第三讲复变积分 §3.1复变积分 复变积分是复数平面上的线积分.设C是复平面上的曲线,函数f(z)在C上有定义.把曲线 In-B C任意分割为n段,分点为 n 20=A,1,2,,2n=B, n-1 Sk是2k-1→2k段上的任意一点,作和数 f()(z-z-1)=f()zk k=1 k=1 2 若当n→∞,使得max△zk|→0时,此和数的极限存在,且 21 与k的选取无关,则称此极限值为函数f(z)沿曲线C的积 0=A 分,记为 ∑f(k)zk 图3.1 maxzk0 k=1 一个复变积分实际上是两个实变线积分的有序组合 f(z)=(u+iv)(dx+idy) =(udx-vdy)+(v dx+ udy). C 因此,如果C是分段光滑曲线,f(2)是C上的连续函数,则复变积分一定存在 复变积分的基本性质: 1.如果积分f()f()d,f()d都存在,则 C 2.若C=C1+C2+…+Cn,则 f(z)dz+ f()dz+.+()dz= f()dz; C1 2 。 3.f(z)dz=-f(z)dz,其中C-表示C的逆向 4.af()dz=af(z)dz,其中a为常数; 5. f()dz() 6.f()d≤Ml,其中M为f()在C上的上界,为C的长度
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 1 ✟ ✠✡☛ ☞ ✌ ✍ ✎ §3.1 ✏ ✑ ✒ ✓ ✔✕✖✗✘✔✙✚✛✜✢✣✖✗✤✥ C ✘✔✚✛✜✢ ✦✣✧★✙ f(z) ✩ C ✜✪✫✬✤✭ ✦✣ C ✮✯✗✰✱ n ✲ ✧✗✳✱ z0 = A, z1, z2, · · · , zn = B, ζk ✘ zk−1→zk ✲ ✜✢✮✯✴✳✧✵✶✙ Xn k=1 f(ζk) (zk − zk−1) = Xn k=1 f(ζk)∆zk, ✷✸ n→∞ ✧✹✺ max |∆zk| → 0 ✻ ✧✼✶✙✢✽✾✿✩ ✧❀ ❁ ζk ✢❂❃❄❅✧❆❇✼✽✾❈✱★✙ f(z) ❉ ✦✣ C ✢✖ ✗✧❊✱ Z C f(z) dz = lim max |∆zk|→0 Xn k=1 f(ζk)∆zk. ❋ 3.1 ✴●✔✕✖✗❍■✜✘❏● ❍✕✣✖✗✢✪❑▲▼ Z C f(z) dz = Z C (u + iv) (dx + i dy) = Z C (u dx − v dy) + i Z C (v dx + u dy). ◆✼✧❖P C ✘✗✲◗❘ ✦✣✧ f(z) ✘ C ✜✢❙❚★✙✧❆✔✕✖✗✴ ✫✿✩ ✤ ✔✕✖✗✢❯❱❲❳❨ 1. ❖P✖✗ Z C f1(z)dz, Z C f2(z)dz, · · · , Z C fn(z)dz ❩ ✿ ✩ ✧❆ Z C h f1(z) + f2(z) + · · · + fn(z) i dz = Z C f1(z) dz + Z C f2(z) dz + · · · + Z C fn(z) dz; 2. ✷ C = C1 + C2 + · · · + Cn ✧❆ Z C1 f(z) dz + Z C2 f(z) dz + · · · + Z Cn f(z) dz = Z C f(z) dz; 3. Z C− f(z) dz = − Z C f(z) dz ✧❬ ❭ C − ❪❫ C ✢❴ ❵❛ 4. Z C af(z) dz = a Z C f(z) dz ✧❬ ❭ a ✱❜✙❛ 5. Z C f(z) dz ≤ Z C |f(z)| | dz| ❛ 6. Z C f(z) dz ≤ Ml ✧❬ ❭ M ✱ f(z) ✩ C ✜✢✜❝✧ l ✱ C ✢❞❡✤
显然,复变积分的数值依赖于 ·被积函数, 端点位置,即积分的“上下限” ·积分路径. 对于给定的一个被积函数,当端点固定时,对于不同的积分路径,积分值一般是不同的 例31求/Rezd,C为(i)沿实轴由0→1,再平行于虚轴1→1+i;(i)沿虚轴由 0→i,再平行于实轴i→1+i;(i)沿直线0→1+i 解对于(i) 于(i) Read 对于(i) (1+i)tdt=(1+i)
Wu Chong-shi §3.1 ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 2 ✟ ❢❣✧✔✕✖✗✢✙❈❤✐❥ • ❦ ✖★✙✧ • ❧ ✳♠♥✧♦✖✗✢ ♣✜q✾r✧ • ✖✗st✤ ✉❥✈✫✢✴●❦✖★✙✧✸❧ ✳ ✇✫✻ ✧✉❥①②✢✖✗st✧✖✗❈✴③✘①②✢✤ ④ 3.1 ⑤ Z C Re z dz ✧ C ✱ (i) ❉ ❍⑥ ⑦ 0 → 1 ✧⑧✚⑨❥⑩⑥ 1 → 1 + i ❛ (ii) ❉ ⑩⑥ ⑦ 0 → i ✧⑧✚⑨❥❍⑥ i → 1 + i ❛ (iii) ❉❶✣ 0 → 1 + i ✤ ❷ ✉❥ (i) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 x dx + Z 1 0 i dy = 1 2 + i; ✉❥ (ii) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 x dx = 1 2 ; ✉❥ (iii) ✧ Z C Re z dz = Z 1 0 (1 + i)t dt = 1 2 (1 + i)
32单连通区域的 Cauchy定理 Cauchy定理讨论的是积分值与积分路径之间的关系.与涉及的区域有关 区别两种区域 ·单连通区域:在区域中作任何简单闬合围道,围道内的点都属于该区域 ·复连通区域,或称多连通区城 (a) 图3.2单连通区域与复连通区域 单连通区域的 Cauchy定理如果函数f(z)在单连通区域G中解析,则沿G中任何一个分 段光滑的闭合围道C(见图33)有 f(2)dz=0 这里的C也可以是石的边 C G 图3.3单连通区域的 Cauchy定理
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 3 ✟ §3.2 ❸❹❺❻❼❽ Cauchy ❾❿ Cauchy ✫➀➁➂✢✘✖✗❈❁✖✗st➃➄✢❅➅✤❁➆➇✢➈➉✪❅✤ ➈➊❏➋➈➉❨ • ➌➍➎➏➐ ❨➑ ➒➓ ➔→➣↔ ↕➙ ➛➜ ➝➞✧➝➞ ➟➠➡➢➤➥➦ ➒➓❛ • ➧➍➎➏➐ ✧➨➩ ➫➭➯ ➒➓✤ ❋ 3.2 ➲➳➵➸➺➻➼➳➵➸➺ ➌➍➎➏➐➽ Cauchy ➾➚ ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆ ❉ G ❭ ✮➴✴●✗ ✲◗❘✢➷▼ ➬➮ C(➱✃ 3.3) ✪ I C f(z) dz = 0, ❐❒✢ C ❮❰Ï✘ G ✢Ð❝✤ ❋ 3.3 ➲➳➵➸➺Ñ Cauchy ÒÓ
证为简单起见,下面在更强的条件下证明这个定理.附加的条件是f(z)在G中连续 在此条件下可以应用 Green公式 [P(r, y)dz +Q(r, y)dy aQ aP f(a)dz= [udz-vdy]+if [udr+udy 而将上面的闭合围道积分化为面积分 dr dy 根据 Cauchy- Riemann方程,右端两个积分中的被积函数均为0,故有 f(2)dz=0.口 由于Gre公式的要求,这里所说的单连通区域,只能是一个有界区域,即不能是包含∞点 在内的(无界)区域.即使∫(2)在∞点解析,它绕∞点一周的积分也可以并不为0 Cauchy定理从一个侧面反映了解析函数的一个基本特性:解析函数在它的解析区城内,各 点的函数值是密切相关的 · Cauchy- Riemann方程是这种关联的微分形式, · Cauchy定理则是它的积分形式 由 Cauchy定理立即可以得到下面的推论 推论若∫(x)在单连通区域可中解析,则复变积分/f()d2与路径无关 (解析函数的)不定积分既然在单连通区域中解析函数的积分与路径无关,因此,如果固定 起点20,而令终点z为变点,则作为积分上限的函数 是单连通区域G内的单值函数,称为f(2)的不定积分 定理31如果函数f(x)在单连通区域G内解析,则 F(a)= f(a)da ①只要∫(2)在G中解析,即f(z)存在,则∫"(z)也存在,z∈G,因而∫(z)连续,即四个偏导数au/ax,ou/ay,e/or 和av/0y连续 见第四讲
Wu Chong-shi §3.2 ÔÕÖ×ØÙ Cauchy ÚÛ ✞ 4 ✟ Ü ✱Ý➪Þ➱✧q✛✩ßà✢áâqã ä❐● ✫➀✤åæ✢áâ✘ f 0 (z) ✩ G ❭❙❚ ç ✤ ✩ ✼áâq❰Ïèé Green êë I C P(x, y) dx + Q(x, y) dy = Z Z S ∂Q ∂x − ∂P ∂y dx dy ❥ I C f(z) dz = I C u dx − v dy + i I C v dx + u dy , ìí✜✛✢➷▼ ➬➮✖✗î✱✛✖✗ I C u dx − v dy = − ZZ S ∂v ∂x + ∂u ∂y dx dy, I C v dx + u dy = ZZ S ∂u ∂x − ∂v ∂y dx dy. ïð Cauchy-Riemann ñò✧ó❧ ❏ ● ✖✗ ❭✢❦ ✖★✙ô✱ 0 ✧õ✪ I C f(z) dz = 0. ⑦❥ Green êë✢ö⑤ ✧❐❒÷ø✢➪ ❙➶➈➉✧ùú✘ ✴●✪❝➈➉✧♦①ú✘ûü ∞ ✳ ✩ ý✢ (❄❝) ➈➉✤ þÿ f(z) ➑ ∞ ➡✁✧✂✄ ∞ ➡☎✆➠✝✞✟✠ ✡☛☞✌ 0 ✤ Cauchy ✫➀✍ ✴●✎ ✛✏✑✒➹➘★✙✢✴●❯❱✓❲❨ ✁✔✕➑✂➠✁ ➒➓ ➟✧✖ ➡➠✔✕✗✘ ✙✚✛ ✜➠✤ • Cauchy-Riemann ñò✘❐➋❅✢✢✣✗✤ ë ✧ • Cauchy ✫➀❆✘✥✢✖✗✤ ë ✤ ⑦ Cauchy ✫➀✦♦ ❰Ï✺✧q✛✢★➂❨ ✩✪ ✷ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ❭➹➘✧❆✔✕✖✗ Z C f(z) dz ❁st❄❅✤ (❷✫✬✭➽) ✮➾✯✰ ✱ ❣ ✩➪❙➶➈➉ ❭➹➘★✙✢✖✗❁st❄❅✧◆✼✧❖P ✇✫ Þ ✳ z0 ✧ì✲✳✳ z ✱✕✳✧❆✵✱✖✗✜✾✢★✙✧ Z z z0 f(z) dz = F(z) ✘ ➪ ❙➶➈➉ G ý ✢ ➪ ❈★✙✧❇✱ f(z) ✢①✫✖✗✤ ➾➚ 3.1 ❖P★✙ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G ý ➹➘✧❆ F(z) = Z z z0 f(z) dz ç ✴✵ f(z) ✶ G ✷✸✹✺✻ f 0 (z) ✼✶✺✽ f 00(z) ✾✼✶✺ z ∈ G ✺ ✿❀ f 0 (z) ➳❁✺✻❂❃❄❅❆ ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x ❇ ∂v/∂y ➳❁❈ ❉ ✞❂❊
也在G内解析,并且 F()=a:/f(a)d=f( 证只要直接求出F(z)的导数即可 图35 为此,设z是G内一点,z+△z是它的邻点,如图35,则 F(2) f()d,F(z+△z) f(sdc 因为积分与路径无关,所以 AFF(z+△2)-F(z) +△z f(s)ds. 由此可得 2+△z 42-/(2) f()d-f(x2) +△2 f()-f(2)|·|d 由于f(x)是连续的,故对于任给的∈>0,存在δ>0,使当-2<δ时,|f()-f(2)<ε,所以 △F f(a 团/42|= 即得 △F △z-0△z 这就证明了F(2)在G内可导,并且F(2)=f(2),口 原函数如果函数更(2)的导数更(2)=f(2),则更()称为f(2)的原函数.上面定义的f(x) 的不定积分就是f(2)的一个原函数.对于给定的一个函数f(2)来说,原函数不是唯一的.任意两 个原函数之间只相差一个常数.这是因为,如果更1(2)与更2(2)都是f(x)的原函数,则 中1(2)=f(2),亟2(2)=f(2)
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 5 ✟ ❮✩ G ý ➹➘✧❋❀ F 0 (z) = d dz Z z z0 f(z) dz = f(z). Ü ùö ❶●⑤❍ F(z) ✢■✙♦❰ ✤ ❋ 3.5 ✱✼✧✥ z ✘ G ý✴✳✧ z + ∆z ✘✥✢❏✳✧❖✃ 3.5 ✧❆ F(z) = Z z z0 f(ζ) dζ, F(z + ∆z) = Z z+∆z z0 f(ζ) dζ. ◆✱✖✗❁st❄❅✧÷Ï ∆F ∆z = F(z + ∆z) − F(z) ∆z = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ. ⑦✼❰ ✺ ∆F ∆z − f(z) = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) dζ − f(z) = 1 ∆z Z z+∆z z f(ζ) − f(z) dζ ≤ 1 |∆z| Z z+∆z z f(ζ) − f(z) · dζ . ⑦❥ f(z) ✘❙❚✢✧õ✉❥✮ ✈✢ ε > 0 ✧✿ ✩ δ > 0 ✧✹✸ |ζ − z| < δ ✻ ✧ |f(ζ)− f(z)| < ε ✧÷ Ï ∆F ∆z − f(z) ≤ 1 |∆z| · ε · |∆z| = ε, ♦✺ F 0 (z) = lim ∆z→0 ∆F ∆z = f(z). ❐❑ã ä✒ F(z) ✩ G ý❰■✧❋❀ F 0 (z) = f(z) ✤ ▲✬✭ ❖P★✙ Φ(z) ✢■✙ Φ 0 (z) = f(z) ✧❆ Φ(z) ❇✱ f(z) ✢▼★✙✤✜✛✫✬✢ f(z) ✢①✫✖✗❑✘ f(z) ✢ ✴●▼★✙✤✉❥✈✫✢✴●★✙ f(z) ◆ ø✧▼★✙①✘❖ ✴ ✢✤✮✯❏ ● ▼★✙➃➄ùP◗✴●❜✙✤❐✘◆✱✧❖P Φ1(z) ❁ Φ2(z) ❩ ✘ f(z) ✢▼★✙✧❆ Φ 0 1 (z) = f(z), Φ0 2 (z) = f(z).
所以,[1(2)-2(2)=0, 重1(2)-更2(2)=C. 知道了被积函数的原函数,可使复变积分的计算大为简化.设(2)为f(2)的一个原函数,则 f(2)的不定积分 ()= f(2)dz=更(z)+C. 但是,显然有 F(0)=更(20)+C 所以 f(x)dz=(x)-画(20) 例32计算积分/zdz,n为整数 解当n为自然数时,2在全平面解析,7+>+是它的一个原函数因此,对于2平面 上的任意一条积分路线,均有 b+1-a+1 2,-3,-4,…时,z在不包含z=0点在内的任意一个单连通区域内解析,其原函数 仍可取为 因此,仍有 ndz 但由于下一节例3的原因,此结果对于不包含z=0点在内的任意区域均成立 当n=-1时,z-1也是在不包含z=0在内的任一区域内解析,但其原函数应为lnz.因此, 在不包含z=0的任一单连通区域内, In=ln a 需要特别注意,在一个单连通区域内,上面的积分当然与路径无关.但是对于不同的单连通 区域,同样的起点与终点也还会给出不同的积分值,从计算的过程看,这里的原函数是多值函数, 因此积分值与由a变化到b的方式有关,当限制在不含z=0的一个单连通区域内时,就是把lz 限制在某一个单值分枝内,故积分值lnb-lna是唯一确定的.而对于不同的单连通区域,就可能 对应于lz的不同单值分枝,因而积分值也就可能不同
Wu Chong-shi §3.2 ÔÕÖ×ØÙ Cauchy ÚÛ ✞ 6 ✟ ÷ Ï ✧ Φ1(z) − Φ2(z) 0 = 0 ✧ Φ1(z) − Φ2(z) = C. ❘➮✒ ❦ ✖★✙✢▼★✙✧❰ ✹✔✕✖✗✢❙❚❯✱Ýî✤✥ Φ(z) ✱ f(z) ✢ ✴●▼★✙✧❆ f(z) ✢①✫✖✗ F(z) = Z z z0 f(z) dz = Φ(z) + C. ❱✘✧❢❣✪ F(z0) = Φ(z0) + C = 0, C = −Φ(z0). ÷ Ï Z z z0 f(z) dz = Φ(z) − Φ(z0). ④ 3.2 ❙❚✖✗ Z b a z ndz ✧ n ✱❲✙✤ ❷ ✸ n ✱ ❳❣✙ ✻ ✧ z n ✩❨ ✚✛➹➘✧ 1 n + 1 z n+1 ✘✥✢ ✴●▼★✙✤◆✼✧✉❥ z ✚✛ ✜✢✮✯✴á✖✗s✣✧ô✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ✸ n = −2, −3, −4, · · · ✻ ✧ z n ✩ ①ûü z = 0 ✳ ✩ ý✢ ✮✯✴●➪❙➶➈➉ ý ➹➘✧❬▼★✙ ❩ ❰ ❃✱ 1 n + 1 z n+1 ✤◆✼✧❩✪ Z b a z ndz = 1 n + 1 b n+1 − a n+1 . ❱ ⑦❥q✴❬❭ 3 ✢▼◆✧✼❪P✉❥①ûü z = 0 ✳ ✩ ý✢ ✮✯➈➉ô❫✦✤ ✸ n = −1 ✻ ✧ z −1 ❮ ✘ ✩ ①ûü z = 0 ✩ ý✢ ✮✴➈➉ ý ➹➘✧❱❬▼★✙ è ✱ ln z ✤◆✼✧ ✩ ①ûü z = 0 ✢ ✮✴➪❙➶➈➉ ý ✧ Z b a dz z = ln b − ln a. ❴ö✓➊❵ ✯ ✧ ✩✴●➪❙➶➈➉ ý ✧✜✛✢✖✗✸❣❁st❄❅✤❱✘ ❛➥☞ ❜➠➙➭➯ ➒➓✧❜❝➠❞➡❡❢➡✟❣❤✐ ❥☞ ❜➠✝✞✗ ✤✍❙❚✢❦ ò❧ ✧❐❒✢▼★✙✘♠❈★✙✧ ◆✼✖✗❈❁ ⑦ a ✕î✧ b ✢ ñë✪❅✤✸✾♥ ✩ ①ü z = 0 ✢ ✴●➪❙➶➈➉ ý✻✧❑✘✭ ln z ✾♥ ✩♦✴●➪❈✗♣ ý ✧õ✖✗❈ ln b − ln a ✘❖ ✴q ✫✢✤ì✉❥①②✢➪ ❙➶➈➉✧❑ ❰ ú ✉ è ❥ ln z ✢①②➪ ❈✗♣✧◆ì✖✗❈❮ ❑ ❰ ú①②✤
§3.3复连通区域的 Cauchy定理 复连通区域的 Cauchy定理如果f(z)是复连通区域z中的单值解析函数,则 (=∑ f(z)d 其中C,C1,C2,…,Cn是例成复连通区域石的边界的各个分段光滑闭合曲线,C1,C2,…,Cn都包 含在Co的内部,而且所有的积分路径由向果同 0 图36复连通区域的 Cauchy 证如图3.6,不妨取Co,C1,C2,……,Cn均为逆时针方向.作适当的割线把C1,C Co连结起,从而得,一个单连通区域G,f(z)在单连通区域G内是解析的,因而可以应用单 连通区域的 Cauchy定理 f(a)dz+ f(a)dz+ f(a)dz+/f(a)d f(a)dz+ f(a)dz+/f(a)dz+ f(a)dx+ f(a)dz+ f(a)dz=0 由于f(z)在内单值,故沿同一割线两岸的积分值解果抵消 f(2)d+/f(2)dz=0 所以 f()d2+∑df()d=0 1) dk=-)(=k. (32)
Wu Chong-shi rst ✉ ✈ ✇ ① ② 7 ③ §3.3 ✏❹❺❻❼❽ Cauchy ❾❿ ➧➍➎➏➐➽ Cauchy ➾➚ ❖P f(z) ✘✔❙➶➈➉ G ❭✢➪ ❈➹➘★✙✧❆ I C0 f(z) dz = Xn i=1 I Ci f(z) dz, ❬ ❭ C0, C1, C2, · · · , Cn ✘④❫✔❙➶➈➉ G ✢Ð❝✢⑤ ● ✗ ✲◗❘➷▼ ✦✣✧ C1, C2, · · · , Cn ❩ û ü ✩ C0 ✢ ý⑥ ✧ì❀÷✪✢✖✗st⑦ ❵P②✤ ❋ 3.6 ➼➳➵➸➺Ñ Cauchy ÒÓ Ü ❖ ✃ 3.6 ✧①⑧❃ C0, C1, C2, · · · , Cn ô✱❴✻⑨ñ ❵✤✵⑩✸✢✰✣✭ C1, C2, · · · , Cn ✶ C0 ❙❪ Þ◆ ✧✍ì✺✧ ✴●➪❙➶➈➉ G0 ✧ f(z) ✩➪❙➶➈➉ G0 ý ✘➹➘✢✧◆ì ❰Ïèé➪ ❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀✧ I C0 f(z) dz + Z b1 a1 f(z) dz + I C − 1 f(z) dz + Z a1 b1 f(z) dz + Z b2 a2 f(z) dz + I C − 2 f(z) dz + Z a2 b2 f(z) dz + · · · + Z bn an f(z) dz + I C − n f(z) dz + Z an bn f(z) dz = 0. ⑦❥ f(z) ✩ G0 ý➪❈✧õ❉ ② ✴ ✰✣❏❶✢✖✗❈❷P❸❹✧ Z bi ai f(z) dz + Z ai bi f(z) dz = 0. ÷ Ï I C0 f(z) dz + Xn i=1 I C − i f(z) dz = 0, (3.1) I C0 f(z) dz = − Xn i=1 I C − i f(z) dz = Xn i=1 I Ci f(z) dz. (3.2)
例33计算∮2dz值,n为整数,C的走向为逆时针方向 解当n为自然数时,显然,按照单连通区域的 Cauchy定理 当n为负整数时,如果C内不含z=0,则也有 如果C内含有z=0,则按复连通区域的 Cauchy定理,有 ide 2,-3,-4, 总结上面的结果,就有 2i,n=-1,且C内含有z=0 endz o.其他情形 或者,更一般地 i,n=-1,且C内含有z=a z-a"dz= 1{m 其他情形
Wu Chong-shi §3.3 ✄ ÕÖ×ØÙ Cauchy ÚÛ ✞ 8 ✟ ④ 3.3 ❙❚ I C z n dz ❈✧ n ✱❲✙✧ C ✢⑦ ❵✱❴✻⑨ñ ❵✤ ❷ ✸ n ✱ ❳❣✙ ✻ ✧❢❣✧❺❻➪ ❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀ I C z n dz = 0. ✸ n ✱❼❲✙ ✻ ✧❖P C ý ①ü z = 0 ✧❆❮ ✪ I C z n dz = 0. ❖P C ý ü✪ z = 0 ✧❆❺✔❙➶➈➉✢ Cauchy ✫➀✧✪ I C z ndz = I |z|=1 z ndz = Z 2π 0 e iθ n e iθ i dθ = Z 2π 0 e i(n+1)θ i dθ = 2π i, n = −1; 0, n = −2, −3, −4, · · ·. ❽❪✜✛✢❪P✧❑✪ I C z ndz = 2π i, n = −1, ❀ C ý ü✪z = 0; 0, ❬❾❿✤. ➀➁✧ ß✴③➂ ✧ I C (z − a) ndz = 2π i, n = −1, ❀ C ý ü✪z = a; 0, ❬❾❿✤
34两个有用的引理 引理3.1如果函数f(z)在z=a点的邻域内连续 并且当61≤arg(z-a)≤2,|z-a→0时,(2-a)f(2)一致地 趋近于k,则 m/.f(a=i(e2-6) 其中C是以z=a为圆心,6为半径,夹角为62-1的圆 弧,|2-a=6,61≤arg(z-a)≤b2,见图37 证因为 i(62-61) 图37 所以 f(2)d2-ik(2-61) f(a)- le-a)f(a) 由于当1≤arg(z-a)≤的2,z-a→0时,(z-a)f(2)一致地趋近于k,这意味着vε>0,(与 arg(z-a)无关的)r()>0,使当|(2-a)=6<r时,(z-a)f(z)-k<ε.所以 f(2)dz-ik(62-61)≤(02-1 in/f()dz=ik(2-61).口
Wu Chong-shi ✁✂ ✄ ☎ ✆ ✝ ✞ 9 ✟ §3.4 ➃➄➅➆❽➇❿ ➈ ➚ 3.1 ❖P★✙ f(z) ✩ z = a ✳✢❏➉ ý ❙❚✧ ❋❀✸ θ1 ≤ arg(z − a)≤ θ2, |z − a| → 0 ✻ ✧ (z − a)f(z) ✴➉➂ ➊➋❥ k ✧❆ lim δ→0 Z Cδ f(z)dz = ik(θ2 − θ1), ❬ ❭ Cδ ✘ Ï z = a ✱ ➌➍✧ δ ✱➎t✧➏➐✱ θ2 − θ1 ✢ ➌ ➑✧ |z − a| = δ, θ1 ≤ arg(z − a) ≤ θ2 ✧ ➱✃ 3.7 ✤ Ü ◆✱ Z Cδ dz z − a = i(θ2 − θ1), ❋ 3.7 ÷ Ï Z Cδ f(z)dz − ik(θ2 − θ1) = Z Cδ f(z) − k z − a dz ≤ Z Cδ |(z − a)f(z) − k| |dz| |z − a| . ⑦❥✸ θ1 ≤ arg(z − a) ≤ θ2 ✧ z − a → 0 ✻ ✧ (z − a)f(z) ✴➉➂➊➋❥ k ✧❐ ✯➒➓ ∀ε > 0 ✧ ∃(❁ arg(z − a) ❄❅✢) r(ε) > 0 ✧✹✸ |(z − a)| = δ < r ✻ ✧ |(z − a)f(z) − k| < ε ✤÷Ï Z Cδ f(z)dz − ik(θ2 − θ1) ≤ ε(θ2 − θ1), ♦ lim δ→0 Z Cδ f(z)dz = ik(θ2 − θ1).
引理32设f(2)在∞点的邻域内连续,当1≤ argz≤b2,z→∞时,zf(x2)一致地趋近于K,则 f(z)dz=i(62-61), 其中CR是以原点为圆心,R为半径、夹角为62-61的圆弧, z|=R,b1≤argz≤b2(见图3.8) 证此引理的证明和引理3.1的证明相仿.因为 i(e2-61),所以 图38 f(a) (62-1 6()-2≤/,f(-k) 由于当1≤agz≤B2,z→∞时,zf(2)一致地趋近于K,这意味着v>0,3(与argz无关 的)M(=)>0,使当|2=R>M时,|f(2)-K<ε.所以 f(2)d-i(2-0)≤(2-61) imn/f()dz=ik(2-)口
Wu Chong-shi §3.4 ➔→➣↔Ù↕Û ✞ 10 ✟ ➈ ➚ 3.2 ✥ f(z) ✩ ∞ ✳✢❏➉ ý ❙❚✧✸ θ1 ≤ arg z ≤ θ2 ✧ z → ∞ ✻ ✧ zf(z) ✴➉➂➊➋❥ K ✧❆ lim R→∞ Z CR f(z) dz = iK(θ2 − θ1), ❬ ❭ CR ✘ Ï ▼✳✱ ➌➍✧ R ✱➎t➙➏➐✱ θ2 −θ1 ✢ ➌➑✧ |z| = R, θ1 ≤ arg z ≤ θ2 (➱✃ 3.8) ✤ Ü ✼➛➀✢ã ä✶ ➈ ➚ 3.1 ✢ã äP➜✤◆✱ Z CR dz z = i θ2 − θ1 ✧÷Ï ❋ 3.8 Z CR f(z) dz − iK(θ2 − θ1) = Z CR f(z) − K z dz = Z CR zf(z) − K dz z ≤ Z CR zf(z) − K · |dz| |z| . ⑦❥✸ θ1 ≤ arg z ≤ θ2 ✧ z → ∞ ✻ ✧ zf(z) ✴➉➂➊➋❥ K ✧❐✯➒➓ ∀ε > 0 ✧ ∃(❁ arg z ❄❅ ✢ ) M(ε) > 0 ✧✹✸ |z| = R > M ✻ ✧ |zf(z) − K| < ε ✤÷Ï Z CR f(z) dz − iK θ2 − θ1 ≤ ε(θ2 − θ1), ♦ lim R→∞ Z CR f(z) dz = iK θ2 − θ1 .
