习题解答 第十一章多元多项式 习题11-1 1.设f(x1,……,xn)是数域K上的m元齐次多项式 证明:如果存在数域K上的n元多项式g(x1,…,xn)与h(x1,…,xn),使 f(x1,…,xn)=g(x1,…,xn)h(x1,…,xn) 则g(x1,…,xn)与h(x1,…,xn)也都是齐次多项式 证明设degf=m,degg=k,degh=l.令 g=9n+ + 9k hg+he 其中9,h;分别为,次齐次多项式,且9p,hq是分解中次数最低的齐次多项式,k+l=m,则 t=p+q+1 i+j=t 因此当P+q<m时∫不是齐次多项式.而p+q=k+l=m可推出p=k,q=l,因此g=9k,h=h1都 是齐次多项式 2.设f(x,y)∈K[x,引证明:如果f(x,x)=0,则x-y|f(x,y 证明设f(x,y)=∑ak(x)y,则 f(x,y)=f(x,y)-f(x,x)=∑a(x)-x y-x)La(r)(y-1+yk-2r+ k=1 因此x-y|f(x,y) 3.计算下列行列式 解:把原行列式记为Dn(x1,…,xn,a1,…,an).则 1≤ij≤ Dn(x1,…,r;,…,xi,…,xn,a1,…,an)=0,Dn(x1,…,xn,a1,…,a;…,ai,…,an)=0
✁✄✂✄☎✝✆ ✞✄✟✄✞✡✠✝☛ ☞✍✌ 11–1 1. ✎ f(x1, · · · , xn) ✏✒✑✒✓ K ✔✒✕ n ✖✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛. ✜✣✢: ✤✒✥✒✦✒✧✒✑✒✓ K ✔✒✕ n ✖✒✙✒✚✒✛ g(x1, · · · , xn) ★ h(x1, · · · , xn), ✩ f(x1, · · · , xn) = g(x1, · · · , xn)h(x1, · · · , xn), ✪ g(x1, · · · , xn) ★ h(x1, · · · , xn) ✫✒✬✒✏✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛. ✭✒✮: ✎ deg f = m, deg g = k, deg h = l. ✯ g = gp + gp+1 + · · · + gk, h = hq + hq+1 · · · + hl , ✰✣✱ gi , hj ✲✒✳✒✴ i, j ✘✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛, ✵ gp, hq ✏✲✒✶✱✘✒✑✒✷✒✸✒✕✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛, k + l = m, ✪ f = gphq + Xm t=p+q+1 X i+j=t gihj . ✹✒✺✒✻ p + q < m ✼ f ✽✒✏✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛. ✾ p + q = k + l = m ✿✒❀✒❁ p = k, q = l, ✹✒✺ g = gk, h = hl ✬ ✏✒✗✒✘✒✙✒✚✒✛. 2. ✎ f(x, y) ∈ K[x, y]. ✜✣✢: ✤✒✥ f(x, x) = 0, ✪ x − y | f(x, y). ✭✒✮: ✎ f(x, y) = Pn k=0 ak(x)y k , ✪ f(x, y) = f(x, y) − f(x, x) = Xn k=0 ak(x)(y k − x k ) = (y − x) Xn k=1 ak(x)(y k−1 + y k−2x + · · · + yx k−2 + x k−1 ). ✹✒✺ x − y | f(x, y). ∗3. ❂✒❃✒❄✒❅✒❆✒❅✒✛: 1 x1 − a1 1 x1 − a2 · · · 1 x1 − an 1 x2 − a1 1 x2 − a2 · · · 1 x2 − an . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 xn − a1 1 xn − a2 · · · 1 xn − an . ❇ : ❈✒❉✒❆✒❅✒✛✒❊✴ Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , an). ✪ Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) = G(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) F(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) , ✰✣✱ G ★ F ✬✒✏ x1, · · · , xn, a1, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛. ❋✒● F(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) = Y 16i,j6n (xi − aj ). ❍❏■ Dn(x1, · · · , xi , · · · , xi , · · · , xn, a1, · · · , an) = 0, Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , ai , · · · , ai , · · · , an) = 0, · 1 ·
1≤<j≤ 1≤i<j≤ 比较两边x1与a的次数(都是n-1次,可知G1=cn是一个常数.因此 I(x;-x)Ⅱ(a;-az)·Cn 又因 所以 ∏(x1-x)(x1-an)…( 工n-1一an i (a,-ai)(an-a1).(an-an-1)Cn I(x1-a3))(an-a1)…(an-an-1)(x1-an)…(xn-1-an) 1≤ij≤n-1 II(x-x)∏(a;-a;) Dn-1(a 可得cn=cn-1.依此类推,最终可得cn=c1=1.因而 ∏(x;-x)(a;-a) Dn( 习题11- 1.用初等对称多项式表示下列对称多项式 (1)x1x2+x12+x2x3+x13+2x3+x2x3; (2)22+1n3+x2+2n3+吗+写3; (3)(x1+x2)(x1+x3)(x2+x3); (4)(x1x2+x3)(x1x3+x2)(x2x3+x1); (5)(x1+x2)(2+3)(x2+3) (6)(x1+x2+1x2)(x2+x3+x2x3)(x1+x3+x1x3) 解:(1)原式=x1x2(x1+x2+x3)+x13(x1+x2+x3)+x2x3(x1+x2+x3)-3x1x2x3=0102-303 (2)220002 因此原式=02+A0103+Bo 取x1= 1,x4=0,得3=9+3A,A=-2 取 1,得 故原式=02-20103+204 (3)原式=(1-x3)(1-x2)(1-x1)=a3-a1012+0201-03=0102-03 原式=1(03+n3)(3+2 由于
✿✒❑ G(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) = Y 16i<j6n (xi − xj ) Y 16i<j6n (aj − ai) · G1(x1, · · · , xn, a1, · · · , an). ▲❏▼✒◆✒❖ xi ★ aj ✕✒✘✒✑ (✬✒✏ n − 1 ✘), ✿✒● G1 = cn ✏✒P✒◗✒❘✒✑. ✹✒✺ Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) = Q 16i<j6n (xi − xj ) Q 16i<j6n (aj − ai) · cn Q 16i,j6n (xi − aj ) . ❙✹ [(xn − an)Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , an)]xn=an = Dn−1(x1, · · · , xn−1, a1, · · · , an−1), ❚✒❯ Q 16i<j6n−1 (xi − xj ) ! (x1 − an)· · ·(xn−1 − an) Q 16i<j6n−1 (aj − ai) ! (an − a1)· · ·(an − an−1) · cn Q 16i,j6n−1 (xi − aj ) ! (an − a1)· · ·(an − an−1)(x1 − an)· · ·(xn−1 − an) = Q 16i<j6n−1 (xi − xj ) Q 16i<j6n−1 (aj − ai) · cn Q 16i,j6n−1 (xi − aj ) = Dn−1(x1, · · · , xn−1, a1, · · · , an−1), ✿✒❑ cn = cn−1. ❱ ✺✒❲❀, ✷✒❳✒✿✒❑ cn = c1 = 1. ✹✾ Dn(x1, · · · , xn, a1, · · · , an) = Q 16i<j6n (xi − xj )(aj − ai) Q 16i,j6n (xi − aj ) . ☞✍✌ 11–2 1. ❨✒❩✒❬✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒❫✒❴✒❄✒❅✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛: (1) x 2 1x2 + x1x 2 2 + x 2 1x3 + x1x 2 3 + x 2 2x3 + x2x 2 3 ; (2) x 2 1x 2 2 + x 2 1x 2 3 + x 2 1x 2 4 + x 2 2x 2 3 + x 2 2x 2 4 + x 2 3x 2 4 ; (3) (x1 + x2)(x1 + x3)(x2 + x3); (4) (x1x2 + x3)(x1x3 + x2)(x2x3 + x1); (5) (x 2 1 + x 2 2 )(x 2 1 + x 2 3 )(x 2 2 + x 2 3 ); (6) (x1 + x2 + x1x2)(x2 + x3 + x2x3)(x1 + x3 + x1x3). ❇ : (1) ❉❵✛ = x1x2(x1 +x2 +x3)+x1x3(x1 +x2 +x3)+x2x3(x1 +x2 +x3)−3x1x2x3 = σ1σ2 −3σ3. (2) 2 2 0 0 σ 2 2 2 1 1 0 σ1σ3 ✹✒✺ 1 1 1 1 σ4 ❉✒✛ = σ 2 2 + Aσ1σ3 + Bσ4. ❛ x1 = x2 = x3 = 1, x4 = 0, ❑ 3 = 9 + 3A, A = −2; ❛ x1 = x2 = x3 = x4 = 1, ❑ B = 2; ❜ ❉✒✛ = σ 2 2 − 2σ1σ3 + 2σ4. (3) ❉✒✛ = (σ1 − x3)(σ1 − x2)(σ1 − x1) = σ 3 1 − σ1σ 2 1 + σ2σ1 − σ3 = σ1σ2 − σ3. (4) ❉✒✛ = 1 σ3 (σ3 + x 2 3 )(σ3 + x 2 2 )(σ3 + x 2 1 ). ❍❏■ x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 = σ 2 1 − 2σ2, · 2 ·
x2+x122+232=02-20103, x2r2z2=a? 原式=-(a3+(u1-202)a3+(a2-0103)3+03) ia3-20103+a2-2203+a3+o3 (5)原式=(x1+x2+n3-3)(x+2+-)(x+2+-) 202-x3)(012 r2)(G12-202-) 3)3-(G1 r3)(G =01a2-201a3-2o2+410203-a (6)原式=1(03+02)3-02(3+02)2+010(3+a)-o3 13(3+a2)2+o1o3(3+a2)-o3 =a2+20203+03+0103+0102-03 2.用初等对称多项式表示下列n元对称多项式 (1)∑x (2)∑2; (3)∑xx2x3 (4)∑xx2x3x 解:(1)a1-401a2+202+4o102-404 (2)a2-20103+24 (3)103-4a4 40 3.设x1,x2,x3是方程3x3-5x2+1的三个根计算 r1x2+x12+x1x3+x13+x2x3+x2x3 解:原式=0a2-202-0103 4.设xyz≠0.且x+y+z=0,求 y ++-+-+ 解原式=(2+y2+ry+y2+ay2+x2) ((r+y+a)(y+az+ ya)-3ryz) 5,证明:三次方程x3+a1x2+ax+a3=0的三个根成等差数列的充分必要条件是 2a3-9a1a2+27 证明:三个根成等差数列的充分必要条件是以下3个数 r1+x3-2x2,x2+x3-2 中至少有一个等于0.故 三个根成等差数列 (x1+x2-2x3)(x1+x3-2x2)(x2+x3-2x1)=0
x 2 1x 2 2 + x 2 1x 2 3 + x 2 2x 2 3 = σ 2 2 − 2σ1σ3, x 2 1x 2 2x 2 3 = σ 2 3 , ❉✒✛ = 1 σ3 (σ 3 3 + (σ1 − 2σ2)σ 2 3 + (σ 2 2 − σ1σ3)σ3 + σ 2 3 ) = σ 2 1σ3 − 2σ1σ3 + σ 2 2 − 2σ2σ3 + σ 2 3 + σ3. (5) ❉✒✛= (x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 3 )(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 2 )(x 2 1 + x 2 2 + x 2 3 − x 2 1 ) = (σ 2 1 − 2σ2 − x 2 3 )(σ 2 1 − 2σ2 − x 2 2 )(σ 2 1 − 2σ2 − x 2 1 ) = (σ 2 1 − 2σ2 − x 2 3 ) 3 − (σ 2 1 − 2σ2 − x 2 3 )(σ 2 1 − 2σ2 − x 2 3 ) 2 + (σ 2 1 − 2σ1σ3)(σ 2 1 − 2σ2 − x 2 3 ) − σ 2 3 = σ 2 1σ 2 2 − 2σ 3 1σ3 − 2σ 3 2 + 4σ1σ2σ3 − σ 2 3 (6) ❉✒✛= 1 σ3 [(σ3 + σ2) 3 − σ2(σ3 + σ2) 2 + σ1σ3(σ3 + σ2) − σ 2 3 ] = 1 σ3 [σ3(σ3 + σ2) 2 + σ1σ3(σ3 + σ2) − σ 2 3 ] = σ 2 2 + 2σ2σ3 + σ 2 3 + σ1σ3 + σ1σ2 − σ 2 3 . 2. ❨✒❩✒❬✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒❫✒❴✒❄✒❅ n ✖✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛: (1)Px 4 1 ; (2)Px 2 1x 2 2 ; (3)Px 2 1x2x3; (4)Px 2 1x 2 2x3x4. ❇ : (1) σ 4 1 − 4σ 2 1σ2 + 2σ 2 2 + 4σ1σ2 − 4σ4. (2) σ 2 2 − 2σ1σ3 + 2σ4. (3) σ1σ3 − 4σ4. (4) σ2σ4 − 4σ1σ5 + 9σ6. 3. ✎ x1, x2, x3 ✏✒❝✒❞ 3x 3 − 5x 2 + 1 ✕✒❡✒◗✒❢. ❂✒❃ x 3 1x2 + x1x 3 2 + x 3 1x3 + x1x 3 3 + x 3 2x3 + x2x 3 3 . ❇ : ❉✒✛ = σ 2 1σ2 − 2σ 2 2 − σ1σ3 = 5 9 . 4. ✎ xyz 6= 0, ✵ x + y + z = 0, ❣: x y + y x + x z + z x + y z + z y . ❇ : ❉✒✛= 1 xyz (x 2 z + y 2 z + x 2y + yz 2 + xy2 + xz2 ) = 1 xyz ((x + y + z)(xy + xz + yz) − 3xyz) = −3. 5. ✜✣✢: ❡✒✘✒❝✒❞ x 3 + a1x 2 + a2x + a3 = 0 ✕✒❡✒◗✒❢✒❤✒❬✒✐✒✑✒❅✒✕✒❥✲✒❦✒❧✒♠✒♥✏ 2a 3 1 − 9a1a2 + 27a3 = 0. ✭✒✮: ❡✒◗✒❢✒❤✒❬✒✐✒✑✒❅✒✕✒❥✲✒❦✒❧✒♠✒♥✏ ❯❄ 3 ◗✒✑ x1 + x2 − 2x3, x1 + x3 − 2x2, x2 + x3 − 2x1, ✱❏♦✒♣✒qP✒◗✒❬■ 0. ❜ ❡✒◗✒❢✒❤✒❬✒✐✒✑✒❅ ⇐⇒ (x1 + x2 − 2x3)(x1 + x3 − 2x2)(x2 + x3 − 2x1) = 0. · 3 ·
(x1+x2-2x3)(x1+x3-2x2)(x2+x3-2x1) (-a1)3-3(-a)(-a1)2+9a2(-a1)-27(-a3) 6.若n次多项式f(x)的根为x1,x2,…,xn,而数c不是f(x)的根,证明 fc ii Ti-c f(c) 证明:考察多项式∫(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn),则 f(a=\ f() f(ar) f(a 从而 f(c) 7.设x1,x2,……,xn是方程 0 的根,证明:x2,r3,…,xn的对称多项式可表成x1与a1,a2,……,an的多项式 证明:设 f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-rn) (1)akI ak t ∑(-1)ak(x 由最后一式知x的各次项系数都是x1与a1,…,an的多项式(ao=1),从而x2,…,xn的初等对称多项 式是x1与a1,…,an的多项式,进而由对称多项式基本定理知x2,……,xn的对称多项式可表成是x1与 a1,……,an的多项式 f(x)=(x-x1)(x-x2)…(x-xn) rk 1)证 xk+1f(x)=(50x+s1x4-1+…+Sk-1x+5k)f(x)+g(x) 其中g(x)的次数<n或g(x)=0
✾ (x1 + x2 − 2x3)(x1 + x3 − 2x2)(x2 + x3 − 2x1) = (x1 + x2 + x3 − 3x3)(x1 + x2 + x3 − 3x2)(x1 + x2 + x3 − 3x1) = (−a1) 3 − 3(−a1)(−a1) 2 + 9a2(−a1) − 27(−a3) = 2a 3 1 − 9a1a2 + 27a3. 6. r n ✘✒✙✒✚✒✛ f(x) ✕✒❢✴ x1, x2, · · · , xn, ✾✒✑ c ✽✒✏ f(x) ✕✒❢, ✜✣✢: Xn i=1 1 xi − c = − f 0 (c) f(c) . ✭✒✮: s✒t✒✙✒✚✒✛ f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn), ✪ f 0 (x) = Xn i=1 f(x) x − xi , f 0 (x) f(x) = Xn i=1 1 x − xi , ✉ ✾ Xn i=1 1 xi − c = − f 0 (c) f(c) . ∗7. ✎ x1, x2, · · · , xn ✏✒❝✒❞ x n + a1x n−1 + · · · + an = 0 ✕✒❢, ✜✣✢: x2, x3, · · · , xn ✕✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒✿✒❫✒❤ x1 ★ a1, a2, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛. ✭✒✮: ✎ f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn) = Xn k=0 (−1)k akx n−k . ✉ ✾ (x − x2)· · ·(x − xn) = f(x) x − x1 = f(x) − f(x1) x − x1 = Pn k=0 (−1)kakx n−k − Pn k=0 (−1)kakx n−k 1 x − x1 = nX−1 k=0 (−1)k ak(x n−k−1 + x n−k−2x1 + · · · + x n−n−1 ). ❍ ✷✒✈✒P✒✛✒● x ✕✒✇✒✘✒✚✒①✒✑✒✬✒✏ x1 ★ a1, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛ (a0 = 1), ✉ ✾ x2, · · · , xn ✕✒❩✒❬✒❭✒❪✒✙✒✚ ✛✒✏ x1 ★ a1, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛, ②✒✾ ❍ ❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒③✒④✒⑤✒⑥✒● x2, · · · , xn ✕✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒✿✒❫✒❤✒✏ x1 ★ a1, · · · , an ✕✒✙✒✚✒✛. ∗8. ✎ f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn) = x n − σ1x n−1 + · · · + (−1)nσn, sk = x k 1 + x k 2 + · · · + x k n , (k = 0, 1, 2, · · ·). (1) ✜✣✢: x k+1f 0 (x) = (s0x k + s1x k−1 + · · · + sk−1x + sk)f(x) + g(x), ✰✣✱ g(x) ✕✒✘✒✑ < n ⑦ g(x) = 0. · 4 ·
2)证明牛顿( Newton)公式 Sk-015k-1+2Sk-2+…+( (-1)k Sk-015k-1+…+(-1)anSk-n=0k>n. 证明:设g(x) 则9(x)=0或degg(x)<n.而 中+∑ k+1 k+1 f(r (ak-3a f(r) rk-izlf(r ak-is,f(x)=(sork +…+sk-1x+sk)f(x) 即得所证 (2)比较等式 k+(x)=(50x+51x-1+…+5k-1x+sk)f(x)+g(x) 两边n次项系数,由于g(x)的次数<n或g(x)=0,所以 x+f(x)的n次项系数=(0x+51x-1+…+Sk-1x+sk)f(x)的n次项系数 所以当k≤n Sk-015k-1+025k-2+…+(-1)-1ak-11+(-1)kok=0 即得所证 9.用初等对称多项式表示52,S3,S4,55 了3, 习题11-3 1.证明结式的下列性质:设f(x),9(x)分别是n次与m次多项式.则 (1)Res(, g)=(-1)mn Res(g, f) (3)Res((a -af, g)=g(a)Res(f, g) 证明:(1),(2)显然今证(3).设
(2) ✜✣✢⑨⑧✒⑩ (Newton) ❶✒❷: sk − σ1sk−1 + σ2sk−2 + · · · + (−1)k−1σk−1s1 + (−1)k kσk = 0 k 6 n, sk − σ1sk−1 + · · · + (−1)nσnsk−n = 0 k > n. ✭✒✮: ✎ g(x) = Pn i=1 x k+1 i f(x) x − xi , ✪ g(x) = 0 ⑦ deg g(x) n, 0 = sk − σ1sk−1 + σ2sk−2 + · · · + (−1)nσnsk−n, ❸❑❚✜ . ∗9. ❨✒❩✒❬✒❭✒❪✒✙✒✚✒✛✒❫✒❴ s2, s3, s4, s5. ❇ : s2 = σ 2 1 − 2σ2, s3 = σ 3 1 − 3σ1σ2 + 3σ3, s4 = σ 4 1 − 4σ 2 1σ2 + 2σ 2 2 + 4σ1σ3 − 4σ4, s5 = σ 5 1 − 5σ 3 1σ2 + 5σ1σ 2 2 + 5σ 2 1σ3 − 5σ2σ3 − 5σ1σ4 + 5σ5. ☞✍✌ 11–3 1. ✜✣✢❏❹✛✒✕✒❄✒❅✒❺✒❻: ✎ f(x), g(x) ✲✒✳✏ n ✘✒★ m ✘✒✙✒✚✒✛. ✪ (1) Res(f, g) = (−1)mn Res(g, f); (2) Res(af, bg) = a mb n Res(f, g); (3) Res((x − a)f, g) = g(a) Res(f, g). ✭✒✮: (1), (2) ❼✒❽. ❾✜ (3). ✎ f(x) = a0x n + a1x n−1 + · · · + an, g(x) = b0x m + b1x m−1 + · · · + bm, · 5 ·
(a-a)f(a)=aom++(a1-aoa)z"+.+(an -an-1a)I-ana 40 a1-a00 a2-01a an-an-1a a1-a0a a2-a1a an-an-la es((a-a)f,g) bo b1 bo b2 m+1 b 自第一列起,各列乘a加到后一列,直至最后一列,可得 Res((z-a)f,9)= bo b1+boa b2+b)a+boa b1+boa g(a)am-I 从最后一行起,各行乘(-a)加到前一行,直到第n+1行,再按最后一列展开,可得 Res(( -af, g)=ga)Res(f, g). 2.设f(x)=a(x-x1)…(x-xn),g(x)=b(x-)…(x-ym) 证明Re(,9)="9()=(-1)m)=互(- 证明:Res(f,9)= am res(x-x1)…(x-xn),g(x) amg(a1)Res((r-I2).(r-In), g(r)) a"g(x1)g(x2)…g(xn) amb∏∏(x1-y)=(-1)mnbⅡf(v 3.证明:Res(f(x),91(x)92(x))=Res(f(x),g1(x)Res(f(x),y2(x) 证明:设 g1(x)=a0(x-a1)…(x-an),g2(x)=b(x-b1)…(x-bm), Res(f, g192)=(-1)deg f(deg g1g2 )Res(g192, f) (-1)yfkggnaIf(a)If() (-1)egf(deg 91g2)Res(g1, f)Res(92, f) Res(f, g1)Res(f, 92) 4.设∫为首一多项式证明:对任意多项式h,Res(f,g)=Res(f,g+hf)
✪ (x − a)f(x) = a0x n+1 + (a1 − a0a)x n + · · · + (an − an−1a)x − ana. Res((x−a)f, g)= a0 a1−a0a a2−a1a · · · an−an−1a −ana a0 a1−a0a a2−a1a · · · an−an−1a −ana . . . . . . . . . · · · . . . . . . n a0 · · · · · · · · · an−an−1a −ana b0 b1 b2 · · · bm−1 bm b0 b1 b2 · · · bm−1 bm . . . . . . . . . · · · . . . . . . m+1 b0 · · · · · · · · · bm−1 bm ❿➁➀P✒❅✒➂, ✇✒❅✒➃ a ➄✒➅✒✈✒P✒❅, ➆ ♦✷✒✈✒P✒❅, ✿✒❑ Res((x − a)f, g) = a0 a1 a2 · · · an 0 a0 a1 a2 · · · an 0 . . . . . . . . . · · · . . . . . . n a0 · · · · · · · · · an 0 b0 b1+b0a b2+b1a+b0a 2 · · · · · · g(a) · · · g(a)a m b0 b1+b0a · · · · · · · · · · · · g(a)a m−1 . . . . . . . . . · · · . . . . . . . . . m+1 b0 · · · · · · · · · · · · g(a) ✉ ✷✒✈✒P✒❆✒➂, ✇✒❆✒➃ (−a) ➄✒➅✒➇✒P✒❆, ➆✒➅➀ n + 1 ❆, ➈✒➉✒✷✒✈✒P✒❅✒➊✒➋, ✿✒❑ Res((x − a)f, g) = g(a) Res(f, g). 2. ✎ f(x) = a(x − x1)· · ·(x − xn), g(x) = b(x − y1)· · ·(x − ym). ✜✣✢: Res(f, g) = a m Qn i=1 g(xi) = (−1)mnb n Qm j=1 f(yj ) = a mb n Qn i=1 Qm j=1 (xi − yj ). ✭✒✮: Res(f, g)= a m Res((x − x1)· · ·(x − xn), g(x)) = a mg(x1) Res((x − x2)· · ·(x − xn), g(x)) = a mg(x1)g(x2)· · · g(xn) = a mb n Qn i=1 Qm j=1 (xi − yj ) = (−1)mnb n Qm j=1 f(yj ). 3. ✜✣✢: Res(f(x), g1(x)g2(x)) = Res(f(x), g1(x)) Res(f(x), g2(x)). ✭✒✮: ✎ g1(x) = a0(x − a1)· · ·(x − an), g2(x) = b0(x − b1)· · ·(x − bm), ✪ Res(f, g1g2) = (−1)deg f(deg g1g2) Res(g1g2, f) = (−1)deg f(deg g1g2) a deg f 0 b deg f 0 Yn i=1 f(ai) Ym j=1 f(bj ) = (−1)deg f(deg g1g2) Res(g1, f) Res(g2, f) = Res(f, g1) Res(f, g2). 4. ✎ f ✴✒➌P✒✙✒✚✒✛, ✜✣✢: ❭✒➍✒➎✒✙✒✚✒✛ h, Res(f, g) = Res(f, g + hf). · 6 ·
)(x-x2)…(x-xn),m=degg,则 Res(f, g+hf (9(x)+h(x1)f(x1) =9(x)=Res(f,9 5.设f(x)=a0xn+a1xm-1+…+an-1x+an∈K[x] 证明:f(x)的判别式 (f)=(-1) e(f,∫) 证明D()=∞m-2Ⅱ(x1-x)2=(-1)an-2Ⅱ(x1-x) 1)(x1-xi+1)…( (-1)=2a-2Ⅱf"(x;) n(n=1 ao Res(, f) 6.计算下列多项式的结式: (2)f(x)=2x3-3x2-x+2,g(x)=x4-2x3-3x+4 (3)f(x)=x+x+1,g(x)=x2-3x+2; (4)∫(x)=xn+1,g(x)=(x-1) )f)=x=1,)== (6)f(x)=a0x+a1x-1+…+an-1x+an g(r) +a1xn-2+…+ 解()R(9)=(-123R(2-x-1,=(-1)0.2.(-) (2)f(x),g(x)有公共根1,所以结式Res(f,g)=0. (3)Res(f,g)=(-1)2n(1+1+1)(2+2+1)=3(2+3) (4)Res(f,g)=(-1)n.2 )()如(mn)=d>1,则二与二有公共根因此Rc(,9)=0 (b)如(m,n)=1,不妨设n>m,则n=mq+r,0≤r<m.显然(m,r)=1.则 1 rmqr'r-l(rmq-1z+ar-1 x-1 从而 Ix-1)=(-1ym-1)m+)Res 1mm-1 我们证明(m-1)(n+r)一定是偶数 如m-1是偶数,则结论成立.现设m-1是奇数,则m为偶数,从而n是奇数,r也是奇数,于是 n+r是偶数从而
✭✒✮: ✎ f(x) = (x − x1)(x − x2)· · ·(x − xn), m = deg g, ✪ Res(f, g + hf) = Yn i=1 (g(xi) + h(xi)f(xi)) = Yn i=1 g(xi) = Res(f, g). 5. ✎ f(x) = a0x n + a1x n−1 + · · · + an−1x + an ∈ K[x], ✜✣✢: f(x) ✕✒➏✳✛ D(f) = (−1) n(n−1) 2 a −1 0 Res(f, f 0 ). ✭✒✮: D(f)= a 2n−2 0 Q 16i 1, ✪ x n − 1 x − 1 ★ x m − 1 x − 1 q✒➐✒➑❢, ✹✒✺ Res(f, g) = 0. (b) ✤ (m, n) = 1, ✽✒➒✒✎ n > m, ✪ n = mq + r, 0 6 r < m. ❼✒❽ (m, r) = 1. ✪ x n − 1 x − 1 = x mqx r − 1 x − 1 = (x mq − 1)x r + x r − 1 x − 1 , ✉ ✾ Res x n − 1 x − 1 , x m − 1 x − 1 = (−1)m−1)(n+r) Res x r − 1 x − 1 , x m − 1 x − 1 . ➓✒➔✜✣✢ (m − 1)(n + r) P✒⑤✒✏✒→✒✑. ✤ m − 1 ✏✒→✒✑, ✪❹✒➣❤✒↔. ↕✒✎ m − 1 ✏✒➙✒✑, ✪ m ✴→✒✑, ✉ ✾ n ✏✒➙✒✑, r ✫✒✏✒➙✒✑, ■✏ n + r ✏✒→✒✑. ✉ ✾ Res x n − 1 x − 1 , x m − 1 x − 1 = Res x r − 1 x − 1 , x m − 1 x − 1 . · 7 ·
再用r除m,根据辗转相除法的原理,由(m,r)=1可得 Res zr 1 x-1x-1 即当(mn)=1时Res(x二,r二1) (6)由于f(x)=rg(x)+an,所以 Res(f,g)=(-1)m(m-1)Res(,f)=(-1)(n-1)Res(g,an)=an-1 7.当入取何值时,下列多项式有公共根 (1)f(x)=x3-Ax+2,g(x)=x2+Mx+2; (2)f(x)=x3+Ax2-9,g(x)=x3+Ax-3. 解:(1)Res(f,g)=-4(A+1)2(X-3),故当入=-1或3时有公共根 (2)Res(f,g)=9(42+12)(A2+2),故当A=±23或±√2时有公共根 8.求下列曲线的直角坐标方程: (1)x=t2+t-1,y +t-1; (2)x 解:(1)4x2-4xy+y2+5x-3y+1=0. (2)5x2-6xy+2y2+5x-3y+1=0 9.当入为何值时,下列多项式有重根 (1)f(x) 3x+入; (2)f(x)=x4-4x3+(2-)x2+2x-2 解:(1) (2)-1-2+2-号 10.求下列方程组的解 )5x2-6xy+5y2=1 2x2 ry-y2+10g=9 解:(1)Res(f,g)=32(4-y32-3y2+y+2), (2)Res(f,g)=4(5x4+40x3+106x2+104x+33, 11.求下列圆锥曲线的交点坐标 (1)圆x2+y2-3x-y=0与双曲线x2+2xy-y2-4y-2=0; (2)双曲线4x2-7xy+y2+13x-2y-3=0与双曲线9x2-14xy+y2+28x-4y-5=0 解()(1-1(+√+√)(-2-√ (2)(0,-1),(1,2),(2,3),(-2,1)
➈✒❨ r ➛ m, ❢✒➜✒➝✒➞✒➟✒➛✒➠✒✕✒❉✒⑥, ❍ (m, r) = 1 ✿✒❑ Res x r − 1 x − 1 , x m − 1 x − 1 = · · · = Res x r 0 − 1 x − 1 , 1 ! = 1. ❸✻ (m, n) = 1 ✼ Res x n − 1 x − 1 , x m − 1 x − 1 = 1. (6) ❍❏■ f(x) = xg(x) + an, ❚✒❯ Res(f, g) = (−1)n(n−1) Res(g, f) = (−1)n(n−1) Res(g, an) = a n−1 n . 7. ✻ λ ❛✒➡✒➢✼, ❄✒❅✒✙✒✚✒✛q✒➐✒➑❢: (1) f(x) = x 3 − λx + 2, g(x) = x 2 + λx + 2; (2) f(x) = x 3 + λx2 − 9, g(x) = x 3 + λx − 3. ❇ : (1) Res(f, g) = −4(λ + 1)2 (λ − 3), ❜✻ λ = −1 ⑦ 3 ✼ q✒➐✒➑❢. (2) Res(f, g) = 9(λ 2 + 12)(λ 2 + 2), ❜✻ λ = ±2 √ 3i ⑦ ± √ 2i ✼ q✒➐✒➑❢. 8. ❣✒❄✒❅✣➤❏➥✒✕✒➆✒➦✒➧✒➨✒❝✒❞: (1) x = t 2 + t − 1, y = 2t 2 + t − 1; (2) x = t − 1 t 2 + 1 , y = t 2 + t − 1 t 2 + 1 . ❇ : (1) 4x 2 − 4xy + y 2 + 5x − 3y + 1 = 0. (2) 5x 2 − 6xy + 2y 2 + 5x − 3y + 1 = 0. 9. ✻ λ ✴➡✒➢✼, ❄✒❅✒✙✒✚✒✛q✒➩❢? (1) f(x) = x 3 − 3x + λ; (2) f(x) = x 4 − 4x 3 + (2 − λ)x 2 + 2x − 2. ❇ : (1) 2, −2; (2) −1, − 3 2 , 7 2 + 9 2 √ 3i, 7 2 − 9 2 √ 3i. 10. ❣✒❄✒❅✒❝✒❞✒➫✒✕✶: (1) ( 5x 2 − 6xy + 5y 2 = 16, 2x 2 − xy + y 2 − x − y = 4; (2) ( x 2 + y 2 + 4x − 2y = −3, x 2 + 4xy − y 2 + 10y = 9. ❇ : (1) Resy(f, g) = 32(y 4 − y 3 − 3y 2 + y + 2), ( x = 1 y = −1 ( x = −1 y = 1 ( x = 2 y = 2 (2) Resx(f, g) = 4(5x 4 + 40x 3 + 106x 2 + 104x + 33), ( x = −1 y = 2 ( x = −3 y = 0 ( x = −2 + 3 5 √ 5 y = 1 + 1 5 √ 5 ( x = −2 − 3 5 √ 5 y = 1 − 1 5 √ 5 11. ❣✒❄✒❅✣➭❏➯✣➤❏➥✒✕✒➲✒➳✒➧✒➨: (1) ➭ x 2 + y 2 − 3x − y = 0 ★✒➵✣➤❏➥ x 2 + 2xy − y 2 − 4y − 2 = 0; (2) ➵✣➤❏➥ 4x 2 − 7xy + y 2 + 13x − 2y − 3 = 0 ★✒➵✣➤❏➥ 9x 2 − 14xy + y 2 + 28x − 4y − 5 = 0. ❇ : (1) (1, −1), 3 2 + 1 2 √ 2, 1 2 + √ 2 , 3 2 − 1 2 √ 2, 1 2 − √ 2 ; (2) (0, −1),(1, 2),(2, 3),(−2, 1). · 8 ·
