数学物理方法 幂级数展开
数学物理方法 幂级数展开
幂级数展开 复级数 ■幂级数和泰勒展开 ■双边幂级数和罗朗展开 ■孤立奇点 ■本章小结
幂级数展开 ◼ 复级数 ◼ 幂级数和泰勒展开 ◼ 双边幂级数和罗朗展开 ◼ 孤立奇点 ◼ 本章小结
复级数 ■复数项级数 ■形式 i=1 ■通项:u;为复数 ■部分和:Sn=nu 和:s=1ims ■余项: u ■收敛:存在 >0,N(),s.t.n>N()=>|s-sn| ■绝对收敛 定义:s u;|收敛 性质:绝对收敛=>收敛
复级数 ◼ 复数项级数 ◼ 形式： i=1 ui ◼ 通项：ui 为复数 ◼ 部分和：sn = n ui ◼ 和：s = lim sn ◼ 余项：rn = s - sn = un+1 + un+2 + … ◼ 收敛：s 存在 • >0, N( ), s.t. n>N( ) => |s-sn|收敛
复级数 ■收敛性判别法 例 ■级数 判断几何级数的敛散性 0 a 0 乙i=1 ■比值法 解: 1.比值法 m 1,发散 q|>1,发散 ■根值法 2.根值法 1/k qlm a llk <1,绝对收敛; 1,不确定 q|<1,绝对收敛 1,发散。 q|=1,不确定 1,发散
复级数 ◼ 收敛性判别法 ◼ 级数 • ∑i=1 ui ◼ 比值法 • = limk |uk+1/uk| • 1，发散。 ◼ 根值法 • = limk |uk| 1/k • 1，发散。 ◼ 例： • 判断几何级数的敛散性 ∑n=0 a0 qn ◼ 解： • 1.比值法 • = |q| • |q|1，发散。 • 2.根值法 • =|q|limk |a0| 1/k = |q| • |q|1，发散
复级数 ■复函项级数 ■形式:∑=1u(z) ■通项:u(z) ■部分和函数:sn(z)=∑11u;(z) 和函数:s(z)=1imsn(z) 收敛域:{z|s(z)存在 定义 0,N(,z),s.t.n>N(,z) (z)|N() S(Z s(z) 性质: 各项连续和连续,和的积分=各项积分之和; 各项可导和可导,和的导数=各项导数之和
复级数 ◼ 复函项级数 ◼ 形式：∑i=1 ui (z) ◼ 通项：ui (z) ◼ 部分和函数：sn (z) = ∑i=1 n ui (z) ◼ 和函数：s(z) = lim sn (z) ◼ 收敛域：{ z|s(z)存在 } • 定义： >0, N( ,z), s.t. n>N( ,z) |s(z)- sn(z)|0, N( ),, s.t. n>N( ) |s(z)- sn(z)|< • 性质： • 各项连续 和连续，和的积分=各项积分之和； • 各项可导 和可导，和的导数=各项导数之和
幂级数和泰勒展开 ■幂级数 形式 k=0 ak(z-b)k 收敛域: limk ak/ap lim a k+1 (z-b)+1/ak(z-b)1=lz-bI/R Z-bR 1,发散。 致收敛性 s(zdz k=0 (z-b)kdz o[ak(z-b)]
幂级数和泰勒展开 ◼ 幂级数 ◼ 形式： • s(z) = ∑k=0 ak (z-b)k ◼ 收敛域： • R = limk |ak/ak+1| • = limk |ak+1(z-b)k+1 /ak (z-b)k|=|z-b|/R • |z-b|R >1，发散。 ◼ 一致收敛性： • s(z)dz = k=0 ak (z-b)k dz • s’(z) = k=0 [ak (z-b)k]’
幂级数和泰勒展开 ■泰勒展开 ■问题 个幂级数是其收敛圆内的解析函数,反之如何? 泰勒定理: 个在圆|z-b=R内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(2z)=∑k=0a(z-b)k 该幂级数在圆|z-b=R内收敛; 以b为中心的展开式是唯一的 系数ak=fo(b)/n! 应用柯西积分公式,系数也可以表示为 (b) f(5) 2i(5-b)%s
幂级数和泰勒展开 ◼ 泰勒展开 ◼ 问题： • 一个幂级数是其收敛圆内的解析函数，反之如何？ ◼ 泰勒定理： • 一个在圆|z-b|=R 内解析的函数f(z)可以展开为幂级数 f(z) = ∑k=0 ak (z-b)k • 该幂级数在圆|z-b|=R内收敛； • 以b为中心的展开式是唯一的； • 系数 ak=f(n)(b)/n! • 应用柯西积分公式，系数也可以表示为 d b f i f b n a L n n n + − = = 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 ( ) ! 1
幂级数和泰勒展开 ■展开方法 ■基本方法(用定理) f(z)=Ek=oak(z-b)k, an=f(n)(b)/n 例1 题目 在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。 解答 f exp(z (n)(z)= exp(z) f(n)(0)=1 1/r k=0 Z /k! 该幂级数在圆|z|<内收敛
幂级数和泰勒展开 ◼ 展开方法 ◼ 基本方法（用定理） • f(z) = ∑k=0 ak (z-b)k ， an=f(n)(b) /n! ◼ 例1： • 题目： • 在b=0的邻域上把f(z)=exp(z)展开。 • 解答： • f(z) = exp(z) • f (n)(z) = exp(z) • f (n)(0) = 1 • an= 1/n! • f(z) = ∑k=0 z k/k! • 该幂级数在圆|z|< 内收敛；
幂级数和泰勒展开 ■例2: 题目: 在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-2)展开 解答 f(z)=1/(1-z) (z)=1/(1-z)2 f”(z)=2/(1-z)3 fn)(z)=n!/(1 -z)n+1 f(n)(0) a= 1 f(z)=∑ k=0 该幂级数在圆|z|<1内收敛;
幂级数和泰勒展开 ◼ 例2： • 题目： • 在b=0的邻域上把f(z)=1/(1-z)展开。 • 解答： • f(z) = 1/(1-z) • f’(z) = 1/(1-z)2 • f”(z) = 2/(1-z)3 • f (n)(z) = n!/(1-z)n+1 • f (n)(0) = n! • an= 1 • f(z) = ∑k=0 z k • 该幂级数在圆|z|<1内收敛；
幂级数和泰勒展开 ■发散方法(用性质) 线性组合的展开=展开之线性组合 和函数的积分=各项积分之和; 和函数的导数=各项导数之和; ■例3: 题目 在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开 解答 cosh(z)= lexp(z)texp(x)]/2 exp(z)=∑k=0z/k! exp(-z)= Ek=o (-z)/k cosh(z)=Ek=o [zk/k!+(-z)/k!]/2 =∑k=0zk/(2k) °该幂级数在圆|z|<内收敛
幂级数和泰勒展开 ◼ 发散方法（用性质） • 线性组合的展开 = 展开之线性组合。 • 和函数的积分 = 各项积分之和； • 和函数的导数 = 各项导数之和； ◼ 例3： • 题目： • 在b=0的邻域上把f(z)=cosh(z)展开。 • 解答： • cosh(z) = [exp(z)+exp(-x)]/2 • exp(z) = ∑k=0 z k/k! • exp(-z) = ∑k=0 (-z)k/k! • cosh(z) = ∑k=0 [z k/k!+ (-z)k/k!]/2 = ∑k=0 z 2k/(2k)! • 该幂级数在圆|z|< 内收敛；