数学物理方法 柱函数
数学物理方法 柱函数
柱函数 ■柱函数的基本性质 ■贝塞尔方程本征值问题 ■转动对称柱面问题 ■一般柱面问题 ■本章小结
柱函数 ◼ 柱函数的基本性质 ◼ 贝塞尔方程本征值问题 ◼ 转动对称柱面问题 ◼ 一般柱面问题 ◼ 本章小结
柱函数的基本性质 m阶柱函数 ■定义: 贝塞尔方程x2y+xy+(x2-m2)y=0的特解 分类: m阶贝塞尔函数Jm()∑ x 2k+m 从=0k!r(k+m+1 m阶诺伊曼函数Nn(x)2=-2(+)cosm-m(x) sInn m阶汉克尔函数Hn(x)=Jn(x)±iNn(x)
柱函数的基本性质 ◼ m 阶柱函数 ◼ 定义： – 分类： • m 阶贝塞尔函数 • m 阶诺伊曼函数 • m 阶汉克尔函数 贝塞尔方程x 2 y"+xy'+(x 2 −m 2 )y = 0的特解 ( ) = + + + − = 0 2 2 ! ( 1) ( 1) ( ) k k m x k m k k m J x mx J x mx J x N x m m m sin ( )cos ( ) ( ) − − = Hm(x) = J m(x) i Nm(x)
柱函数的基本性质 ■柱函数的图象 贝塞尔函数 ■诺伊曼函数 ■柱函数的性质 ■对称性 对整数阶柱函数有Zm(-x)=(-1)mzm(X) 渐近性质 零点分布 ■递推公式
柱函数的基本性质 ◼ 柱函数的图象 ◼ 贝塞尔函数 ◼ 诺伊曼函数 ◼ 柱函数的性质 ◼ 对称性 • 对整数阶柱函数有 Zm(-x) =(-1)m Zm(x) ◼ 渐近性质 ◼ 零点分布 ◼ 递推公式
贝塞尔函数的图象 .8 0.2 6 0.2
贝塞尔函数的图象
诺伊曼函数的图象 0.5 0.5
诺伊曼函数的图象
柱函数的渐近性质 ⅹ→0时的行为: x)→ Jmo(x)→m() N(x)→2h号,Nm>0(x)→-(2) →∞时的行为: Jn(x)→/2 coS(X Dmt-T m(x)→ Smn(x-m丌-丌 丌X Hm(x)→>2e[(x Hn(x)→2cp-1x-号mz一4z
柱函数的渐近性质 x → 0 时的行为： m x m m x x m m m N x N x J x J x ( ) ln , ( ) ( ) ( ) 1, ( ) ( ) ( 1)! 2 2 0 2 0 ! 2 1 0 0 − → → − → → x → ∞ 时的行为： ( ) exp[ ( )] ( ) exp[ ( )]; ( ) sin( ); ( ) cos( ); 4 1 2 2 1 4 1 2 2 1 4 1 2 2 1 4 1 2 2 1 → − − − → − − → − − → − − − + H x i x m H x i x m N x x m J x x m m x m x m x m x
柱函数的委点分布 由图象: m阶贝塞尔函数有无限多个正零点 0<x (m) <x (m)<xn+1 (m) 2 第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加 0<X1 0∠x<x(2)<…Mx 1) 2 (m+1) 相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现 (m xm)<x(m+1)∠1) 2 ■由渐近公式,在ⅹ较大时 cOs(x-mx-4x)=0→x-是mz-4 丌=(n-)元 xn(nt2m-I
柱函数的零点分布 ◼ 由渐近公式，在 x 较大时 由图象： m 阶贝塞尔函数有无限多个正零点 0 x1 (m) x2 (m) x3 (m) xn (m) xn (m +1 ) ( ) cos( ) 0 ( ) 4 1 2 ( ) 1 2 1 4 1 2 1 4 1 2 1 + − − − = − − = − x n m x m x m n m n 相邻阶贝塞尔函数的正零点交替出现 0 x1 (0) x1 (1) x1 (2) x1 (m) x1 (m+1) 第一个正零点的大小随着贝塞尔函数的阶数增加 0 x1 (m) x1 (m+1) x2 (m) x2 (m+1) x3 (m)
柱函数的递推公式 基本递推么式 [x"Zm(x)=-x-"2m+1(x) ExAm(x) h +xZm(x h 推论 Z-mZ…/x=-Z h Zm'+mZm/x=+zm 推论二 2mZm/x=zm-+Zm+
柱函数的递推公式 [ ( )]' ( ) [ ( )]' ( ) 1 1 x Z x x Z x x Z x x Z x m m m m m m m m − + + + − − = + = − 基本递推公式 推论二 1 1 ' / ' / − + + = + − = − m m m m m m Z mZ x Z Z mZ x Z 推论一 1 1 1 1 2 / 2 ' − + − + = + = − m m m m m m mZ x Z Z Z Z Z
递推公式的让明 =0!r(k+m+1 k k!T(k+m+ 2k(-1) 2k+m、2k-1 k=1k!r(k+m+1) (-1) k-1 2k+m-12k 从=1(k-1)!r(k+m+1) +m+121+1+m(r2 0lr(+m+1+1) √Jm+1(x)/
递推公式的证明 ( ) = + + + − = 0 2 2 ! ( 1) ( 1) ( ) k x k m k m k k m J x ( ) ( )' ! ( 1) ( 1) [ ( )/ ]' 2 0 2 2 1 k k k m k m m x k k m J x x = + + + − = ( ) 2 1 1 2 2 1 ! ( 1) 2 ( 1) − = + + + − = k k k m k x k k m k ( ) 2 1 1 2 1 2 1 1 ( 1)! ( 1) ( 1) − = + − − − + + − − = k k k m k x k k m l = k −1 ( ) l m m l l m l x x l l m / ! ( 1 1) ( 1) 2 1 0 2 1 2 1 + + = + + + + + − = − m J m (x)/ x = − +1
