习题解答 第四章矩阵的秩与矩阵的运算 1.设向量β可由向量组a1,a2,……,as线性表示,但不能由a1,a2,…,a-1线性表示证明:向量 组a1,a2,…,as与向量组a1,a2,……,αs-1,β等价 证明由假设,存在a1,……,as∈K使得 B=a1a1+a2a2+…+asas 如果a=0,则可以被a1a2,……,a-1线性表示,与假设矛盾,因此as≠0.于是 即a,可以由a1,a2,…,a-1,线性表示.从而向量组a1,a2,…,a可被a1,a2,…,a-1,线性表示 另一方面,根据假设,向量组α1,a2,……,as-1,B可以被向量组a1,a2,……,as线性表示,因此这两个向量 组等价 *2.(替换定理)设向量组a1,a2,…,a。线性无关,且可由向量组1,2,…,A线性表示.证明: 存在B1,B2,……,A的一个置换A1,B12,…,A1,使向量组a1,a2,……,ar,B,+x,B,+2,…,A与向量组 B1,B2,…,Bt等价(r=1,……,s) 证明因为a1,a2,…,as线性无关,且可由向量组1,B2,……,Bt线性表示,故s≤t. 下面用归纳法证明替换定理 (i)设s=1 因为a1可由1,…,线性表示,故存在a∈K使得a1=∑a12.而a1线性无关,即a1≠0,所 以a1,…,at不全为零.必有an≠0(1≤l≤t).则 Br 因此向量组α1,B1,……,A1-1,+1,…,B与向量组β1,B2,…,等价 令1=角,B2=,…,角1=-1,A1+1=A+1,…,A1=A,即得结论 i)假定结论对s-1成立考察s个线性无关的向量a1,a2,…,as 因a1,a2,…,as-1线性无关,由归纳假设,存在1,…,B的一个置换1,…,n,使 }={1,…,B+}(r=1,……,s-1) 又as可由1,…,Bt线性表示,所以a可以由a1,…,a-1,n,…,n线性表示.故存在k,lk∈ i=1,……,s-1,k=s,……,t,使得 a=∑k1+∑l
4–1 1. β >N B α1, α2, · · · , αs t& , qUcN α1, α2, · · · , αs−1 t& . ST: B α1, α2, · · · , αs B B α1, α2, · · · , αs−1, β V. : N1, 1k a1, · · · , as ∈ K 'P β = a1α1 + a2α2 + · · · + asαs. as = 0, J β >$I α1, α2, · · · , αs−1 t& , B145, !O as 6= 0. $N α1, α2, · · · , αs−1, β t& . C% B α1, α2, · · · , αs >I α1, α2, · · · , αs−1, β t& . H@, =>1, B α1, α2, · · · , αs−1, β >$I B α1, α2, · · · , αs t& , !Ow7f BV. ∗2. () B α1, α2, · · · , αs t&,*, ?>N B β1, β2, · · · , βt t& . ST: 1k β1, β2, · · · , βt HfYJ βi1 , βi2 , · · · , βit , ' B α1, α2, · · · , αr, βir+1 , βir+2 , · · · , βit B B β1, β2, · · · , βt V (r = 1, · · · , s). : !" α1, α2, · · · , αs t&,*, ?>N B β1, β2, · · · , βt t& , ! s 6 t. PDSTJ . (i) s = 1. !" α1 >N β1, · · · , βt t& , !1k ai ∈ K 'P α1 = Pt i=1 aiβi . % α1 t&,*, α1 6= 0, # $ a1, · · · , at U3"o. @G al 6= 0 (1 6 l 6 t). J βl = 1 al α1 − Xt i=1 i6=l ai al βi , !O B α1, β1, · · · , βl−1, βl+1, · · · , βt B B β1, β2, · · · , βt V. I βi1 = βl , βi2 = β1, . . . , βil = βl−1, βil+1 = βl+1, . . . , βit = βt, P"#. (ii) 1 "# s − 1 *+. s ft&,* α1, α2, · · · , αs. ! α1, α2, · · · , αs−1 t&,*, NP1, 1k β1, · · · , βt HfYJ βj1 , · · · , βjt , ' {α1, · · · , αr, βjr+1 , · · · , βjt } ∼= {β1, · · · , βt} (r = 1, · · · , s − 1). Q αs >N β1, · · · , βt t& , #$ αs >$N α1, · · · , αs−1, βjs , · · · , βjt t& . !1k ki , lk ∈ K, i = 1, · · · , s − 1, k = s, · · · , t, 'P αs = Xs−1 i=1 kiαi + Xt k=s lkβjk . · 1 ·
由于a1,…,a。线性无关,故ls,…,l不全为零.设第一个不为零的是lh,则h≥s.从而。可以 由a1,…,as,i+1;…,线性表示.令B,=n,A1=1,…,B,-1=月-1,A,+1=月+1… B:=B12,则 {a1,…,as,A,+1…,Ba}{61,…,A} 由归纳法原理可知结论成立 3.设向量组a1,a2,…,a的秩为r,aa1,Oa2,…,a1n是它的一个部分组证明:如果a1,a2,…,a 可由a1,a2,…,a,线性表出,则a1,aa2;……,a,是a1,a2,…,as的一个极大线性无关组 证明:作为向量组的部分组,a1…,ai,当然可以被a1,…,as线性表示.因此这两个向量组等 价,从而有相同的秩r.于是由命题1.9可知向量组a 1n线性无关.由推论1.8可知它是极大线性 无关组 4.设a1,a2,……,at与a1,a2,……,at,at+1,at+2,……,as有相同的秩证明:a1,a2,……,at与a1,a2 s等价 证明:根据假设,有 at)sL(a1,…,at,at+1 s) 又因这两个向量组有相同的秩,因此它们张成的线性子空间有相同的维数,从而相等再利用命题1.1, 可知这两个向量组线性等价 5.对下列向量组,将a1扩充成向量组的一个极大无关组: (1)a1=(1,-1,2,4),a2=(0,3,1,2),a3=(3,0,7,14),a4=(1,-1,2,0),a5=(2,1,5,6) (2)a1=(1,-1,0,1,1),a2=(2,1,3,-1,0),a3=(3,0.3,0,1),a4=(1,-1,1,-1,1),a5= 1,-5,-6,5,3),a6=(2,1,2,1,0) 解:(1)a1,a2,a4 (2)a1,a2,a4 6.设向量组{a1,a2,…,a},{1,B2,…,A},{a1;a2,…,as,1,B2,…B}的秩分别是r,r2,r3 证明: max{r1,r2}≤r3≤r1+r2 证明:由于向量组{α1,,…,a},{61,…,A}都可由向量组{a1,…,as,B1,……,t}线性表示,故 从而 nr2}≤r 设a…,an是a1,…,as的一个极大线性无关组,1…,Bn是,…,A的一个极大线性无 关组,则 {a1……:as,月1,…,A}y{an1,…,an,n1,…,n} 所以 k{aa;…,ain1,/n1…,n}≤7+2. 7.设向量组{a1,a2,……,as},{1,B2,…,B},{a1+1,a2+B2,…,as+B}的秩分别是 r3.证明:r3≤r1+r2 证明:因为{a1+1,…,as+B}可由{a1,…,a,B1,…,}线性表示,因此它的秩 73≤rank{a1,…,as,1,…,Bs}≤rank{a1,……,as}+rank 3}=71+r2
N s. C% βjh >$ N α1, · · · , αs, βjh+1 , · · · , βjt t& . I βis = βjh , βi1 = βj1 , . . . , βis−1 = βjs−1 , βis+1 = βjs+1 , . . . , βit = βjt , J {α1, · · · , αs, βis+1 , · · · , βit } ∼= {β1, · · · , βt}. NPDK> "#*+. 3. B α1, α2, · · · , αs " r, αi1 , αi2 , · · · , αir 8Hf|B. ST: α1, α2, · · · , αs >N αi1 , αi2 , · · · , αir t&%, J αi1 , αi2 , · · · , αir α1, α2, · · · , αs Hf ;t&,*B. : /" B|B, αi1 , · · · , αir b>$I α1, · · · , αs t& . !Ow7f BV , C%GeC r. B αi1 , · · · , αir t&,*. N^# 1.8 > 8 ;t& ,*B. 4. α1, α2, · · · , αt B α1, α2, · · · , αt, αt+1, αt+2, · · · , αs GeC . ST: α1, α2, · · · , αt B α1, α2, · · · , αs V. : =>1, G L(α1, · · · , αt) ⊆ L(α1, · · · , αt, αt+1, · · · , αs), Q!w7f BGeC , !O8.*t&pqGeCF, C%eV. 37a 1.1, > w7f Bt&V. 5. B, v α1 0* BHf ;,*B: (1) α1 = (1, −1, 2, 4), α2 = (0, 3, 1, 2), α3 = (3, 0, 7, 14), α4 = (1, −1, 2, 0), α5 = (2, 1, 5, 6); (2) α1 = (1, −1, 0, 1, 1), α2 = (2, 1, 3, −1, 0), α3 = (3, 0, 3, 0, 1), α4 = (1, −1, 1, −1, 1), α5 = (−1, −5, −6, 5, 3), α6 = (2, 1, 2, 1, 0). : (1) α1, α2, α4. (2) α1, α2, α4. 6. B{α1, α2, · · · , αs}, {β1, β2, · · · , βt}, {α1, α2, · · · , αs, β1, β2, · · ·, βt} r1, r2, r3. ST: max {r1, r2} 6 r3 6 r1 + r2. : NN B {α1, · · · , αs, β1, · · · , βt} t& , ! r1 6 r3, r2 6 r3, C% max{r1, r2} 6 r3. αi1 , · · · , αir1 α1, · · · , αs Hf ;t&,*B, βj1 , · · · , βjr2 β1, · · · , βt Hf ;t&, *B, J {α1, , · · · , αs, β1, · · · , βt} ∼= {αi1 , · · · , αir1 , βj1 , · · · , βjr2 }, #$ r3 = rank{αi1 , · · · , αir1 , βj1 , · · · , βjr2 } 6 r1 + r2. 7. B {α1, α2, · · · , αs}, {β1, β2, · · · , βs}, {α1 + β1, α2 + β2, · · · , αs + βs} r1, r2, r3. ST: r3 6 r1 + r2. : !" {α1 + β1, · · · , αs + βs} >N {α1, · · · , αs, β1, · · · , βs} t& , !O8 r3 6 rank{α1, · · · , αs, β1, · · · , βs} 6 rank{α1, · · · , αs} + rank{β1, · · · , βs} = r1 + r2. · 2 ·
8.设向量组a1,a2,…,a,的秩为r,aa1,a12,…,a1m为它的一个部分组证明: rank{aa1,a2,…,a;n}≥r+m-s 证明:设a1,…,a1m的秩等于t则它的一个极大无关组an1,…,an是a1,……,a的线性无关组 它可被扩充为a1,…,as的一个极大线性无关组,而这一扩充的向量不可能是aa1,…,aam的向量,否 则与极大无关组矛盾.而a1,…,a,中共有s-m个不属于aa1,……,an的向量,其中选出r-t个不同 的向量明加到an1;…,an:以生成a1,…,as的一个极大线性无关组,从而 r一t≤s 移项得 rank{a1,……,ain}=t≥T+m-8 9.已知两个向量组有相同的秩,且其中一个可以被另一个线性表示.证明:这两个向量组等价 证明:设向量组①可被向量组①)线性表示,它价生成的线性子空间分别记为L1,L2.则L1sL2 又因它价有相同的秩因此它价生成的线性子空间有相同的维数,从而L1=L2,即(①)与(I)等价 习题42 1.求下列矩阵的秩 3242 104 (1) 10011 010-11 11023 解:(1)2:(2)2:(3)4;(4)3. 2.求下列向量组的秩与极大线性无关组: (1)a1=(3,2,-1,-3,-2),a2=(2,-1,3,1,-3),aa=(1,-4,7,5,4),a4=(1,-7,11,9,5); (2)a1=(1,-1,1,1,1),a2=(1,1,-1,1,1),a3=(1,1,1,-1,1),a4=(1,1,1,1,-1),a5 (1,1,1,1.1) (4)a1=(1,3,3,5),a2=(3,2,-5,1),a3=(2,3,0,4),a4=(5,4-7,1),a5=(3,5,1,7) 解:(1)秩4,a1a2,a3,a4 2)秩5,a1,a2,a3,a4,at5 (3)秩2,a1,a2 3求向量组a1=(-3,1,1,1),a2=(1,-3,1,1),a3=(1,1,-3,1),a4=(1,1,1,-3)的所有极大线 性无关组 解:任意3个向量都构成极大线性无关组 4.求下列向量组所张成的子空间的基与维数 1)a1=(4,-5,2,6),a2=(2,1,3,2),a3=(2,-6,-1,4),a4=(2,13,5,-6);
8. B α1, α2, · · · , αs " r, αi1 , αi2 , · · · , αim "8Hf|B. ST: rank{αi1 , αi2 , · · · , αim} > r + m − s. : αi1 , · · · , αim VI 0" α1, · · · , αs Hf ;t&,*B, %wH 0 U>c αi1 , · · · , αim , ) JB ;,*B45. % α1, · · · , αs (G s − m fU r + m − s. 9. 7f BGeC , ?$IHft& . ST: w7f BV. : B(I) >I B(II) t& , 8*t&pq "L1, L2. J L1 ⊆ L2. Q!8GeC , !O8*t&pqGeCF, C% L1 = L2, (I) B (II) V. 4–2 1. s ]^ : (1) 1 4 10 0 3 2 4 2 4 1 1 3 2 3 7 1 (2) 2 1 11 2 1 0 4 −1 1 −1 1 −5 2 0 8 −2 (3) 1 0 0 1 1 0 1 0 −1 1 1 −1 1 3 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 3 (4) 2 0 3 1 −1 1 2 1 2 1 3 −2 5 0 −3 −1 1 0 2 3 : (1) 2; (2) 2; (3) 4; (4) 3. 2. s B B ;t&,*B: (1) α1 = (3, 2, −1, −3, −2), α2 = (2, −1, 3, 1, −3), α3 = (1, −4, 7, 5, 4), α4 = (1, −7, 11, 9, 5); (2) α1 = (1, −1, 1, 1, 1), α2 = (1, 1, −1, 1, 1), α3 = (1, 1, 1, −1, 1), α4 = (1, 1, 1, 1, −1), α5 = (1, 1, 1, 1.1); (3) α1 = (2, −1, 3, −2, 4), α2 = (4, −2, 5, 1, 7), α3 = (2, −1, 1, 8, 2), α4 = (2, −1, 2, 3, 3); (4) α1 = (1, 3, 3, 5), α2 = (3, 2, −5, 1), α3 = (2, 3, 0, 4), α4 = (5, 4, −7, 1), α5 = (3, 5, 1, 7). : (1) 4, α1, α2, α3, α4. (2) 5, α1, α2, α3, α4, α5. (3) 2, α1, α2. (4) 3, α1, α2, α4. 3 s B α1 = (−3, 1, 1, 1), α2 = (1, −3, 1, 1), α3 = (1, 1, −3, 1), α4 = (1, 1, 1, −3) #G ;t &,*B. : 3 f mu* ;t&,*B. 4. s B#.*pqzBF: (1) α1=(4, −5, 2, 6), α2=(2, 1, 3, 2), α3=(2, −6, −1, 4), α4=(2, 13, 5, −6); · 3 ·
1),a2=(0,1,0.,2,1),a3=(0.0,1,-1,-2),a4 解:(1)维数3,基a1,a2,a (2)维数3,基a1,a2,a3. 5.求下列矩阵的秩 a1b alb2 b agb a2b2 2b anb1anb2…anb 解:(1)因为此矩阵的任意两行都线性相关,因此秩≤1.而此矩阵的秩等于0的充分必要条件是所 有的a2b=0.如(a1,…,an)≠0,则必有(b1,…,bn)=0,如(b1,…,bn)≠0,则必有(a1 )=0. 因此当(a1,…,an)=0或(b1,…,bn)=0时,秩为0,否则,秩为1 (2)当a=1时,秩为1;当a 时,秩为n-1(n>1);其余情形,秩为 W={(a1,…,ar,0,…,0)|a∈K,i=1,……,r}sK 证明:dimW=r 证明:设 2= 1|(r) 则a1,a2,…,ar线性无关,且对任意的 ∈W 有a=a1a1+…+a1ar,所以dimW=r 7.设a1,a2,…,a线性无关,B=∑a1(j=1,…,s),令A=(a).证明: rank{1,B2,……,B} k A 证明:(i)设1,…,:是1,…,B的一个极大线性无关组考察A的列向量组1,…,s则 :)=(a1 如果∑kn=0,则 k1 k 即∑kn=0,由于1…,:线性无关,因此h1 kt=0,即%1…,:线性无关所以 rank(4)≥t=rank{
(2) α1 = (1, 0, 0, 1, −1), α2 = (0, 1, 0, 2, 1), α3 = (0, 0, 1, −1, −2), α4 = (1, 1, 1, 2, −2). : (1) F 3, z α1, α2, α4. (2) F 3, z α1, α2, α3. 5. s ]^ : (1) a1b1 a1b2 · · · a1bn a2b1 a2b2 · · · a2bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . anb1 anb2 · · · anbn ; (2) 1 a a · · · a a a 1 a · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a a a · · · a 1 . : (1) !"O]^7 mt&e*, !O 6 1. %O]^ V 1); t = rank{β1, · · · , βs}. · 4 ·
(i)设m,…,7n是A价列记量与价示大线性无成与,则由∑k=0可得 kI )( (61…B1) 其a1,…,ar线性无成,必须有 /k1 T价线性无成性可得k1 kt=0.明1,…,B:线性无成,因出 rank{1,……,B.}≥t=rank(A) 最终得到 rank{1,…,B}=rank(A) 8.设A∈Mmn(K).已知A价第i1,2,…,ir行与关A价行记量与价示大线性无成与,A价第 j,j2,…,j列与关A价列记量与价示大线性无成与.证明: 0. air,jn air, j2 证即:适当证换矩推价行组列,可设矩推价此r行组此r列分别为矩推价行记量与组列记量与价 示大线性无成与同出矩推可经初等行根换化为 ar 1 ar, 2 00 0 因矩推价初等行根换不改根矩推价列记量价线性成系,因矩推B价此r列数为B价列记量与价示大线 性无成与.同出B可经初等列根换化为 00 因为rank(C ≠0. 意题4-3 1.讨所扩列含参量线性方程与价解价情故,并求解
(ii) γj1 , · · · , γjt A B ;t&,*B, JN Pt i=1 kiβji = 0 >P (α1 · · · αr)(γj1 · · · γjt ) k1 . . . kt = (βj1 · · · βjt ) k1 . . . kt = 0, NP k1 = · · · = kt = 0, βj1 , · · · , βjt t&,*, !% rank{β1, · · · , βs} > t = rank(A). P rank{β1, · · · , βs} = rank(A). 8. A ∈ Mm,n(K). A = i1, i2, · · · , ir B* A B ;t&,*B, A = j1, j2, · · · , jr B* A B ;t&,*B. ST: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ai1,j1 ai1,j2 · · · ai1,jr ai2,j1 ai2,j2 · · · ai2,jr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . air,j1 air,j2 · · · air,jr ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. : ;bJ]^ B , >]^O r BO r "]^ BB B ;t&,*B. C%]^>j\V =JL" B = a1,1 a1,2 · · · a1,n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar,1 ar,2 · · · ar,n 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 , !]^\V =JUj\V =JL" C = a1,1 a1,2 · · · a1,r 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar,1 ar,2 · · · ar,r 0 · · · 0 0 0 · · · 0 0 · · · 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 · · · 0 0 · · · 0 . !" rank(C) = rank(B) = r, #$ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1,1 a1,2 · · · a1,r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar,1 ar,2 · · · ar,r ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. 4–3 1. U# ^ t&@AB-!, Ws-. · 5 ·
aT1+b T2+I3=1 (入+3)x1+x2+2x3=A (2)x1+(A-1)x2+x3=2入 T1+bz2+ar3=1 3(A+1)x1+Ax2+(A+3)x3=5 aT1+bx2+2 3=1 (3)ax1+(2b-1)x2+3r3=1 ax1+bx2+(b+3)x3=2b 解(1)2a1(+2≠0时有解x1=(a-b+2,=(,=m-1a+ 当a=b=-2时,有解x1 当a=b=1时,有解x1=1 其余情形无解; (2)当A≠0.A≠1时有解:x1 入2+4入-15 入+15 42+A+1 工少 当λ=1时有解:x1=2-x3,x2=-7+2x3 当A=0时无解; )≠0.b≠士时有解n1=a+ 当b=1时有解:x2=1-ax1,x3=0; 当a=0b=5时有解n2=-3,n3=3,n为任意数 其余情形无解 2.利用线性方程组的理论证明:如果直线 A1r+ B1y+C12+ D1=0 A2x+B2y+C22+D2=0 直线 13I+ B3y+C32+ D3 =0 Az+ BAy+C42+DA=0 相交,那么 A1 A2 A3 A B1 B2 B3 B C1 C2 C3 CA D D2 D3 D 解:根据例3.3的解,如果L1与L2相交,那么线性方程组 AIr+ Biy+ CI Ar+ Bay+Ca2 有唯一解,从而rank(A)=rank(A)=3,这里A与A分别是上述方程组的系数矩阵与增广矩阵.因此行 列式|4=0 A1 B1 c A2 B2 C C 3.求三个平面Ax+B1y+C1z+D1=0(=1,2,3)分别满足下列关系的充要条件 (1)有一个公共点 (2)有一条公共直线
(1) ax1 + bx2 + x3 = 1 x1 + abx2 + x3 = b x1 + bx2 + ax3 = 1; (2) (λ + 3)x1 + x2 + 2x3 = λ λx1 + (λ − 1)x2 + x3 = 2λ 3(λ + 1)x1 + λx2 + (λ + 3)x3 = 5; (3) ax1 + bx2 + 2x3 = 1 ax1 + (2b − 1)x2 + 3x3 = 1 ax1 + bx2 + (b + 3)x3 = 2b − 1. : (1) bb(a−1)(a+2) 6= 0RG-: x1= a − b (a − 1)(a + 2) , x2= ab + b − 2 b(a − 1)(a + 2) , x3 = a − b (a − 1)(a + 2) ; b a = b = −2 R, G- x1 = x3 = −1 − 2x2; b a = b = 1 R, G- x1 = 1 − x2 − x3; j 3.3 -, L1 B L2 e, 0t&@AB A1x + B1y + C1z = −D1 A2x + B2y + C2z = −D2 A3x + B3y + C3z = −D3 A4x + B4y + C4z = −D4 G,H-, C% rank(A) = rank(A˜) = 3, w A B A˜ yS@ABj]^B ]^. !O ) |A˜| = 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 A2 A3 A4 B1 B2 B3 B4 C1 C2 C3 C4 D1 D2 D3 D4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ A1 B1 C1 −D1 A2 B2 C2 −D2 A3 B3 C3 −D3 A4 B4 C4 −D4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. 3. s4f Aix + Biy + Ciz + Di = 0 (i = 1, 2, 3) -. *j0&12. (1) GHff(; (2) GH1f(.t; · 6 ·
(3)三个平面平行 (4)三个平面构成三棱柱 解:考察非齐次线性方程组 A1a+ Bly+C12=-DI A2I B2y+C22=-D2 (*) A3I+ B3y+C32 它的系数矩阵与增广矩阵分别记为A与A. (1)三个平面有一个公共点←→方程组(*)有唯一解rank(4)=rank(4)=3→|≠0. (2)三个平面有一条公共直线←→方程组(*)有解,而且(*)的导出方程组的基础解系只含一个 量←→rank(A)=rank(4)=2 (3)三个平面平行台→是=鲁=8≠B 1≤i<j≤3 (4)三个平面构成三棱柱÷→方程组(*)无解,而(*)的导出方程组的基础解系含一个向量 台→rank(A)=2,rank(4)=3,而且A中任意两行都不成比例 习题44 1.判别下列哪些映射为线性映射? (1)在向量空间V中,()=a,其中a为固定向量 (2)w:K (x,y)→(-1,2,3) (x1,x2,x3)一→(2x1+x2-x3,-x2+x3,x1+2x2-x3) (x,y,2)→→(x2+y2-2,xy) (5)、(x1+yE2+23)=(x+y)e1+(x-y+2)e2+(y-2)s3,其中1,E2,e3为线性空间V的基 (6)几何空间R2中,男为平面按逆时针方向绕原点旋转45°的变换 解:(1)如a=0,是;如a≠0,不是 (2)不是 (3)是 (4)不是 (5)是 2.对于上题中的线性映射,求出它们在相应基下的矩阵(如未指明基,则取自然基) 解:(1)a=0时为零矩阵 (3)(0 12-1 Cos
(3) 4f ; (4) 4f u*4 . : nHt&@AB A1x + B1y + C1z = −D1 A2x + B2y + C2z = −D2 A3x + B3y + C3z = −D3 (∗) 8j]^B ]^ " A B A˜. (1) 4f GHff( ⇐⇒ @AB (∗) G,H- ⇐⇒ rank(A) = rank(A˜) = 3 ⇐⇒ |A| 6= 0. (2) 4f GH1f(.t ⇐⇒ @AB (∗) G-, %? (∗) %@ABz-j{ Hf ⇐⇒ rank(A) = rank(A˜) = 2. (3) 4f ⇐⇒ Ai Aj = Bi Bj = Ci Cj 6= Di Dj 1 6 i < j 6 3. (4) 4f u*4 ⇐⇒ @AB (∗) ,-, % (∗) %@ABz-j Hf ⇐⇒ rank(A) = 2, rank(A˜) = 3, %? A 7 mU*ej. 4–4 1. | GHF]"t&F]? (1) k pq V , A(ξ) = α, < α "I ; (2) A : K2 −→ K3 (x, y) 7−→ (−1, 2, 3) (3) A : K3 −→ K3 (x1, x2, x3) 7−→ (2x1+x2−x3, −x2+x3, x1+2x2−x3) (4) A : K3 −→ K2 (x, y, z) 7−→ (x 2 + y 2 − z, xy) (5) A(xε1 + yε2 + zε3) = (x + y)ε1 + (x − y + z)ε2 + (y − z)ε3, < ε1, ε2, ε3 "t&pq V z; (6) 'pq R 2 , R " [ R!@ "K 45◦ =J. : (1) α = 0, ; α 6= 0, U. (2) U. (3) . (4) U. (5) . (6) . 2. <yat&F], s%8ke,z ]^ (z-Tz, Jzgz). : (1) α = 0 R"o]^. (3) 2 1 −1 0 −1 1 1 2 −1 . (5) 1 1 0 1 −1 1 0 1 −1 . (6) µ cos 45◦ − sin 45◦ sin 45◦ cos 45◦ ¶ . · 7 ·
3.设为向量空间ⅵ到向量空间v的线性映射,a1,a2,…,an∈Ⅵ1,m(a1)=B1,i=1,2,…,m 证明:如果β1,B2,…,Bm线性无关,则a1,a2,…,am也线性无关 明:设k1a1+ (k1a1+k2a2+…+kmm)=0 k1(a1)+k2(a2)+…+km(m)=0 →k161+k2B2+…+kmBm=0, 由于1,B2,…,Bm线性无关,可得k1=k2=…=km=0,从而a1,a2,…,am线性无关 4.下面图中的(1)-(7)都是图(0)经过整系数矩阵的线性变换而得到的.图(0)中标出了原点O及 基向量m,m.试通过确定基向量在图(1)-(⑦)中的象以及它们关于m,m的坐标(均为整数)以写出相应 线性变换的矩阵 (0) (1) 解(1) 01 10 5.有一个边长为1的立方体的每个表面都贴上了相同的浮雕马的平面图.果告设计师决定采用 第三章$所述的斜二测另替画出它的立体图(如附图).他发假只要对正面的图形作两个线性变换就能
3. A " pqV1 pqV2 t&F], α1, α2, · · · , αm ∈ V1, A(αi) = βi , i = 1, 2, · · · , m. ST: β1, β2, · · · , βm t&,*, J α1, α2, · · · , αm gt&,*. : k1α1 + k2α2 + · · · + kmαm = 0, J A(k1α1 + k2α2 + · · · + kmαm) = 0 ⇒k1A(α1) + k2A(α2) + · · · + kmA(αm) = 0 ⇒k1β1 + k2β2 + · · · + kmβm = 0, NP k1 = k2 = · · · = km = 0, C% α1, α2, · · · , αm t&,*. 4. (1)–(7) m (0) jN+j]^t&=J%P. (0) U%rK O h z η1, η2. rNd z k (1)–(7) #$h8*< η1, η2 WU (K"+) $~%e, t&=J]^. p 0 X X \& Pr p 0 X X \& Pr p 0 X X \& Pr p 0 X X \& Pr uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p !:F z / O η1 η2 (0) p 0 D( ( rP p 0 D( ( rP p 0 D( ( rP p 0 D( ( rP uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p (1) Pr < 0 p Pr < 0 p Pr < 0 p Pr < 0 p uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p (2) 0 p ( ( D Pr 0 p ( ( D Pr 0 p ( ( D Pr 0 p ( ( D Pr uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p (3) 0 p &\X X rP 0 p &\X X rP 0 p &\X X rP 0 p &\X X rP uur@ uur@ uur@ t t p t t p t t p (4) (;`s <;<; @q (;`s <;<; @q (;`s <;<; @q (;`s <;<; @q q q q q q q q q q q q q q q q s s s s s ` ( s s s s s ` ( s s s s s ` ( (5) s ` ( + f k l k l l k l p p p p p h , s ` ( + f k l k l l k l p p p p p h , s ` ( + f k l k l l k l p p p p p h , s ` ( + f k l k l l k l p p p p p h , (`s s s s s (`s s s s s (`s s s s s p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p h , p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p h , p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p h , (6) s ` ( 9 t 0 s ` ( 9 t 0 s ` ( 9 t 0 s ` ( 9 t 0 s s s s s ` ( s s s s s ` ( s s s s s ` ( 0 p t t t t t 0 p t t t t t 0 p t t t t t (7) 4 : (1) µ −1 0 0 1 ¶ . (2) µ 0 −1 1 0 ¶ . (3) µ 1 0 0 −1 ¶ . (4) µ −1 0 0 −1 ¶ . (5) µ 1 −1 1 1 ¶ . (6) µ −1 1 2 −1 ¶ . (7) µ 0 1 −2 −1 ¶ . 5. GHf8;" 1 +@sfm$yreC%&' . (x)* + =4, §8 #S-b.X%8+ (Z ). /01{&r 6/7ft&=Joc · 8 ·
得到顶面和或面的两个图形(为什么?).如向把每个或面的下下角取为原点,用写出顶面和列或面的图 形对应的变则矩阵 解顶面(),列或面(y1 1.在几如空间中取直角标架[Oz,了,k],,石分别表示空间按列手系绕x、、z轴旋极45° 的变则 (1)以坐标的形式写出,,C的表达式 (2)求,,名在基i,j,k下的矩阵 (3)求,,男E,W+劣,4在基i,了,k下的矩阵 (4)证明:==8=E,这里E表示形同映矩 解:(1)(x,y,z) (号2:号 =(+=号x+号 (x,y,2)=(x 010 3)AB 2 12221 A+B
P~:D7f 6 ("/0?). NsfD 5z"K, ~%~: D 6,=J]^. t t t t t t p t t t t t t p uuuuuuP uuuuuuP t t t t t t p Puuuuuu @q q q q q q q q @ 5 : ~: Ã 1 √ 2 4 0 √ 2 4 ! , D: Ã √ 2 4 0 √ 2 4 1 ! . 4–5 1. k'pqz.5UV[O; −→i , −→j , −→k ]. A, B, C pq[ 2j"x y z E 45◦ =J. (1) $WU6)~% A, B, C P); (2) s A, B, C kz −→i , −→j , −→k ]^; (3) s AB, BA, ABC , A + B, A 4B4 kz −→i , −→j , −→k ]^; (4) ST: A 8 = B8 = C 8 = E, w E 6CF]. : (1) A(x, y, z) = µ x, √ 2 2 y − √ 2 2 z, √ 2 2 y + √ 2 2 z ¶ , B(x, y, z) = µ √ 2 2 x + √ 2 2 z, y, − √ 2 2 x + √ 2 2 z ¶ , C (x, y, z) = µ √ 2 2 x − √ 2 2 y, √ 2 2 x + √ 2 2 y, z¶ . (2) A = 1 0 0 0 √ 2 2 − √ 2 2 0 √ 2 2 √ 2 2 , B = √ 2 2 0 √ 2 2 0 1 0 − √ 2 2 0 √ 2 2 , C = √ 2 2 − √ 2 2 0 √ 2 2 √ 2 2 0 0 0 1 . (3) AB = √ 2 2 0 √ 2 2 1 2 √ 2 2 − 1 2 − 1 2 √ 2 2 1 2 , BA = √ 2 2 1 2 1 2 0 √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 1 2 1 2 , ABC = 1 2 − 1 2 √ 2 2 1 2 + √ 2 4 1 2 − √ 2 4 − 1 2 1 2 − √ 2 4 1 2 + √ 2 4 1 2 , A + B = 1 + √ 2 2 0 √ 2 2 0 1 + √ 2 2 − √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 √ 2 , · 9 ·
100 (4)略 2.计算下列矩阵的运算: 113bc 120 (2)A=b a. B 求AB,AB-BA,(A-B)2 470 34-2 608 解:(1)AB=441|,AB-BA=25-2,(A+B)2=184 ac+ba +cb ac+ba +cb a2+62+c2 (2)AB= ac+ba+cb a2+b2+eac+ba+cb ba +cb ac+ ba+cb (b-c)(a-b)-(a-c)(a-b)(a-b) AB-BA (a-c)(a-b)(a-b)2(b-c)(a-b) (b-c)(a-b)-(a-c)(a-b) (A+B)2 (a-b)(a+b-2c)0(a-b)(a+b-2c) c)0(b-c)( 3.计算 11 (8)(AEn+A),A= 11 解:(1)8 898 (5)(a2+b2+c2)
A4B4 = −1 0 0 0 −1 0 0 0 1 . (4) i. 2. xg ]^3g: (1) A = 1 1 3 2 1 2 2 3 1 , B = 1 −1 1 0 2 −1 1 2 0 ; (2) A = a b c b c a c a b , B = c b a a c b b a c ; s AB, AB − BA, (A − B) 2 . : (1) AB = 4 7 0 4 4 1 3 6 −1 , AB − BA = 3 4 −2 2 5 −2 −2 3 −8 , (A + B) 2 = 6 0 8 1 8 4 3 2 6 . (2) AB = ac + ba + cb ac + ba + cb a2 + b 2 + c 2 ac + ba + cb a2 + b 2 + c 2 ac + ba + cb a 2 + b 2 + c 2 ac + ba + cb ac + ba + cb , AB − BA = (b − c)(a − b) −(a − c)(a − b) (a − b) 2 −(a − c)(a − b) (a − b) 2 (b − c)(a − b) (a − b) 2 (b − c)(a − b) −(a − c)(a − b) , (A + B) 2 = (a − c)(a + b − 2c) 0 −(a − c)(a + b − 2c) −(a − b)(a + b − 2c) 0 (a − b)(a + b − 2c) −(b − c)(a + b − 2c) 0 (b − c)(a + b − 2c) . 3. xg: (1) 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ; (2) 1 −1 1 0 1 −1 −1 0 1 3 ; (3) µ 0 1 1 1 ¶5 ; (4) µ cos θ − sin θ sin θ cos θ ¶n ; (5) ( a b c ) a b c ; (6) a b c ( a b c ); (7) λ 1 0 0 λ 1 0 0 λ n ; (8) (λEn + A) n, A = 1 1 · · · 1 1 1 · · · 1 . . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 . : (1) 9 8 8 8 9 8 8 8 9 . (2) −3 −2 5 3 0 −2 −2 3 −3 . (3) µ 3 5 5 8 ¶ . (4) µ cos nθ − sin nθ sin nθ cos nθ ¶ . (5) (a 2 + b 2 + c 2 ). · 10 ·