第十章球函数(5+1) 基本要求: 1.掌握勒让得多项式概念,勒让得多项式的微分形式,正交关系,模 的计算,及其广义傅立叶展开理论及方法; 2.了解一般球函数和连带勒让得函数的概念。 教学内容: §10.1.轴对称球函数。勒让得多项式,洛德利格斯公式(施列夫利积 分),勒让得多项式的正交关系,勒让德多项式的模,广义傅立叶 级数,母函数与递推公式。 §10.2.连带勒让得函数。连带勒让得函数,本征值问题,洛德利格斯 公式,正交性,模,广义傅里叶级数(施列夫利积分,拉普拉斯 积分不作要求)。 §10.3.一般的球函数*。球函数,球函数的正交性,球函数的模,球 面上的函数的,拉普拉斯方程的非轴对称解。 本章重点: 勒让德多项式及其微分形式,勒让德多项式函数族的正交性、模和展 开理论。 习题: §10.1.(第296297页):1,2,4,6,11 §10.3.(第324页):1,2,3。 83
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轴对称问题和勒让德多项式 1、轴对称拉普拉斯方程的求解 l=n=f(0) △u=0 (Sin ee)+/(7+Isin 69=0 (rR)-(+1R=0 6(0),O(x)有界 r2R"+2rR-1( R=0101-x+(+)=0 O(±1)有界 +B O=P(x) ∑R()(s)u=∑8)(s 2、勒让德多项式 2.1定义 斯一刘间题-xT(+1)=0的本征函数 6(±1)有界 22一般表示 级数表示P()=22(-6)(=26x 微分表示P(x) 积分表示P(x)=11-止 23具体形式 A、代数表达式
P(x)=∑ (-1) 2k!(-k)!(-2k)! f(x)=1 P(x) P(x)=(3x2-1)=(3 P(x)=(5x2-3x)=3(5c0s30+3cos0 P(x)=k(35x-30x2+3)=在(3 B、图像 1-0.5 0.5 0.8 0.2 3、勒让德多项式的母函数和递推公式 3.1母函数 A、定义:ux,r=∑Pl B、形式:u(x,r)=(1-2rx+r2)-l/2 推导
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P(x)r u(x, r) D)r (1√1-2x+r2) d D、应用 n(x,r)=∑。P(x)y2= 1-2x+r2 n(L,)=∑P(1)r2=,=∑→P(1) n(-1)=∑P =∑(-r→P(-1=(-1) +r2 2k-1)135…(2k 3.2递推公式 形式 (k+1)P+(x)=(2k+1)xP(x)-kP-1(x) R4'(x)=(k+1)P(x)+xPk(x) kP(x)=xP(x)-P_'(x) (x2-1)P'(x)=kP2(x)-B-1(x) Pa0(x)=0 B、证明 n(x,r)=∑P(x)r 2rx+ u,(x,r)=∑P(x) (1-2rx+r2)2 (x-1)∑。(x、( x-r)(-2rx+r (1-2rx+r2)y +=(1-2x+)∑P ∑pr-Pr]=∑Pr2-2Pr+1r xB4-B-1=(k+1)B+1-2kR+(k-1)B=1
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xP-P-1=(k+1)Pk+1-2kxP+(k-1)B=1 (k+1)Pk+1-(2k+1)xB+kB=1=0 C、应用 (x)=xP0(x)-0 k=0→(x)=x0(x)-0=x k=1→2P(x)=3xP(x)-P(x)=3x2-1 k=2→3P(x)=5x2(x)-2P(x)=号x2-2x 4、勒让德多项式的性质 41奇偶性P(-x)=(-1)P(x) 4,2零点定理 L阶勒让德多项式为L次多项式,有L个零点 43正交性 正交性公式 P(x)P(x)dx=0, P(cosO)P(cos O)sin @d8=0,(k*D) 模 "P(P(==x2 模的计算 (x,r)=∑P(x)= √1-2mx+r ∫∑"P(x)∑(xydk= ∑“P(x(xk=-m(-2x+) ∑。∑r“6kN2=--[m(-)-m(+) (-1) n+1 n+1 2k+1 2k+1 正交性应用例题 P(x)dx= Po(x)P(x)dx=Si N3=2 (k=(P(=6N= ∫xP(=(+)P=2N+4N
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44完备性 A、完备性公式 如果函数f(x)满足适当的条件,则有 f(x)=∑P(x) B、广义傅立叶系数为 f(x)(xk=∑f 2k+1 (x)p(x)dx 2 C、完备性应用例题 例1:把函数f(x)=x2用勒让德多项式展开。 解:x=∑P(x)1=当2C( 例2:把函数fx)=x用勒让德多项式展开。 解x∑fB2(x)A=(4+x2(x 例3:把函数f(x)=(x-1)用勒让德多项式展开。 解(x-=∑B(x)=21(-P(ak 例4:把函数f(x)x3用勒让德多项式展开。 lf:x'=f,(x)+fP(x)=fx+f (5x'-3x) 5、勒让德多项式的应用 例题1:半径为a的球面上电势分布为f=Acos20,确定球内 空间的电势u 解: △=0.r<a 定解问题为 f= Acos 8 定解问题有轴对称性,相应的半通解为 =∑(4r+Br)P(cos) 球内解要求n(0,)有界,半通解化为 ArP(cos0) 由边界条件得:Ax2=∑4aP(x) 根据完备性:4=2AP(x)
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例题2 半径为a的球面上电势分布为f=Acos2θ,确定球外空间的电势u。 解 定解问题为: uled=f=Acos28 定解问题有轴对称性,相应的半通解为 球外解要求u(∞,O)有界,半通解化为 =∑BrP(cos) 由边界条件得:x2=∑BaP(x) 根据完备性:B 2k+la+[ AxP(x) 例题3 一空心圆球区域,内半径为a,外半径为b,内球面上电势为f=cos θ,外球面上电势为零,确定区域内电势u 解: △u=0.a<r<b 定解问题为 定解问题有轴对称性,相应的半通解为 ∑。(4r+Br-)P(cos) (Aa+BaP(x) 由边界条件得: =∑2(4b+Bb-)P(x) 根据完备性得:41=4a+Ba B 0=A6+B. l-1 B1=0 例题4 半径为a的导体球面附近的电场分布为f=Acos,确定球外空间 的电势u 解 △=0.r 定解问题为 Irs,=f= Acos 8 定解问题有轴对称性,相应的半通解为 =∑(4r+Br-)P(c
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球外解要求u(∞,O)有界,半通解化为 =∑ B, rICos) 由边界条件得:Ax=∑0(-1-1)Ba=2P(x) 根据完备性:B1=-a3A,B1=0 例题5 半径为a的球面保持温度分布为f=Acosθ,确定球外空间的稳定 温度分布u。 解: Au=0.r>a 定解问题为 A cos e 定解问题有轴对称性,相应的半通解为 ∑。(4r2+Br-)P(cos) 球外解要求u(∞,O)有界,半通解化为 l4= ∑BrB(cosO) 由边界条件得:Ax=∑Ba-P(x) 根据完备性:B1=a2A,B1=0 例题6 半径为a的半球球面上电势分布为f=A,底面电势为零,确定半 球内空间的电势u。 解: △a=0,r<a,</2 定解问题为l=x2=ul==0 Ir=f(cos0)=f(/a) 问题有反演对称性,对z进行奇延拓后 Aa=0, lulea=sgn(cos O)f( cos0 D=Asgn(cosO 例题7 半径为a的半球球面上温度分布为f=A,底面绝热,确定半球内 空间的稳定温度分布u 解: △a=0,r<a,0<x/2 定解问题为 uI=f(cos 0)=A
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问题有反演对称性,对z进行偶延拓后 △=0,r<a lulea =f()=A 转动对称问题和连带勒让德函数 转动对称稳定问题的求解 ulr=a=f(0)exp( imp) △L=0 (2Ry-1(+1)R=0//(sma)-m⊙+11+1)sm=0 O).(m)有界 cos e Px+2R(+D200r-=+(+1)=0 e(±1)有界 =∑nR()P(x)m=∑nR()P"(x)em° 2、连带勒让德函数 2.1定义 斯一刘间断(1-x2)+(+1)-1=0 的本征函数 6(±1)有界 22微分表示 P(x)=(1-x2)m2Pm(x) (1-x2) 2/ d 2.3具体形式 A、代数表达式 P(x)=(1-x2)m/2Pm(x- 2n/+m
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860 )=cos 8 P(x) PI(x)=v1-x2=sin P2(x)=3x 3sin ecos f(x)=0 P(x)= P2(x)=3(-x2)=3sin2O P(x)=15x(1-x)=15sin-8cos 6 B、图像 3、连带勒让德函数的性质 3.1奇偶性 P"(-x)=(-1)mPP(x) 3.2正交性 A、正交性和模 PR(x)P(x)dx=Ok (N 2l+1(-m)! B、正交性应用例题 (1-x )xdx P(x)P(x)dx=0 (1-x2)(x)=,()(xk=+(N3)2=62 [,()(x)=30-x)≠0 3.3完备性 A、完备性公式 如果函数f(x)满足适当的条件,则
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