习题解答 第三章线性方程组与线性子空间 习题3-1 1.用消元法解下列线性方程组: (2x1-x2+x3+3x4=-4 (1)x1+3x2-x3+4x4=6 2x1-2x2+3x3-x4=3 3x1 +2x3+2x4=3 (x1-2x2+3x3-x4=-6 (2)x1+x2-x3+x4=7 2x1-x2+x3=1 x2+x3+x4=3 解:(1)x1=-5,x2=5,x3=8,x4=1. (2)x1=4,x2=7,x3=0,x4=-4 2.分别用矩阵的初等行变换和列变换将下列矩阵化为行阶梯矩阵和列阶梯矩阵 32104 2144-3 (1)2031-2 23-125 15201 3-5427 (2)1-5113 021-12 1-13-17 32104 30000 0-34- 240 00 解:(1)03-11-1518与21300 000 㠭 16 15201 11 22- 10000 021-12 3-2000 (2)004-412与1-1000 00000 01-800 0000011-1600 3.证明:线性方程组的第二类,第三类初等变换把线性方程组化成与它同解的线性方程组 证明:(略) 4.证明推论1.4. 证明:对矩阵AT应用推论1.3,则AT可以经过一系列初等行变换化成简化行阶梯矩阵将上述变 换施行于矩阵A的列上,就将A化成简化列阶梯矩阵 1
3–1 1. D- t&@AB: (1) 2x1 − x2 + x3 + 3x4 = −4 x1 + 3x2 − x3 + 4x4 = 6 2x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = 3 3x1 + 2x3 + 2x4 = 3 (2) x1 − 2x2 + 3x3 − x4 = −6 x1 + x2 − x3 + x4 = 7 2x1 − x2 + x3 = 1 x2 + x3 + x4 = 3 : (1) x1 = −5, x2 = 5, x3 = 8, x4 = 1. (2) x1 = 4, x2 = 7, x3 = 0, x4 = −4. 2. ]^\V =J: =Jv ]^L" yp]^: yp]^: (1) 3 2 1 0 4 2 1 4 4 −3 2 0 3 1 −2 2 3 −1 2 5 ; (2) 1 5 2 0 1 3 −5 4 2 7 1 −5 1 1 3 0 2 1 −1 2 1 −1 3 −1 7 . : (1) 3 2 1 0 4 0 − 1 3 10 3 4 − 17 3 0 0 −11 −15 18 0 0 0 17 11 − 16 11 B 3 0 0 0 0 2 4 0 0 0 2 1 3 2 0 0 2 2 − 10 3 − 17 18 0 . (2) 1 5 2 0 1 0 2 1 −1 2 0 0 4 −4 12 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 B 1 0 0 0 0 3 −2 0 0 0 1 −1 0 0 0 0 1 −8 0 0 1 1 −16 0 0 . 3. ST: t&@AB=bk, =4k\V=JNt&@ABL*B8C-t&@AB. : (i) 4. ST^# 1.4. : ]^ AT ,^# 1.3, J AT >$jNHj \V =JL*kL yp]^. vyS= Jl <]^ A y, ov A L*kL yp]^. · 1 ·
思考题 (1)线性方程组的解集可以看作是空间的一个点集.那么线性空间中任一点集是否一定是某个线 性方程组的解集合呢?如果是这样,那么,空集,单点集{(0,0,…,0)}与两点集{(0,0,…,0),(1,1,…,1) 分别是怎样的线性方程组的解集合呢?如果不是这样,那么,怎样的点集才是某个线性方程组的解集合 (2)线性方程组的初等变换把线性方程组变成同解的线性方程组那么,两个同解的线性方程组是 否一定可以通过初等变换互化呢 解:(1)除了空集与单点集外,线性方程组的解集合一定是无限集空集是矛盾方程组的解集,单 点集{(0,0,……,0)}可以是以下方程组 In=0 的解集线性方程组的解集合是一个线性流形.解集合的性质可参看§2,6,57的讨论 (2)在允许添加或删去平凡方程“0=0”的前提下,此结论是正确的 习题3-2 1.用消元法解下列线性方程组 x1-2x2+3x3-x4-x5=4 2x2+x3+x (2)x3=1-x1+2x2,x4=-4xr1+5r2,5=-1-x1+2x2,x1,2为自由未知量 (3)x1=2x2-x3,x4=1,x2,x3为自由未知量
5. m a: (1) t&@AB- >$h/pqHf . 0, t&pqH )H nft &@AB- To? wn, 0, p , {(0, 0, · · · , 0)}B7 {(0, 0, · · · , 0),(1, 1, · · · , 1)} pnt&@AB- To? Uwn, 0, pn qnft&@AB- T o? (2) t&@AB\V=JNt&@AB=*C-t&@AB. 0, 7fC-t&@AB )H >$rN\V=JdLo? : (1) rp B 0, t&@AB- TH ,s . p 45@AB- , {(0, 0, · · · , 0)} >$$ @AB x1 = 0 x2 = 0 . . . xn = 0 - . t&@AB- THft&t6. - T&'>^h §2, §6, §7 U#. (2) kuvTDw x@A “0 = 0” Oy , O"#rd. 3–2 1. D- t&@AB: (1) x1 − 2x2 + 3x3 − x4 − x5 = 2 x1 + x2 − x3 + x4 − 2x5 = 1 2x1 − x2 + x3 − 2x5 = 2 2x1 + 2x2 − 5x3 + 2x4 − x5 = 5 (2) x1 − 2x2 + 3x3 − x4 − x5 = 4 x1 + x2 − x3 + x4 − 2x5 = 1 2x1 − x2 + x3 − 2x5 = 3 2x1 + 2x2 − 5x3 + 2x4 − x5 = −4 (3) x1 − 2x2 + x3 + x4 = 1 x1 − 2x2 + x3 − x4 = −1 x1 − 2x2 + x3 + 5x4 = 5 (4) 2x1 + x2 + x3 = 2 x1 + 2x2 + x3 = 3 x1 + x2 + 5x3 = −7 2x1 + 2x2 − 3x3 = 12 (5) 2x1 − 2x2 + x3 − x4 + x5 = 0 x1 − 4x2 + 2x3 − 2x4 + 3x5 = 0 4x1 − 10x2 + 5x3 − 5x4 + 7x5 = 0 x1 + 2x2 − x3 + x4 − 2x5 = 0 : (1) ,-. (2) x3 = 1 − x1 + 2x2, x4 = −4x1 + 5x2, x5 = −1 − x1 + 2x2, x1, x2 "gNz . (3) x1 = 2x2 − x3, x4 = 1, x2, x3 "gNz . · 2 ·
)n1=3,m2=(3-3x+5),23,x为自由未知量 2.选择λ,使方程组 r1+2x2-x3+4x4=2 有解,并求它的一般解 解仅当入=5时有无穷多解,其一般解为n1=}(4-x3-6x4),x2=1(3+3x3-7x4,x3,4为 自由未知量 3.a,b取何值时,线性方程组 x1+x2+x3+ 2+2x3+2x4+6x5=3 5x1+4x2+3x3+3x4-x5=b 有解?在有解的情况下,求一般解. 解:仅当α=0,b=2时有解,其一般解为x1=-2+x3+x4+5x5,x2=3-2x3-2x4-6xs 为自由未知量 4.证明方程组 有解的充分必要条件是 在有解的情况下,求它的一般解 证明:(→)如线性方程组有解,设(c1,cC2,c,c4,c5)为其一个解,将它代入原方程组并将各式相加 0,则由最后一个方程得 依次代入前一个方程,得 r4=a4+a5+x1,x3=a3+a4+a5+x1,r2=a2+a3+a4+a5+x1,将x2,r3,x4,r5代入第一个方程, 得 (a2+a3+a4+a5+x1) 所以原方程组的一般解为 为自由未 5.求一多项式f(x)=a0x3+a1x2+a2x+a3,使f(1)=-3,f(-1)=-7,f(2)=-1,f(-2)=-21
(4) x1 = 1, x2 = 2, x3 = −2. (5) x1 = 1 3 x5, x2 = 1 6 (3x3 − 3x4 + 5x5), x3, x4, x5 "gNz . 2. {| λ, '@AB 2x1 − x2 + x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 − x3 + 4x4 = 2 x1 + 7x2 − 4x3 + 11x4 = λ G-, Ws8H}-. : cb λ = 5 RG,~ -, <H}-" x1 = 1 5 (4 − x3 − 6x4), x2 = 1 5 (3 + 3x3 − 7x4), x3, x4 " gNz . 3. a, b zR, t&@AB x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 1 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − 3x5 = a x2 + 2x3 + 2x4 + 6x5 = 3 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 − x5 = b G-? kG-! , sH}-. : cb a = 0, b = 2 RG-, <H}-" x1 = −2 + x3 + x4 + 5x5, x2 = 3 − 2x3 − 2x4 − 6x5, x3, x4, x5 "gNz . 4. ST@AB x1 − x2 = a1 x2 − x3 = a2 x3 − x4 = a3 x4 − x5 = a4 x5 − x1 = a5 G-0@&12 a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0. kG-! , s8H}-. : (⇒) t&@ABG-, (c1, c2, c3, c4, c5) "<Hf-, v8QRK@AB, Wv()e, P a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0. (⇐) a1 + a2 + a3 + a4 + a5 = 0, JNHf@AP x5 = x1 + a5, GHQROHf@A, P x4 = a4 + a5 + x1, x3 = a3 + a4 + a5 + x1, x2 = a2 + a3 + a4 + a5 + x1, v x2, x3, x4, x5 QR=Hf@A, P x1 − (a2 + a3 + a4 + a5 + x1) = −a2 − a3 − a4 − a5 = a1. #$K@ABH}-" x2 = a2 + a3 + a4 + a5 + x1 x3 = a3 + a4 + a5 + x1 x4 = a4 + a5 + x1 x5 = a5 + x1 x1 "gNz . 5. sH :)f(x) = a0x 3 +a1x 2 +a2x+a3, 'f(1) = −3, f(−1) = −7, f(2) = −1, f(−2) = −21. : f(x) = x 3 − 2x 2 + x − 3. · 3 ·
题3-3 1.设a1=(2,5,1,3),a2=(10,1,5,10),a3=(4,1,-1,1).求一向量a,使3(a1-a)+2(a2+a) 5(a3+a) 解:a=(1,2,3,4) 2.已知3a+4=(2,1,1,2),2a-3=(-1,2,3,1).求a与 解a=1(210,B=1(7,-4,-7,1 3.把向量表成向量a1,a2,a3的线性组合: (1)a1=(1,1,1),a2=(1,1,-1),a3=(1,-1,-1),B=(1,2,1) (2)a1=(1,3,5),a2=(6,3,-2),a3=(3,1,0),B=(5,8,8) 解:(1)B=a1+ba2 (2)B=2a1 4.判别下列向量组是否线性相关 (1)a1=(1,1,1),a2=(1,2,3),a3=(1,3,6); (2)a1=(3,2,-5,4),a2=(2,1,-3,-5),a3=(3,5,-13,11),a4=(4,5,-14,-3); (4)a1=(1,2,-1,4),a2=(9,1,2,-3),a3=(3,5,0,2),a4=(3,2,2,1),a5=(1,3,3,2) 解:(1)否;(2)是;(3)否:(4)是 5.设a1,a2,……,an是互不相同的数,令 证明:任一n维向量都可以由向量组a1,a2,…,an线性表示 证明:向量组a1,a2,…,an构成的行列式 ∏(a4-a)≠0 所以a1,a2,…,an线性无关 又对任意的n维向量β,向量组β,a1,……,an线性相关,从而向量β可由向量组a1,a2,…,an线 性表示 6.设向量组a1,a2,a3线性无关.证明向量组a1+a2,a2+a3,a3+a1也线性无关 (a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3+a1)=0, (k1+k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+ka)a3=0
3–3 1. α1 = (2, 5, 1, 3), α2 = (10, 1, 5, 10), α3 = (4, 1, −1, 1). sH α, ' 3(α1 − α) + 2(α2 + α) = 5(α3 + α). : α = (1, 2, 3, 4). 2. 3α + 4β = (2, 1, 1, 2), 2α − 3β = (−1, 2, 3, 1). s α B β. : α = 1 17 (2, 11, 15, 10), β = 1 17 (7, −4, −7, 1). 3. N β * α1, α2, α3 t&BT: (1) α1 = (1, 1, 1), α2 = (1, 1, −1), α3 = (1, −1, −1), β = (1, 2, 1); (2) α1 = (1, 3, 5), α2 = (6, 3, −2), α3 = (3, 1, 0), β = (5, 8, 8); : (1) β = α1 + 1 2 α2 − 1 2 α3. (2) β = 2α1 + α2 − α3. 4. | B)t&e*: (1) α1 = (1, 1, 1), α2 = (1, 2, 3), α3 = (1, 3, 6); (2) α1 = (3, 2, −5, 4), α2 = (2, 1, −3, −5), α3 = (3, 5, −13, 11), α4 = (4, 5, −14, −3); (3) α1 = (1, −1, 2, 4), α2 = (0, 3, 1, 2), α3 = (1, 7, 8, 9), α4 = (3, 2, 1, 2); (4) α1 = (1, 2, −1, 4), α2 = (9, 1, 2, −3), α3 = (3, 5, 0, 2), α4 = (3, 2, 2, 1), α5 = (1, 3, 3, 2). : (1) ); (2) ; (3) ); (4) . 5. a1, a2, · · · , an dUeC, I α1 = (1, a1, a2 1 , · · · , an−1 1 ), α2 = (1, a2, a2 2 , · · · , an−1 2 ), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . αn = (1, an, a2 n, · · · , an−1 n ). ST: H n F m>$N B α1, α2, · · · , αn t& . : B α1, α2, · · · , αn u* ) |A| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a1 · · · a n−1 1 1 a2 · · · a n−1 2 · · · · · · · · · · · · 1 an · · · a n−1 n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = Y 16jN B α1, α2, · · · , αn t & . 6. B α1, α2, α3 t&,*. ST: B α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 gt&,*. : k1(α1 + α2) + k2(α2 + α3) + k3(α3 + α1) = 0, J (k1 + k3)α1 + (k1 + k2)α2 + (k2 + k3)α3 = 0. · 4 ·
因为a1,a2,a3线性无关,所以 k1+k3=0 k2+k3=0 解得k1=k2=k3=0,所以a1+a2,a2+a3,a3+a1线性无关 a、.证明m2a…,(其中a1≠0)线性相关的充要条件是至少有一个a(11.故 ai=-1.a1 8.证明:如果向量组的一个延伸组线性相关,则此向量组也线性相关 证明:设向量组(I)为(D的延伸组,如向量组①线性无关则由例3.9知,(I)也线性无关,与已知 矛盾,故此向量组线性无关 9.下列论断是否成立?对的,加以证明;错的,举出反例 (1)若a1,a2,…,as线性相关,则其中每一个都可由其余向量线性表示 (2)若向量组a1,a2,…,axr线性无关,向量组1,B2,…,B。线性无关,则向量组a1,a2,…,ar,B1 B2,……,B。也线性无关 (3)若向量组a1,a2,…,as线性无关,向量组1,B2,……,B。线性无关,则向量组a1+B1,a2+ B2,……,as+Bs也线性无关; (4)若向量组a1,a2,……,ar线性相关,则一定存在r个不等于零的数k1,k2,…,kr,使 k1a1+k2a2+…+kar=0; (5)若向量组α1,a2,……,αr线性无关则它的任何线性组合都不等于零 解:(1)错.如a1=(0.0),a2=(1,1)线性相关,但a2不可由a1线性表示 (2)错 (1,1),a2=(1,2)线性无关,月1=(2,2),A2=(0,1)线性无关,但a1,a2,1,2线性 相关 (3)错.如a1=(1,1),a2=(0,1),A1=(1,-1),B2=(1,2)线性无关,但a1+B1=(0,0), 2+B2=(1,3)线性相关 (4)错.如a1=(0,0),a2=(0,1)线性相关,但对任意的k1≠0,k2≠0都有k1a1+k2a2≠0. (5)错.a1,a2,……,ar的零线性组合就等于零 习题 1.在三维几何空间R3中,下列集合W是否构成R3的线性子空间? (1)W={(a,b,c)∈R3|(a,b,c)⊥(1,1,1)} (2)W是终点在某直线上的全体向量所构成的集合; (3)W是与空间中某固定非零向量(xo,3,xo)的夹角等于定值的全体向量所构成的集合 解(1)是(2)如直线过原点是;否则不是(3)夹角等于2,是否则不是
!" α1, α2, α3 t&,*, #$ k1 + k3 = 0 k1 + k2 = 0 k2 + k3 = 0 -P k1 = k2 = k3 = 0, #$ α1 + α2, α2 + α3, α3 + α1 t&,*. 7. ST: α1, α2, · · · , αs (I α1, α2, · · · , αi−1 t& . : !" α1, α2, · · · , αs t&e*, #$1kU3"o k1, k2, · · · , ks, ' k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0. k1, k2, · · · , ks HfU"o" ki , J i 6= 1 ()J α1 = 0 B145), C% i > 1. ! k1α1 + · · · + ki−1αi−1 = −kiαi , αi = − k1 ki α1 − k2 ki α2 − · · · − ki−1 ki αi−1. 8. ST: BHf:Bt&e*, JO Bgt&e*. : B (II) " (I) :B, B (I) t&,*, JNj 3.9 , (II) gt&,*, B 45, !O Bt&,*. 9. #})*+? , $ST; , %Mj. (1) α1, α2, · · · , αs t&e*, JNN α1 t& . (2) . α1 = (1, 1), α2 = (1, 2) t&,*, β1 = (2, 2), β2 = (0, 1) t&,*, q α1, α2, β1, β2 t& e*. (3) . α1 = (1, 1), α2 = (0, 1), β1 = (1, −1), β2 = (1, 2) t&,*, q α1 + β1 = (0, 0), α2 + β2 = (1, 3) t&e*. (4) . α1 = (0, 0), α2 = (0, 1) t&e*, q k1 6= 0, k2 6= 0 mG k1α1 + k2α2 6= 0. (5) . α1, α2, · · · , αr ot&BToV<o. 3–4 1. k4F'pq R 3 , T W )u* R 3 t&pq? (1) W = {(a, b, c) ∈ R 3 | (a, b, c) ⊥ (1, 1, 1)}; (2) W kn.ty3 #u* T; (3) W BpqnI no (x0, y0, z0) 5V< 3 #u* T. : (1) ; (2) .tNK, ; )J, U; (3) 5V< π 2 , ; )J, U. · 5 ·
2.设V为数域K上n维向量空间,判断V的下列子集W是否构成V的线性子空间 (1)设a1,a2,…,ar为V中给定的r个向量 W={∈V|a1,a2,……,ar,B线性相关}; (2)设a1,a2,……,ar为V中给定的r个向量,W是V中不能由a1,a2,…,ar线性表示的全体向量 所构成的集合 解:(1)是;(2)不是 3.设α1,a2,…,ar为K中给定的r个向量,证明 W={(c1,c2,……,cr)lc1a1+c2a2+ 组成K"的子空间 证明:显然WsK且(0,0,…,0)∈W,从而W非空 对任意的(a1,…,ar),(b1,…,b)∈W以及k∈K,有 (a1+b1)a1+…+(ar+br)ar=a1a1+…+arar+b1a1+…+bar=0+0=0 所以 ar)+(b1,……,bn)∈W (ka1)a1+(ka2)a2+…+(kar)ar=k(a1a1+a202+……+a1ar)=k.0=0. 所以 r)∈W V成为K"的子空间 设W1,W2,…,W为K的s个线性子空间.W=W1∪W2U…UW证明:W为Kn的线性 子空间的充分必要条件是,存在i(1≤i≤s),使W=W1 证明:充分性是显然的.下面证必要性.对s用归纳法.当s=1时结论显然成立.假定结论对s-1 成立,考察W=W1UW2U…∪W如果W≠W3,则可取β∈W\W对于任意的a∈Ws,必有 B+ka∈W\W(从β+ka∈W以及α∈W可以推得β∈Ws,矛盾).当k=1,…,s时,s个向量中必 有两个向量属于同一个W(1≤i≤s-1).这两个向量相减后可得a∈W.因此WssW1U…UW-1, 于是W=W1U…UW3-1.利用归纳假设,可得一个i,1≤i≤s-1使得W=W2.结论成立 习题3-5 1.求由下列向量所张成的线性子空间的基与维数 (1)a1=(2,1,11,2),a2=(1,0,4,-1),a3=(1,4,16,15),a4=(2,-1,5,-6),a5=(1,6.,22,23) (2)a1=(1,-4,15,5,-4),a2=(0,7,29,-8,7),a=(2,-1,1,1,-3),a4=(1,-4,3,5,-4 解:(1)维数2,基a1,a2 (2)维数4,基a1,a2,a3,a4 2.设W为向量空间V的子空间,a1,a2,……,ar为W的一个基,A=∑aaj,i=1,2, 证明:1,B2,…,房也是W的基的充分必要条件是 ≠0. arl ar2
2. V " K y n F pq, |} V W )u* V t&pq. (1) α1, α2, · · · , αr " V r f , W = {β ∈ V | α1, α2, · · · , αr, β t&e*}; (2) α1, α2, · · · , αr " V r f , W V UcN α1, α2, · · · , αr t& 3 #u* T. : (1) ; (2) U. 3. α1, α2, · · · , αr " Kn r f , ST: W = {(c1, c2, · · · , cr) | c1α1 + c2α2 + · · · + crαr = 0} B* Kr pq. : W ⊆ Kr ? (0, 0, · · · , 0) ∈ W, C% W np. (a1, · · · , ar),(b1, · · · , br) ∈ W $h k ∈ K, G (a1 + b1)α1 + · · · + (ar + br)αr = a1α1 + · · · + arαr + b1α1 + · · · + brαr = 0 + 0 = 0. #$ (a1, · · · , ar) + (b1, · · · , br) ∈ W. (ka1)α1 + (ka2)α2 + · · · + (kar)αr = k(a1α1 + a2α2 + · · · + arαr) = k · 0 = 0. #$ k(a1, · · · , ar) ∈ W. W *" Kr pq. ∗4. W1, W2, · · · , Ws " Kn s ft&pq. W = W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws. ST: W " Kn t& pq0@&12, 1k i (1 6 i 6 s), ' W = Wi . : 0&. S@&&. s PD. b s = 1 R"#*+. 1 "# s − 1 *+, W = W1 ∪ W2 ∪ · · · ∪ Ws. W 6= Ws, J>z β ∈ W \ Ws. $^P β ∈ Ws, 45). b k = 1, · · · , s R, s f @ G7f P α ∈ Wi . !O Ws ⊆ W1 ∪ · · · ∪Ws−1, PHf i, 1 6 i 6 s − 1 'P W = Wi . "#*+. 3–5 1. sN #.*t&pqzBF: (1) α1 = (2, 1, 11, 2), α2 = (1, 0, 4, −1), α3 = (1, 4, 16, 15), α4 = (2, −1, 5, −6), α5 = (1, 6, 22, 23); (2) α1 = (1, −4, 15, 5, −4), α2 = (0, 7, 29, −8, 7), α3 = (2, −1, 1, 1, −3), α4 = (1, −4, 3, 5, −4). : (1) F 2, z α1, α2. (2) F 4, z α1, α2, α3, α4. 2. W " pq V pq, α1, α2, · · · , αr " W Hfz, βi = Pr j=1 aijαj , i = 1, 2, · · · , r. ST: β1, β2, · · · , βr g W z0@&12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a11 a12 · · · a1r a21 a22 · · · a2r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ar1 ar2 · · · arr ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 6= 0. · 6 ·
证明(→)设1,B2,…,B也是W的基,设矩阵A=(a1),(k,k2,……,kr)是齐次线性方程组 XA=0的一个解,即 (k1k2…kr)A k11+k22+…+k月=(k1…kr)A 因为1,B2,……,B线性无关,所以k1=k2 kr=0.即XA=0只有零解所以|4≠0 ()设 k1/1+k2B2+…+krBx=0 因为a1,a2,……,ar线性无关,所以 )A=0 由于|4≠0,故齐次线性方程组只有零解,即k1=k2 kr=0.于是1,B2,…,B线性无关.又 因 所以1,B2,…,B是W的基 3.设V为数域K上的n维向量空间.证明:对任何大于n的自然数m,一定存在由V的m个向量 组成的向量组,使其中任何n个向量都构成V的基 证明由习题3-44的结果可以知道,V不可能表示成它的有限多个真线性子空间的并集.对 m≥n施行数学归纳法.当m=n时结论成立.假设已经找到满足条件的m-1≥n个向量的向量组 1,…:,am-1.把其中任意n-1的向量生成的线性子空间记为W(=1,……,s),则因V≠∪W,存在 向量 am EUw1(i=1,…,s)·则向量组a1,…,am也满足条件 习题36 1.A取何值时,方程组 (入+3)x1+ 2 r (入-1)x2+ 3(X+1)x1+x2+(+3)x3=3A 有解?在有解的情况下,求出一般解 解:系数行列式等于2(A-1).当A≠0,1时,方程组有唯一解 当λ=0时,一般解为:x1=-x3,x2=x3,x3是自由未知量; 当λ=1时,原方程组无解
: (⇒) β1, β2, · · · , βr g W z, ]^ A = (aij ), (k1, k2, · · · , kr) Ht&@AB XA = 0 Hf-, (k1 k2 · · · kr)A = 0. J k1β1 + k2β2 + · · · + krβr = (k1 · · · kr)A α1 . . . αr = 0. !" β1, β2, · · · , βr t&,*, #$ k1 = k2 = · · · = kr = 0, XA = 0 {Go-. #$ |A| 6= 0. (⇐) k1β1 + k2β2 + · · · + krβr = 0, J (k1 · · · kr)A α1 . . . αr = 0, !" α1, α2, · · · , αr t&,*, #$ (k1 k2 · · · kr)A = 0. N$ `, V U>c *8Gs ft&pqW . m > n l OPD. b m = n R"#*+. 1 j-.12 m − 1 > n f B α1, · · · , αm−1. N< n − 1 *t&pq " Wi (i = 1, · · · , s), J! V 6= S Wi , 1k αm 6∈ S Wi (i = 1, · · · , s). J B α1, · · · , αm g-.12. 3–6 1. λ zR, @AB (λ + 3)x1 + x2 + 2x3 = λ λx1 + (λ − 1)x2 + x3 = 2λ 3(λ + 1)x1 + λx2 + (λ + 3)x3 = 3λ G-? kG-! , s%H}-. : j )V< λ 2 (λ − 1). b λ 6= 0, 1 R, @ABG,H-: x1 = λ − 3 λ − 1 x2 = λ + 3 λ − 1 x3 = 3 − λ λ − 1 , b λ = 0 R, H}-": x1 = −x3, x2 = x3, x3 gNz ; b λ = 1 R, K@AB,-. · 7 ·
2.a,b取何值时,方程组 ar1+x2+x3=4 +bx2+x3=3 有解?在有解的情况下,求出一般解 解:(a)当a≠1且b≠0时,方程组有唯一解 2ab-4b+1 (b)当b=0时,或当a=1,b≠号时,原方程组无解 ()当a=1,b=时,一般解为n1=2-3,n=2,3是自由未知量 3.求下列齐次线性方程组的基础解系: 1+4r2+3x3+3x4+x5=0 3x1+2x2-5x3+4x4=0 +3x3-3x4=0 3x1+5x2-13x3+11x4=0 x1+x2+x3+x4+x5=0 2x1+2x2+x3+x4-2x5=0 +x4=0 x1-4x2+3x3-2x4=0 解:(1)(1,-2,1,0,0),(1,-2,0,1,0),(3,-4,0,0,1) (2)(-1,24,9,0),(2,-21,0,9) (4)(0,1,2,1) 4.证明:如果齐次线性方程组 a21x1+a222+…+a2nxn=0 的系数矩阵A的行列式|4=0.方程组的秩是n-1,并且矩阵A中ak的代数余子式Ak≠0,那么 (Ak1,Ak2,…,Akn)是此齐次线性方程组的一个基础解系
2. a, b zR, @AB ax1 + x2 + x3 = 4 x1 + bx2 + x3 = 3 x1 + 2bx2 + x3 = 4 G-? kG-! , s%H}-. : (a) b a 6= 1 ? b 6= 0 R, @ABG,H-: x1 = 2b − 1 b(a − 1) x2 = 1 b x3 = 2ab − 4b + 1 b(a − 1) ; (b) b b = 0 R, Db a = 1, b 6= 1 2 R, K@AB,-; (c) b a = 1, b = 1 2 R, H}-": x1 = 2 − x3, x2 = 2, x3 gNz . 3. s Ht&@ABz-j: (1) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 3x1 + 2x2 + x3 + x4 − x5 = 0 5x1 + 4x2 + 3x3 + 3x4 + x5 = 0 x2 + 2x3 + 2x4 + 4x5 = 0 (2) 3x1 + 2x2 − 5x3 + 4x4 = 0 3x1 − x2 + 3x3 − 3x4 = 0 3x1 + 5x2 − 13x3 + 11x4 = 0 (3) x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 0 2x1 + 2x2 + x3 + x4 − 2x5 = 0 5x1 + 4x2 − 3x3 + 4x4 + x5 = 0 x2 + 6x3 − x4 − 4x5 = 0 (4) x1 − 2x2 + 3x3 − 4x4 = 0 x2 − x3 + x4 = 0 x1 + 3x2 − 3x4 = 0 x1 − 4x2 + 3x3 − 2x4 = 0 : (1) (1, −2, 1, 0, 0), (1, −2, 0, 1, 0), (3, −4, 0, 0, 1). (2) (−1, 24, 9, 0), (2, −21, 0, 9). (3) (−7, 7, −1, 1, 0), (−25, 28, −4, 0, 1). (4) (0, 1, 2, 1). 4. ST: Ht&@AB a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0 j]^ A ) |A| = 0, @AB n − 1, W?]^ A akl Q$) Akl 6= 0, 0 (Ak1, Ak2, · · · , Akn) OHt&@ABHfz-j. · 8 ·
察属:由于 ak1 Ak1 +ak2 Ak2 +.+akn Akn=A=0, 0,当i≠k时 因此(Ak1,Ak2,…,Akn)是题设证次线性方程组的解又因Ak≠0,这是一个非零解由条设知道方程 组的域是n-1,所以此证次线性方程组的基础解系由一个非零解构成.因此(Ak1,Ak2,…,Akn)是此 证次线性方程组的一个基础解系 5.设证次线性方程组 a11x1+a12x2+…+a1nxn=0 a21x1+a22c2+ an-1,1C1+an-1,2x2+…+an-1,nxn=0 的系数矩阵为A,M2是矩阵A中划去第i列所得的(n-1)×(n-1)矩阵的行列式.证明 (1)(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)是方程组的一个解 (2)如向这个线性方程组的域为n-1,非个M1≠0,证明方程组的解全是(M1,-M2,…,(-1)(n-Mn 的倍数 察属:(1)作证次线性方程组 n-1,1x1+an-1,2x2+…+an-1,nxn=0 其中αn1=an2=…=amn=0,则此线性方程组与原方程组同解,且系数矩阵等于0.故由上题,最后 行的代数以子式(An1,An2,…,Amn)为原方程组的解又An=(-1)x+M,所以(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn) ,An)为原方程组的解 (2)因原方程组的域为n-1,且有一个M≠0.因此原方程组的基础解系由一个非零解向量构 从而非零解(M1,=M2 1)-1Mn)构成原线性方程组的一个基础解系.故原方程组的每一个解都 是(M1,-M2,…,(-1)n-1Mn)的倍数 6.表出平面上3个点(x1,),(x2,y),(x3,y3)共线的充分必要条件 解:若点(x1,),(x2,v),(x3,3)共线,不妨设此直线的方程为Ax+By+C=0,则 AT1+ By1+C=0 Ar2+ By2+C=0 Ar3+ By3+C 台证次线性方程组 aIt+yit2 +t3=0 2t1+y2t2+t,=0 t1+ y3t2+t3=0 有非零解(A,B,C) 兮其系数矩阵
: N< ak1Ak1 + ak2Ak2 + · · · + aknAkn = |A| = 0, ai1Ak1 + ai2Ak2 + · · · + ainAkn = 0, b i 6= k R, !O (Ak1, Ak2, · · · , Akn) aHt&@AB-. Q! Akl 6= 0, wHfno-. N1 `@A B n − 1, #$OHt&@ABz-jNHfno-u*. !O (Ak1, Ak2, · · · , Akn) O Ht&@ABHfz-j. 5. Ht&@AB a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an−1,1x1 + an−1,2x2 + · · · + an−1,nxn = 0 j]^" A, Mi ]^ A = i #P (n − 1) × (n − 1) ]^ ). ST: (1) (M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) @ABHf-; (2) wft&@AB "n−1, nfMi 6= 0, ST@AB-3(M1, −M2, · · · ,(−1)(n−1)Mn) . : (1) /Ht&@AB a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . an−1,1x1 + an−1,2x2 + · · · + an−1,nxn = 0 an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = 0 <an1 = an2 = · · · = ann = 0, JOt&@ABBK@ABC-, ?j]^V<0. !Nya, H Q$)(An1, An2, · · · , Ann)"K@AB-. QAni = (−1)n+iMi , #$(M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) = (−1)n+1(An1, An2, · · · , Ann) "K@AB-. (2) !K@AB " n − 1, ?GHf Mi 6= 0. !OK@ABz-jNHfno- u*. C%no- (M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) u*Kt&@ABHfz-j. !K@ABsHf-m (M1, −M2, · · · ,(−1)n−1Mn) . 6. % y 3 f (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) (t0@&12. : (x1, y1),(x2, y2),(x3, y3) (t, U?O.t@A" Ax + By + C = 0, J Ax1 + By1 + C = 0 Ax2 + By2 + C = 0 Ax3 + By3 + C = 0 ⇔ Ht&@AB x1t1 + y1t2 + t3 = 0 x2t1 + y2t2 + t3 = 0 x3t1 + y3t2 + t3 = 0 Gno- (A, B, C) ⇔ <j]^ A = x1 y1 1 x2 y2 1 x3 y3 1 = 0. · 9 ·
7.给出平面上3条直线 共点的充分必要条件 解:此3条直线共点的充分必要条件是相应的齐次线性方程组 ala+biy+C12=0 a2I+b2y+C22=0, 有非零解,当且仅当系数矩阵等于0,即 a2 b2 C2=0 8.写出通过三点(1,2),(1,-2),(0,-1)的圆方程 解:(x-2)2+y2=5. 9.求习题34.3中所定义的线性子空间的维数 解:设 ∈W 0 台A 0兮W为AX=0的解空间 dim W=r-rank A=r-ranka1, .,ary 习题37 1.求下列线性方程组的全择解 5x3+ 4x1-2x2+7x3+ +6x3+10x4=0 2x1+x2-x3+4=1 10
7. % y 3 1.t a1x + b1y + c1 = 0, a2x + b2y + c2 = 0, a3x + b3y + c3 = 0 (0@&12. : O 3 1.t(0@&12e,Ht&@AB a1x + b1y + c1z = 0, a2x + b2y + c2z = 0, a3x + b3y + c3z = 0 Gno-, b?cbj]^V< 0, ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. 8. ~%rN4 (1, 2), (1, −2), (0, −1) @A. : (x − 2)2 + y 2 = 5. 9. s`a 3–4.3 # Mt&pqF. : αi = a1i a2i . . . ani , A = (α1, α2, · · · , αr). J (c1, · · · , cr) ∈ W ⇔ Xciαi = 0 ⇔ A c1 . . . cr = 0 ⇔ W " AX = 0 -pq #$ dim W = r − rank A = r − rank{α1, · · · , αr}. 3–7 1. s t&@AB3|-: (1) 2x1 − x2 + 5x3 + 7x4 = 0 4x1 − 2x2 + 7x3 + 5x4 = 0 2x1 − x2 + x3 − 5x4 = 0 2x1 − x2 + 6x3 + 10x4 = 0 (2) 2x1 + x2 − x3 + x4 = 1 x1 + 2x2 + x3 − x4 = 2 x1 + x2 + 2x3 + x4 = 3 · 10 ·
