《数学物理方法》课程教学资源（PPT课件）第七章 数学物理定解问题

数学物理方法 第七章 数学物理定解问题

数学物理方法 第七章 数学物理定解问题

数学物理定解问题 数学物理方程的导出 数学物理方程的分类 ■定解条件 ■达朗贝尔公式 ■本章小结

数学物理定解问题 ◼ 数学物理方程的导出 ◼ 数学物理方程的分类 ◼ 定解条件 ◼ 达朗贝尔公式 ◼ 本章小结

数学物理方程的导出 ■输运方程 维热传导方程 推广 ■波动方程 ■均匀弦的微小横振动方程 推广 ■稳定场方程

数学物理方程的导出 ◼ 输运方程 ◼ 一维热传导方程 ◼ 推广 ◼ 波动方程 ◼ 均匀弦的微小横振动方程 ◼ 推广 ◼ 稳定场方程

输运方程 维热传导 由能量守恒定律 问题:一根长为L的均匀导热细杆, candu=dQ 侧面绝热,内部无热源。其热传 [a x, t)-q x+dx, t]dt 导系数为k,比热为C,线密度为=qx(X,t)dxdt ρ。求杆内温度变化的规律。 于是有 分析:设杆长方向为x轴,考虑杆cput=-qx 上从X到x+dx的一段(代表),其由热传导定律 质量为dm=pdx,热容量为 q x, t=k ux(x, t) cdm。设杆中的热流沿x轴正向 代入前面的式子,得到 强度为q(X),温度分布为 c pu k u(X,t),则 XX g (x, t) g(x+dx, t) 又x十dx

输运方程 ◼ 一维热传导 ◼ 问题：一根长为L的均匀导热细杆， 侧面绝热，内部无热源。其热传 导系数为k，比热为c，线密度为 ρ。求杆内温度变化的规律。 ◼ 分析：设杆长方向为x轴，考虑杆 上从x到x+dx的一段(代表)，其 质量为dm= ρdx，热容量为 cdm。设杆中的热流沿x轴正向， 强度为q(x,t)，温度分布为 u(x,t)，则 由能量守恒定律 cdmdu=dQ =[q(x,t)-q(x+dx,t)]dt =-qx(x,t)dxdt 于是有 c ρut = -qx 由热传导定律 q(x,t) = -k ux(x,t) 代入前面的式子，得到 c ρut = k uxx ut = a2 uxx

输运方程 ■推广1 情况:内部有热源(或侧面不绝热) ■分析:设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为 F(Xt),代表段的吸热为 Dadt 方程:cput=kux+F ut=a2 Uxx+ f, f=F/cp) ■推广2 ■情况:细杆不均匀 分析:热传导系数k,比热C或线密度p为X的函数 ■方程: du c(x)()ut ax [k(x)

输运方程 ◼ 推广1 ◼ 情况：内部有热源(或侧面不绝热) ◼ 分析：设热源强度(单位时间在单位长度中产生的热量)为 F(x,t)，代表段的吸热为Fdxdt ◼ 方程：c ρut = k uxx+ F ◼ ut = a2 uxx+ f，f=F/(c ρ) ◼ 推广2 ◼ 情况：细杆不均匀 ◼ 分析：热传导系数k，比热c 或线密度ρ为x的函数 ◼ 方程： ( ) ( ) [ ( ) ] x u k x x c x x ut      =

输运方程 推广3 情况:扩散问题 分析:浓度→温度u,扩散系数D→热传导系数k,质量守 恒→能量守恒,扩散定律→热传导定律 方程 Du+F ut a uxxt 推广4 ■情况:三维情况 分析:温度u成为空间变量Xy,z和时间t的函数 方程: cl1(x,y,2,D)=k(lx+1y+2) l1(F,D)=k△→v1(F,D △

输运方程 ◼ 推广3 ◼ 情况：扩散问题 ◼ 分析：浓度→温度u，扩散系数D→热传导系数k，质量守 恒→能量守恒，扩散定律→热传导定律 ◼ 方程：ut = D uxx+ F ◼ ut = a2 uxx+ F ◼ 推广4 ◼ 情况：三维情况 ◼ 分析：温度u成为空间变量x,y,z和时间t的函数 ◼ 方程： ( , , ) ( ) t uxx uyy uzz cu x y z，t = k + + c ut r t = ku ut r t = a u 2 ( , ) ( , )   

波动方程 ■均匀弦的微小横振动 由牛顿第二定律 问题 根长为的均匀弹性弦,不dmut= T2sina2-T1 sina1 计重力,不受外力。其张力为T,线0=T2C0sa2-T1coso 密度为p。求弦的微小横振动的规律。微振动条件 COSa, cosg= 1 分析:设弦平衡时沿x轴,考虑弦上 从x到X+dx的一段(代表),其质量为 sinai= tand,= ux(x, t) sina 2= tana,=ux(X+dx, t) dm=pdx。设弦的横振动位移为于是有 u(x D=T1=T dmut=T[ux(x+dx, t)-ux(x, t T2 化简后得到 putt = T uxx as u XX tdx

波动方程 ◼ 均匀弦的微小横振动 ◼ 问题：一根长为L的均匀弹性弦，不 计重力，不受外力。其张力为T，线 密度为ρ。求弦的微小横振动的规律。 ◼ 分析：设弦平衡时沿x轴，考虑弦上 从x到x+dx的一段(代表)，其质量为 dm= ρdx。设弦的横振动位移为 u(x,t)，则 由牛顿第二定律 dmutt=T2sinα2- T1sinα1 0 = T2 cosα2- T1 cosα1 微振动条件 cosα1 = cosα2= 1 sinα1 = tanα1 = ux(x,t) sinα2= tanα2 = ux(x+dx,t) 于是有 T2 =T1 =T dmutt=T[ux(x+dx,t)- ux(x,t)] 化简后得到 ρutt = T uxx utt = a2 uxx

波动方程 ■推广1 情况:考虑重力或外力 分析:设单位长度所受到的横向外力F(,t),代表段的受 力为Fdx 方程:put=Tux+F a2 uxx t f, f=f/p ■推广2 ■情况:弦的密度不均匀或受到纵向与x有关的力 分析:线密度ρ或张力T为x的函数 ■方程: 0(x)u1x=[T(x)

波动方程 ◼ 推广1 ◼ 情况：考虑重力或外力 ◼ 分析：设单位长度所受到的横向外力F(x,t)，代表段的受 力为Fdx ◼ 方程：ρutt = T uxx+ F ◼ utt = a2 uxx+ f，f = F/ρ ◼ 推广2 ◼ 情况：弦的密度不均匀或受到纵向与x有关的力 ◼ 分析：线密度ρ或张力T为x的函数 ◼ 方程： ( ) [ ( ) ] x u T x x x utt      =

波动方程 ■推广3 情况:均匀杆的纵振动问题 分析:张力T变成杨氏模量Y 方程:ρut=Yux+F u a2+ f ■推广4 ■情况:三维情况 分析:位移u成为空间变量Xy,z和时间t的函数 方程: Pun(x,y,2,t=T(uxx +uyy+u22) n(F21)=A→l1(F,t)=a2△a

波动方程 ◼ 推广3 ◼ 情况：均匀杆的纵振动问题 ◼ 分析：张力T变成杨氏模量Y ◼ 方程： ρutt = Y uxx+ F ◼ utt = a2 uxx+ f ◼ 推广4 ◼ 情况：三维情况 ◼ 分析：位移u成为空间变量x,y,z和时间t的函数 ◼ 方程： ( , , ) ( ) tt T uxx uyy uzz u x y z，t = + + utt r t =Tu utt r t = a u 2 ( , ) ( , )   

稳定场方程 ■概念 生 在演化问题中,有时会到达一个不随时间变化的稳定状态,对 应的方程称为稳定场方程。 ■形式 在对应的演化方程中取消时间变量t,对t的导数为零 分类 无外界作用情况 拉普拉斯方程:Au=utt+u+uz=0 ■有外界作用情况 泊松方程:△u=ut+u+Uz2=f(Xy2) ■典型应用 静电场方程:△u=-p/E ■稳定温度分布:△u=-F/k

稳定场方程 ◼ 概念 ◼ 产生： • 在演化问题中，有时会到达一个不随时间变化的稳定状态，对 应的方程称为稳定场方程。 ◼ 形式： • 在对应的演化方程中取消时间变量t，对t的导数为零。 ◼ 分类 ◼ 无外界作用情况 • 拉普拉斯方程： Δu = utt + uyy + uzz = 0 ◼ 有外界作用情况 • 泊松方程：Δu = utt + uyy + uzz = f(x,y,z) ◼ 典型应用 ◼ 静电场方程： Δu = -ρ/ε ◼ 稳定温度分布： Δu = - F/k