《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第十章 球函数

数学物理方法 第十章球函数

数学物理方法 第十章 球函数

球函数 ◆轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 ◆一般问题和球函数 本章小结

球函数 轴对称问题和勒让德多项式 转动对称问题和连带勒让德函数 一般问题和球函数 本章小结

轴对称问题和勒让德多项式 ◆轴对称拉普拉斯方程的求解 ◆勒让德多项式 ◆勒让德多项式的母函数和递推公式 ◆勒让德多项式的性质 ◆勒让德多项式的应用

轴对称问题和勒让德多项式 轴对称拉普拉斯方程的求解 勒让德多项式 勒让德多项式的母函数和递推公式 勒让德多项式的性质 勒让德多项式的应用

解 =a=f() △=0 (sn66y+l(+1)sn66=0 (rR)-(+1)R=0 1o(O)(n)有界 cos e PR+22(+DR=00(1-x)+y+=0 Q(±1)有界 程 的 R=Ar+Br O=PO 求 f() R (a)p(cos o)Lu R(r)P(cos 8)

轴 对 称 拉 普 拉 斯 方 程 的 求 解 u = 0 ( ')' ( 1) 0 2 r R −l l + R = " 2 ' ( 1) 0 2 r R + rR −l l + R =       + +  = (0), ( )有界 (sin ')' ( 1)sin 0   l l       −  + +  = ( 1)有界 [(1 ) ']' ( 1) 0 2 x l l x = cos u | f ( ) r=a = − −1 = + l l l l R A r B r P(x)  = l   = = 0 ( ) (cos ) l l Pl  u R r   = = 0 ( ) ( ) (cos ) l Rl a Pl f  

Q物让德多项式 定义 斯一刘问题(1-x2ey+1(1+1e=0 的本征函数 (±1)有界 般表示 ◆级数表示(x)=∑ (-1)2(2l-2k)! 2k!(l-k)!(-2k)! 微分表示m()=2x(2 ◆积分表示1m()-22f=y 具体形式 ◆代数表达式 图象

勒让德多项式 定义 一般表示 具体形式  级数表示  微分表示  积分表示 的本征函数 有界 斯 — 刘问题      −  + +  = ( 1) [(1 ) ']' ( 1) 0 2 x l l  − − − − − = l k l k l x k l k l k l k P x 2 2 !( )!( 2 )! ( 1) (2 2 )! ( ) l l l l l x dx d l P x ( 1) 2 ! 1 ( ) 2 = −  + − − = dz z x z i P x l l l l 1 2 ( ) ( 1) 2 1 2 1 ( )   代数表达式  图象

勒让德多项式的代数表达式 P(x) (-1)(21-2k)!2k1a 2k!(l-k)(l-2k)! 2l dx P(x)=x=cose P(x)=2(3x2-1)=4(3cos20+1) (x)=4(5x3-3x)=cos3O+3cos0) P4(x)=3(35x4-30x2+5)8/35c0s40+20c026+9)

勒让德多项式的代数表达式 ( ) (35 30 3) (35cos4 20 cos2 9) ( ) (5 3 ) (5cos3 3cos ) ( ) (3 1) (3cos2 1) ( ) cos ( ) 1 6 4 4 2 1 8 1 4 8 3 1 2 1 3 4 2 1 2 1 2 1 0 = − + = + + = − = + = − = + = = =       P x x x P x x x P x x P x x P x l l l l l k l k l x dx d l x k l k l k l k P x ( 1) 2 ! 1 2 !( )!( 2 )! ( 1) (2 2 )! ( ) 2 2 = − − − − − =  −

物让德多项式的图象 1.5 0.51 1-0.5 0.51 0000 0.5 1-050.20.51

勒让德多项式的图象

勒 让德 0.8 0.6 多项式的图 0.4 0.2 0.2 象 -0.2

勒让德多项式的图象

母函数和递推公式 ◆母函数 定义:u(x,r)=∑P(x)rl 形式:u(x,r)=(1-2rx+r2)12 推导 应用 ◆递推公式 基本递推公式 证明 应用

母函数和递推公式 母函数 – 定义：u(x, r) =∑ Pl (x) r l – 形式：u(x, r) = ( 1－2rx + r2 ) -1/2 – 推导 – 应用 递推公式 – 基本递推公式 – 证明 – 应用

母函数的推导 u(x,r) PCr i(r,I l+1 d 1)r 21( 2求女 2(=-x)奇点 25 (1±√1-2xr+r2) (二-x)-(=2-1)r 2 2元i I-Er 1-2xr+I

母函数的推导   = 0 ( , ) ( ) l l u x r P x r    + − − = 0 1 2 ( ) ( 1) 2 1 2 1 ( , ) l C l l l dz r z x z i u x r     − − − = 0 2 2 ( ) ( 1) 2 1 l l l l C z x z r z x dz i 2( ) ( 1) 1 1 2 2 1 z x C z x z r dz i − − −  − =  z x z r dz 2 i C ( ) ( 1) 1 2 2 1 − − − =   2 1 2 1 | 1 1 2 2 1 xr r zr i i z z − + = − = = −   (1 1 2 ) 1 2 xr r r z =  − + 奇点：