第三章幂级数展开(6) 基本要求: 1.理解复数项级数概念; 2.了解幂级数的敛散性的判别法及收敛半径的计算方法; 3.会对一些简单的解析函数进行泰勒级数展开; 4.了解解析延拓的含义*; 5.会对一些简单的函数在孤立奇点邻域内进行罗朗级数展开; 6.熟悉孤立奇点的三种类型,了解极点的阶; 教学内容: §3.1.复数项级数,复数项无穷级数,收敛性,科西判据,绝对收敛, 一致收敛。 §3.2.幂级数、幂级数的概念,比值判别法,根值判别法,收敛圆, 收敛半径,幂级数的性质。 §3.3.泰勒级数。泰勒级数的系数计算公式。 §3.4.解析延拓*。解析延拓的基本思想。 §3.5.罗朗级数。广义幂级数,收敛环,罗朗展开。 §3.6.奇点分类。罗朗级数的解吸部分主要部分,留数,极点,极 点的阶,单极点,本性极点,无穷远点为奇点的情况(支点不作 要求)。 本章重点: 幂级数,比值判别法,泰勒级数,罗朗级数、收敛圆,收敛环,函数 按幂级教展开技巧。 习题 §3.2.(第46页):1,3(1)(3)(5),4(1)(3) §3.3.(第52页):(1)(3)(6)(8) §3.5.(第60页):(1)(3)(5)(7)(9)(11)(14) §3.6.(第64页):(1)(2)(3) 16
!"#$%&'( !)* +, "-./01234#$56'( 78./01 9:;1 ? @ =AB==CDE=F = GH @ I =JK=LK=M= = NH @ %&H%& OPQH @ !)*H!)* RSTUH @ 56HV, =W=56'(H @ 01X;H56 YZXI[\ZX=]=>1=> 1 ?= >1=S>1=AB^1_01 `aHbc1de \fgH =JK=%&=56IM=W=" h i'(jkH @ bl mgn=bgbgbg=bgbgH @ bl mgnbgbgbgb gH @ bl mgnbgbgbgb gb gbgbgH @ bl mgnbgbgbgH
、复级数 1、复数项级数 形式:∑=1 通项:u为复数 部分和:sn=∑u1 和:s=1ir 余项:rn=S-sn=un1+un2+ 收敛:s存在 Ve>0,a N(a), s. t. n>N(e)=>s-snK 绝对收敛 定义:s=∑1|u收敛 性质:绝对收敛=>收敛 收敛性判别法 级数 ∑;=1U 比值法 1im→|ux/u p(1,绝对收敛 p=1,不确定 1,发散 根值法 li p(1,绝对收敛 p=1,不确定; )>1,发散 例:判断几何级数的敛散性 -o ao q 解 1.比值法 p=间q q1,发散。 2.根值法 p=glim→a0=间q
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q1,发散 2、复函项级数 形式:∑{=1u(z) 通项:u( 部分和函数:sn(z)=∑="u(z) 和函数:s(z)=1imsa(z) 收敛域:{zs(z)存在} 定义:VE>0,彐N(E,z),s.t.nN(E,z)→|s(z)-sn(z)0,彐N(),s.t.nN(E)→|s(z)-sn(z)|ε 性质 各项连续→和连续,和的积分=各项积分之和; 各项可导→和可导,和的导数=各项导数之和 幂级数和泰勒展开 1、幂级数 形式 s(z)=∑k=0a(z-b) 收敛域: R=lima/a p= lim ak+(z-b)*+/ak(z-b)1=1Z-b1/R z-b|R→p》1,发散, 致收敛性: s(z)dz=k-0「a(z-b) s'(z)=Ekso [a(z-b)] 2、泰勒展开 2.1问题 幂级数是其收敛圆内的解析函数,反之如何? 2.2泰勒定理: 个在圆|z-b=R内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 该幂级数在圆|z-b|=R内收敛 以b为中心的展开式是唯一的 系数ak=f(b)/n! 应用柯西积分公式,系数也可以表示为
5&'6 578(6 59:; 0 C 0 C DEF$ G () F !"!# F $ F F $% HI* () !"!# $ F F $% *+ JKL KL5 AM JM N 6 JOP OP5 AP JPN !"#$%&' ()*+, -" #%&$' ./012 3 4 -" # /5267$018 9$ : ;?@A8: B./CD2
f"(b) f() n+;d5 2.3展开方法 基本方法(用定理) f(z)=Ek=o ak(z-b), an=fin (b)/n 例1 题目 在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开 解答: f(z)= exp(z) (z)=exp(z) ()(0)=1 1/ 该幂级数在圆|2|<∞内收敛 例2 题目 在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。 解答 f(z)=1/(1-z) f”(z)=1/(1 f(z)=2/(1-2)3 (n) n+1 an= 1 该幂级数在圆|z|<1内收敛 2.4发散方法(用性质) 线性组合的展开=展开之线性组合 和函数的积分=各项积分之和 和函数的导数=各项导数之和; 例3: 题目 在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。 解答:
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cosh(z)= Lexp(z)texp(-x)J/2 xp(z)=∑k=0z/k! exp(-z)=∑k=0(-z)/k! cosh(z)=∑k=0[/k!+(-z)/k!]/2 /(2k)! 该幂级数在圆|z|R′=1/R 2、双边幂级数 形式 s(z)=∑k==ak(z-b) 分析 双边幂级数=正幂级数+负幂级数 收敛域: R<z-b<R
GHIJ K!"# L!"# 2" M10 !"# !"# 2 GHIJ K '()*+ ,-./ 6 N3 2 $ %& N3 2 2O 2 P 2 N3 2 2O P 2 Q 2 $ %& 2 K 2 M 2
3、罗朗展开 问题: 个双边幂级数是其收敛环内的解析函数,反之如何? 罗朗定理 个在环R10的区域上把f(z)=osh(z)/z展开。 解答: cosh()=2k=0 Z/(2k)! cosh(z)/z=2k=o Z /(2K) 题目 在|z|>0的区域上把f(z)=exp(1/z)展开。 解答 exp(t)=∑k=0t/k! exp(1/z)=∑k=0zk! 例3: 题目 以b=0为中心把f(z)=1/[z(z-1)]展开 分析 因为f(z)有两个单极点z=0和z=1, 所以它以b=0为中心的解析环有两个 0(|z<1和1<|z|<∞,需要分别展开 解答: 在环域0<|z|<1中 f(z)=1/[z(z-1)]=-1/[z(1-z)]=-1/z∑k=0z k-1
!" #$%&'()*+,- ./01 2# $&%' 34567 8 92# $ : ; # 7 ./56?@ @ A 2BC%D EF8GHIJKGH 56L &M IJKGH IJKGH @N A 2BC%D EF8GHOPQG H56L &M OPQG H OPQG H @R A 4C7<SF8GH TG HU56L V78GHWX YZ[C\ ] ^4_4C7<S%&#WX C \ `(abc56 &M 2# C < 8GH TG HU TG HU
在环域1<|z|<∞中 f(z)=1/[z(z-1)]=1/[z2(1-2)]=1/z2k=0zk =∑k=0zk2 四、孤立奇点 1、奇点: 定义:函数的非解析点 举例:csc(z)在z=nπ,csc(1/z)在z=0,1/nπ; 判断:初等函数在其定义域内解析 2、孤立奇点 定义:存在解析邻域的奇点; 举例:csc(z)在z=n为孤立奇点, csc(1/z)在z=0为非孤立奇点 特点:本身无定义,对周围有影响 判断:只有有限个奇点的函数不存在非孤立奇点 3、分类 原则 根据函数趋向于孤立奇点时的极限行为的不同来分类; 分类 极限为有限值,称为可去奇点,例如sinz/z 极限为(n阶)无穷大,称为(n阶)极点,例如1/z 极限不存在,称为本性奇点,例如exp(1/z) 性质 奇点 邻域罗朗展开式 可去奇点 无负幂项 (n阶)极点:有限个负幂项,(最高为n次); 本性奇点: 无限多个负幂项
2# `< 8GH TG HU T G HU 0d'%e&[: ?@ 2 ! 2 ( : fghi'2"0d $&: 0dj2&k %l[: ?@ 2 7mnl[! 2 7emnl[: o[pqr0d(stuWvw: fgxWWy l[%'zj2emnl[: {| }~'mnl[%Zy7%z; : Zy7Wy(73l[(@+ : Zy7 r(7 Z[(@+ : Zyzj2(7pl[(@+ "#$ : l[ k ./56 3l[ r : Z[ Wy ( 7 : pl[ ry :
本章小结 双边幂级数 形式:s(z)=2k=ak(z-b) 性质:在环域内一致收敛 罗朗展开 条件:在环R1<|z-b|<R2内解析的函数f(z) 定理:可以展开为双边幂级数 f(z)=2k=oo ak (Z-b) 孤立奇点 可去奇点:极限有限,邻域展开式无负幂项 (n阶)极点:极限无穷,邻域展开式有有限个负幂项; 本性奇点:极限不存在,邻域展开式有无限多个负幂项
2# $ ./56 2# $&%' 0134567 8 mnl[ 3l[ZyWy( k 56r : Z[Zyr( k 56WWy : pl[Zyzj2(k 56Wry L