第二十五讲分离变量法总结(二) Sturm-Liouville-型方程的本征值问题 §25.1自伴算符的本征值问题 定义25.1设L和M为定义在一定函数空间内的(微分)算符,若对于该函数空间内的任 意两个函数u和v,恒有 b (, Lu)= (Mv, u) 'Ludx= (Mv)", a 则称M是L的伴算符 例25.1若L=,于是 * vdx=v*u- -udx. dx la dx 所以,当u和v都满足边界条件 y(a)=y() 时,的伴算符是一 定义25.1中的算符M和L是互为伴算符,因为如果M是L的伴算符,则对于任 意函数u和v,也有 b v*Mudx=(Mu)vdx rb u*=() "udx, Ja a 所以,L也是M的伴算符 例25.2设L=2,容易证明 所以,当函数u和v都满足一、二、三类边界条件 a1y(a)+y(a)=0,a2y(b)+b2y(b)=0 (其中a12+12≠0,a22+122≠0)或周期条件 y(a)=y(), y'(a)=() 时,x2的伴算符就是它自身
Wu Chong-shi ✁✂✄☎ ✆✝✞✟✠✡☛ (✁ ) Sturm-Liouville ☞✌✍✎✏✑✒✓✔ §25.1 ✕✖✗✘✙✚✛✜✢✣ ✤✥ 25.1 ✦ L ✧ M ★✩✪✫✬✩✭✮✯✰ ✱✲ (✳✴) ✵✶✷✸✹✺✻✭✮✯✰ ✱✲✼ ✽✾✿✭✮ u ✧ v ✷❀❁ (v, Lu) = (Mv, u) ❂ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Mv) ∗udx, ❃❄ M ❅ L ✲ ❆❇❈ ❉ ❊ 25.1 ✸ L = d dx ✷✺❅ Z b a v ∗ du dx dx = v ∗u b a − Z b a dv ∗ dx udx. ❋●✷❍ u ✧ v ■❏❑▲▼◆❖ y(a) = y(b) P ✷ d dx ✲◗✵✶❅ − d dx ❉ ✩✪ 25.1 ❘✲✵✶ M ✧ L ❅❙★◗✵✶✷❚★❯❱ M ❅ L ✲◗✵✶✷❃ ✹✺✼ ✽ ✭✮ u ✧ v ✷❲❁ Z b a v ∗Mudx = "Z b a (Mu) ∗ vdx #∗ = "Z b a u ∗Lvdx #∗ = Z b a (Lv) ∗udx, ❋●✷ L ❲❅ M ✲◗✵✶❉ ❊ 25.2 ✦ L = d 2 dx 2 ✷❳❨❩ ❬ Z b a v ∗ d 2u dx 2 dx = h v ∗u 0 − (v ∗ ) 0u ib a + Z b a d 2 v dx 2 ∗ udx. ❋●✷❍✭✮ u ✧ v ■❏❑✬❭❪❭❫❴▲▼◆❖ α1y(a) + β1y 0 (a) = 0, α2y(b) + β2y 0 (b) = 0 (❵ ❘|α1| 2 + |β1| 2 6= 0, |α2| 2 + |β2| 2 6= 0) ❛❜❝◆❖ y(a) = y(b), y0 (a) = y 0 (b) P ✷ d 2 dx 2 ✲◗✵✶❞❅❡ ❢ ❣ ❉
§25.1自伴算符的本征值问题 定义25.2若算符L的伴算符就是它自身,即对于该函数空间内的任意两个函数u和 恒有 (u, Lu)=(Lu, u)Ep/v Ludr=/(Lv),udz 则称L是自伴算符 例25.3在和例4完全相同的条件下,算符就是自伴算符 d dr=- dr udr udr 算符的自伴性,总是和一定的函数空间联系在一起的.通常,我们总是要求 函数定义在给定的区间上, ·函数具有足够的连续性(例如,对于二阶微分算符,就要求函数的二阶导数连续,至 少分段连续;如果是无界区间,则要求函数平方可积) 因此,实际上总是限于 Hilbert空间.并且,还要求 ·函数满足一定的边界条件,即总是局限在 Hilbert空间中的一定子空间内. 绝不能脱离边界条件的约束来讨论算符的自伴性 个算符,相对于某一类函数是自伴的,但对于另一类函数,就可能不是自伴的 例23.4设L=1过,而将边界条件取成更一般的形式 y(b)=ay(a),a为(复)常数 于是 du* 一udx dz (aa*-1)u(a)u’(a)+ ( u dr 所以只有边界条件中的a满足aa*=1时,算符i才是自伴的 定义25.3设L为自伴算符,则方程 Ly(r)= Ay(a) 称为自伴算符的本征值问题 这里没有明确写出齐次边界条件,是因为它已经隐含在自伴算符L的定义中了
Wu Chong-shi §25.1 ❤ ✐❥❦❧♠♥♦♣q r 2 s ✤✥ 25.2 ✸✵✶ L ✲◗✵✶❞❅❡ ❢ ❣ ✷❂✹✺✻✭✮✯✰ ✱✲✼✽✾✿✭✮ u ✧ v ✷ ❀❁ (v, Lu) = (Lv, u) ❂ Z b a v ∗Ludx = Z b a (Lv) ∗udx, ❃❄ L ❅ t❆❇❈ ❉ ❊ 25.3 ✫✧✉ 4 ✈✇①②✲◆❖③✷✵✶ i d dx ❞❅ ❢◗✵✶❉ Z b a v ∗ i du dx dx = −i Z b a dv ∗ dx udx = Z b a i dv dx ∗ udx. ✵✶✲ ❢◗④✷⑤❅✧✬✩✲✭✮✯✰⑥⑦✫✬⑧✲❉⑨⑩✷❶❷⑤❅❸❹ • ✭✮✩✪✫❺✩✲❻✰❼✷ • ✭✮❽❁❑❾✲❿➀④ (✉❯✷✹✺❪➁✳✴✵✶✷❞❸❹✭✮✲❪➁➂✮❿➀✷➃ ➄ ✴➅❿➀➆❯❱❅➇▼❻✰✷❃ ❸❹✭✮➈➉➊➋) ✷ ❚➌✷➍➎❼⑤❅➏✺ Hilbert ✯✰❉➐➑✷➒❸❹ • ✭✮❏❑✬✩✲▲▼◆❖✷❂⑤❅➓➏✫ Hilbert ✯✰ ❘✲✬✩➔✯✰ ✱❉ →➣↔↕➙▲▼◆❖✲➛➜➝➞➟✵✶✲ ❢◗④❉ ✬ ✿ ✵✶✷①✹✺➠✬❴✭✮❅ ❢◗✲✷➡✹✺➢✬❴✭✮✷❞➊↔➣❅ ❢◗✲❉ ❊ 25.4 ✦ L = i d dx ✷➤➥▲▼◆❖➦➧➨✬➩✲➫➭ y(b) = αy(a), α★ (➯) ⑩✮. ✺❅ Z b a v ∗ i du dx dx = iv ∗u b a − i Z b a dv ∗ dx u dx = i(αα∗ − 1)u(a)v ∗ (a) + Z b a i dv dx ∗ u dx. ❋●➲❁▲▼◆❖ ❘✲ α ❏❑ αα∗ = 1 P ✷✵✶ i d dx ➳❅ ❢◗✲❉ ✤✥ 25.3 ✦ L ★ ❢◗✵✶✷❃ ➉➵ Ly(x) = λy(x) ❄ ★ ❢◗✵✶✲➸➺➻➼➽❉ ➾➚➪❁ ❬➶➹➘➴➷▲▼◆❖✷❅❚★❡ ➬➮➱✃✫ ❢◗✵✶ L ✲✩✪ ❘❐❉
第二十五讲 Sturn- liouville型方程的本征值问题 第3页 自伴算符的本征值问题具有下列几个重要的基本性质 ·性质1自伴算符的本征值必然存在.(不证) ·性质2自伴算符的本征值必为实数 证因为 取复共轭 由于L是自伴算符,所以 y'Ly-(Ly)y]dz=(A-A)/yy'dr=0 又因为/vydx≠0,所以 即证得本征值入为实数.口 性质3自伴算符的本征函数具有正交性,即对应不同本征值的本征函数一定正交 证设A和与是不相等的两个本征值,对应的本征函数为v和y, L=Ay,L=与 注意到本征值A,)为实数,于是 ML-(L)明dr=(4-A)/d 因为A≠与,所以 y i(ar)yi ()dr=0 这样就证明了本征函数的正交性.口 由于本征函数是齐次微分方程在齐次边界条件下的解,所以将本征函数乘以一个非零常数因 子仍然是本征函数.我们就可以适当选择这个常数因子,使得对于任意一个本征值λ,都有 yi()yi()dr=1 这样得到的就是一个正交归一的函数组 yi(a)yi (a)dr = 5ij
Wu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 3 s ❢◗✵✶✲➸➺➻➼➽❽❁③ÔÕ✿Ö❸✲×➸④ØÙ • ÚÛ 1 ❢◗✵✶✲➸➺➻ÜÝÞ✫❉(➣ ❩) • ÚÛ 2 ❢◗✵✶✲➸➺➻Ü★➍✮❉ ß ❚★ Ly = λy, ➦➯àá (Ly) ∗ = λ ∗ y ∗ . â ✺ L ❅ ❢◗✵✶✷❋● Z b a [y ∗Ly − (Ly) ∗ y] dx = (λ − λ ∗ ) Z b a yy∗dx = 0. ã ❚★ Z b a yy∗ dx 6= 0 ✷ ❋● λ = λ ∗ , ❂❩ä➸➺➻ λ ★➍✮❉ • ÚÛ 3 ❢◗✵✶✲➸➺✭✮❽❁åæ④✷❂✹ç➣ ②➸➺➻✲➸➺✭✮✬✩åæ❉ ß ✦ λi ✧ λj ❅ ➣ ①è✲✾✿➸➺➻✷✹ç✲➸➺✭✮★ yi ✧ yj ✷ Lyi = λiyi , Lyj = λjyj. é✽ê➸➺➻ λi , λj ★➍✮✷✺❅ Z b a [y ∗ i Lyj − (Lyi) ∗ yj ] dx = (λj − λi) Z b a y ∗ i yjdx. ❚★ λi 6= λj ✷ ❋● Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = 0. ➾ë❞❩ ❬❐➸➺✭✮✲åæ④❉ â ✺➸➺✭✮❅➴➷✳✴➉➵✫➴➷▲▼◆❖③✲ì✷❋●➥➸➺✭✮í● ✬ ✿îï⑩✮❚ ➔ðÝ❅➸➺✭✮❉❶❷❞➊●ñ❍òó➾✿⑩✮❚➔✷ôä✹✺✼✽ ✬ ✿ ➸➺➻ λi ✷■❁ Z b a y ∗ i (x)yi(x)dx = 1. ➾ëä ê ✲❞❅✬✿ õö÷øùúûü ❉ Z b a y ∗ i (x)yj (x)dx = δij .
§25.1自伴算符的本征值问题 第4页 ·性质4自伴算符的本征函数(的全体)构成一个完备函数组,即任意一个在区间,b中有 连续二阶导数、且满足和自伴算符L相同的边界条件的函数f(x),均可按本征函数{yn(x)} 展开为绝对而且一致收敛的级数 f(x)=∑cnn(x) 其中 f(a)y()d yn(a)y*()dz 特别是,如果本征函数组是归一化的,则上式中的分母为1,展开的形式更加简单.(不证) 同样,正交归一的本征函数组的完备性也还可以表示成 ∑m(x)n(x')=6x-x) ·由上面的性质3和4可以看到,只要将本征函数适当归一化,则本征函数的全体就构成了 个完备的正交归一函数集.因此,上一节中有关完备的正交归一函数集的讨论均可适用 ·这里暂时忽略掉一种可能性,即对应于一个本征值可能有不止一个(线性无关的)本征函数, 因而可能并不彼此正交.这种情形将在25.3节讨论·但即使如此,总还可以采用 Schmidt的 正交化步骤(见书18.1节使之正交化,因而仍然可以得到一个完备的正交归一函数集 ·事实上,上面的展开条件还可以放宽为:对于任意在a,b中平方可积的函数,(#)式在平均 |a->(ad=0 的意义下仍然成立 严格说来,上面关于自伴算符本征值的存在性和本征函数的完备性的讨论,本来还 应当区分奇异的(区间无界或半无界;或是在有界区间上微分方程有奇点)和非奇异的 (区间有界,且微分方程在区间上无奇点)本征值问题这两种情形.但由于并没有给出有 关的证明,所以也就未曾区分这两类本征值问题.而且,为了叙述的方便,在有关的表 述中都采用了有界区间的形式
Wu Chong-shi §25.1 ❤ ✐❥❦❧♠♥♦♣q r 4 s • ÚÛ 4 ❢◗✵✶✲➸➺✭✮ (✲✇ý) þ➧✬✿ ✈ÿ✭✮✷❂✼✽ ✬ ✿ ✫❻✰ [a, b] ❘❁ ❿➀❪➁➂✮❭➑❏❑✧ ❢◗✵✶ L ①②✲▲▼◆❖✲✭✮ f(x) ✷ ✁ ➊✂➸➺✭✮ {yn(x)} ✄☎★ → ✹➤➑✬✆✝✞✲✟✮ f(x) = X∞ n=1 cnyn(x), (#) ❵ ❘ cn = Z b a f(x)y ∗ n(x)dx Z b a yn(x)y ∗ n(x)dx . ✠✡❅✷❯❱➸➺✭✮❅☛✬☞✲✷❃ ❼➭ ❘✲✴✌★ 1 ✷ ✄☎✲➫➭➨✍✎✏❉(➣ ❩) ② ë ✷åæ☛✬✲➸➺✭✮✲✈ÿ④❲➒➊●✑✒➧ X∞ n=1 yn(x)y ∗ n(x 0 ) = δ(x − x 0 ). • â ❼✓✲④Ø 3 ✧ 4 ➊ ●✔ê ✷ ➲ ❸➥➸➺✭✮ñ ❍☛✬☞✷ ❃ ➸➺✭✮✲✇ý❞þ➧❐✬ ✿ ✈ÿ✲åæ☛✬✭✮✕❉❚➌✷❼✬✖ ❘❁✗✈ÿ✲åæ☛✬✭✮✕✲➞➟✁ ➊ ñ✘ ❉ • ➾➚✙P✚✛✜✬✢➊ ↔ ④✷❂✹ç✺✬✿ ➸➺➻➊↔ ❁ ➣✣ ✬ ✿ (✤④➇✗✲) ➸➺✭✮✷ ❚➤➊↔ ➐ ➣✥ ➌åæ❉➾ ✢✦➫➥✫ 25.3 ✖➞➟❉➡❂ô❯➌✷⑤➒➊●✧✘ Schmidt ✲ åæ☞★✩ (✪✫ 18.1 ✖) ô✬åæ☞✷❚➤ðÝ➊● ä ê ✬ ✿ ✈ÿ✲åæ☛✬✭✮✕❉ • ✭➍❼✷❼✓✲ ✄☎◆❖➒➊●✮✯★Ù✹✺✼✽ ✫ [a, b] ❘➈➉➊➋✲✭✮✷ (#) ➭✫➈✁ ✝✞ lim N→∞ Z b a f(x) − X N n=1 cnyn(x) 2 dx = 0 ✲ ✽ ✪③ðÝ➧✰❉ ✱✲✳➝✷❼✓✗✺ ❢◗✵✶➸➺➻✲Þ✫④✧➸➺✭✮✲✈ÿ④✲➞➟✷➸➝➒ ç❍❻✴✴✵✲ (❻✰➇▼❛✶➇▼➆❛❅✫❁▼❻✰❼✳✴➉➵❁✴✷) ✧ î ✴✵✲ (❻✰❁▼✷➑✳✴➉➵✫❻✰❼➇✴✷) ➸➺➻➼➽➾✾✢✦➫❉➡ â ✺➐➪ ❁❺➘❁ ✗✲❩ ❬✷❋●❲❞✸ ✹❻✴➾✾❴➸➺➻➼➽❉➤➑✷★❐✺✻✲➉✼✷✫❁✗✲ ✑ ✻ ❘■✧✘❐❁▼❻✰✲➫➭❉
第二十五讲 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 第5页 825.2 Sturn- Liouville型方程的本征值问题 在前面几章中,我们讨论过几个常微分方程的本征值问题.涉及的微分方程有 X"+XX=0; 1-x2y=0 1 d/ dR R=0. r dr dr 它们可以归纳为下面的一般形式 p(x)+[\p(a)-q(r)ly 这种类型的方程称为Stum- Liouville型(简称SL型)方程 ·不妨把S-L型方程中的函数p(x),q(x)和p(x)限制为都是实函数,而且都满足必要的连续性 要求 p(x),称为权重函数 ·当权重函数p(x)=常数时,可以取为1 ·不恒为常数的权重函数,可以来源于正交曲面坐标系的使用(这时可以从 Laplace算符的具体 表达式中追寻到权重函数的踪迹;从根本上说,它反映了坐标长度单位是该变量的函数.可 以称之为来源于空间的几何描述的不均匀性),也可能来源于问题所涉及的物理性质的不均 匀性(例如,密度分布的不均匀)因此,就我们所关心的物理间题而言,不妨假设p(x)≥0 而且,应当不恒为0 为了书写的紧凑,还可以引进算符 d -正pa+( (※) 的记号.这样,S-L型方程就可以改写成 Ly(x)=入p(x)y(x S-L型方程附加上适当的边界条件,就构成SL型方程的本征值问题.λ称为本征值.对于 某一个本征值λ,满足SL方程及相应的边界条件的非零解就是本征函数 从微分方程来看,由于p(x)的出现,SL型方程(#)或(并#)明显不同于方程 Lu(r)= Au(r
Wu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 5 s §25.2 Sturm–Liouville ✽✾✿✙✚✛✜✢✣ ✫❀✓Õ❁ ❘✷❶❷➞➟❂Õ ✿ ⑩✳✴➉➵✲➸➺➻➼➽❉❃❄✲✳✴➉➵❁ X00 + λX = 0; d dx 1 − x 2 dy dx + h λ − m2 1 − x 2 i y = 0; 1 r d dr r dR dr + h λ − m2 r 2 i R = 0. ❡❷➊● ☛❅★③✓✲✬➩➫➭ d dx p(x) dy dx + [λρ(x) − q(x)] y = 0. (#) ➾ ✢❴❆✲➉➵❄ ★ Sturm–Liouville ❆ (✎ ❄ S–L ❆) ➉➵ ❉ • ➣❇❈ S–L ❆➉➵ ❘✲✭✮ p(x), q(x) ✧ ρ(x) ➏❉★■❅➍✭✮✷➤➑■❏❑Ü❸✲❿➀④ ❸❹❉ • ρ(x) ✷ ❄ ★❊ Ö ✭✮❉ • ❍❊ Ö ✭✮ ρ(x) = ⑩✮ P ✷➊● ➦★ 1 ❉ • ➣ ❀★⑩✮✲❊ Ö ✭✮✷➊ ● ➝❋✺åæ ●✓❍■⑦✲ô✘ (➾P➊ ●❏ Laplace ✵✶✲❽ý ✑❑➭ ❘▲▼ê ❊ Ö ✭✮✲◆❖➆ ❏P➸❼✳ ✷❡◗❘❐❍■❙❚✏❯❅✻❱❲✲✭✮❉➊ ●❄ ✬★➝❋✺✯✰✲Õ❳❨✻✲ ➣✁❩④) ✷❲➊↔ ➝❋✺➼➽❋ ❃❄✲❬❭④Ø✲➣✁ ❩ ④ (✉❯✷❪ ❚✴❫✲ ➣✁❩) ❉❚➌✷❞❶❷❋ ✗❴✲❬❭➼➽➤❵✷ ➣❇❛✦ ρ(x) ≥ 0 ✷ ➤➑✷ç❍➣ ❀★ 0 ❉ ★❐✫➹✲❜❝✷➒➊●❞❡✵✶ L ≡ − d dx p(x) d dx + q(x) (>) ✲❢❣❉ ➾ë✷ S–L ❆➉➵❞➊●❤ ➹➧ Ly(x) = λρ(x)y(x). (##) S–L ❆➉➵✐✍❼ ñ ❍✲▲▼◆❖✷❞þ➧ S–L ❆➉➵✲➸➺➻➼➽❉ λ ❄ ★➸➺➻❉✹✺ ➠✬✿ ➸➺➻ λ ✷❏❑ S–L ➉➵❄①ç✲▲▼◆❖✲îïì❞❅➸➺✭✮❉ ❏ ✳✴➉➵➝✔ ✷ â ✺ ρ(x) ✲➘❥✷ S–L ❆➉➵ (#) ❛ (##) ❬❦ ➣ ②✺➉➵ L 0 u(x) = λu(x). (z)
§25.2 Sturm- Liouville型方程的本征值问题 第6页 但是,通过变量变换 u(r)=vp(a)y(r) 就可以将方程(#)化为(),其中 d d v(x), p(a) o(r)p(r) 叫可dy P(r) p(a) 方程()当然也还是SL型方程,只不过是一种特殊的SL型方程,权重函数为1 的S-L型方程 定理25.1对于任意函数u1(x)和u2(x),恒有 ( 其中 d 推广到算符L L=-正p) 因为在变换u1(x)=√p(x)y(x),u2(x)=p()v(x)之下,有 iLu2-(Lu1)u2=yiLy2-(Ly1)"y2 所以,对于任意函数y(x)和y(x) L-(y)dp(x)(业n d 定理25.2在边界条件 du? du 之下,算符L′是自伴的 将定理1的推论和定理2结合起来,立即得到:在边界条件 p(a)9 dz sydr /la 0 之下,算符L也是自伴的
Wu Chong-shi §25.2 Sturm–Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 6 s ➡❅✷⑨❂❱❲❱❧ u(x) = p ρ(x)y(x), ❞➊● ➥➉➵ (#) ☞★ (z) ✷❵ ❘ L 0 = − d dx φ(x) d dx + ψ(x), φ(x) = p(x) ρ(x) , ψ(x) = − 1 p ρ(x) d dx h p(x) d dx 1 p ρ(x) i + q(x) ρ(x) . ➉➵ (z) ❍Ý❲➒❅ S–L ❆➉➵✷➲➣ ❂❅✬✢ ✠♠✲ S–L ❆➉➵✷❊ Ö ✭✮★ 1 ✲ S–L ❆➉➵❉ ✤♥ 25.1 ✹✺✼✽ ✭✮ u1(x) ✧ u2(x) ✷❀❁ u ∗ 1L 0 u2 − L 0 u1 ∗ u2 = − d dx h φ(x) u ∗ 1 du2 dx − u2 du ∗ 1 dx i, ❵ ❘ L 0 = d dx φ(x) d dx − ψ(x). ♦♣q❇❈ L ❉ L ≡ − d dx p(x) d dx + q(x) ❚★✫❱❧ u1(x) = p ρ(x)y1(x), u2(x) = p ρ(x)y2(x) ✬③✷❁ u ∗ 1L 0 u2 − L 0 u1 ∗ u2 = y ∗ 1Ly2 − (Ly1) ∗ y2. ❋●✷✹✺✼✽ ✭✮ y1(x) ✧ y2(x) ✷ y ∗ 1Ly2 − (Ly1) ∗ y2 = − d dx h p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx i. ✤♥ 25.2 ✫▲▼◆❖ φ(x) u ∗ 1 du2 dx − u2 du ∗ 1 dx b a = 0 ✬③✷✵✶ L 0 ❅ ❢◗✲❉ ➥✩❭ 1 ✲r➟✧✩❭ 2 st⑧➝✷✰❂äê Ù✫▲▼◆❖ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx b a = 0 (~) ✬③✷✵✶ L ❲❅ ❢◗✲❉
第二十五讲 Sturn- liouville型方程的本征值问题 第7页 在什么情况下边界条件()能够成立? ·第一种情况是在端点x=a和x=b,均有 p)(22-mx) 1.如果和y2在两端点均满足第 三类边界条件,则(△)式成立 例如,在x=a点 av(a)-6(a)=0,i=1,2,a和B均为(正)实数, 取复共轭,还可以得出 v(a)-(a)=0 由于a和β不可能同时为0,故有 (o)(a=ni(a()-m()n()=0 yi(a) yi'(a) 2.如果p(x)在端点(例如,x=a)处为0,这时x=a点是方程的奇点.假定p(x),q(x)和 p(x)满足一定的要求,使得x=a点是方程的正则奇点,而且第一解有界,第二解无界 在附加上有界条件去掉无界解后,就有 p(x)(1 例如 p(a)=0,p(a)≠0.,p(x)和(x-a)q(x)均在x=a点解析 p(a)=0,p(a)=0,p(a)≠0.p(x)和q(x)均在x=a点解析 这在我们讨论过的实际问题中是能够满足的 ·另一种情况是 dr p(a)y1 dr 但不为0,这时(△)式也成立.如果 (a)=p(b),q(a)=q(b),p(a)=p(b) 并且 v(a)=v(b),v1(a)=v1(b),i=1 显然就可以满足这个要求.这正是讨论过的周期条件的情形
Wu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 7 s ✫✉✈✦✇③✷▲▼◆❖ (~) ↔ ❾➧✰ ① • ②✬✢✦✇❅✫③✷ x = a ✧ x = b ✷ ✁ ❁ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx = 0. (M) 1. ❯❱ y1 ✧ y2 ✫ ✾ ③✷✁ ❏❑②✬❭❪❭❫❴▲▼◆❖✷❃ (M) ➭➧✰❉ ✉❯✷✫ x = a ✷✷ αyi(a) − βy0 i (a) = 0, i = 1, 2, α ✧ β ✁ ★ (å) ➍✮✷ ➦➯àá✷➒➊● ä➘ αy∗ i (a) − βy∗ i 0 (a) = 0, i = 1, 2. â ✺ α ✧ β ➣ ➊ ↔ ② P ★ 0 ✷④❁ y ∗ 1 (a) y ∗0 1 (a) y2(a) y 0 2 (a) = y ∗ 1 (a)y 0 2 (a) − y2(a)y ∗0 1 (a) = 0. 2. ❯❱ p(x) ✫③✷ (✉❯✷ x = a) ⑤★ 0, ➾P x = a ✷❅➉➵✲✴✷❉ ❛ ✩ p(x), q(x) ✧ ρ(x) ❏❑✬✩✲❸❹✷ôä x = a ✷❅➉➵✲å❃ ✴✷✷➤➑②✬ì❁▼✷②❪ì➇▼❉ ✫✐✍❼❁▼◆❖⑥ ✜ ➇▼ì⑦✷❞❁ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=a = 0. ✉❯ p(a) = 0, p0 (a) 6= 0, ρ(x) ✧ (x − a)q(x) ✁ ✫ x = a ✷ì⑧ ❛ p(a) = 0, p0 (a) = 0, p00(a) 6= 0, ρ(x) ✧ q(x) ✁ ✫ x = a ✷ì⑧, ➾ ✫❶❷➞➟❂✲➍➎➼➽ ❘❅↔ ❾❏❑✲❉ • ➢✬✢✦✇❅ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=a = p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=b , ➡ ➣ ★ 0 ✷ ➾P (M) ➭❲➧✰❉❯❱ p(a) = p(b), q(a) = q(b), ρ(a) = ρ(b), ➐➑ yi(a) = yi(b), y0 i (a) = y 0 i (b), i = 1, 2, ❦Ý❞➊● ❏❑➾✿❸❹❉➾ å❅➞➟❂✲❜❝◆❖✲✦➫❉
§253 Sturm- Liouville型方程本征值问题的简并现象 第8页 25.3 Sturm- LIouville型方程本征值问题的简并现象 对应一个本征值有不只一个(线性无关的)本征函数的现象,称为简并或退化 由于S-L型方程是二阶线性常微分方程,所以,对应一个本征值最多只能有两个(线 性无关的)本征函数 在什么条件下,S-L型方程的本征值间题是简并的?在什么条件下是非简并的? 定理25.3如果S-L型方程本征值问题的一个本征函数是复的,且其实部和虚部线性无关, 则此本征值问题是二重简并的 证根据定理所设,本征函数y(x)是复的,其实部和虚部分别为f(x)和g(x) y(r)=f(r)+igla 则SL型方程可以写成 L(f +ig)=Ap(f +ig) 由于算符L是实算符,权重函数p(x)是实函数,且本征值入为实数,故将上式分别比较实部和虚 部,就得到 Lf=Apf, Lg 这说明f(x)和g(x)都是对应于同一个本征值A的本征函数,它们的线性无关性在定理的已知条 件中已经作了明确的限定 还必须证明f(x)和g(x)也满足原本征值问题的边界条件.这时只要注意到边界条件也是线 性齐次的,并且可能出现的系数也是实数,于是在边界条件中也分别比较实部和虚部即可.口 定理254设(x)和y(x)都是SL型方程本征值间题 Ly(r)= Ap(a)y(a) 的两个实的线性无关的本征函数,并且在x=a和x=b点都单独满足边界条件 dy2 P =p(z)(vi r=b 则y(x)和y(x)不可能对应于同一个本征值入 证用反证法。设m(x)和2(x)对应于同一个本征值A, 因此 Ly2-y2 LyI=0. 注意m(x)和v2(x)都是实函数,(x)=(x),(x)=y(x),所以根据上节定理1的推论,就有 d 0 p(x)(如_mn)=常数C dx的
Wu Chong-shi §25.3 Sturm–Liouville ÑÒÓ♠♥♦♣q❧⑨⑩❶❷ r 8 s §25.3 Sturm–Liouville ✽✾✿✚✛✜✢✣✙❸❹❺❻ ✹ç✬✿ ➸➺➻❁➣➲ ✬ ✿ (✤④➇✗✲) ➸➺✭✮✲❥❼✷ ❄ ★✎➐❛❽☞❉ â ✺ S–L ❆➉➵❅❪➁✤④⑩✳✴➉➵✷❋●✷✹ç✬✿ ➸➺➻❾❿➲↔ ❁ ✾✿ (✤ ④➇✗✲) ➸➺✭✮❉ ✫✉✈◆❖③✷ S–L ❆➉➵✲➸➺➻➼➽❅✎➐✲ ①✫✉✈◆❖③❅î ✎➐✲ ① ✤♥ 25.3 ❯❱ S–L ❆➉➵➸➺➻➼➽✲✬✿ ➸➺✭✮❅➯✲✷➑❵➍➀✧➁➀✤④➇✗✷ ❃ ➌➸➺➻➼➽❅❪Ö ✎➐✲❉ ß P➂✩❭ ❋ ✦✷➸➺✭✮ y(x) ❅➯✲✷❵➍➀✧➁➀✴ ✡ ★ f(x) ✧ g(x) ✷ y(x) = f(x) + ig(x). ❃ S–L ❆➉➵➊● ➹➧ L(f + ig) = λρ(f + ig). â ✺✵✶ L ❅➍✵✶✷❊ Ö ✭✮ ρ(x) ❅➍✭✮✷➑➸➺➻ λ ★➍✮✷④➥❼➭✴✡ ➃➄➍➀✧➁ ➀✷❞äê Lf = λρf, Lg = λρg. ➾✳ ❬ f(x) ✧ g(x) ■❅✹ç✺②✬✿ ➸➺➻ λ ✲➸➺✭✮✷❡❷✲✤④➇✗④✫✩❭✲ ➬➅◆ ❖ ❘➬➮➆❐ ❬➶✲➏✩❉ ➒Ü➇❩ ❬ f(x) ✧ g(x) ❲❏❑➈➸➺➻➼➽✲▲▼◆❖❉➾P➲ ❸ é✽ê▲▼◆❖❲❅✤ ④➴➷✲✷➐➑➊↔ ➘❥✲⑦✮❲❅➍✮✷✺❅✫▲▼◆❖ ❘❲✴✡ ➃➄➍➀✧➁➀❂➊❉ ✤♥ 25.4 ✦ y1(x) ✧ y2(x) ■❅ S–L ❆➉➵➸➺➻➼➽ Ly(x) = λρ(x)y(x). ✲ ✾✿➍✲✤④➇✗✲➸➺✭✮✷➐➑✫ x = a ✧ x = b ✷■✏➉❏❑▲▼◆❖ p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=a = p(x) y ∗ 1 dy2 dx − y2 dy ∗ 1 dx x=b = 0, (#) ❃ y1(x) ✧ y2(x) ➣ ➊ ↔ ✹ç✺②✬✿ ➸➺➻ λ ❉ ß ✘ ◗❩➊❉✦ y1(x) ✧ y2(x) ✹ç✺②✬✿ ➸➺➻ λ ✷ Ly1 = λρy1, Ly2 = λρy2, ❚➌ y1Ly2 − y2Ly1 = 0, é✽ y1(x) ✧ y2(x) ■❅➍✭✮✷y ∗ 1 (x) = y1(x) ✷y ∗ 2 (x) = y2(x) ✷ ❋●P➂❼✖✩❭ 1 ✲r➟✷❞❁ d dx p(x) y1 dy2 dx − y2 dy1 dx = 0. ✺❅ p(x) y1 dy2 dx − y2 dy1 dx = ⑩✮ C.
第二十五讲 Sturm- Liouville型方程的本征值问题 第9页 而根据定理给出的已知条件(#),就应有 (出-出)=0 但因为p(x)≠0,故有 ≡0 yi(r) y(a) 这说明(x)和2(x)线性相关,与已知条件矛盾.所以(x)和y2(x)不可能对应于同一个本征 这个定理就告诉我们,在一、二、三类(齐次)边条件或(和)有界条件下,SL型方程 本征值问题不可能是简并的.就本书所讨论过的几种类型的边界条件而言,只有在周期 条件之下,本征函数在区间的每一个端点并不单独满足(#),才有可能发生简并现象
Wu Chong-shi ❒❮❰ÏÐ Sturm-Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q r 9 s ➤ P➂✩❭❺➘✲ ➬➅◆❖ (#) ✷❞ç❁ p(x) y1 dy2 dx − y2 dy1 dx ≡ 0. ➡❚★ p(x) 6≡ 0 ✷④❁ y1 dy2 dx − y2 dy1 dx ≡ 0, ❂ W y1(x), y2(x) ≡ y1(x) y2(x) y ∗ 1 (x) y ∗ 2 (x) ≡ 0. ➾✳ ❬ y1(x) ✧ y2(x) ✤④①✗✷➋ ➬➅◆❖➌➍❉ ❋● y1(x) ✧ y2(x) ➣ ➊ ↔ ✹ç✺②✬✿ ➸➺ ➻❉ ➾✿✩❭❞➎➏❶❷✷✫✬❭❪❭❫❴ (➴➷) ▲◆❖❛ (✧) ❁▼◆❖③✷S–L ❆➉➵ ➸➺➻➼➽➣ ➊ ↔ ❅✎➐✲❉❞➸✫ ❋ ➞➟❂✲Õ✢❴❆✲▲▼◆❖➤❵✷ ➲ ❁✫❜❝ ◆❖✬③✷➸➺✭✮✫❻✰✲➐✬ ✿ ③✷➐ ➣ ✏➉❏❑ (#) ✷ ➳❁➊↔➑➒✎➐❥❼❉
Sturm- Liouville型方程的本征偵间题看分不变量法 第10页 825.4从 Stur- Liouville方程的本征值问题看来离论量但 仍以弦的横将动问题为例 对于两下固定弦的自由将动,定解问题是 0 t>0; l=0=o(x) =v(x),0Tm(t)X m()=0 T=1 用xn(x)乘上式两下,然后在区间[0.上积分,就得到 Tm(1)-a2∑(xn,xm)Tm()=0.m=1,2,3 再将初始条件也按这一组本征函数展开,得到 Tn(0)=(Xn,),Tn(0)=(Xn,) 如果能够求出Tn(t),代回到解式中,当然就求出了定解问题的解a(x,t) 这里要求解的是关于术知函数{(,n=1.2.3,…}的常微分方程组,一般说来,这 还是比较困难的 弄清楚了齐次边界条件在分离变也可中的决定性作用后,非齐次方程的情形就迎型而解了
Wu Chong-shi §25.4 ➓ Sturm–Liouville ÑÒÓ❧♠♥♦♣q➔→➣↔↕➙ r 10 s §25.4 ➛ Sturm–Liouville ✽✾✿✙✚✛✜✢✣➜➝➞➟➠➡ ð ●➢ ✲➤➥➦➼➽★✉❉ ✹✺✾ ③ ➧✩ ➢ ✲ ❢ â ➥➦✷✩ì➼➽❅ ∂ 2u ∂t2 − a 2 ∂ 2u ∂x2 = 0, 0 0; u x=0 = 0, u x=l = 0, t > 0; u t=0 = φ(x), ∂u ∂t t=0 = ψ(x), 0 < x < l. P➂ 25.1 ✖✧ 25.2 ✖✲➞➟➊➅✷❯❱Þ✫✬✿ S–L ➉➵✲➸➺➻➼➽ LX = λρX, X(0) = 0, X(l) = 0, ➨ ✈✷ â ✺❡✲▲▼◆❖✧✩ì➼➽✲▲▼◆❖➫➭✈✇①②✷❚➌✷➊ ● ➥✩ì➼➽✲ì u(x, t) ✂➩➸➺✭✮✲✇ý {Xn(x), n = 1, 2, 3, · · ·} (★➉✼⑧✪✷ ❛ ✦➸➺✭✮✁ ➬☛✬☞) ✄☎✷ u(x, t) = X∞ n=1 Tn(t)Xn(x). ➾➚✷➸➺✭✮✲✈ÿ④⑧❐➫✩④✲➆ ✘ ❉★❐➭❩ P∞ n=1 Tn(t)Xn(x) ↔ ❾✝✞ (➃➄❅➈✁ ✝✞) ê ì u(x, t) ✷ ➾➚✲❹✧Ü➇➯❄ ➲➳ ➸➺✭✮❉→➣➊ ● ➇❭ â ➵➸➺✸➻ ✿ ➸➺✭✮❉ ➼❃ ✷ ➽➾✫➫➭❼➚➪ð ↔ ❹ ê ✬ ✿ ✟✮ ➶ì➹✷➡❡→➣➊ ↔ ✝✞ê➘ å✲ì u(x, t) ❉ ➥ì➭➴➷➉➵✷❁ X∞ m=1 T 00 m(t)Xm(x) − a 2 X∞ m=1 Tm(t)X 00 m(x) = 0. ✘ X∗ n (x) í❼➭✾ ③✷Ý⑦✫❻✰ [0, l] ❼➋✴✷❞äê T 00 n (t) − a 2 X∞ m=1 (Xn, X00 m)Tm(t) = 0, m = 1, 2, 3, · · · . ➬ ➥➮➱◆❖❲✂ ➾ ✬➸➺✭✮✄☎✷äê Tn(0) = (Xn, φ), T 0 n (0) = (Xn, ψ). ❯❱↔ ❾❹➘ Tn(t) ✷➴ ✃ê ì➭ ❘✷❍Ý❞❹➘❐✩ì➼➽✲ì u(x, t) ❉ ➾➚❸❹ì✲❅✗✺✸➅✭✮ {Tn(t), n = 1, 2, 3, · · ·} ✲⑩✳✴➉➵❉✬➩✳ ➝✷➾ ➒❅ ➃➄❐❒✲❉ ❮❰Ï❐➴➷▲▼◆❖✫✴➙ ❱❲➊ ❘✲➫✩④➆ ✘ ⑦✷ î ➴➷➉➵✲✦➫❞ÐÑ➤ì❐❉