《高等代数与解析几何》课程教学资源（习题解答）第九章 坐标变换与点变换

习题解答 第九章坐标变换与点变换 题9-1 1.两直角坐标系O;m,m2]与[O;m,2有公共原点.在原坐标系[O;m,m2]下,新坐标系的基向量 为 172 (1)写出坐标变换公式 (2)写出原坐标系中的基向量m1= 0 2=(1)在新坐标系下的坐标分量 (3)已知向量可在[O;m,m]的分量为 求它在新坐标系[O;m,n下的分量 解()因为(n)=团,n,其中T=(立 所以坐标变换公式为 7()-() (2)由(1)知:(m1,m2)=(n,n2)T-1,其中T-1 当立)所以m m m=2m+当2n,即:m 要)(要 (G2=7()可推知( T-1 3人·现在可=m-m,所以 就是v在新坐标系下的分量 2.在平面直角坐标系[O;m,m中已知新的直角坐标系O;m,2的原点O的坐标为(3,2),点 M(5,3)在新坐标系的x′轴上且点M的新坐标x>0.试用矩阵形式写出从O;m,m2]到[O;mh,h2]的 坐标变换公式 解:因为X0= 2/且由题意知O/=/5) ()1().可的单位向量( 即cosB=2v5 所以T= 因此变换公式为

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9–1 1.   [O; η1, η2] [O; η 0 1 , η0 2 ] .   [O; η1, η2] ,   : η 0 1 = Ã √ 2 √ 2 2 2 ! , η0 2 = Ã − √ 2 √ 2 2 2 ! . (1)  ; (2)    η1 = µ 1 0 ¶ , η2 = µ 0 1 ¶   !; (3) "# −→v  [O; η1, η2] ! µ 1 −1 ¶ , $%  [O; η 0 1 , η0 2 ] !. : (1) & (η 0 1 , η0 2 ) = (η1, η2)T, ' T = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! , ()  µ x y ¶ = T µ x 0 y 0 ¶ = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! µ x 0 y 0 ¶ . (2) * (1) #: (η1, η2) = (η 0 1 , η0 2 )T −1 , ' T −1 = Ã √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ! , () η1 = √ 2 2 η 0 1 − √ 2 2 η 0 2 , η2 = √ 2 2 η 0 1 + √ 2 2 η 0 2 , +: η1 = Ã √ 2 2 − √ 2 2 ! , η2 = Ã √ 2 √ 2 2 2 ! . (3) , µ x y ¶ = T µ x 0 y 0 ¶ -.# µ x 0 y 0 ¶ = T −1 µ x y ¶ . / −→v = η1 − η2, () µ x 0 y 0 ¶ = Ã √ 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 2 ! µ 1 −1 ¶ = µ 0 − √ 2 ¶ , 012 −→v  !. 2. 34  [O; η1, η2] , "#  [O0 ; η 0 1 , η0 2 ]  O0   (3, 2),  M(5, 3)   x 0 56, 7 M   x 0 > 0. 89:;?# −−→O0M = µ 5 3 ¶ − µ 3 2 ¶ = µ 2 1 ¶ , @ −−→O0M AB2 Ã 2 √ 5 √ 5 5 5 ! , + cos θ = 2 √ 5 5 , sin θ = √ 5 5 . () T = Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! . &C   x y 1   =   2 √ 5 5 − √ 5 5 3 √ 5 5 2 √ 5 5 2 0 0 1     x 0 y 0 1   . · 1 ·

3.设二次曲线C在直角坐标系[O;m,m]中的方程是 y+y2+2x-4y+1=0 (1)取新的直角坐标系[O;m1,n2,使O在旧坐标系下的坐标为(0.2),且有 h=-2m+号2m 试用矩阵形式写出坐标变换公式; (2)求曲线C在新坐标系下的方程 解:(1)据题设,X0= T2或),且行列式r=1.所以坐标变换公式为 2 )-(A 2 ()C的方程为百+=1 4.设有平面直角坐标系[Om,m2],若新的直角坐标系O;n,n满足:x轴和y轴在旧坐标系中 的方程分别是x-2y+2=0和2x+y+4=0. (1)求从旧坐标系到新坐标系的变换公式 (2)求直线x-y+2=0在新坐标系中的方程 (3)求直线3x+y+1=0在旧坐标系中的方程 x-2y+2=0 解:(1)因O点的坐标(xo,yo)是方程组 的解,即X0= 2x+y+4 显然x-2+2=0的方向系数为2:12x++4=0的方向系数为-1:2.所以h=2m+点m n+号n,即,)=(m)(2)由于2=1构成 右手系.所以坐标变换公式为 2√5√5 √25 (2)x-y+2=0在新坐标系中的方程为 2√5,√5 5 即x-3y=0 (3)由(1)的坐标变换公式可以得到 2y545 2√52√5

3. DEFGH C   [O; η1, η2] IJ2: x 2 − xy + y 2 + 2x − 4y + 1 = 0. (1) K  [O0 ; η 0 1 , η0 2 ], L O0 M   (0, 2), 7    η 0 1 = √ 2 2 η1 + √ 2 2 η2 η 0 2 = − √ 2 2 η1 + √ 2 2 η2, 89:;D, X0 = µ 0 2 ¶ , T = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! , 7OP |T| = 1. () :   x y 1   =   √ 2 2 − √ 2 2 0 √ 2 2 √ 2 2 2 0 0 1     x 0 y 0 1   . (2) C IJ x 02 6 + y 02 2 = 1. 4. D34  [O; η1, η2], Q  [O0 ; η 0 1 , η0 2 ] RS: x 0 5T y 0 5M  IJ!U2 x − 2y + 2 = 0 T 2x + y + 4 = 0. (1) $,M = ; (2) $H x − y + 2 = 0   IJ; (3) $H 3x 0 + y 0 + 1 = 0 M  IJ. : (1) & O0   (x0, y0) 2IJV ( x − 2y + 2 = 0 2x + y + 4 = 0 W, + X0 = µ x0 y0 ¶ = µ −2 0 ¶ . XYx−2y+2 = 0IZ2 : 1, 2x+y+4 = 0IZ−1 : 2. ()η 0 1 = 2 √ 5 5 η1+ √ 5 5 η2, η 0 2 = − √ 5 5 η1 + 2 √ 5 5 η2, + (η 0 1 , η0 2 ) = (η1, η2) Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! . *[ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1, η 0 1 , η0 2 \] ^_. ()    x y 1   =   2 √ 5 5 − √ 5 5 −2 √ 5 5 2 √ 5 5 0 0 0 1     x 0 y 0 1   . (2) x − y + 2 = 0   IJ: Ã 2 √ 5 5 x 0 − √ 5 5 y 0 − 2 ! − Ã √ 5 5 x 0 + 2 √ 5 5 y 0 ! + 2 = 0, + x 0 − 3y 0 = 0. (3) * (1)  -)`=   x 0 y 0 1   =   2 √ 5 5 √ 5 5 4 √ 5 5 − √ 5 5 2 √ 5 5 − 2 √ 5 5 0 0 1     x y 1   , · 2 ·

故3x+y+1=0在旧坐标系下的方程为: 2 1=0. 即5x+5y+10+√5=0. 习题92 1.化简二次曲线的方程 5x2+4xy+2y2-24x-12y+12=0 并画出它的图形以及新的坐标轴 解:矩阵A 因此I1=Tr(4)=7>0.I2=|A|=6>0,3= 52-12 22-6=-108<0.此曲线是椭圆A的特征值是方程x2-7X+6=0的根,解得A1=6, 12-612 2=1故简化后的方程为62+02-10=0即3+=1 为画出其大致图形,需要求出坐标变换公式.对应于特征根6与1的单位特征向量分别是 )与( ￥)所以-(2) 且=1.再求曲线的中心(即新 坐标系的原点)O(xo,o),解线性方程组 5x0+29-12=0 得X0 因此坐标变换公式是 25_√5 y52y51 求出新坐标系中x轴与y轴在旧坐标系中的方程分别是x-2y=0(即y=0)与2x+y-5=0(即 第1题图

@ 3x 0 + y 0 + 1 = 0 M IJ: 3 Ã 2 √ 5 5 x + √ 5 5 y + 4 √ 5 5 ! + Ã − √ 5 5 x + 2 √ 5 5 y − 2 √ 5 5 ! + 1 = 0, + 5x + 5y + 10 + √ 5 = 0. ￾
9–2 1. abEFGHIJ 5x 2 + 4xy + 2y 2 − 24x − 12y + 12 = 0, cd%e 0, I2 = |A| = 6 > 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 2 −12 2 2 −6 −12 −6 12 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −108 < 0. CGH2gh. A ijk2IJ λ 2 − 7λ + 6 = 0 l, W` λ1 = 6, λ2 = 1. @bamIJ 6x 02 + y 02 − 108 6 = 0, + x 02 3 + y 02 18 = 1. d'noe<, pq$ . rs[ijl 6 1 ABij!U2 µ 2 √ 5 5 , √ 5 5 ¶ µ − √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ , () T = Ã 2 √ 5 5 − √ 5 √ 5 5 5 2 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. t$GH u (+ ) O0 (x0, y0), WHvIJV ( 5x0 + 2y0 − 12 = 0 2x0 + 2y0 − 6 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = µ 2 1 ¶ . &C 2   x y 1   =   2 √ 5 5 − √ 5 5 2 √ 5 5 2 √ 5 5 1 0 0 1     x 0 y 0 1   . $  x 0 5 y 0 5M  IJ!U2 x − 2y = 0 (+ y 0 = 0) 2x + y − 5 = 0 (+ x 0 = 0). 0 
￾ 1 2   4     8   < C HLMPQRJVPT[Z \ _ ab bf g i k k m m o o p q r s t t u v w x y y n / . n ￾n / / ￾0
 0 / o | n / m z y x w v v t t s r q q o o n l l k i h f d b ^ \ X[ZPWVUSRPNMHE    9  
 5   
2  ￾2 0   uuuuuuu@P  t t t t t t t t t t p ￾  ￾ 00000 000000 00000 00000 00000 000H   ,p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p   !:F z / 
   (7 h w -  x y x 0 y 0 O O0 ￾ 1
· 3 ·

2.化简二次曲线方程 并画出它的图形以及新的坐标轴 解矩阵A=(-2-2),B=(2),因此h=T(4)=-10.此曲线是双曲线A的特征值是方程2+A-6=0的根,解得A1=2,A2=-3 故简化后的方程为2x2-3y/2-1=0,即 为画出其大致图形,需要求出坐标变换公式.对应于特征根2与-3的单位特征向量分别是 2√5√5 与 所以T 2)且=1再水曲线的中心即新 坐标系的原点)O(x0,3),解线性方程组 得X 因此坐标变换公式是 2 求出新坐标系中x轴与y轴在旧坐标系中的方程分别是x+2y-3=0与2x-y+4=0. 3.化简二次曲线方程 x2-3ry+y2+10x-10y+21=0 并作出它的图形以及新的坐标轴 解:矩阵A 因此l1=Tr(A) 号1-5=-号<0此曲线是双曲线A的特征值是方程 5=0的根,解

2. abEFGHIJ x 2 − 4xy − 2y 2 + 10x + 4y = 0, cd%e 0. CGH2wGH. A ijk2IJ λ 2 + λ − 6 = 0 l, W` λ1 = 2, λ2 = −3. @bamIJ 2x 02 − 3y 02 − 1 = 0, + x 02 1 2 − y 02 1 3 = 1. d'noe 0, I2 = |A| = − 5 4 < 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 − 3 2 5 − 3 2 1 −5 5 −5 21 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = − 5 4 < 0. CGH2wGH. A ijk2IJ λ 2 − 2λ − 5 4 = 0 l, W` · 4 ·

A=,=-,故简化后的方程为2-y2+1=0即2-2=1 为画出其大致图形,需要求出坐标变换公式对应于特征根号与-号的单位特征向量分别是 (乎-号1)(号)() 且|=1.再求曲线的中心(即新坐标系的 原点)O(x0,vo),解线性方程组 得X 因此坐标变换公式是 求出新坐标系中x轴与y轴在旧坐标系中的方程分别是x+y=0与x-y+4=0. 第3题图 4.化简二次曲线方程 4x2-4xy+y2+6x-8y+3=0 并画出它的图形以及新的坐标轴 解:矩阵A 因此I1=Tr(4)=5>0,I2=|4=0,I3 4-23 21-4|=-25<0.此曲线是抛物线A的特征值是方程x2-5A=0的根解得A=01=5,对 3-43 应于特与的单向量分别(4)中(24要)明(2)

λ1 = 5 2 , λ2 = − 1 2 . @bamIJ 5 2 x 02 − 1 2 y 02 + 1 = 0, + y 02 2 − x 02 2 5 = 1. d'noe 0, I2 = |A| = 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 −2 3 −2 1 −4 3 −4 3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −25 < 0. CGH2yzH. Aijk2IJλ 2−5λ = 0l, W`λ1 = 0, λ2 = 5. r s[ijl0 5ABij!U2µ √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ µ − 2 √ 5 5 , √ 5 5 ¶ , ()T = Ã √ 5 5 − 2 √ 5 5 2 √ 5 5 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. · 5 ·

先用T作旋转坐标变换,可得 :(2-) 即b=-√5 用X0作平移坐标变换 E 可得 0 0 E X 00 0 5 √5 050 即方程化简为5y2-2√5x”=0.其简化方程为y2 x".总的坐标变换公式为 √52√5 TXo 25√51y 这.抛物线的.点坐标TX0 10 新坐标系中x与y在旧坐标系中的方程分别 2x-y+2=0与2x+4y+1=0 A 5.化简下列二次曲线的方程并指出它.一什么曲线 (1)4x2-4xy+y2+4x-2y=0; 2y-3=0. 解()0矩阵A=(21),B=(2)因此4=m(4=5>0b==0h 21-1=0.为确.曲线 需要.步计算A的特征值方程A2-5=0的根,解得 A2=0=5、于征根0与5的单位持征向量分别(3)与(-2语),所以

{9 T x|} , -` µ T T 0 0 1 ¶ µ A B BT 3 ¶ µ T 0 0 1 ¶ =   0 0 − √ 5 0 5 −2 √ 5 − √ 5 −2 √ 5 3   . + b 0 1 = − √ 5, b 0 2 = −2 √ 5. K X0 =   b 02 2 − λ2c 2b 0 1λ2 − b 0 2 λ2   = Ã − √ 5 10 2 √ 5 5 ! , 9 X0 x3~  µ X0 1 ¶ = µ E X0 0 1 ¶ µ X00 1 ¶ , -` µ E 0 XT 0 1 ¶   0 0 − √ 5 0 5 −2 √ 5 − √ 5 −2 √ 5 −2   µ E X0 0 1 ¶ =   0 0 − √ 5 0 5 0 − √ 5 0 0   , +IJab 5y 002 − 2 √ 5x 00 = 0. 'baIJ y 002 = 2 √ 5 5 x 00 .   µ X 1 ¶ = µ T T X0 0 1 ¶ µ X00 1 ¶ =   √ 5 5 − 2 √ 5 5 − 9 10 2 √ 5 5 √ 5 5 1 5 0 0 1     x 00 y 00 1   . 0￾yzH
 2 T X0 = ³ − 9 10 , 1 5 ´T .   x 0 5 y 0 5M  IJ!U2 2x − y + 2 = 0 2x + 4y + 1 = 0. 0   1    2  2                 5  0  ￾| / l . -  - g ) (%$TPNKJHG F* & $ # uuur@ t t t t t t t t t p ￾ ￾                  8  PPPPPPPPPP   !:F z / 
 
  IX#  x y x 0 y 0 O O0 ￾ 4
5. abPEFGHIJ, c%2GH: (1) 4x 2 − 4xy + y 2 + 4x − 2y = 0; (2) x 2 − 2xy + y 2 + 2x − 2y − 3 = 0. : (1) :; A = µ 4 −2 −2 1 ¶ , B = µ 2 −1 ¶ , &C I1 = Tr(A) = 5 > 0, I2 = |A| = 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 4 −2 2 −2 1 −1 2 −1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. GH pq  . A ijk2IJ λ 2 − 5λ = 0 l, W` λ1 = 0, λ2 = 5. rs[ijl 0 5 ABij!U2 µ √ 5 5 , 2 √ 5 5 ¶ µ − 2 √ 5 5 , √ 5 5 ¶ , () · 6 ·

2y5 且|=1 先用T{转坐标变换,可得 T0\/AB 01/(B 01 1=0.二取x=(-2)=()用x、平移坐标变换可得 ()(2)( 000 050 即方、化为52-1=0,即y=±52,这是标平行直线总的坐标变换公式为 2√5 0 (2)矩阵 因此I=Tr(A)=2>0,2=|41=0,I3 0.为确定曲线的类型、、坐标系与算.A的、征、是方 得=0=2、于、低0与2的单位征向量分别是(号)与(2,)所以 且 先用T1转坐标变换,可得 TT 0\/A B/T 0 0 01八(B-3八(01 即b=0,b 取x-(-%)() 用X0、平移坐标变换可得 E 0 E X 方化为2y2-4=0,即y"=±V2,这是标平行直线总的坐标变换公式为 01 6.求下、二次曲线的公近线 (1)6x2-xy-y2+3x+y-1=0 2)2ry-4x-2y+3=0

T = Ã √ 5 5 − 2 √ 5 5 2 √ 5 5 √ 5 5 ! , 7 |T| = 1. {9 T x|} , -` µ T T 0 0 1 ¶ µ A B BT 0 ¶ µ T 0 0 1 ¶ =   0 0 0 0 5 − √ 5 0 − √ 5 0   . + b 0 1 = 0, b 0 2 = − √ 5. K X0 = µ 0 − b 0 2 λ2 ¶ = µ √ 0 5 5 ¶ , 9 X0 x3~ , -` µ E 0 XT 0 1 ¶   0 0 0 0 5 − √ 5 0 − √ 5 0   µ E X0 0 1 ¶ =   0 0 0 0 5 0 0 0 −1   , +IJab 5y 002 − 1 = 0, + y 00 = ± √ 5 5 , 02r3OH.   µ X 1 ¶ = µ T T X0 0 1 ¶ µ X00 1 ¶ =   √ 5 5 − 2 √ 5 5 − 2 5 2 √ 5 5 √ 5 5 1 5 0 0 1     x 00 y 00 1   . (2) :; A = µ 1 −1 −1 1 ¶ , B = µ 1 −1 ¶ , &C I1 = Tr(A) = 2 > 0, I2 = |A| = 0, I3 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 1 −1 1 −1 1 −1 −3 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. GH pq  . A ijk2IJ λ 2 − 2λ = 0 l, W ` λ1 = 0, λ2 = 2. rs[ijl 0 2 ABij!U2 µ √ 2 2 , √ 2 2 ¶ µ − √ 2 2 , √ 2 2 ¶ , () T = Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! , 7 |T| = 1. {9 T x|} , -` µ T T 0 0 1 ¶ µ A B BT −3 ¶ µ T 0 0 1 ¶ =   0 0 0 0 2 − √ 2 0 − √ 2 −3   . + b 0 1 = 0, b 0 2 = − √ 2. K X0 = µ 0 − b 0 2 λ2 ¶ = µ √ 0 2 2 ¶ , 9 X0 x3~ , -` µ E 0 XT 0 1 ¶   0 0 0 0 2 − √ 2 0 − √ 2 −3   µ E X0 0 1 ¶ =   0 0 0 0 2 0 0 0 −4   , IJab 2y 002 − 4 = 0, + y 00 = ± √ 2, 02r3OH.   µ X 1 ¶ = µ T T X0 0 1 ¶ µ X00 1 ¶ =   √ 2 2 − √ 2 2 − 1 √ 2 2 2 √ 2 2 1 2 0 0 1     x 00 y 00 1   . 6. $PEFGHH: (1) 6x 2 − xy − y 2 + 3x + y − 1 = 0; (2) 2xy − 4x − 2y + 3 = 0. · 7 ·

6 3 2 A 因此h2=14=-250.此曲线是双曲线曲线的中心(x,)满足线性方程组 6号+2=0 0 得Xo 如)-(33)·公近线方程为 3 3 6|x+ + 5 5)=0 式可分解为 (+)+(-3)(+)-(-3) 所以公近线方程为3x+y=0和2x-y+1=0. (2)-阵A/01),B=(-1 因此I2=|4 1>0.此曲 线是双曲线曲线的中心(x0,9)满足线性方程组 2=0 (xo-1=0 得x0=( 2人公近线方程为2(x-1)(y-2)=0,即x=1和y=2 7.就λ的值原点方程 A2-2ry+y2-2x+2y+5=0 所在示的曲线形新 阵A B 因此I1=Tr(4)=2A,I2=|4=A2-1=(A-1)(+1 I3=-1X1|=(5入+3)(-1).分的种向量为原点 (i)当A≠±1出,I2≠0.变可分为种向量.(a)>1换λ0.当A>1出,1与l3 式中曲线是分椭圆:当入<-1出,1与13异中,曲线是椭圆.(b)-1<入<1,此出L2<0.当入=-3 出,l3=0,曲线为标对相求线;它当入≠一出,曲线总是双曲线 (i)当λ=-1出,I2=0,I3≠0,曲线是抛物线 4A=1出==0其所变量1=12131+13=0-20可如曲 线是标对分平行线 8.就λ的值原点方程 Ax2+2xy+y2-2x-2y+入=0 所在示曲线的形新 阵A B 因此l1=Tr(A)=1+λ,I2=|=A(1-入),I3

: (1) :;A = à 6 − 1 2 − 1 2 −1 ! , B = à 3 2 1 2 ! , &CI2 = |A| = − 25 4 0. CGH2wGH. GH u (x0, y0)RSHvIJV ( 6x0 − 1 2 y0 + 3 2 = 0 − 1 2 x0 − y0 + 1 2 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = à − 1 5 3 5 ! . HIJ 6 µ x + 1 5 ¶2 − µ x + 1 5 ¶ µy − 3 5 ¶ − µ y − 3 5 ¶2 = 0. 6-!W µ 3 µ x + 1 5 ¶ + µ y − 3 5 ¶¶ µ2 µ x + 1 5 ¶ − µ y − 3 5 ¶¶ = 0, ()HIJ 3x + y = 0 T 2x − y + 1 = 0. (2) :; A = µ 0 1 1 0 ¶ , B = µ −2 −1 ¶ , &C I2 = |A| = −1 0. CG H2wGH. GH u (x0, y0)RSHvIJV ( y0 − 2 = 0 x0 − 1 = 0 ` X0 = µ x0 y0 ¶ = µ 1 2 ¶ . HIJ 2(x − 1)(y − 2) = 0, + x = 1 T y = 2. 7. 1 λ kIJ λx2 − 2xy + λy2 − 2x + 2y + 5 = 0 (GH 1  λ 0.  λ > 1 , I1 I3  , GH2!gh;  λ 0, -#G H2r!3OH. 8. 1 λ kIJ λx2 + 2λxy + y 2 − 2x − 2λy + λ = 0 (GH<. : :; A = µ λ λ λ 1 ¶ , B = µ −1 −λ ¶ , &C I1 = Tr(A) = 1 + λ, I2 = |A| = λ(1 − λ), I3 = · 8 ·

A1-=-(-1)2(2A+1).分的基向量为原点 (i)写λ≠1,0出,2≠0.变可分为两基向量.(a)00,1>0,I31,此出h0,平 △1=√+B△2=√+B,面L1的单位方向向量=(盘,B)与n=(含)构 成标轴上且就求组.平T= (套) 面有(m,n2)=(m,m2)T,T是标轴就求矩阵,且=1.因 此,n构成标轴右手系 试用平 xAr+△1y+ B 就有 A B, C 这是标轴直角坐标变换公式在新的坐标系[O;n1,啦中,曲线的方程化简为△x2+2△2Y=0.显然 △1≠0,因此x2+22y=0,这是标习抛物线 (2)此抛物线的对推轴是y轴,方程为x′=0,即A1x+B1y+C1=0. 10.设二次曲线方程为 a1x2+2a12y+a22y2+2b1x+2b2y+c=0 (1)二次曲线为标习矩轴双曲线换两习知这阵直的直线的形分到要习题是1=0 (2)二次曲线为圆的形分到要习题是=412,I1I3<0 (3)二次曲线若在下标轴椭圆,试求意椭圆面故 证明:(1)若此二次曲线为矩轴双曲线,面由于l1是就求所变量,从矩轴双曲线的标单方程位知 h1=0若是两习这知阵直的直线面其标单方程为Ax2+1y/2=0,且12<0,即y=士=x 在下两习这知阵直的直线,因此 1,推得=1,即1=0

¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ λ λ −1 λ 1 −λ −1 −λ λ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −(λ − 1)2 (2λ + 1). !. (i)  λ 6= 1, 0 , I2 6= 0. -!. (a) 0 0, I1 > 0, I3 1, C I2 0, 3 ∆1 = p A2 1 + B2 1 , ∆2 = p A2 2 + B2 2 , 4 L1, L2 ABI η 0 1 = ³ A1 ∆1 , B1 ∆1 ´ η 0 2 = ³ A2 ∆2 , B2 ∆2 ´ \ ]5671$V. 3 T = Ã A1 ∆1 A2 ∆2 B1 ∆1 B2 ∆2 ! , 4 (η 0 1 , η0 2 ) = (η1, η2)T, T 251$:;, 7 |T| = 1. & C η 0 1 , η0 2 \]5^_. 893    x 0 = A1 ∆1 x + B1 ∆1 y + C1 ∆1 y 0 = A2 ∆2 x + B2 ∆2 y + C2 ∆2 , 1   x 0 y 0 1   =   A1 ∆1 B1 ∆1 C1 ∆1 A2 ∆2 B2 ∆2 C2 ∆2 0 0 1     x y 1   , 025 .   [O0 ; η 0 1 , η0 2 ] , GHIJab ∆2 1x 02 + 2∆2Y 0 = 0. XY ∆1 6= 0, &C x 02 + 2∆2 ∆2 1 y 0 = 0, 02￾yzH. (2) CyzHr.52 y 0 5, IJ x 0 = 0, + A1x + B1y + C1 = 0. 10. DEFGHIJ a11x 2 + 2a12xy + a22y 2 + 2b1x + 2b2y + c = 0. ,-: (1) EFGH￾:5wGH￾#0;H2 I1 = 0; (2) EFGHh2 I 2 1 = 4I2, I1I3 < 0; (3) EFGHQ5gh, 8$?gh4@. : (1) QCEFGH:5wGH, 4*[ I1 21$(, ,:5wGHAIJB# I1 = 0; Q2￾0#;H, 4'AIJ λ1x 02 + λ2y 02 = 0, 7 λ1λ2 < 0, + y 0 = ± r −λ1 λ2 x 0 ￾0#;H, &C r −λ1 λ2 · µ − r −λ1 λ2 ¶ = −1, .` −λ1 λ2 = 1, + I1 = 0. · 9 ·

反之,若I1=0,则因l1=A1+入2=0.,可知A2=-A1(≠0),并且I2=-0,五·30,曲线是椭圆.又因I1=A+A2,P2=A1A2,由=412 可得λ1=A2,故此曲线是圆 (3)在标准椭圆方程+ 1(a>0,b>0)中椭圆的面积S=丌ab.若曲线表示一个椭圆 则适当速择坐标系之后可得的前化方程为+加+,是+ 所以面积S A1A2 Tla)vl2 11.已知椭圆长轴和短轴分别在直线x+y-1=0和x-y+1=0上,且长短轴长分别为4与2 求此椭圆的方程 解:不妨设长轴在x轴(即y=0)上,短轴在y轴(即x=0)上,作变换 写成矩阵形式为 1(23)G 其左上角的子矩阵 是行列式等于1的正交矩阵,因此这是右手直角坐标系间的坐标变 换在新的坐标系里曲线的方程应为+=1.利用坐标变换公式可得在旧坐标系下的方程 (号x-号+2)+(号x+ 1,即为5x2+6xy+5y2-6x-10y-3=0. 习题93 1.判别下列对应法则是否为实数域R到自身的映射,并指出哪些是单射?满射? (5)x→sin(x2) ar b tana 解:(1)-(5)都是R到自身的映射,其中(2),(4)是单射,(2)是满射,(6)不是映射 2.设S表示平面上所有点组成的集合.L是一条直线,把平面上每个点P(x,y)对应到它关于L的 对称点P(x1,y),这是S到自身的一个变换,称为关于直线L的反射,称L是反射轴 (1)求出平面关于直线y=x的反射公式 (2)设反射轴为Ax+By+C=0.求出这时的反射公式 (3)设1,/2是关于平面上两条平行直线L1,L2的反射证明2%1是一个平移 解:(1)已知P(x,y)关于直线y=x的对称点为P(x,y x+z' y+y' 10

CD, Q I1 = 0, 4& I1 = λ1 + λ2 = 0, -# λ2 = −λ1(6= 0), c7 I2 = −λ 2 1 0, I1 · I3 0, GH2gh. & I1 = λ1 + λ2, I2 = λ1λ2, * I 2 1 = 4I2 -` λ1 = λ2, @CGH2h. (3) AghIJ x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 (a > 0, b > 0) , gh4@ S = πab. QGH5gh, 4GHI Dm-`%baIJ λ1x 02 + λ2y 02 + I3 I2 = 0, + x 02 −I3 I2 · 1 λ1 + y 02 −I3 I2 · 1 λ2 = 1. ()4@ S = π r I 2 3 I 2 2 · 1 λ1λ2 = π|I3| √ I2 I 2 2 . 11. "#ghJ5TK5!UH x + y − 1 = 0 T x − y + 1 = 0 6, 7JK5J!U 4 2. $CghIJ. : (2DJ5 x 0 5 (+ y 0 = 0) 6, K5 y 0 5 (+ x 0 = 0) 6, x    x 0 = √ 2 2 x − √ 2 2 y + √ 2 2 y 0 = √ 2 2 x + √ 2 2 y − √ 2 2 , ]:;<   x 0 y 0 1   =   √ 2 2 − √ 2 2 √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 − √ 2 2 0 0 1     x y 1   , 'L6 M:; Ã √ 2 2 − √ 2 √ 2 2 2 √ 2 2 ! 2OP:[ 1 1$:;, &C02^_ N  .  OGHIJs x 02 4 + y 02 1 = 1. &9 , -`M IJ: 1 4 µ √ 2 2 x − √ 2 2 y + √ 2 2 ¶2 + µ √ 2 2 x + √ 2 2 y − √ 2 2 ¶2 = 1, + 5x 2 + 6xy + 5y 2 − 6x − 10y − 3 = 0. ￾
9–3 1. PUPrsQ42RSZT R =UVWX, cYZ2AX? RX? (1) x 7→ x 2 ; (2) x 7→ x 3 ; (3) x 7→ |x|; (4) x 7→ 2 x ; (5) x 7→ sin(x 2 ); (6) x 7→ tan x. : (1)–(5) [2 R =UVWX, ' (2), (4) 2AX, (2) 2RX, (6) (2WX. 2. D S 346(V]\+. L 2￾H, ]346^5 P(x, y) rs=%/[ L  r. P 0 (x 0 , y0 ), 02 S =UV5, ./[H L CX, . L 2CX5. (1) $34/[H y = x CX; (2) DCX5 Ax + By + C = 0. $0CX; (3) D S 1,S 2 2/[346￾3OH L1, L2 CX. ,- S 2S 1 253~. : (1) "# P(x, y) /[H y = x r. P 0 (x 0 , y0 ). 4    x + x 0 2 = y + y 0 2 y − y 0 x − x 0 = −1, · 10 ·