习题解答 第二章行列式 习题2-1 1.判别下列映射哪些是单映射,哪些是满映射,哪些是可逆映射 (1)f:C (2)V为几何空间,为一固定的单位向量映射 d一a(a)=a-2(ae)e (3)f:N N n+ 解:(1)非单,非满,不可逆 (2)单,满,可逆 (2)单,非满,不可逆 2.设f为集合S到集合S的映射,g为集合S到集合S"的映射,证明: (1)如果gf为单映射,则f为单映射 2)如果为gf满映射,则g为满映射 证明:(1)对任意的s1,82∈S,如f(51)=f(s2),则gf(51)=9f(s2).因gf是单映射,故s1=82,从 而∫是单映射 (2)对任意的s"∈S",因9f是满映射,故存在s∈S,使gf(s)=s",从而s′=f(s)∈S,使 g(s)=s",故g是满映射 3.设∫为集合S到集合S"的可逆映射,g为集合S"到集合S"的可逆映射,则gf为集合S到集合 S"的可逆映射,且(gf)-1=f-1g-1 证明:因为∫与g都可逆,所以∫-g-是集合S"到S的一个映射,且 (-9)(gf)=f(g-g)f=f-llsf=f-f=ls (gf)(f g(ff)9=lsg=9s 题2- p=(3547621),g=(123456 234567 2517643 求p,p-qp,并把p,q分别表示成对换的乘积 解: 1234567 q=(12)(25)(56)(64)(47)(73).(后面两个表示式不唯一) 2.计算下列置换的逆序数,并确定其奇偶性: 123456
2–1 1. | F]GHF], GH-F], GH> F]? (1) f : C −→ R a 7−→ |a| (2) V "'pq, −→e "HI / , F] σ : V −→ V −→a 7−→ σ( −→a ) = −→a − 2(−→a · −→e ) −→e (3) f : N −→ N n 7−→ n + 1 : (1) n, n-, U> . (2) , -, > . (2) , n-, U> . 2. f " T S T S 0 F], g " T S 0 T S 00 F], ST: (1) gf "F], J f "F]; (2) " gf -F], J g "-F]. : (1) s1, s2 ∈ S, f(s1) = f(s2), J gf(s1) = gf(s2). ! gf F], ! s1 = s2, C % f F]. (2) s 00 ∈ S 00 , ! gf -F], !1k s ∈ S, ' gf(s) = s 00 , C% s 0 = f(s) ∈ S 0 , ' g(s 0 ) = s 00 , ! g -F]. 3. f " T S T S 0 > F], g " T S 0 T S 00 > F], J gf " T S T S 00 > F], ? (gf) −1 = f −1 g −1 . : !" f B g m> , #$ f −1 g −1 T S 00 S HfF], ? (f −1 g −1 )(gf) = f −1 (g −1 g)f = f −1 1S0f = f −1 f = 1S, (gf)(f −1 g −1 ) = g(ff −1 )g −1 = g1S0g −1 = gg−1 = 1S00 . 2–2 1. : p = µ 1 2 3 4 5 6 7 3 5 4 7 6 2 1 ¶ , q = µ 1 2 3 4 5 6 7 2 5 1 7 6 4 3 ¶ . s pq, p −1 qp, WN p, q *J. : pq = µ 1 2 3 4 5 6 7 5 6 3 1 2 7 4 ¶ , p−1 qp = µ 1 2 3 4 5 6 7 7 5 4 1 3 2 6 ¶ , p = (13)(34)(47)(25)(56), q = (12)(25)(56)(64)(47)(73). (7f )U,H). 2. xg YJ ?, Wd < &: (1) µ 1 2 3 4 5 6 3 4 5 6 1 2 ¶ ; · 1 ·
554 (3) 6432 3797 2289 2n135 解:(1)逆序数奇8,偶 (2)逆序数奇20,偶 (3)逆序数奇11,是 (4)逆序数奇n,是偶性从n的是偶性 3.计算定列排列的逆序数,并确下其是偶性 (1)5317246; (2)384576192 (3)246813579 (4)987654321 解:(1)逆序数奇9.是 2)逆序数奇18,偶 3)逆序数奇10,是 (4)逆序数奇36,偶 4.确下i及k,使 (1)237864k5成偶排列;(2)4691i752成是排列 解:(1)i=1,k=9 5.计算定列排列的逆序数 (1)135…(2n-1)(2n)(2n-2)…642; 解:(1)n(n-1) 2)n(2n+1) 6.已知置换p的逆序数为a,求p1的逆序数 解 7.已知排列x1x2…xn的逆序数为a,求xnxn-1…x2x1的逆序数 解故为12…的逆序数+mxn-1…2的顺序数=m21),而xn1…zx2的逆序 数=x122…Zn的顺序数,所以xnx1-1…2x1的逆序数=2-a 8.证合:题任何不超过2(=1的正整数k,必存在逆序数为k的n阶排列 证明:题k用数学归纳法 首先,当k=1时,213…n的逆序数为1 假下为所题k-1成立(k≤2)明存在n阶排列 其逆序数为k-,则必存在<k使<(式则此排列的逆序数为x①),从而在方k之间必有 两个相邻的编置j≤r<r+1≤k,使i<i+1.作排列
(2) µ 1 4 5 6 3 2 8 7 6 8 5 4 7 2 1 3 ¶ ; (3) µ 2 5 4 3 9 8 6 7 1 6 3 1 2 7 9 8 5 4 ¶ ; (4) µ 1 3 5 · · · 2n − 1 2 4 6 · · · 2n 2 4 6 · · · 2n 1 3 5 · · · 2n − 1 ¶ . : (1) ? 8, . (2) ? 20, . (3) ? 11, . (4) ? n, &C n &. 3. xg K ?, Wd < &: (1) 5317246; (2) 384576192; (3) 246813579; (4) 987654321. : (1) ? 9, . (2) ? 18, . (3) ? 10, . (4) ? 36, . 4. d i h k, ' (1) 237i864k5 * K ; (2) 469k1i752 *K . : (1) i = 1, k = 9. (2) i = 8, k = 3. 5. xg K ?: (1) 135 · · ·(2n − 1)(2n)(2n − 2)· · · 642; (2) (2n + 1)(2n)(2n − 1)· · · 321. : (1) n(n − 1). (2) n(2n + 1). 6. YJ p ?" a, s p −1 ?. : a. 7. K x1x2 · · · xn ?" a, s xnxn−1 · · · x2x1 ?. : !" x1x2 · · · xn ? +xnxn−1 · · · x2x1 L? = n(n − 1) 2 , % xnxn−1 · · · x2x1 ? = x1x2 · · · xn L?, #$ xnxn−1 · · · x2x1 ? = n(n − 1) 2 − a. ∗8. ST: UMN n(n − 1) 2 r+ k, @1k ?" k n yK . : k OPD. Q , b k = 1 R, 213 · · · n ?" 1; 1 "# k − 1 *+ µ k 6 n(n − 1) 2 ¶ , 1k n yK i1i2 · · ·in (1) < ?" k − 1, J@1k j < k, ' ij < ik ()JOK ?" n(n − 1) 2 ), C%k j, k 9q@G 7fe(RY j 6 r < r + 1 6 k, ' ir < ir+1. /K i1 · · ·ir−1ir+1irir+2 · · ·in, · 2 ·
此排列的逆序数=排列(1)的逆序数+1= 把归纳法原理知结论成立 *9.在所有n阶置换中,分别有多少个逆序数为1,2,3的置换? 解:把排列与置换的关系,我们只需对排列确定相应的值即可. 当k=1时,故任意逆序数为1的排列都可以把排列123……n交换两个相邻的数而得到,故逆序数 为1的排列个数等其P(m)=n-1. 把其任一n阶排列都可以把n-1阶排列添加数n而得到故当k=2时,逆序数为2的排列可把 定述方式得到 (a)12 12.n-3nn-2n-1 (b)i1i2…in-1(逆序数1)→→i12…in-2nin-1; (c)i1i2…in-1(逆序数2) Z12···n-17 所以逆序数为2的排列个数为 P2(m)=1+P1(n-1)+P2(n-1) 把此可得 P2(m-1)=1+P1(m-2)+P2(n-2), P2(3)=1+P1(2)+P2(2) 所以P2(n)=(n-2)+(n-1)+…+2=(m-2)(n+1) 当n=3时,类似其上面的讨论,可得 R3(m)=1+B1(n-1)+P2(n-1)+P3(m-1), 所以 P 把此可得P3(m) 意对2-3 1.确定定列偶列式的项前面所带的符置: (1)a31a12a23a44 (2)a31a23a14a4a65a56 解:(1)+ 2.定列各项奇否为五阶偶列式的项(包括符置)? (2)奇 3.写出四阶偶列式中所有带负置且包含故子a23的项 解:-a11a32a23a4,-a31a42a23a14,-a4112a23a3 4.在n阶偶列式中,两存对角线上各元素的乘积分别应取位么符置?
JOK ? = K (1) ? +1 = k. NPDK "#*+. ∗9. k#G n yYJ, G Ff ?" 1, 2, 3 YJ? : NK BYJ*j, {SK d e,>. b k = 1 R, ! ?" 1 K m>$NK 123 · · · n J7fe(%P, ! ? " 1 K fV$N n − 1 yK T n %P. !b k = 2 R, ?" 2 K >N S@)P: (a) 12 · · · n − 2 n − 1 −→ 12 · · · n − 3 n n − 2 n − 1; (b) i1i2 · · ·in−1 ( ? 1) −→ i1i2 · · ·in−2 n in−1; (c) i1i2 · · ·in−1 ( ? 2) −→ i1i2 · · ·in−1 n. #$ ?" 2 K f" P2(n) = 1 + P1(n − 1) + P2(n − 1). NO>P P2(n − 1) = 1 + P1(n − 2) + P2(n − 2), . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P2(3) = 1 + P1(2) + P2(2), #$ P2(n) = (n − 2) + (n − 1) + · · · + 2 = (n − 2)(n + 1) 2 . b n = 3 R, klP P3(n) = 1 + P1(n − 1) + P2(n − 1) + P3(n − 1), #$ P3(n) − P3(n − 1) = (n − 2)(n + 1) 2 , NO>P P3(n) = n(n 2 − 7) 6 . 2–3 1. d ):O#VWY: (1) a31a12a23a44; (2) a31a23a14a42a65a56. : (1) +. (2) +. 2. (:)"iy ): (67WY)? (1) −a21a34a15a23a52; (2) +a32a15a24a53a41. : (1) U. (2) . 3. ~%ly )#GV9Y?6 ! a23 :. : −a11a32a23a44, −a31a42a23a14, −a41a12a23a34. 4. k n y ), 715ty( X,z/0WY? : +, (−1) n(n−1) 2 . · 3 ·
5.证明:∑s(12…in)=0(n≥2) 证明:因为在全体n(n≥2)阶原列中,奇偶原列各置一半所以在{sgn(i1i2…in)i1,t2,…tin}中 正负置各置一半因此∑sgn(i1i2…i)=0 6.按定超计算下列偶列式 (2)3003 400 (3)100ax0 x000a 010 0 (5) 00.00 (6)1003 000 n00 0 000 ##:(1)acfh+ bdeg-adeh-bcfg (2)0. (5)(-1)n-n! 习题 1.用初等偶变则将下列射阵变为阶三角形射阵 48187 (1) 10184017 17173 48187 04101 解:(1) 0000 32 0000 0-500 23 0 0000 2.用初等列变则将下列射阵变为下三角形射阵
5. ST: X i1i2···in sgn(i1i2 · · ·in) = 0 (n > 2). : !"k3n (n > 2) yK , K (YHZ, #$k{sgn(i1i2 · · ·in) | i1, i2, · · ·in}, r9Y(YHZ. !O X i1i2···in sgn(i1i2 · · ·in) = 0. 6. [ Mxg ): (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 0 b 0 c d 0 0 e f 0 g 0 0 h ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 0 0 0 0 2 2 3 0 0 3 4 0 0 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a x 0 0 0 0 a x 0 0 0 0 a x 0 0 0 0 a x x 0 0 0 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 0 · · · 0 1 0 0 · · · 2 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 n − 1 · · · 0 0 n 0 · · · 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 0 · · · 0 0 0 0 2 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 n − 1 n 0 0 · · · 0 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (6) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a a · · · a 0 2 a · · · a 0 0 3 · · · a . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . : (1) acfh + bdeg − adeh − bcfg. (2) 0. (3) a 5 + x 5 . (4) (−1) n(n−1) 2 n!. (5) (−1)n−1n!. (6) n!. 2–4 1. \V =Jv ]^="y456]^: (1) 0 4 10 1 4 8 18 7 10 18 40 17 1 7 17 3 ; (2) 3 2 −1 2 0 1 4 1 0 −3 0 2 2 −1 −2 1 1 −3 3 1 3 −9 −1 6 3 −1 −5 7 2 −7 ; : (1) 4 8 18 7 0 4 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 . (2) 3 2 −1 2 0 1 0 −1 4 −11 −1 5 0 0 −16 38 5 −23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . 2. \V =Jv ]^=" 456]^: · 4 ·
(1) 3-210-11 11-158 1257 000 解(1)119 3-35-540 70 160 200000 00000 习题 1.计算下列偶列式 111 (3) 12341 1 1 (5) 111 11+b1 234 解:(1)4 abcde f (4)160. (5)a2 (6)(a-a1)(a-a2)(a-a3)(a-a4) 2.证明下列等式 (1) sin2B cos2B cos(2B)=0 b (2)b+cc+a′a'+b|=2a′bcs
(1) 2 1 −30 5 1 0 4 − 1 − 3 −2 10 −11 −1 1 −15 8 ; (2) 1 −1 2 3 4 2 1 −1 2 0 −1 2 1 1 3 1 5 − 8 − 5 −12 3 −7 8 9 13 . : (1) 2 0 0 0 1 19 0 0 −3 −35 −54 0 −1 −30 27 0 . (2) 1 0 0 0 0 2 3 0 0 0 −1 1 14 0 0 1 6 0 0 0 3 −4 −14 0 0 . 2–5 1. xg ) : (1) ¯¯¯¯¯¯ ab ac ae bd −cd ed bf cf −ef ¯¯¯¯¯¯ ; (2) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 1 1 1 1 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯; (3) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 1 1 1 1 2 4 8 1 3 9 27 1 4 16 64 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (4) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 2 3 4 2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯; (5) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 + a 1 1 1 1 1 − a 1 1 1 1 1 + b 1 1 1 1 1 − b ¯¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (6) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 1 1 1 1 a1 a a2 a2 a2 a2 a2 a a3 a3 a3 a3 a3 a a4 a4 a4 a4 a4 a ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯. : (1) 4abcdef . (2) 48. (3) 12. (4) 160. (5) a 2 b 2 . (6) ( a − a 1)( a − a 2)( a − a 3)( a − a 4). 2. ST V) : (1) ¯¯¯¯¯¯ sin 2 α cos 2 α cos(2 α ) sin 2 β cos 2 β cos(2 β ) sin 2 γ cos 2 γ cos(2 γ ) ¯¯¯¯¯¯ = 0; (2) ¯¯¯¯¯¯ b + c c + a a + b b 0 + c 0 c 0 + a 0 a 0 + b 0 b 00 + c 00 c 00 + a 00 a 00 + b 00 ¯¯¯¯¯¯ = 2 ¯¯¯¯¯¯ a b c a0 b0 c0 a 00 b 00 c 00 ¯¯¯¯¯¯; · 5 ·
(a+1)2(a+2)(a+3) b2(b+1)2(b+2)2(b+3)2 c2(+1)2(c+2)2(+3) a(d+1)2(d+22(d+3) sin"a-cosa cosa cos(2a) os(2a)cosa cos(2a) 证明:(1)定边 B-cos?B cos?B cos(28)=-cos(2B)cos?3 cos(2B)=0 sin* y cosy cos(2n) cos(27) cos cos(2y) a+b (2)定边=2a+b+cd+aa+b=2a+b+c-b-=右边 a+b+cc+a" a+b a+b+ch a22a+14a+46a+9 b22b+14b+46b+9|b22b+12 c22c+14c+46c+9-a22c+126 d22d+14d+46d+922d+126 意对26 1.计算偶列式 123 b-101 023 的变一列各元素的代数余子式 解:A11=-1,A21=1,A31=2,A41=2 2.求偶列式 0 21 的全判元素的代数余子式 解:A11=7,A12=-12,A13=3,A21=6,A22=4,A23=-1,A31=-5,A32=5,433=5. 3.计算定列各偶列式 012-1-4 20121 (1) 3 512 3-3121 x2101 f 0 解:(1)0 (3)-x3-x2-x+2
(3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 (a + 1)2 (a + 2)2 (a + 3)2 b 2 (b + 1)2 (b + 2)2 (b + 3)2 c 2 (c + 1)2 (c + 2)2 (c + 3)2 d 2 (d + 1)2 (d + 2)2 (d + 3)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. : (1) 8 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ sin2 α − cos2 α cos2 α cos(2α) sin2 β − cos2 β cos2 β cos(2β) sin2 γ − cos2 γ cos2 γ cos(2γ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ − cos(2α) cos2 α cos(2α) − cos(2β) cos2 β cos(2β) − cos(2γ) cos2 γ cos(2γ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. (2) 8 = 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a + b + c c + a a + b a 0 + b 0 + c 0 c 0 + a 0 a 0 + b 0 a 00 + b 00 + c 00 c 00 + a 00 a 00 + b 00 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a + b + c −b −c a 0 + b 0 + c 0 −b 0 −c 0 a 00 + b 00 + c 00 −b 00 −c 00 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 8. (3) 8 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 2a + 1 4a + 4 6a + 9 b 2 2b + 1 4b + 4 6b + 9 c 2 2c + 1 4c + 4 6c + 9 d 2 2d + 1 4d + 4 6d + 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 2 2a + 1 2 6 b 2 2b + 1 2 6 c 2 2c + 1 2 6 d 2 2d + 1 2 6 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 0. 2–6 1. xg ) D = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 1 2 3 b −1 0 1 c 0 2 3 d 1 −1 −2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ =H ( XQ$). : A11 = −1, A21 = 1, A31 = 2, A41 = 2. 2. s ) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 −1 2 3 2 1 0 1 4 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 3| XQ$). : A11 = 7, A12 = −12, A13 = 3, A21 = 6, A22 = 4, A23 = −1, A31 = −5, A32 = 5, A33 = 5. 3. xg ( ): (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a b c d a b d c b a c d b a d c ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 1 2 −1 −4 2 0 1 2 1 −1 3 −5 1 2 3 −3 1 2 1 2 1 0 3 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 x 0 1 1 x 2 1 0 1 x 3 1 1 0 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y z t 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 0 b 0 c d 0 0 e f 0 g 0 0 h ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . : (1) 0. (2) −53. (3) −x 3 − x 2 − x + 2. · 6 ·
(4)-5x+2y+2z+2t (5)(ah-bg(cf-ed) 1.用克拉默法则解定列线性方程组: 3x1+2x2+r3=5, x1+x2+2x3+3x4=0, x1+5x2+x3+2x4=0, 2x1+x2+3x3=11 x1+52+5x3+2x4=0; x1+2x2+33-2x4=6, 2x1+x2-5x3+x4=-14, 2x1+x2+2x3-3x4=8 3x1+2x2-x3+2x4=4 2x2+x3+2x4=9 2x1+3x2+2x3+x4=4; r1+4x2+7x3+6x4=20. 理:(1)|A4|=12,|B1=24,|B2 2,x3=3. (2)|4=-20.|B1=|B2=|B3=|B4=0.x1=x2=x3=x4=0 (3)|4=12,|B1=12,|B2|=24,|B3|=-12,|B4=-24,x1=1,x2=2,3=-1,x4=-2. (4)|4|=-9,B1=-9,|B2|=18,|B3=-27,|B4=-9,x1=1,x2=-2,x3=3,r4=1 2.求一个二次多项否f(x),使∫(1)=1,f(-1)=9,f(2)=3 4x+3 3.述明证次线性方程组 +… 0, +…+2xn=0, nr1+n2x2+…+nxn=0 仅有零解 交即:故结 1!12…m!≠0, 根据推论7.2,原方程只有零解 意对28 1.将定列行列否按拉普拉确定理展个,以求定列行列否们明 00 0.651
(4) −5x + 2y + 2z + 2t. (5) (ah − bg)(cf − ed). 2–7 1. _`aDJ- t&@AB: (1) 3x1 + 2x2 + x3 = 5, 2x1 + 3x2 + x3 = 1, 2x1 + x2 + 3x3 = 11; (2) x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0, x1 + x2 + 2x3 + 3x4 = 0, x1 + 5x2 + x3 + 2x4 = 0, x1 + 5x2 + 5x3 + 2x4 = 0; (3) x1 + 2x2 + 3x3 − 2x4 = 6, 2x1 + x2 + 2x3 − 3x4 = 8, 3x1 + 2x2 − x3 + 2x4 = 4, 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 4; (4) 2x1 + x2 − 5x3 + x4 = −14, x1 − 3x2 − 6x3 = −11, − 2x2 + x3 + 2x4 = 9, x1 + 4x2 + 7x3 + 6x4 = 20. : (1) |A| = 12, |B1| = 24, |B2| = −24, |B3| = 36, x1 = 2, x2 = −2, x3 = 3. (2) |A| = −20, |B1| = |B2| = |B3| = |B4| = 0, x1 = x2 = x3 = x4 = 0. (3) |A| = 12, |B1| = 12, |B2| = 24, |B3| = −12, |B4| = −24, x1 = 1, x2 = 2, x3 = −1, x4 = −2. (4) |A| = −9, |B1| = −9, |B2| = 18, |B3| = −27, |B4| = −9, x1 = 1, x2 = −2, x3 = 3, x4 = 1. 2. sHfbH :) f(x), ' f(1) = 1, f(−1) = 9, f(2) = 3. : f(x) = 2x 2 − 4x + 3. 3. STHt&@AB x1 + x2 + · · · + xn = 0, 2x1 + 22x2 + · · · + 2nxn = 0, · · · · · · · · · · · · nx1 + n 2x2 + · · · + n nxn = 0 cGo-. : !" |A| = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 · · · 1 2 22 · · · 2 n . . . . . . . . . . . . n n2 · · · n n ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 1!2! · · · n! 6= 0, =>^# 7.2, K@A{Go-. 2–8 1. v )[`c`d ef, $s ): (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 6 0 0 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 b 0 0 c 0 d y 0 x 0 0 w 0 z ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; · 7 ·
111000 234000 31016000 3161 00 00b 00b 0b0 b00 解:(1)按变1,2两偶展开: 560 160 060 原式 156+(-1 056|+(-1) 056|=665 015 015 015 (2)(a.r-by)(ca-dw) 3)按变1,2,3偶展开: 原式=2341·123 (4)依一按中间两偶展开 原式=(a2-b2)D2(m-1)=…=(a2-b2)n 2.计算定列偶列式的值: 0 11 0 0 0 0 0 100 10 0 (2)/n-20 00 1.00
(3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 0 0 0 2 3 4 0 0 0 3 10 16 0 0 0 −1 1 0 1 1 1 −2 4 1 1 2 3 −3 16 1 1 4 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a 0 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 b 0 a 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 b 0 0 0 a . . . . . . . . . . . . . . b 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a b b a . . . . . . 0 0 b . . . . . . . . . . . . . . a 0 0 0 b 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 a 0 b 0 0 . . . . . . . . . . . . . . 0 0 a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 2n . : (1) [= 1, 2 7 ef: K) = ¯ ¯ ¯ ¯ 5 6 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 5 6 0 1 5 6 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (−1)7 ¯ ¯ ¯ ¯ 5 0 1 6 ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 6 0 0 5 6 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (−1)8 ¯ ¯ ¯ ¯ 6 0 5 6 ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 0 6 0 0 5 6 0 1 5 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = 665. (2) (ax − by)(cz − dw). (3) [= 1, 2, 3 ef: K) = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 2 3 4 3 10 16 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ · ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 1 1 2 3 1 4 9 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = −2. (4) GH[q7 ef: K) = (a 2 − b 2 )D2(n−1) = · · · = (a 2 − b 2 ) n . 2. xg ): (1) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 a1 0 · · · 0 0 −1 1 − a1 a2 · · · 0 0 0 −1 1 − a2 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 1 − an−1 an 0 0 0 · · · −1 1 − an ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (2) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n −1 0 0 · · · 0 0 n − 1 x −1 0 · · · 0 0 n − 2 0 x −1 · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 0 0 0 · · · x −1 1 0 0 0 · · · 0 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (3) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x a a · · · a a −a x a · · · a a −a −a x · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −a −a −a · · · −a x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; · 8 ·
5/0 aa+b 000.b ,(a≠b) a+b 0 n,+6/ 45.1 理:(1)各行加如第1行,得D=(-1)m+2.(-1)n=1 (2)算第1行起,各行面以x加如定一行 D=(-1)+1(1+2 roots+nxn-1).(-1)m-1=1+2x+…+nxn-1 x0.0 +(x-a)Dn-1, 论以 Dn=a(a +a)"-+(a-a)Dn-1, 消后Dn-1,得 x+a)2+(x-a)] (4)在似于阶题,可得 又 y(x-2)n-1 当y≠z时,由阶括否消后Dn-1,得
(4) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x y y · · · y y z x y · · · y y z z x · · · y y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . z z z · · · x y z z z · · · z x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ; (5) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a + b b 0 · · · 0 0 a a + b b · · · 0 0 0 a a + b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ , (a 6= b); (6) ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 3 · · · n − 1 n 2 3 4 · · · n 1 3 4 5 · · · 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n − 1 n 1 · · · n − 3 n − 2 n 1 2 · · · n − 2 n − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ . : (1) ( = 1 , P D = (−1)n+2 · (−1)n = 1. (2) g= 1 t, ( $ x H : D = (−1)n+1(1 + 2xcdots + nxn−1 ) · (−1)n−1 = 1 + 2x + · · · + nxn−1 . (3) Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a a a · · · a a −a x a · · · a a −a −a x · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −a −a −a · · · −a x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ x − a a a · · · a a 0 x a · · · a a 0 −a x · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 −a −a · · · −a x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ a a a · · · a a 0 x a · · · a a 0 0 x · · · a a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · 0 x ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ + (x − a)Dn−1, #$ Dn = a(x + a) n−1 + (x − a)Dn−1, Q, Dn = DT n = a(x − a) n−1 + (x + a)Dn−1, Dn−1, P Dn = 1 2 [(x + a) n + (x − a) n ]. (4) klP Dn = z(x − y) n−1 + (x − z)Dn−1. Q Dn = DT n = y(x − z) n−1 + (x − y)Dn−1. b y 6= z R, Ny7) Dn−1, P Dn = y(x − z) n − z(x − y) n y − z . · 9 ·
当y=z编,过及阵个式Dn=y(x-y)n-1+(x-y)Dn-1,纳Dn=(x+(n-1)y)(x-y) (5)令 b (a+b)△k-ab△k-1=△k+1 △1b△00 0 0 +b b 0 0 000 +b b 0 0 0 (a+b)△ 0 00 00 0 00.b n+1 + 000 n n(n+1) n(n+1) 112 11 1 11 n(n+1)11 (n+1)11 10
b y = z R, Nh^f) Dn = y(x − y) n−1 + (x − y)Dn−1, P Dn = (x + (n − 1)y)(x − y) n−1 . (5) I ∆0 = 1, ∆1 = a + b = a 2 − b 2 a − b , . . . , ∆n = a n+1 − b n+1 a − b , J (a + b)∆k − ab∆k−1 = ∆k+1. Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∆1 b∆0 0 · · · 0 0 a a + b b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∆1 b 0 · · · 0 0 a a + b − ab∆0 ∆1 b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ (a + b)∆1 − ab∆0 b∆1 0 · · · 0 0 a a + b b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ∆2 b∆1 0 · · · 0 0 a a + b b · · · 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 · · · a + b b 0 0 0 · · · a a + b ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 = · · · = ∆n = a n+1 − b n+1 a − b . (6) Dn = ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n(n + 1) 2 2 3 · · · n − 1 n n(n + 1) 2 3 4 · · · n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n(n + 1) 2 n 1 · · · n − 3 n − 2 n(n + 1) 2 1 2 · · · n − 2 n − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = n(n + 1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 3 · · · n − 1 n 1 3 4 · · · n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 n 1 · · · n − 3 n − 2 1 1 2 · · · n − 2 n − 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = n(n + 1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 2 3 · · · n − 1 n 0 1 1 · · · 1 1 − n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 − n 1 · · · 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ = n(n + 1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 · · · 1 1 − n 1 1 · · · 1 − n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 − n 1 · · · 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 = (−1) n(n + 1) 2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ 1 1 · · · 1 1 − n 1 1 · · · 1 − n 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 · · · 1 1 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ n−1 = (−1) n(n−1) 2 n n−1 (n + 1) 2 . · 10 ·
