● y 2 1 + y 2 2 + · · · + y 2 n = 0. ❆❝ yi ➭❍✗✙, ❞❡ y1 = y2 = · · · = yn = 0, Y = 0, ❸ AX = 0. ❋● (1) ✢ ❊ ❥❛✎ (2) ✢ ❊ . (1) ❵ (2) ❂ ❊ . ❆ ♣q✣✤rs✛❊ ✢✤➯❈ rank A TA = rank A. 7. ✍ A ❍➲⑥♠♥, ✦✧: A−1 ❵ A∗ ❛✎➲⑥♠♥. ✪✫: ▼❈ A−1 ❵ A∗ ❛✎✗✲➍♠♥. ✱ A∗ = |A| · A−1 . ❞ A ➲⑥, ■❏✐➋✗♠♥ C ❅ C TC = A. ❋● A−1 = C −TC −1 ❥➲⑥. ❆ |A| > 0 ✐ ❈ A∗ = |A| · A−1 ❥➲⑥. 8. ✦✧: ✳✴★✩❪✣✤✘✙❛✐❑★➨❍★✩✲➍❪✣✤✘✙➫★✩➏➍❪✣✤✘✙➩➫. ✪✫: (1) ✍ f(α, β) ✎★✩❪✣✤✘✙, ▼❈ g(α, β) = 1 2 [f(α, β) + f(β, α)] ✎✲➍❪✣✤✘✙, h(α, β) = 1 2 [f(α, β) − f(β, α)] ❍➏➍❪✣✤✘✙, ✱ f(α, β) = g(α, β) + h(α, β). (2) ❣✍ f(α, β) = g 0 (α, β) + h 0 (α, β), · 8 ·
其中g(a,B)是对称双线性函数,h(a,B)是反称双线性函数,则 f(3,a)=g(6,a)+h(,a)=g(a,3)-h'(a,B) 从而 g(a,B)=(a,A+f(,a)=y(a,) h(a,3)=x[f(a,B)-f(,a)=h(a,B) *9.证明:双线性函数∫具有正交对称性的充分必要条件是f为对称或反称双线性函数 证明:充分性是显然的.下面证必要性 (1)如对任意的a∈V都有f(a,a)=0,则对任意的a,B∈V, 0=f(a+B,a+B)=f(a,a)+f(a,3)+f(,B)+f(B,B)=f(a,B)+f(,a) 因此f(a,B)=-f(6,a),f是反称双线性函数. (2)如果存在∈V使f(,)≠0.则对任意的a∈V,由于 f(a,7)-f(a,)=0 所以f(,a =0.因此 f(a,)=f(,a) 对于任意的α,B∈V,以下再分两种情况讨论: (a)如果f(a,0)≠0,则 f(a, B) f(a,B)-f(a,)=0 因此f(-f(,a)=0,从而 0=f(a)-f(,B) f(a,) f(a, B) f(,0-7,)f(a,)由() 即f(a,B)=f(,a). (b)如果f(a,7)=0,则 7,B-f(a,B)+f(,B) f(,) 7)=f(a,)+f(,B)-f(a,)-f(,B)=0, 因此f(B- a,B)+f(, B 0.从而 f(3,a)+f(,y)-f(a,B)-f(,B)=0. 由(*)知f(B,0)=f(,,因此f(a,B)=f(,a) 由(a)和(b)可得∫为对称双线性函数 10.设V是复数域上的线性空间,其维数n≥2,f是V上的一个对称双线性函数.证明: (1)V中有非零向量,使f(5,5)=0 (2)当f是非退化时,必有线性无关的向量ξ,n,满足 f(5,)=f(m,n)=0
✿❀g 0 (α, β) ✎✲➍❪✣✤✘✙, h 0 (α, β) ✎➏➍❪✣✤✘✙, ✾ f(β, α) = g 0 (β, α) + h 0 (β, α) = g 0 (α, β) − h 0 (α, β). ❋● g 0 (α, β) = 1 2 [f(α, β) + f(β, α)] = g(α, β), h 0 (α, β) = 1 2 [f(α, β) − f(β, α)] = h(α, β). ∗9. ✦✧: ❪✣✤✘✙ f ➳✵➲➵✲➍✤✢t✉✈✇◗❘✎ f ❍✲➍➎➏➍❪✣✤✘✙. ✪✫: t✉✤✎✬✭✢. ❳➸✦✈✇✤. (1) ②✲✳✴✢ α ∈ V ❛✵ f(α, α) = 0, ✾ ✲✳✴✢ α, β ∈ V , 0 = f(α + β, α + β) = f(α, α) + f(α, β) + f(β, β) + f(β, β) = f(α, β) + f(β, α). ❞❡ f(α, β) = −f(β, α), f ✎➏➍❪✣✤✘✙. (2) ②➌■❏ γ ∈ V ❅ f(γ, γ) 6= 0. ✾ ✲✳✴✢ α ∈ V , ❆❝ f α − f(α, γ) f(γ, γ) γ, γ = f(α, γ) − f(α, γ) = 0, ✚✶ f γ, α − f(α, γ) f(γ, γ) γ = 0. ❞❡ f(α, γ) = f(γ, α). (*) ✲❝ ✳✴✢ α, β ∈ V , ✶❳➺✉➥➻➼➽➾➓ : (a) ②➌ f(α, γ) 6= 0, ✾ f α, β − f(α, β) f(α, γ) γ = f(α, β) − f(α, β) = 0, ❞❡ f β − f(α, β) f(α, γ) γ, α = 0, ❋● 0 = f(β, α) − f(α, β) f(α, γ) f(γ, α) = f(β, α) − f(α, β) f(α, γ) f(α, γ) ❆ (*) = f(β, α) − f(α, β), ❸ f(α, β) = f(β, α). (b) ②➌ f(α, γ) = 0, ✾ f α + γ, β − f(α, β) + f(γ, β) f(γ, γ) γ = f(α, β) + f(γ, β) − f(α, β) − f(γ, β) = 0, ❞❡ f β − f(α, β) + f(γ, β) f(γ, γ) γ, α + γ = 0. ❋● f(β, α) + f(β, γ) − f(α, β) − f(γ, β) = 0. ❆ (*) ❈ f(β, γ) = f(γ, β), ❞❡ f(α, β) = f(β, α). ❆ (a) ➫ (b) ✐ ❉ f ❍✲➍❪✣✤✘✙. ∗10. ✍ V ✎➚✙✷✒✢✣✤✥✑, ✿✸✙ n > 2, f ✎ V ✒✢★✩✲➍❪✣✤✘✙. ✦✧: (1) V ❀✵❢➑♦❧ ξ, ❅ f(ξ, ξ) = 0; (2) ❫ f ✎❢➂➃❴, ✈✵✣✤➣↔✢♦❧ ξ, η, ◆❖: f(ξ, η) = 1, f(ξ, ξ) = f(η, η) = 0. · 9 ·
证明:(1)由于dimV≥2.任取V的两个线性无关的向量a,B.如果f(a,a)=0,则￡=a即为所 求.现设∫(a,a)≠0.则2次方程 t2f(a,a)+2tf(a,B)+f(,B)=0 在复数范围内有解.设t∈C是t的一个解.令 E=toa +B, 则5≠0因a,B线性无关),且 f($, 5)=tof(a, a)+ 2tof(a, B)+f(B, B)=0 从而ξ=toa+B即为所求 (2)由(1)所证,存在5≠0∈V使f(5,)=0.又因f非退化故存在a∈V使f(5,a)≠0. (a)如f(a,a)=0,则令T f(,a)Q,即有 f(5,)=f(n,n)=0,f(5,n)=1 (b)如f(a,a)≠0.则取 直接验证可知f(n,n)=0,f(5,m)=1,而5,n的线性无关性是显然的故5,即为所求 *11.证明:如果线性空间V上的对称双线性函数∫能分解为两个线性函数之积 f(a, B)=fi(a)f2(8), Va, BE V, 则存在非零数入及线性函数g,使 f(a, B)= Ag(a)g(B) 证明:如果∫=0.则结论当然成立现设f≠0.因此存在ao,B∈V,使得f(a0,6)≠0.定义 则g为V上线性函数,且9≠0.对任意的∈V, g(6)=f(a0,B)=f1(ao)f2() g()=f(a0,3)=f(,ao)=f1()f2(a0) 显然f1(ao)≠0,f2(ao)≠0(否则9≠0).由此知 g() (a0J( v∈V f2(3) 令 f(a,B)=f1(a)f2(6) h2(0)0·~1 f(ao9(B)=1g(a)9() *12.设A为半正定矩阵,证明:A*也是半正定矩阵 证明:如果 rank a=n,则A是正定矩阵习题7已证明了A*正定.如果 rank a≤n-2,则A·=0, 从而A·半正定.最后考虑 rank A=n-1的情形.此时 rank a*=1,从而A·的阶数≥2的主子式都是 0,而A·的1阶主子式=Aa(i=1,……,n)=A的aa的代数余子式(=1,……,m)=A的a1t的余子式 (=1,…,n)=A的n-1阶主子式≥0(因A半正定).所以A*半正定
✪✫: (1) ❆❝ dim V > 2. ✳① V ✢ ➥ ✩✣✤➣↔✢♦❧ α, β. ②➌ f(α, α) = 0, ✾ ξ = α ❸❍✚ ✻ . →✍ f(α, α) 6= 0. ✾ 2 qrs t 2 f(α, α) + 2tf(α, β) + f(β, β) = 0 (*) ❏➚✙➪➶➹✵ ❊ . ✍ t0 ∈ C ✎ t ✢★✩❊ . ✽ ξ = t0α + β, ✾ ξ 6= 0 (❞ α, β ✣✤➣↔), ✱ f(ξ, ξ) = t 2 0f(α, α) + 2t0f(α, β) + f(β, β) = 0. ❋● ξ = t0α + β ❸❍✚✻ . (2) ❆ (1) ✚✦, ■❏ ξ 6= 0 ∈ V ❅ f(ξ, ξ) = 0. ❣❞ f ❢➂➃, ➝■❏ α ∈ V ❅ f(ξ, α) 6= 0. (a) ② f(α, α) = 0, ✾ ✽ η = 1 f(ξ, α) α, ❸✵ f(ξ, ξ) = f(η, η) = 0, f(ξ, η) = 1. (b) ② f(α, α) 6= 0, ✾ ① η = 1 f(α, ξ) α − f(α, α) 2(f(α, ξ))2 ξ, ➘➴❷✦✐ ❈ f(η, η) = 0, f(ξ, η) = 1, ● ξ, η ✢✣✤➣↔✤✎✬✭✢. ➝ ξ, η ❸❍✚✻ . ∗11. ✦✧: ②➌✣✤✥✑ V ✒✢✲➍❪✣✤✘✙ f ➷✉❊ ❍ ➥ ✩✣✤✘✙➩➬: f(α, β) = f1(α)f2(β), ∀α, β ∈ V, ✾ ■❏❢➑✙ λ ❁✣✤✘✙ g, ❅ f(α, β) = λg(α)g(β). ✪✫: ②➌ f = 0, ✾➒➓❫✭✜➔. →✍ f 6= 0. ❞❡■❏ α0, β0 ∈ V , ❅ ❉ f(α0, β0) 6= 0. ⑥⑦ g : V −→ K γ 7−→ f(α0, γ) ✾ g ❍ V ✒✣✤✘✙, ✱ g 6= 0. ✲✳✴✢ β ∈ V , g(β) = f(α0, β) = f1(α0)f2(β) g(β) = f(α0, β) = f(β, α0) = f1(β)f2(α0) ✬✭ f1(α0) 6= 0, f2(α0) 6= 0 (❭ ✾ g 6= 0). ❆ ❡ ❈ , f1(β) = 1 f2(α0) g(β) f2(β) = 1 f1(α0) g(β) ∀β ∈ V. ✽ λ = 1 f1(α0)f2(α0) , ✾ f(α, β) = f1(α)f2(β) = 1 f2(α0) g(α) · 1 f1(α0) g(β) = λg(α)g(β). ∗12. ✍ A ❍➮➲⑥♠♥, ✦✧: A∗ ❥✎➮➲⑥♠♥. ✪✫: ②➌ rank A = n, ✾ A ✎➲⑥♠♥, ➅ ❃ 7 ❇ ✦✧❯ A∗ ➲⑥. ②➌ rank A 6 n − 2, ✾ A∗ = 0, ❋● A∗ ➮➲⑥. ➱✃↕❐ rank A = n − 1 ✢ ➼ ➠. ❡❴ rank A∗ = 1, ❋● A∗ ✢➈✙ > 2 ✢❒❜❮❛✎ 0, ● A∗ ✢ 1 ➈❒❜❮ = Aii (i = 1, · · · , n) = A ✢ aii ✢⑩✙❰❜❮ (i = 1, · · · , n) = A ✢ aii ✢❰❜❮ (i = 1, · · · , n) = A ✢ n − 1 ➈❒❜❮ > 0 (❞ A ➮➲⑥). ✚✶ A∗ ➮➲⑥. · 10 ·