数学物理方法 复变函数论
数学物理方法 复变函数论
复变函数论 复数 复变函数 导数 ■解析函数 ■本章小结
复变函数论 ◼ 复数 ◼ 复变函数 ◼ 导数 ◼ 解析函数 ◼ 本章小结
复数 ■数的扩张(完善化) 自然数 ■减法不封闭→整数 ■除法不封闭→有理数 不完备√2→实数 ■方程可解性→复数
复数 ◼ 数的扩张（完善化） ◼ 自然数 ◼ 减法不封闭→整数 ◼ 除法不封闭→有理数 ◼ 不完备√2 →实数 ◼ 方程可解性→复数
复数 ■复数的表示 代数表示 Z=X+ Iy X= Real(z),y =Imagine (z) ■三角表示 .z=r(COS i sinc) L, Arg(z) ■指数表示 .z=r exp(ip) exp(i)= CoS( i sing
复数 ◼ 复数的表示 ◼ 代数表示 • z = x + iy • x = Real(z), y = Imagine(z) ◼ 三角表示 • z = r (cosφ + i sinφ) • r = |z|, φ= Arg(z) ◼ 指数表示 • z = r exp(iφ) • exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数 ■几何表示 ■关系 X=rcosφ y=rsnφ v(x2+y2) (P= Arctan(y/x) 特点 无序性 复数无大小 矢量性 复数有方向
复数 ◼ 几何表示 ◼ 关系 • x = r cosφ • y = r sinφ • r = √(x2+y2) • φ= Arctan(y/x) ◼ 特点 ◼ 无序性 • 复数无大小 ◼ 矢量性 • 复数有方向
复数 运算 ■加减法 (×1+iy1)±(x2+iy2)=(X1±x2)+i(y1+y2) ■乘除法 rexp(i(p1)×r2exp(iφ2)=r1r2exp[i(q1+q2) 幂和开方 [r exp ipin= rn exp(inp) [r exp(icp)li/n ri/n exp(icp n) 复共轭 Z=X+ z = r exp(icp)+Z* r exp -icp)
复数 ◼ 运算 ◼ 加减法 • (x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2) ◼ 乘除法 • r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1 r2 exp[i(φ1+φ2)] ◼ 幂和开方 • [r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) • [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n) ◼ 复共轭 • z = x + iy → z* = x – iy • z = r exp(iφ) → z* = r exp(-iφ)
复变函数 ■概念 ■定义 函数:从一个数域(定义域)到另一个数域(值域)的映射 实变函数:f:x→y 复变函数:f:z→W ■举例 (n)=fn=(1+)n,n∈N exp (z f(z=In(z)
复变函数 ◼ 概念 ◼ 定义 • 函数：从一个数域(定义域）到另一个数域（值域）的映射 • 实变函数：f:x→y • 复变函数：f:z→w ◼ 举例 • f(n) = fn = (1+i)n, n∈N • f(z) = zn • f(z) = exp(z) • f(z) = ln(z)
复变函数 ■更多的例子 W=az2 W= az2 bz +c w=1/az+ b ·W=(az+b) W= Ln(az b) SIn Z W= Arccos z W=Σ an sin(nz) W=∏(1-z7/n22) .w=exp(-z2)dz
复变函数 ◼ 更多的例子 • w = az2 • w = az2 + bz +c • w = 1/(az + b) • w = √(az + b) • w = Ln(az + b) • w = sin z • w = Arccos z • w = ∑ an z n • w = ∑ an sin(nωz) • w = ∏(1-z 2/n2 2) • w = ∫exp(-z 2)dz
复变函数的分类 复变函数 复变函数(广义) 复数数列 复变函数(狭义) 初等函数 非初等函数 代数函数 超越函数 无限次运算无限次复合 有理函数无理函数 级数 无穷乘积 整式 分式 幂级数傅立叶级数
复变函数 复变函数的分类 复数数列 整 式 分 式 有理函数 无理函数 代数函数 超越函数 初等函数 幂级数 傅立叶级数 级 数 无穷乘积 无限次运算 无限次复合 非初等函数 复变函数（狭义） 复变函数（广义）
复变函数 ■分析与比较 定义域和值域 相同点: 都是数集 不同点: 实数集是一维的,可以在(直)线上表示; 复数集是二维的,必须在(平)面上表示。 典型例子: X|<2是连通的,1<|X是不连通的 z|<2是单连通的,1<|z|是复连通的
复变函数 ◼ 分析与比较 ◼ 定义域和值域 • 相同点： • 都是数集 • 不同点： • 实数集是一维的，可以在(直)线上表示； • 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。 • 典型例子： • |x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； • |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的