习题解答 第五章线性空间与欧几里得空间 5-1 1.按通常数的加法与乘法,下列集合是否构成实数域R上的线性空间? (1)整数集Z:(2)有理数集Q;(3)实数集R;(4)复数集C. 解:(1)与(2)都不是实数域R上的线性空间,因为标量乘法不封闭.(3)和(4)都是R上的线性空 间. 2.若K为复数域C,问以实数为元素的一切n×n矩阵的集合对矩阵的加法与标量乘法是否构成 K上的线性空间?为什么? 解:否,关于标量乘法不封闭 3.检验下列集合对于所给的运算是否构成实数域上的线性空间 (1)全体实对称(反称,上三角形)矩阵,对于矩阵的加法与标量乘法 (2)次数等于n(n≥1)的实系数多项式全体,对于多项式的加法与乘法 (3)平面上全体向量,对于向量的加法与如下定义的标量乘法 (4)全体正实数R+,加法和标量乘法定义为 a⊕b=ab, 解:(1)是;(2)否,零多项式不在集合中;(3)否.因为当a≠0时,0a≠0;(4)是 4.计算上题中所出现的线性空间的维数和基 解(1)实对称m+卫维基{E+En|i≤小 反称: 维,基{E-Eii<示; 上三角形四+1维基{E1i≤八 (4)1维,任何不等于1的正实数都可作为基 5.证明:全体以零为极限的实数列 S={{an}=(a1,a2,a3,…,an,…)|a∈R, lim an 按如下定义的加法与标量乘法 fan)+(bn)=fan +bnj Han)=kanj 构成实数域R上的一个无限维线性空间 证明:验证线性空间略.为说明它是无限维的,对任意的正整数n,有一个收敛于0的数列:an {0,…,0,1(第n项),0,0,……}.于是对于任意大的n,总有m个向量a1,……,an线性无关
5–1 1. [r6DBD, T)u*2 R yt&pq? (1) + Z; (2) G Q; (3) 2 R; (4) @ C. : (1) B (2) mU2 R yt&pq, !"U DU. (3) : (4) m R yt&p q. 2. K "@ C, $2" XHA n × n ]^ T]^DBU D)u* K yt&pq? "/0? : ), * 1) 2j :)3, /"z. 5. ST: 3$o" s2 S = n {an} = (a1, a2, a3, · · · , an, · · ·) | ai ∈ R, limn→∞ an = 0o [ MDBU D: {an} + {bn} = {an + bn}; k{an} = {kan} u*2 R yHf,sFt&pq. : }St&pqi. "XT8,sF, r+ n, GHfCD< 0 : αn = {0, · · · , 0, 1(= n :),0, 0, · · · }. <<; n, 8G n f α1, · · · , αn t&,*. · 1 ·
, 6 (1)证明:P按矩阵的加法与标量乘法构成实数域R上的一个线性空间; (2)求P的维数与基 解:(1)略.(2) dimR F=4,基为 10 0 01)/0 7.设R为实数域在它自身上的线性空间,卫+为第3题(4)中的向量空间证明:R与R+同构 证明:令 则(a)φ是映射 (b)是单的:因为21=22→r1=T (c)y是满的:因为对任意的a∈R+,a=22a.而log2a∈R,于是y(log2a)=2ga (d)φ保持运算 g(r1+r2)=271+r2=212n=2122=y(r1)(r2); y(kr1)=2n=(2)=ko2=ko(r1) 所以φ是同构 8.设F为全体形如 (x1,x2,x3,……,xn,……),xn=xn-1+xn-2,n≥3 的实数列所组成的集合,其加法与标量乘法的定义如第5题 (1)证明:F构成R上的一个二维线性空间 (2)给出F的一个由等比数列所组成的基 (3)求斐波那契( Fibonacci)数列 的通项公式 证明:(1)F为R上线性空间的证明略.下面求F的维数 考察数列a1=(0,1,1,2,3,5,……)与a2=(1,1,2,3,5,…),显然a1,a2∈F (a)设ka+k2a2=0,则(k2,k1+k2,k1+2k2,2k1+3k2,…)=0,所以k2=0,从而k1=0.这说 明a1,a2线性无关 (b)对任意的 B=(a1,a2,a3 ),an=an-1+an-2,n≥3 考察 ?=(a2-a1)a1+a102-BE F 则Y=(0,0,x3,x4,…).因为∈F,所以x3=0+0=0.,x4=x3+0=0,由归纳法可知?=0.这就证 明了B=(a2-a1)a1+a1a2.因此a1,a2构成F的基,dmF=2. (2)设有等比数列 则对n≥2有m=-1+a-2,从而2=9+1得到q=1y
6. P = ½µ α β −β α ¶¯ ¯ ¯ ¯ α, β ∈ C ¾ . (1) ST: P []^DBU Du*2 R yHft&pq; (2) s P FBz. : (1) i. (2) dimR P = 4, z": µ 1 0 0 1 ¶ , µ i 0 0 −i ¶ , µ 0 1 −1 0 ¶ , µ 0 i i 0 ¶ . 7. R "2 k8gEyt&pq, R + "= 3 a (4) pq. ST: R B R + Cu. : I ϕ : R −→ R + r 7−→ 2 r J (a) ϕ F]; (b) ϕ : !" 2 r1 = 2r2 ⇐⇒ r1 = r2; (c) ϕ -: !" a ∈ R +, a = 2log2 a . % log2 a ∈ R, 3 2 #B* T, 3 γ = (a2 − a1)α1 + a1α2 − β ∈ F, J γ = (0, 0, x3, x4, · · ·). !" γ ∈ F, #$ x3 = 0 + 0 = 0, x4 = x3 + 0 = 0, NPD> γ = 0. woS Tr β = (a2 − a1)α1 + a1α2. !O α1, α2 u* F z, dim F = 2. (2) GVe (a, aq, aq2 , · · ·) ∈ F, J n > 2 G aqn = aqn−1 + aqn−2 , C% q 2 = q + 1, P q = 1 ± √ 5 2 . · 2 ·
易知 ∈F, 2 F 又m,m线性无关,而dmF=2,所以m,m构成F的基 (3)斐波那契数列 (0,1,1,2,3,5,8,…)∈F, 因此存在c1,c∈R,使 y=c11+c272 从而 1+√5 解得 由此可得斐波那契数列得通项公式是 9.所谓n阶魔阵,是指其各行各列以及主对角和次对角元素之和都相等的n阶方阵,如 就是一个三阶魔阵 (1)证明:实数域上全体n阶魔阵的集合Mn按矩阵的加法与标量乘法构成R上的一个线性空间; (2)求M3的维数 解:(2)3维,基为 习题52 1.设W1,W2是线性空间V的子空间,证明以下三个论断是等价的 (3)W1+W2=W 证明:(1)兮(2)以及(1)→(3)都是显然的 (3)→(1):W1+W=W→W1sW1+W=W2 2.求由向量a2生成的子空间和由向量生成的子空间的交与和的基与维数 (1,3,1,-1) B1=(3,-1,-3,-5) (1,0,1,2) =(5,-2,-3,-4);
η1 = 1, 1 + √ 5 2 , Ã 1 + √ 5 2 !2 , · · · ∈ F, η2 = 1, 1 − √ 5 2 , Ã 1 − √ 5 2 !2 , · · · ∈ F. Q η1, η2 t&,*, % dim F = 2, #$ η1, η2 u* F z. (3) HI E ϕ = (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, · · ·) ∈ F, !O1k c1, c2 ∈ R, ' ϕ = c1η1 + c2η2. C% ( 0 = c1 + c2 1 = c1 1 + √ 5 2 + c2 1 − √ 5 2 -P c1 = √ 5 5 , c2 = − √ 5 5 , NO>PHI E Pr:f) Dn = √ 5 5 Ã 1 + √ 5 2 !n−1 − Ã 1 − √ 5 2 !n−1 . 9. #J n yKL, -<( ( $hM5:H5 X9:meV n y@^, 6 1 8 7 5 3 2 9 4 oHf4yN^. (1) ST: 2 y3 n yN^ T Mn []^DBU Du* R yHft&pq; (2) s M3 F. : (2) 3 F, z": 1 −1 0 −1 0 1 0 1 −1 , 0 1 −1 −1 0 1 1 −1 0 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 5–2 1. W1, W2 t&pq V pq, ST$ 4f#}V: (1) W1 ⊆ W2; (2) W1 ∩ W2 = W1; (3) W1 + W2 = W2. : (1) ⇔ (2) $h (1) ⇒ (3) m. (3) ⇒ (1): W1 + W2 = W2 ⇒ W1 ⊆ W1 + W2 = W2. 2. sN αi *pq:N βi *pqB:zBF. (1) ( α1 = (1, 3, 1, −1) α2 = (1, 0, 1, 2); ( β1 = (3, −1, −3, −5) β2 = (5, −2, −3, −4); · 3 ·
2)a1=(1.0,1,0) B1=(0,1,0.1) a2=(1,1,0,1); B2=(0,1,1,0) a1=(1,0,2,0,) (3){a2=(2,0,1,1) ∫=(331-2 B2=(1,3,0,-3) 1 解:把由向量a生成的子空间项由向量生成的子空间分封记为W1,W2 (1)dim(Wi+W2)=3, dim WinW2=1, W1+W2的基:a1,a2,61 W1∩W2的基(3,-2,3,8)(=3(-2a1+1la2)=-461+3 (2)dim(Wi+W2)=4, dim WinW2=0 W1+W2的基:a1,a2,1,B2; (3)dim(Wi+W2)=3, dim Win W1+W2的基:a1,a2,B1 W1∩W2的基:(2,0,1,1)(=a2=1-B2) 3.设W,W1,W2都闭向量空间V的子空间,且 WICw2, wnwi=wnw2, W+Wi=w+W2 证明:W1=W2 证明:dimW+dimW1=dim(W+W1)+dim(W∩W1) dim w+dim W2= dim(W+W2)+dim(W nw2). 所以上式列端相等.可得dimW1=dimW2.又因W1sW2,所以W1=W2 4.设V1,V闭n维线性空间V的两个子空间,并且满足 dim(Vi+V2)=dim(Vi V2)+1 证明:Ⅵ≤V或VV1 证明:因为dm(V∩v2)≤dimV1≤dim(V1+V2)=dim(V1∩V)+1,两个等号中必有一个成 立.何向下总等号成立,则因V∩vsV,可得V∩V=V,从而VV.何向列总等号成立,则因 V1sⅵ+V,可得Ⅵ=ⅵ1+V,从而vsV 5.设V=K4,a1=(1,2,1,2),a2=(2,1,2,1),W=L(a1,a2).限子空间W在V中的一个补空 间 解:设a3=(0,0,1,0),a4=(0,0.0,1),则因a1,a2,a3,a4线性无关,所以L(0,0.,1,0),(0,0,0,1) 闭W在V中的一个补空间 6.证明:每一个n维线性空间都闭n个一维子空间的直项 证明:设V为n维线性空间,a1,…,an闭V的基.令W=L(a1),则V=W1+W n=dimV=∑=1dimW,所以 V=W1⊕W2⊕…⊕W 7.证明:n维线性空间V的每一个真子空间都闭若干个n-1维子空间的交 证明:设W闭V的真子空间,则r=dimW<dimV=n.取W的一个基a1,……,ar,将其扩充成 V的基a1,……,an,取何下的n=r个n-1维线性子空间 Vi=L(ar
(2) ( α1 = (1, 0, 1, 0) α2 = (1, 1, 0, 1); ( β1 = (0, 1, 0.1) β2 = (0, 1, 1, 0); (3) α1 = (1, 0, 2, 0,) α2 = (2, 0, 1, 1) α3 = (1, 0, −1, 1); ( β1 = (3, 3, 1, −2) β2 = (1, 3, 0, −3). : NN αi *pq:N βi *pq " W1, W2. (1) dim(W1 + W2) = 3, dim W1 ∩ W2 = 1, W1 + W2 z: α1, α2, β1, W1 ∩ W2 z: (3, −2, 3, 8) ³ = 1 3 (−2α1 + 11α2) = −4β1 + 3β2 ´ ; (2) dim(W1 + W2) = 4, dim W1 ∩ W2 = 0, W1 + W2 z: α1, α2, β1, β2; (3) dim(W1 + W2) = 3, dim W1 ∩ W2 = 1, W1 + W2 z: α1, α2, β1, W1 ∩ W2 z: (2, 0, 1, 1)(= α2 = β1 − β2). 3. W, W1, W2 m pq V pq, ? W1 ⊆ W2, W ∩ W1 = W ∩ W2, W + W1 = W + W2. ST: W1 = W2. : dim W + dim W1 = dim(W + W1) + dim(W ∩ W1), dim W + dim W2 = dim(W + W2) + dim(W ∩ W2), #$y) aeV. >P dim W1 = dim W2. Q! W1 ⊆ W2, #$ W1 = W2. 4. V1, V2 n Ft&pq V 7fpq, W?-. dim(V1 + V2) = dim(V1 ∩ V2) + 1, ST: V1 ⊆ V2 D V2 ⊆ V1. : !" dim(V1 ∩ V2) 6 dim V1 6 dim(V1 + V2) = dim(V1 ∩ V2) + 1, 7fVY@GHf* +. 8VY*+, J! V1 ∩ V2 ⊆ V1, >P V1 ∩ V2 = V1, C% V1 ⊆ V2. 8VY*+, J! V1 ⊆ V1 + V2, >P V1 = V1 + V2, C% V2 ⊆ V1. 5. V = K4 , α1 = (1, 2, 1, 2), α2 = (2, 1, 2, 1), W = L(α1, α2). spq W k V HfOp q. : α3 = (0, 0, 1, 0), α4 = (0, 0, 0, 1), J! α1, α2, α3, α4 t&,*, #$ L((0, 0, 1, 0),(0, 0, 0, 1)) W k V HfOpq. 6. ST: sHf n Ft&pqm n fHFpq.:. : V " n Ft&pq, α1, · · · , αn V z. I Wi = L(αi), J V = W1 + W2 + · · · + Wn. Q, n = dim V = Pn i=1 dim Wi , #$ V = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wn. 7. ST: n Ft&pq V sHfpqm Pf n − 1 Fpq. : W V pq, J r = dim W < dim V = n. z W Hfz α1, · · · , αr, v< 0* V z α1, · · · , αn. z n − r f n − 1 Ft&pq Vj = L(α1, · · · , αj−1, αj+1, · · · , αn), j = r + 1, · · · , n. · 4 ·
B ci∈ 0→B∈W 明W 8.设Ⅵ1与V分别是齐一线性必程组 的满空间 证明 V1⊕V 交明:(a)对任问的a=(a1,……,an)∈K",令 1 B 则∈V,T∈v,且a=B+1.所以K"=+V (b)如果a=(a1,……,an)∈v∩V2,则 az=0, 满得a1= an=0,明a=0.所以V∩V=0 综上可得K"=V⊕V 9.设W1={A∈Mn(K)|41=4},W2={A∈Mn(K)|A=-4} 证明:Mn(K)=W1W2 交明:(a)对任问的n上矩阵A∈Mn(K),有 A=5(4+4)+(4-AT) 而2(4+AT)∈W1, 0(A-41)∈W2,所以Mn(K)=W1+W2 (b)设A∈W1∩W2,则 A=A=4 把2A=0可得A=0.所以W1∩W2=0. 最题得何Mn(K)=W1W2 10.设A∈Mn(K)且A2=A,令 V1={X∈Kn|AX=0},V2 LAX=X. 交明:(a)设a∈K",则a=(a-Aa)+Aa.而 A(a-Aa)=Aa-A2a=Aa-Aa=0,所以 a,所以Aa∈V 从而Kn=Ⅵ1+V2
J! β = Xn i=1 aiαi ∈ Vj ⇐⇒ aj = 0, β = Xn i=1 aiαi ∈ \n j=r+1 Vj ⇐⇒ ar+1 = · · · = an = 0 ⇐⇒ β ∈ W. W = Tn j=r+1 Vj . 8. V1 B V2 Ht&@AB x1 + x2 + · · · + xn = 0 B x1 = x2 = · · · = xn -pq. ST: Kn = V1 ⊕ V2. : (a) α = (a1, · · · , an) ∈ Kn, I β = Ã a1 − 1 n Xn i=1 ai , a2 − 1 n Xn i=1 ai , · · · , an − 1 n Xn i=1 ai ! , γ = Ã 1 n Xn i=1 ai , 1 n Xn i=1 ai , · · · , 1 n Xn i=1 ai ! , J β ∈ V1, γ ∈ V2, ? α = β + γ. #$ Kn = V1 + V2. (b) α = (a1, · · · , an) ∈ V1 ∩ V2, J Xn i=1 ai = 0, a1 = a2 = · · · = an -P a1 = a2 = · · · = an = 0, α = 0. #$ V1 ∩ V2 = 0. Qy>P Kn = V1 ⊕ V2. 9. W1 = {A ∈ Mn(K) | AT = A}, W2 = {A ∈ Mn(K) | AT = −A}. ST: Mn(K) = W1 ⊕ W2. : (a) n y]^ A ∈ Mn(K), G A = 1 2 (A + A T) + 1 2 (A − A T), % 1 2 (A + AT) ∈ W1, 1 2 (A − AT) ∈ W2, #$ Mn(K) = W1 + W2. (b) A ∈ W1 ∩ W2, J −A = A T = A, N 2A = 0 >P A = 0. #$ W1 ∩ W2 = 0. P Mn(K) = W1 ⊕ W2. 10. A ∈ Mn(K) ? A2 = A, I V1 = {X ∈ Kn | AX = 0}, V2 = {X ∈ Kn | AX = X}. ST: Kn = V1 ⊕ V2. : (a) α ∈ Kn, J α = (α − Aα) + Aα. % A(α − Aα) = Aα − A 2α = Aα − Aα = 0, #$ α − Aα ∈ V1, A(Aα) = A 2α = Aα, #$ Aα ∈ V2, C% Kn = V1 + V2. · 5 ·
(b)设a∈V∩V,则因a∈V1,持Aa=0,由a∈V2,持Aa=a.于是a=0,即vnv2=0. 因此Kn=V1⊕V 11.设K"=V⊕V,其中V1,V为K的两个非平凡的子空间 证明:斐定存在唯斐的幂等矩阵(即42=A的矩阵A∈Mn(K),使 V1={X∈Kn|AX=0},v={X∈K"|AX=X} 察明:取Ⅵ的斐个基a1,……,ar以及v的斐个基ar+1,…,an.则a1,…,an是K"的基定义 Kn上的线性变换为 a2,r+1≤i≤ 把线性变换在K的自然基下的矩阵记为A.由的定义可得2=,相应地持A2=A 对任意的X∈K,持X=∑a2a则 AX=9 因此 1X=04∑aa1=0a=0+1≤i≤n台X∈v AX=X台∑aa1=∑aa1a=0M1≤i≤r台X∈V 所以A是满足条件的幂等矩阵 再证唯斐性:如果B∈Mn(K),使得 BX=XwX∈V, 则因Kn=V⊕V,可得 BX vX∈Kn 所以A-B=0,从而A=B 12.设A∈Mn(K),E为n阶单位方阵.波 V1={X∈K"|(A-E)X=0},v={X∈K"|(4+E)X=0} 证明:Kn=Ⅵ⊕V2←→A2 察明:(→)K=V1V→n=dim+dimV→n=(n-rank(A-E)+(n-rank(A+ E)→n=rak(A-E)+rank(A+E)=A2=E(习题48.12) (←)对任意的a∈Kn 因为 -E)|(A+Ea=(A2-E) 所以(4+Ea∈Ⅵ.又因 所以-(4-E∈V 因此Kn=V1+V
(b) α ∈ V1 ∩ V2, J! α ∈ V1, G Aα = 0, N α ∈ V2, G Aα = α. P A 2 = A, e,mG A2 = A. X ∈ Kn, G X = Pn i=1 aiαi . J AX = A ÃXn i=1 aiαi ! = Xn i=1 aiA(αi) = Xn i=r+1 aiαi . !O AX = 0 ⇐⇒ Xn i=r+1 aiαi = 0 ⇐⇒ ai = 0∀r + 1 6 i 6 n ⇐⇒ X ∈ V1, AX = X ⇐⇒ Xn i=r+1 aiαi = Xn i=1 aiαi ⇐⇒ ai = 0∀1 6 i 6 r ⇐⇒ X ∈ V2. #$ A -.12RV]^. S,H&: B ∈ Mn(K), 'P BX = 0 ∀X ∈ V1, BX = X ∀X ∈ V2, J! Kn = V1 ⊕ V2, >P (A − B)X = 0, ∀X ∈ Kn . #$ A − B = 0, C% A = B. 12. A ∈ Mn(K), E " n y/@^. I V1 = {X ∈ Kn | (A − E)X = 0}, V2 = {X ∈ Kn | (A + E)X = 0}. ST: Kn = V1 ⊕ V2 ⇐⇒ A2 = E. : (⇒) Kn = V1 ⊕ V2 =⇒ n = dim V1 + dim V2 =⇒ n = (n − rank(A − E)) + (n − rank(A + E)) =⇒ n = rank(A − E) + rank(A + E) =⇒ A2 = E (`a 4–8.12). (⇐) α ∈ Kn, α = 1 2 (A + E)α − 1 2 (A − E)α. !" (A − E) · 1 2 (A + E)α ¸ = 1 2 (A 2 − E)α = 0, #$ 1 2 (A + E)α ∈ V1. Q! (A + E) · − 1 2 (A − E)α ¸ = − 1 2 (A 2 − E)α = 0, #$ − 1 2 (A − E)α ∈ V2. !O Kn = V1 + V2. · 6 ·
当a∈Ⅵ∩V2时又有 + e)o 因此V∩V=0.从而Kn=V⊕V2 习题: 1.在线性空间R2中对任意两个向量a=(a1,a2),B=(b1,b2),定义 (a,B)=5a1b+2a1b2+2a2b1+a2b 验证在此定义下R2构成一个欧几里得空间 2.在线性空间Mn(R)中定义 f(A, B)=Tr(A B)VA, BE Mn(R) 试问:f是否Mn(R)的一个内积? 解:是设A=(a1),B=(by),则 (a)f(4,B)=Tr(4B)=∑∑akbk=∑∑bkak=f(B,A) =1i=1 k=1 (b)f(A+B, C)=Tr((A+B)C)=Tr(AC+BC)=Tr(AC)+Tr(BTC)=f(A, C)+f(B, C) (c)f(k A, B)=Tr((k A)B)= Tr(kA B)=k Tr(A B)=kf(A, B) (d)f(A,A)=Tr(4A)=∑∑a2≥0,且 f(A,A)=0←→aki=0.k,i=1,……,n←>A=0. 所以f是Mn(R)的一个内积 3.设 0 0 规定 (X,Y)= X AY VX,Y∈Rn (1)证明:Rn关于此定义构成一个欧几里得空间 (2)求向量:1=(1,0.,…,0),E2=(0,1,0,…,0),…,En=(0.,0,…,0,1)的度量矩阵 (3)具体写出这个空间的柯西布涅柯夫斯基不等式 解:(1)略 (2)度量矩阵为A (3)设a=(a1,…,an),B=(b1,…,bn),则 kabul≤ k=1 4.设C是一个n阶实可逆矩阵在R中,对任意两个列向量x,Y,规定 (X,Y=XTCTCY 证明:R关于此定义构成 里得空间
b α ∈ V1 ∩ V2 RQG α = 1 2 (A + E)α − 1 2 (A − E)α = 0 + 0 = 0, !O V1 ∩ V2 = 0. C% Kn = V1 ⊕ V2. 5–3 1. kt&pq R 2 , 7f α = (a1, a2), β = (b1, b2), M (α, β) = 5a1b1 + 2a1b2 + 2a2b1 + a2b2. }SkO M R 2 u*HfS' Ppq. : i. 2. kt&pq Mn(R) , M f(A, B) = Tr(A TB) ∀A, B ∈ Mn(R). : f ) Mn(R) Hf{? : . A = (aij ), B = (bij ), J (a) f(A, B) = Tr(ATB) = Pn k=1 Pn i=1 akibki = Pn k=1 Pn i=1 bkiaki = f(B, A). (b) f(A+B, C) = Tr((A+B) TC) = Tr(ATC +BTC) = Tr(ATC)+Tr(BTC) = f(A, C)+f(B, C). (c) f(kA, B) = Tr((kA) TB) = Tr(kATB) = k Tr(ATB) = kf(A, B). (d) f(A, A) = Tr(ATA) = Pn k=1 Pn i=1 a 2 ki > 0, ? f(A, A) = 0 ⇐⇒ aki = 0, k, i = 1, · · · , n ⇐⇒ A = 0. #$ f Mn(R) Hf{. 3. A = 1 0 · · · 0 0 2 · · · 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · n . T (X, Y ) = XTAY ∀X, Y ∈ R n . (1) ST: R n * ]^. k R n , 7f X, Y , T (X, Y ) = XTC TCY ST: R n *<O Mu*HfS' Ppq. · 7 ·
证明:略. 5.在标准欧几里得空间内计算给下向量价内积,并求它的之间价夹角 (3)a=(3,-1,1,-1),B=( (4)a=(-1,1,-1,2,1),B=(3,1,-1,0,1) #f:(1)(a, B)=8,o, B)=arc cos (2)(a,B)=2,(a,B)=arco0 (3)(a,3)=-12,(a,B)= (4)(a,)=0.(a,)= 6.设x2+y2+2=1,(x,y,z∈R),试求 价最小值 解魔式=-3+1-x+1-y+1-2x,而魔标西布涅标夫斯基不等式 1-x2)2+(√1-y2)2+(√1-y v-2-ⅵ1-)(-z2)=3 明 2≥3, 所以 ≥-3+ 又当x=y=8=当时上式取等号因魔式价最小值为是 7.设a,b,c,x,,z∈R,列a2+b2+c2=25,x2+y2+2=36,am+by+cz=30.求旦+b+c价 值 解:魔标西-布涅标夫斯基不等式 30=ar +by +ca=(a b c) ≤√a2+b2+cm2+y2+2=30. 因等号成立时,(a,b,c)与(x,y,z)成相例设(a,b,c)=t(x,3,2),又入得 解而t 从而a+b+c
: i. 5. kUS' Ppq{xg {, Ws89q5: (1) α = (1, 1, 1, 1), β = (−1, 2, 4, 3); (2) α = ³ 1 2 , −1, 1 3 , 1 6 ´ , β = (3, −1, 2, 2); (3) α = (3, −1, 1, −1), β = (−2, 2, −2, 2); (4) α = (−1, 1, −1, 2, 1), β = (3, 1, −1, 0, 1). : (1) (α, β) = 8, hα, βi = arc cos 2 √ 30 15 . (2) (α, β) = 7 2 , hα, βi = arc cos 7 10 . (3) (α, β) = −12, hα, βi = 5π 6 . (4) (α, β) = 0, hα, βi = π 2 . 6. x 2 + y 2 + z 2 = 1, (x, y, z ∈ R), s x 2 1 − x 2 + y 2 1 − y 2 + z 2 1 − z 2 \. : K) = −3 + 1 1 − x 2 + 1 1 − y 2 + 1 1 − z 2 . %NUV–WXUYdzUV), vuut µ 1 √ 1 − x 2 ¶2 + Ã 1 p 1 − y 2 !2 + µ 1 √ 1 − z 2 ¶2 · q ( p 1 − x 2) 2 + (p 1 − y 2) 2 + (p 1 − y 2) 2 > Ã 1 √ 1 − x 2 , 1 p 1 − y 2 , 1 √ 1 − z 2 ! √ 1 − x 2) p 1 − y 2 p 1 − y 2 = 3, s 1 1 − x 2 + 1 1 − y 2 + 1 1 − z 2 · √ 2 > 3, #$ 1 1 − x 2 + 1 1 − y 2 + 1 1 − z 2 > 9 2 . x 2 1 − x 2 + y 2 1 − y 2 + z 2 1 − z 2 > −3 + 9 2 = 3 2 . Qb x = y = z = √ 3 3 Ry)zVY. !K)\" 3 2 . 7. a, b, c, x, y, z ∈ R, a 2 + b 2 + c 2 = 25, x 2 + y 2 + z 2 = 36, ax + by + cz = 30. s a + b + c x + y + z . : NUV–WXUYdzUV), 30 = ax + by + cz = (a b c) x y z 6 p a 2 + b 2 + c 2 · p x 2 + y 2 + z 2 = 30. !VY*+R, (a, b, c) B (x, y, z) *ej. (a, b, c) = t(x, y, z), QRP 30 = t(x 2 + y 2 + z 2 ) = 36t, -% t = 5 6 . C% a + b + c x + y + z = 5 6 . · 8 ·
8.在标准欧几里得空间R3中求基a1=(1,0,1),a2=(1,1,0),a3=(0,1,1)的度量矩阵 解:A 9.在4维欧几里得空间V中,设基a1=(1,1,-1,-1),a2=(1,1,1,0),a3=(-1,1,1,1),a4= (1,0,0,-1)的度量矩阵为 210 A 012 0012 (1)求基E1=(1,0,0,0),E2=(0,1,0,0),3=(0,0,1,0),E4=(0,0.0,1)的度量矩阵; (2)求向量A1=(1,-1,1,-1),A2=(0,1,1,0)的内积 (3)求一单位向量与a1,a2,a3正交 解:(1)(a1,a2,a3,a4)=(∈1,E2,E3,E4)B, 11-11 B l11 0 12002 2-2112 因此基ε1,ε2,E3,E4得度量矩阵应为 G=BTAB (3)设a=∑x0;与a1,a2,a3正交,则 从而 0. 解得(x1,x2,x3,x4)=(1,-2,3,-4),所以 a=a1-202+3a3-4a4 (a,2)=(a.a)=20.因此所求的单位向量为±当(-1.0.3 10.设a1,a2,…,αm是欧几里得空间V的m个向量,称矩阵 (a1,a1)(a1,a2) (a1, am) (a2,a1)(a2,a2) (a2, am) 为向量组a1,a2,…,am的格拉姆(Gram)矩阵 证明:a1,a2,……,am线性无关当且仅当|G(a1,a2,…,am川≠0
8. kUS' Ppq R 3 , sz α1 = (1, 0, 1), α2 = (1, 1, 0), α3 = (0, 1, 1) w ]^. : A = 2 1 1 1 2 1 1 1 2 . 9. k 4 FS' Ppq V , z α1 = (1, 1, −1, −1), α2 = (1, 1, 1, 0), α3 = (−1, 1, 1, 1), α4 = (1, 0, 0, −1) w ]^" A = 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 (1) sz ε1 = (1, 0, 0, 0), ε2 = (0, 1, 0, 0), ε3 = (0, 0, 1, 0), ε4 = (0, 0, 0, 1) w ]^; (2) s β1 = (1, −1, 1, −1), β2 = (0, 1, 1, 0) {; (3) sH/ B α1, α2, α3 r. : (1) (α1, α2, α3, α4) = (ε1, ε2, ε3, ε4)B, B = 1 1 −1 1 1 1 1 0 −1 1 1 0 −1 0 1 −1 , B−1 = 1 2 0 1 −1 0 2 0 0 2 −2 1 1 −2 −2 0 2 −4 . !Oz ε1, ε2, ε3, ε4 Pw ]^," G = B −TAB−1 = 6 − 1 2 − 9 2 9 − 1 2 1 1 2 −1 − 9 2 1 2 4 −7 9 −1 −7 14 . (2) (β1, β2) = 6. (3) α = P 4 i=1 xiαi B α1, α2, α3 r, J Ã αj , X 4 i=1 xiαi ! = 0, j = 1, 2, 3. C% 2 1 0 0 1 2 1 0 0 1 2 1 x1 x2 x3 x4 = 0. -P (x1, x2, x3, x4) = (1, −2, 3, −4), #$ α = α1 − 2α2 + 3α3 − 4α4 = (−8, 2, 0, 6). (α, α) = (α4, α) = 20. !O#s/ " ± √ 5 5 (−4, 1, 0, 3). 10. α1, α2, · · · , αm S' Ppq V m f , u]^ G(α1, α2, · · · , αm) = (α1, α1) (α1, α2) · · · (α1, αm) (α2, α1) (α2, α2) · · · (α2, αm) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (αm, α1) (αm, α2) · · · (αm, αm) " B α1, α2, · · · , αm Z`[ (Gram) ]^. ST: α1, α2, · · · , αm t&,*b?cb |G(α1, α2, · · · , αm)| 6= 0. · 9 ·
证明:设有线性关系式 0. 把这个等式分别与α1,…,am作内积,可以得到变量x1,…,xn的一个齐次线性方程组 (a2,a1)x1+(a2,a2)x2+…+(a2,am)xm=0 (am, a1)I1+(am, a2) 2+.+(om, am)Im=0 其系数矩阵就是格拉姆矩阵G(α1,…,αm).再利用齐次线性方程组有非零解的充分必要条件可得: G(a1,a2,…,am)≠0÷齐次线性方程组只有零解1=…=cm=0a1,……,am线性无关 11.设E1,E2,E3是三维欧几里得空间V的一个规范正交基 证明:a1=3(21+22-),2=3(21-2+23)3=3(1-2-2=)也是V的一个规 范正交基 证明:直接验证可知,a1,a2,a3都是单位向量,且两两正交.故它们是V的单位正交向量组又因 dimV=3,它们构成V的规范正交基 12.将标准欧几里得空间R的基a1=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,0),a3=(-1,0,0,1),a4=(1,1,1,-1) 化为规范正交基 解2(1.0.(-1.20,2(-133(11-1) 13.求齐次线性方程组 x2+x3+3x4-x5=0 +2x5=0 的解空间(作为标准欧几里得空间R5的子空间)的一个规范正交基 解:该齐次线性方程组的一个基础解系为 230 正交化得 3 34 单位化后得规范正交基 A 938 14-(-1,23.0.0), (-12,3,-6,7,0), (-10.-23,12,3,34) 14.证明:在欧几里得空间V中,基1,E2,……,En是规范正交基的充分必要条件是:对V的任意向 量a=a1E1+a2E2+…+anEn,总有 10
: Gt&*j) x1α1 + x2α2 + · · · + xmαm = 0. NwfV)B α1, · · · , αm /{, >$P= x1, · · · , xm HfHt&@AB: (α1, α1)x1 + (α1, α2)x2 + · · · + (α1, αm)xm = 0 (α2, α1)x1 + (α2, α2)x2 + · · · + (α2, αm)xm = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (αm, α1)x1 + (αm, α2)x2 + · · · + (αm, αm)xm = 0 P: |G(α1, α2, · · · , αm)| 6= 0 ⇐⇒ Ht&@AB{Go-x1 = · · · = xm = 0 ⇐⇒ α1, · · · , αmt&,*. 11. ε1, ε2, ε3 4FS' Ppq V HfT=rz. ST: α1 = 1 3 (2ε1 + 2ε2 − ε3), α2 = 1 3 (2ε1 − ε2 + 2ε3), α3 = 1 3 (ε1 − 2ε2 − 2ε3) g V HfT =rz. : .}S> , α1, α2, α3 m/ , ?77r. !8 V /r B. Q! dim V = 3, 8u* V T=rz. 12. vUS' PpqR 4 z α1=(1, 1, 0, 0), α2=(1, 0, 1, 0), α3 = (−1, 0, 0, 1), α4 = (1, 1, 1, −1) L"T=rz. : √ 2 2 (1, 1, 0, 0), √ 6 6 (1, −1, 2, 0), √ 3 6 (−1, 1, 1, 3), 1 2 (−1, 1, 1, −1). 13. sHt&@AB ½ x1 − x2 + x3 + 3x4 − x5 = 0 x1 + 2x2 − x3 + 2x5 = 0 -pq (/"US' Ppq R 5 pq) HfT=rz. : Ht&@ABHfz-j" α1 = −1 2 3 0 0 , α2 = −2 1 0 1 0 , α3 = 0 −1 0 0 1 . rLP: −1 2 3 0 0 , − 12 7 3 7 − 6 7 1 0 , − 5 17 − 23 34 6 17 3 34 1 . /LPT=rz: √ 14 14 (−1, 2, 3, 0, 0), √ 238 238 (−12, 3, −6, 7, 0), √ 1938 1938 (−10, −23, 12, 3, 34). 14. ST: kS' Ppq V , z ε1, ε2, · · · , εn T=rz0@&12: V α = a1ε1 + a2ε2 + · · · + anεn, 8G (α, εi) = ai (i = 1, 2, · · · , n). · 10 ·