第七章数学物理定解问题(5) 基本要求: 1.了解定解问题的提法; , 2.了解几种常见的数学物理方程的导出; 3.熟悉几种常见的边界条件和初始条件的表示形式; 4.能对两个自变数的线性偏微分方程进行分类; 5.了解行波法的意义,行波的物理意义,熟练运用达朗伯公式。 教学内容: 定解问题。定解条件,边界条件,初始条件,泛定方程,定解问题。 §7.1.数学物理方程的导出*。均匀弦的微小横振动,均匀杆的纵振动 *,均匀薄膜的微小振动*,扩散方程,热传导方程,稳定浓度分 布,稳定温度分布,静电场,(其他物理模型的方程的导出不作要 求)。 §7.2.定解条件。初始条件,边界条件(非线性边界条件不作要求) §7.3.二阶线性偏微分方程的分类。二阶线性偏微分方程的一般形式, 线性齐次和非齐次方程,叠加原理。两个自变数的方程分类(多 个自变数的方程分类不作要求),双曲型,抛物型,椭圆型方程, 方程的标准形式。常系数线性方程。 §7.4.行波法。达朗伯公式,行波,求解公式端点的反射*(固定端 的情形)。定解问题,适定性。 本章重点: 定解问题、定解条件提法,弦振动方程扩散方程及稳定浓度、温度 分布方程的导出,二阶线性方程的分类,常系数线性方程的化简, 达朗伯公式。 习题: §7.1.(第152—153页):2,5,7,8。 §7.2.(第161页):1,2,3,4。 §7.3.(第169170页):1(1)(2)(3)(4),2(1)(2) §7.4.(第179页):1,2,4,8。 46
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、数学物理方程的导出 、输运方程 1.1一维热传导方程 一维热传导 问题:一根长为L的均匀导热细杆,侧面绝热,内部无热源。其热 传导系数为k,比热为c,线密度为ρ。求杆内温度变化的规律, q(x, t) q(x+dx, t) x十dx 分析:设杆长方向为x轴,考虑杆上从x到x+dx的一段(代表),其 质量为dm=ρdx,热容量为cdm。设杆中的热流沿ⅹ轴正向,强度为 q(xt),温度分布为u(X,t),则 由能量守恒定律 candu=dQ q x, t)-q x+dx, t)]dt qx(x, t)dxdt 于是有 c ut =-qx 由热传导定律 q x, t)=-k ux(x, t) 代入前面的式子,得到 c ut =k uxx ut= a2 uxx 1.2推广 推广1 情况:内部有热源(或侧面不绝热) 分析:设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为 F(Xt),代表段的吸热为 Fdxdt 方程:cput=kux+F ut =a ux+f, f=F/c p) 推广2 情况:细杆不均匀 分析:热传导系数k,比热C或线密度ρ为x的函数
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方程:c(x)p(x)u1=[k(x 推广3 情况:扩散问题 分析:浓度→温度u,扩散系数D→热传导系数k,质量守恒→ 能量守恒,扩散定律→热传导定律 方程 dUly+ F +F 推广4 情况:三维情况 分析:温度u成为空间变量Xyz和时间t的函数 方程 (,y,=,t)=k(ux+u+u) cPu,(F,1)=k△a→u,(F,1)=a2△a 2、波动方程 2.1均匀弦的微小横振动 问题:一根长为L的均匀弹性弦,不计重力,不受外力。其张力 为T,线密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。 xx+d 分析:设弦平衡时沿X轴,考虑弦上从x到x+dx的一段(代表), 其质量为dm=pdX。设弦的横振动位移为u(x,t),则 由牛顿第二定律 dmuttT2sin a 2-Tlsin a 1 0=T2 coS a 2-TI cos a 1 微振动条件 cos a 1= cos a 2=1 sin a 1= tan a 1=ux(x, t) sin a 2=tan a 2=ux(x+dx, t) 于是有 T2=T1=T
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dutt=T[ux(x+dx, t)-ux(x, t) 化简后得到 p utt= Tuxx utt= UXX 2.2推 推广1 情况:考虑重力或外力 分析:设单位长度所受到的横向外力F(x,t),代表段的受力为Fdx 方程 Tu、+F utt=a uxx+f, f= F/p 推广2 情况:弦的密度不均匀或受到纵向与ⅹ有关的力 分析:线密度p或张力T为x的函数 方程: x)u =-[( 推广3 情况:均匀杆的纵振动问题 分析:张力T变成杨氏模量Y 方程:put=Yux+F utt= aunt f 推广4 情况:三维情况 分析:位移u成为空间变量ⅹy,z和时间t的函数 方程 pu,, (x, y, : 1=T(u+u+u) Pun(F2D)=T△a→ln2(F21)=a2△ 3、稳定场方程 3.1概念 3.2产生: 在演化问题中,有时会到达一个不随时间变化的稳定状态,对应 的方程称为稳定场方程。 3.3形式: 在对应的演化方程中取消时间变量t,对t的导数为零 3.4分类
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无外界作用情况 拉普拉斯方程:△u=ut+uy+uz=0 有外界作用情况 泊松方程:△u=ut+uy+uz=f(X,yz) 3.5典型应用 静电场方程:△u=-p/e 稳定温度分布:△u=-F/k 、数学物理方程的分类 1、科学分类方法 1.1定义: 根据研究对象的共同点和差异点将其分成相互有关的不同类别 1.2作用 使大量繁杂的材料系统化和条理化,以便揭示对象间的相互关 系,探索内在规律,便于理解、应用和记忆。 1.3方法: 比较是分类的前提和基础, 分类是比较的深化和结果 14步骤: 进行比较,建立标准,分门别类,逐步细化 2、泛定方程的一般分类 方程示例: U=-p/a utt t uyy t uz=-u u Utt t u ut= uttx t uyy t uz =ax utt t uyy sin u uv+u=xt +4uy+ utt+ uyy +ut= 2u-X X utt t uyy sin y 2.1一般分类 按自变量的个数,分为二元和多元方程;
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按未知函数及其导数的幂次,分为线性微分方程和非线性微 分方程 按方程中未知函数导数的最高阶数,分为一阶、二阶和高阶微 分方程。 2.2线性偏微分方程的分类 按未知函数及其导数的系数是否变化分为常系数和变系数微分 方程 按自由项是否为零分为齐次方程和非齐次方程 3、2元二阶线性微分方程的分类 3.1一般形式: a uxx+ b Uxy+ c uyy+ dux+ d2uy+e u=f(,y) 3.2特征方程: a x+ bxy 0 3.3判别式 a=b- 4ac 3.4分类 Δ>0为双曲型,如波动方程; Δ=0为抛物线型,如热传导方程; Δ<0为椭圆型,如稳定场方程 4、叠加原理 4.1原理 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加,只要这些部分各 自满足的方程的相应的线性叠加正好是原来的方程 如:Lu1=f1 L u2= f2 QU: L(au+ bu2)=af,+ bf 2 4.2应用: 齐次方程的两个解的线性组合仍为原方程的解; 非齐次方程的特解加对应的齐次方程的解,结果为非齐次方程的 解 两个非齐次方程的解的线性组合,为一个新的非齐次方程的解, 新方程的自由项为原方程自由项的同样组合。 、定解问题 1、定解问题的提出
½|Wg5. *+-. `*+- . ¡½c5. dc{bc c- .= *+,-..1 ½|Ws«)}. s )s-. (§« à. fg `fg de"# ' ( ' " ô# ' .1 )" lmZ5 2F " n*Z5 MN *" opZ5 OV= j *+ ü.À '.*+hi5!]"#.$ (%&òÜ*+hi¤'«j( ¦ ' ' Ü8 fg&'*+)*+ j `fgi%Üfg5 `fg &'`fg*+)*5 d',`fg5 ,(§ j(
方程u(t)=0 能不能求解?解是什么? 能不能定解?该怎么办? 方程u(X)=0 能不能求解?解是什么? 能不能定解?该怎么办? 由此可归纳出 n阶常微分方程的通解含有n个任意常数, 要完全确定这些常数需要附加n个条件。 2、定解条件 2.1初始条件 意义 反映系统的特定历史 分类 初始状态(位置),用u|t=0=f(x)表示 初始变化(速度),用ut|t=0=g(×)表示 典型例子 维热传导 未知函数对时间为一阶,只需一个初始条件 端温度为a,均匀增加到另一端温度为b u It=0=a+ (b-a)x/L 维弦振动 未知函数对时间为二阶,需要两个初始条件 初始位移 处于平衡位置:ut=0=0 两端固定,在C点拉开距离h: ult=0= hx/ c 0<X<C; u|t=0=h(L-×)/(L-c),c<X<L; 初始速度 处于静止状态:utlt=0=0 在C点受冲量I:utlt=0=I8(x-c)/p 2.2边界条件 意义 反映特定环境对系统的影响 分类 按条件中未知函数及其导数的次数分:
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线性边界条件和非线性边界条件 线性边界条件中 按给出的是函数值或导数值分 第 三类边界条件 按所给数值是否为零分: 齐次边界条件和非齐次边界条件 典型例子 维弦振动 固定端u|x=0=0 受力端ux|x=0=F/p 维杆振动 固定端u|x=0=0 自由端ux|x=0=0 受力端ux|x=0=F/YS 维热传导 恒温端u|x=0=a 绝热端uxlx=0=0 吸热端ux|x=0=F/k 3、定解问题 3.1定解问题的组成 泛定方程:反映同一类现象的普遍性; 定解条件:描述具体对象的特殊性。 3.2定解问题的分类 初值问题( Cauchy Problem) 无边界条件(环境对问题的影响可以忽略不计) 边值问题 无初始条件(历史对问题的影响可以忽略不计) 第一边值问题( Dirichlet problem) 第二边值问题( Neumann problen) 第三边值问题( Robin problem) 混合问题 同时有边界条件和初始条件 3.3定解问题的适定性 适定性的意义
*+ `*+ *+ ¡ N«½O´O. d{b{¿1 ÐNO« à. fg `fg = çZ¯ dBEF xt + " " ÆÅt + " dGEF xt + " " (§t + " " ÆÅt + " !0 dMN ©St + " Mt + " " ¼Mt + " )À >vIîd1PìâQ+ RSTU%ìV+= .1 O 1- 234'5( _JK%LM üWX[Ãa O _YZ%LM üWX[Ãa dO %3%-5(234'5( bO 6( &&234'5( ¿O 74'%&234'5( [* î·¬ = z+ z+34
定解问题是实际问题的数学模型,适定性是对模型能否反映 实际问题的一般要求 适定性的内容 存在性 唯一性 稳定性 不适定问题举例 般来说,方程的阶数对应于定解条件的个数; 条件多了,将会破坏解的存在性; 条件少了,将会破坏解的唯一性。 四、达朗贝尔公式 1、定解问题的求解思路I 原则:由已知猜未知 方法:类比法 步骤:由泛定方程求通解,由条件定特解。 2、泛定方程的求解 2.1常微分方程 方程:u=2ax 通解:u=ax2+C 2.2偏微分方程 方程:ux=2yx 通解:u=yx2+C(y) 23二阶方程:uy=0 对y偏积分:ux=C(× 通解:u=fC(x)dX+D(y)=f(x)+g(y) 3、达朗贝尔公式的推导 3.1定解问题 ln-aulx=0,-∞<x<∞ l=0=(x),t1l=0=v(x) 3.2通解
«\]YZ5z+«%YZ$vI \]de]^= z+ ^¹+ _d+ O+ [z` de(a5c%ܪ ' k5ñØbc^¹+ d5ñØbc_d+= !"# / j¦§ef 1 §>^65§ = ! -. $ 6 1 ,-. 6 1 bc " % , g. 1 6 h1 , $%&'() *+ & " & " 6
波动方程为 2u=0 作变换 得到 0 对m偏积分得:42=f(5) 再对偏积分得:=∫f5+g(m) ∫(5)+g(7)=f(x+a)+g(x-a) 3.3特解 由初始条件得 f(x)+g(x)=(x) af(x)-ag(x)=y(x) 对第二式积分:f(x)-g(x)=W(s)ds f(x)=5(x)+v( 由此解得: g(x)=÷(x) 代入通解得:(x)=L(x+an)+9x-am)+Jv(s)ds 3.4意义 解:将初始条件代入达朗贝尔公式 u(X e +e sle
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