第九章二阶常微分方程的级数解本征值问题(4) 基本要求 1.掌握对方程进行分离变数的一般方法,了解一些常见方程进行分离 变数后特殊的情形; 2.掌握微分方程在常点邻域的级数解法; 3.了解微分方程在正则奇点邻域的级数解法 4.了解斯特姆—刘维型本征值问题的提法。了解常见的本征值问题解 族的正交性、模和函数族展开理论。 教学内容: §9.1.特殊函数常微分方程。拉普拉斯方程,球坐标,球函数方程, 连带勒让得方程*,勒让得方程,柱坐标,贝塞耳方程*。波动方 程,输运方程,亥姆霍兹方程。 §9.2.常点邻域上的级薮解法,微分方程的级数解法 §9.3.正则奇点邻域上的级数解法*,微分方程的级数解法,判定方程, 例1.例2(只要求得到正m阶贝塞尔函数的解 §94.斯特姆—刘维本征值问题*,本征值,本征函数,斯特姆一刘维 本征值问题,正交性,模,广义傅立叶级数,广义傅立叶系数。 本章重点: 微分方程的级数解法,本征函数族,广义傅立叶级数展开。 习题 §9.1.(第237页):1,2,3。 §92.(第243页):1,2,3。 §9.3.(第260-261页):1,2,3,7 §94.(第271-271页):1,3
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常用齐次定解问题 1、常用齐次定解问题的要素 泛定方程演化方程W=Am 稳定方程:△Mm=0 矩形:用直角坐标(x,y,z) 边界形状圆形:用极(柱)坐标(p,9,z) 球形:用球坐标(r,,g) 初始条件初始状态:u=0=f(F) 初始速度:l4l=0=g(F) 2、常用齐次定解问题的分类 直角坐标极坐标球坐标 稳定方程 演化方程 3、拉普拉斯算符的形式 二维 维 直角坐标2=0x+m △=△+O 极柱坐标 △=△2+a 球坐标=1Qma+ A=÷0+ 4、拉普拉斯算符形式的推导
直角坐标下的形式 A,=0+0 坐标变换关系 x=pcos p y=psin p 微分变换关系 coS -sin p sino coso a 极坐标下的形式 △2=an+pn+p-2o =1a 数学物理中的对称性 1、对称性的概念 定义:对称性就是在某种变换下的不变性 对称性的分 时间 「时平移对称性 时间反演对称性 时空对称性 空间平移对称性 空间空间反演对称性 类 空间转动对称性 分类 力学对称性 2、对称性的描述 对称性名称 对称条件 对称函数 沿z轴反演对称(xy-)=/(xy J=f(x,],1=D 沿z轴平移对称Lx+0)=/y J=f(x, y) f(p,9,2+a)=f(p,9,-) f=f(p, 绕z轴转动对称+6=AA/A习 绕原点转动对称(+Ep+6)=/[= 对称性原理
当定解问题的泛定方程和定解条件都具有某种对称性时,它的解也 具有同样的对称性。 对称性的应用 对称性的应用一柱坐标输运方程 对称性 未知函数 泛定方程 无任何对称性 l1=a(△2+01 沿z轴平移对称m=M9 绕轴转动对称m=Mp:0 =a(1+0+⊙2 双重对称 u(p, t) 三、特殊函数常微分方程 1、球坐标下拉普拉斯方程的分离变量 般情况 欧拉方程,球函数方程,连带勒让德方程 球 r2o、(r,u)+△ul=0 u=R(r)r(8,) rRy/R=-△Y/Y=/+1) (r2Ry-l(+1)R=0 Y+A+DY=0=()e( R=Cr+dr sin 0(sin 6e)/9+1(1+Dsin 0=-dp7ap=a ⑩+加=0么)4DmD=4= dp= Acos mo+ Bsin mo X=co Ⅳ-x)e+(+)-÷1○=0 轴对称情况 ·勒让德方程
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ra(0,m)+△=0 l=R(r)Y(6) R)/R=-4y/y=/+1) △'Y+l+1y=0 R=Cr+dr sinO(sin00')/0+/(1+1)sin20=0 X=co (1-x2)er+(+1/=0 2、极坐标下热传导方程的分离变量 般情况 亥姆霍兹方程,贝塞尔方程 1=a2△2 (1)v(p,g) TMaT R(P)p(o) P(pR'y/R+k 点DRy+(k2-)R=0 R"+1R+(1-m)R=0 轴对称情况 四、常微分方程的级数解法 1、常微分方程中点的分类 二阶变系数常微分方程的一般形式 w+p(zw+q(zw=0 方程中点的分类 常点:z0是p(z)和q(z)的解析点
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正则奇点:z0是(z-z0)p和(z-z0)2q的解析点 非正则奇点:其它情况 2、各点邻域级数解的形式 点z0邻域 两解均为 w=∑tna2(=-=0) a0≠0 则奇点z0邻域 有一解为 其中s 非正则奇点z0邻域 有一解为 3、勒让德方程的级数解 勒让德方程为:(1-x2)y-2xy+l(+1)y=0 x=0为常点,邻域解为:y=∑=4x 级数解的导数为:y=∑ ∑k(k-1)ax2=∑(k+1)k+2)a12x2 代入方程得: ∑【(+1)k+2)a+2-k(k-1)a4-2a+1(1+1)ax2=0 即:(k+1)(k+2)a4+2-[k(k+1)-l(+1)ak=0 递推公式 2k+1) 4+2)k+1)ak 具体递推 3)a.=2-1=+X+ 644=k2-cM++3+5 3a42=2 递推公式:a412=++a4=“ka 具体递推 +2 l-1)(+ 4a3=C-(+2+4) 3-D)(+4 (5-X3-1)(1-1)(1+2Xl+4)(1+6) a
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通解 Jo(x)+ay(x) 特解: b2k bakel (2k-1-)·1-)(1+2)…(+2 性质 奇偶性:y为偶函数,y1为奇函数 退化性:l为非负整数时,级数解退化为多项式; 收敛性:特解的收敛半径为1 有界性:在x=±1时,非退化级数解发散 贝塞尔方程的级数解 贝塞尔方程为:x2y+xy4+(x2-m2)y=0 0为正则奇点,邻域解为:y=∑ax ar-x 级数解的导数为:y=∑(s+kx ak<0=0 代入方程得 递推公式:(s+k+m)(s+k-m)a 0 k=0→(3+m)(s-m)a=0→s=m k=1→(s+1+m)(s+1-m)a1=0→a1=0 (s+k+m(s+k-m k(2m+k) 具体递推 a,= 特解 (x) a 通解 (x)=CJ (x)+DN(x) 性质
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奇偶性:m为奇偶整数时,Jm和Nm为奇偶函数 收敛性:特解的收敛半径为∞; 有界性:在x→0,m≥0时,Jm有界,Nm发散。 五、斯图姆一刘维尔本征值问题 1、本征值问题 本征值:使带边界条件的常微分方程有非零解的参数值 本征函数:相应的非零解 本征值问题:求本征值和本征函数的问题 2、斯特姆一刘维尔本征值问题 斯特姆一刘维尔型方程 kkexy-q(x)y+p(x)y=0,xEla,b 其中k(x)、q(x)和p(x)都非负 k(x)、k’(x)和q(x)连续或以端点为一阶极点。 斯特姆一刘维尔型边界条件 三类齐次边界条件 周期性边界条件 有界性边界条件 3、斯特姆一刘维尔本征值问题的性质 a k 本征值问题 y"+y=0.y(0)=y(L)=0 0L10 y”+y=0,y(x+D)=y(x) 1-x20 (1-x2)y+y=0,y(±1)<∞ 0bxm2xx[xy] -y+kry=0, y(0)<oo, M(6)=0 可数性:存在可数无限多个本征值 非负性:所有本征值均为非负数; 正交性:对应不同本征值的本征函数带权正交 y(x)y, (x)p(x)dx=8,N2 完备性:满足边界条件的光滑函数可以按本征函数展开。 f(x)=∑fny(x)
) 0 1 0 1 !"#$%&'()*+, -.*+ /01 /0 234567() ' 89 2 :' ; ' ?@ABCDEFGD 234567"#$ HIJK"#$ LM"#$ "#$ ) ( ( * !"#$%&'( )* +,-
展开系数 f,=Nr(x)y(x)p(x)dx 例题1 问题 y"+/y=0,y(0)=y(L)=0 本征函数乙1=v2,wn=",yn=sinm,x 正交性 y,(x)y,(x)dx=5 完备性(x)=∑fy(x) f,=2f(x)y,(x)dr 例题2 问题y+4y=0,y(x+2)=y( 本征函数m=m2ym=exp(mx) 正交性yn(x)(x)kx=2n6 完备性(x)=∑1(x) f,=2 f()y,x)dx 例题3 问题 (-x2)y]+y=0,y(±1)<∞ 本征函数=1(+1)y=P(x)=012 正交性 P(xP(x)dx=SL,N 完备性 f(x)=∑JP(x) f f(x)P(x)dx
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本章小结 非齐次定解问题 齐次化特解条件 齐次定解问题 常微分方程 非斯一刘问题 斯一刘问题 齐次化特解 本征变化 齐次半通解 齐次定解问题的解
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