第十三章线性偏微分 方程的通解 说明 ★本章计划讲授学时:4
✁ F ✂✄☎✆✝✞ ✟✠✡ 4
13.1线性偏微分方程解的叠加性 第2页 13.1线性偏微分方程解的叠加性 把线性偏微分方程统一写成算符形式 L[u]=f, 其中 u未知函数 L线性算符 f已知函数,称为方程的非齐次项 具有非齐次项的偏微分方程称为非齐次偏微分方程.如果f0,方程就是齐次 的 表13.1 方程类型方程线性算符L a2u .a2 波动方程a2a22u=fL=2-a22 热传导方程u=fL=- Poisson方程2u=f L2 以后讨论的定解条件,也都是线性的.也可以把定解条件写成类似的算符形式 定义如果函数u使方程L[=f恒成立,则称u是方程=f的解 性质1若u1和u2都是齐次方程L[=0的解, l[u1=0,u2]=0 则它们的线性组合1u1+c2u2也是齐次方程的解, Lc1u1+c2u2]=0 其中c1和c2是任意常数. 性质2若u1和u2都是非齐次方程L[u=f的解, Lu1]=f,l[u2]=f 则它们的差u1-u2一定是相应的齐次方程的解, Lu1-u2]=0 换言之,非齐次方程的一个特解加上相应齐次方程的解仍是非齐次方程的解 性质3若u1和u2分别满足非齐次方程 L[u1=f1,u2]=f2
13.1 5 ©§)U\5 1 2 13.1 5 ©§)U\5 r5 ©§Ú¤Î/ª L[u] = f, Ù¥ u ¼ê L 5Î f ®¼ê§¡§àg äkàg ©§¡àg ©§©XJf ≡ 0§§Ò´àg © L 13.1 §a. § 5ÎL Åħ ∂ 2u ∂t2 − a 2∇2u = f L ≡ ∂ 2 ∂t2 − a 2∇2 9D§ ∂u ∂t − κ∇2u = f L ≡ ∂ ∂t − κ∇2 Poisson§ ∇2u = f L ≡ ∇2 ±?ؽ)^§Ñ´5©±r½)^¤aqÎ/ª© ½Â XJ¼êu¦§L[u] = fð¤á§K¡u´§L[u] = f )© 51 eu1Úu2Ñ´àg§L[u] = 0)§ L[u1] = 0, L[u2] = 0, K§5|Üc1u1 + c2u2´àg§)§ L[c1u1 + c2u2] = 0, Ù¥c1Úc2´?¿~ê© 52 eu1Úu2Ñ´àg§L[u] = f)§ L[u1] = f, L[u2] = f, K§ u1 − u2½´Aàg§)§ L[u1 − u2] = 0. ó§àg§A)\þAàg§)E´àg§)© 53 eu1Úu2©O÷vàg§ L[u1] = f1, L[u2] = f2,
13.1线性偏微分方程解的叠加性 第3页 则它们的线性组合c1u1+c2u2满足非齐次方程 LC1u1+C222=c1f1 + c2f2 两个自变量的线性偏微分方程的普遍形式 A0+M2mn-an+…+Any Pn+“buN+Pu=f(x,y), 或者 L(D=,D)u≡AoDx+A1Dx-Dy+…+AnDy f(a, y) 其中Dx≡0/0x,Dy≡0/0y;Ao,A1,…,An,Bo,…,M,N,P都是x,y的已知函数,称为方 程的系数
13.1 5 ©§)U\5 1 3 K§5|Üc1u1 + c2u2÷vàg§ L[c1u1 + c2u2] = c1f1 + c2f2. ügCþ5 ©§ÊH/ª A0 ∂ nu ∂xn + A1 ∂ nu ∂xn−1∂y + · · · + An ∂ nu ∂yn +B0 ∂ n−1u ∂xn−1 + · · · + M ∂u ∂x + N ∂u ∂y + P u = f(x, y), ½ö L(Dx, Dy)u ≡ h A0D n x + A1D n−1 x Dy + · · · + AnD n y + B0D n−1 x + · · · + MDx + NDy + P i u = f(x, y), Ù¥Dx ≡ ∂/∂x§Dy ≡ ∂/∂y¶A0, A1, · · · , An, B0, · · · , M, N, PÑ´x, y®¼ê§¡ §Xê©
13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 第4页 13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 常系数线性齐次偏微分方程的普遍形式是 anu +N+ Pu=0 或者 L(Dx,D)u=≡AoDx+A1Dx-Dy+…+AnD +B0D-1+…+MDx+NDy+Pu 方程的系数Ao,A1,…,An,Bo,…,M,N,P都是常数 1.L(Dx,Dy)是Dx,D2的齐次式 方程为 lo Dn+A1Dn-Dy+ A2 D2-2D2+.+AnDy u=0 可以将线性算符L(D=,Dy)分解成为n个线性算符的乘积 L(Dr, Dy)=Ao(D2-a1Dy)(D2-a2Dy).(Dx-an Dy) 其中a1,a2,…,an也都是常数,因此这n个因子的次序可以任意调换 取试探解为u=p(y+ax),因为 O()(y+az) D= Dyu 代入方程即得 Aoa"+A1a"-1+.+An o(m)(y+ax)=0 设代数方程(称为附加方程, auxiliary equation) A +…+ 的解是a1,a2 ,且互不相等,则求得常系数线性齐次偏微分方程的通解为 u=01(y+a1x)+(y+a2x)+…+φn(y+anx), 其中φ,i=1,2,……,n是(互相独立的)任意(m次可微)函数 例1求方程 ⑦y20的通解,a为常数 解令u=p(y+ax),则附加方程为a2-a2=0,其解a=土a,故方程的通解为 u=01(y+ax)+φ(y-ax)
13.2 ~Xê5àg ©§Ï) 1 4 13.2 ~Xê5àg ©§Ï) ~Xê5àg ©§ÊH/ª´ A0 ∂ nu ∂xn + A1 ∂ nu ∂xn−1∂y + · · · + An ∂ nu ∂yn +B0 ∂ n−1u ∂xn−1 + · · · + M ∂u ∂x + N ∂u ∂y + P u = 0, ½ö L(Dx, Dy)u ≡ h A0D n x + A1D n−1 x Dy + · · · + AnD n y + B0D n−1 x + · · · + MDx + NDy + P i u = 0, §XêA0, A1, · · · , An, B0, · · · , M, N, PÑ´~ê© 1. L(Dx, Dy)´Dx, Dyàgª § h A0D n x + A1D n−1 x Dy + A2D n−2 x D 2 y + · · · + AnD n y i u = 0. ±ò5ÎL(Dx, Dy)©)¤n5Î¦È L(Dx, Dy) = A0(Dx − α1Dy)(Dx − α2Dy)· · ·(Dx − αnDy), Ù¥α1, α2, · · · , αnÑ´~ê§ÏdùnÏfgS±?¿N© Á&)u = φ(y + αx), Ï D k xu = α k φ (k) (y + αx), D k y u = φ (k) (y + αx), D r xD s yu = α r φ (r+s) (y + αx), \§= h A0α n + A1α n−1 + · · · + An i φ (n) (y + αx) = 0. ê§(¡N\§§auxiliary equation) A0α n + A1α n−1 + · · · + An = 0 )´α1, α2, · · · , αn§ pØ §K¦~Xê5àg ©§Ï) u = φ1(y + α1x) + φ2(y + α2x) + · · · + φn(y + αnx), Ù¥φi, i = 1, 2, · · · , n´(pÕá)?¿(ng)¼ê© ~1 ¦§ ∂ 2u ∂x2 − a 2 ∂ 2u ∂y2 = 0Ï)§a~ê© ) -u = φ(y + αx)§KN\§α 2 − a 2 = 0§Ù)α = ±a§§Ï) u = φ1(y + ax) + φ2(y − ax).
13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 第5页 ★若α是重根,例如是二重根, (D-aD2)2u=0 则通解为 rd1(y+ar)+φ2(y+ax) ★若α为n重根,即 y)"u=0, 则方程的通解为 u=r"p1(y+ar)+r"2(y+ar +aon-1(y+ar)+on(y+ar 例2方程(D2-2D2D+D3)u=0的通解为 u=ro(a+y)+v(a+y 2.L(Dx,D3)不是Dx,Dy的齐次式 先考虑一阶偏微分方程 Dr-aDy-B)2=0 如果f(x,y,z)=0是方程的解,则必有 af cdx+dy+odz =0 -oros, D i=-oflou 代入方程(■),又应该有 比较(型)和(※)两式,可见 1 这个方程组称为 Lagrange辅助方程组.容易解出 C, Br=Inz-InC't 所以 此,当L(Dx,D)不是Dx和D的齐次式时,如果能将L(Dx,Dy)分解为n个因子(每个 因子都是Dx和D3的线性函数)的乘积,则也可以求出方程的通解 例3求方程 2aby-2y2+2m+2b7=0的通解
13.2 ~Xê5àg ©§Ï) 1 5 F eα´§~X´§ (Dx − αDy) 2 u = 0, KÏ) u = xφ1(y + αx) + φ2(y + αx). F eαn§= (Dx − αDy) n u = 0, K§Ï) u = x n−1 φ1(y + αx) + x n−2 φ2(y + αx) + · · · +xφn−1(y + αx) + φn(y + αx). ~2 §(D 2 x − 2DxDy + D 2 y)u = 0Ï) u = xφ(x + y) + ψ(x + y). 2. L(Dx, Dy)Ø´Dx, Dyàgª kÄ ©§ (Dx − αDy − β)z = 0. () XJf(x, y, z) = 0´§)§K7k ∂f ∂xdx + ∂f ∂y dy + ∂f ∂z dz = 0. (z) ,¡§ Dxz = − ∂f /∂x ∂f /∂z , Dyz = − ∂f /∂y ∂f /∂z . \§()§qATk ∂f ∂x − α ∂f ∂y + βz ∂f ∂z = 0. (>) '(z)Ú(>)üª§ dx 1 = dy −α = dz βz . ù§|¡Lagrange9ϧ|©N´)Ñ y + αx = C, βx = ln z − ln C 0 . ¤± z = C 0 e βx = e βxφ(y + αx). Ïd§L(Dx, Dy)Ø´DxÚDyàgª§XJUòL(Dx, Dy) ©)nÏf(z ÏfÑ´DxÚDy5¼ê)¦È§K±¦Ñ§Ï)© ~3 ¦§ ∂ 2u ∂x2 − ∂ 2u ∂x∂y − 2 ∂ 2u ∂y2 + 2∂u ∂x + 2∂u ∂y = 0Ï)©
13.2常系数线性齐次偏微分方程的通解 6页 解容易看出, (D2-D2Dy-2D2+2D+2D2)u =(Dx+D3)(Dx-2Dy+2)a=0 故方程的通解为 =0(x-y)+ep(y+2x) ★若有重复性因子,如(Dx-aD-B)2z=0,则通解为 z=rezo(y+ax)+ez(y +ar)
13.2 ~Xê5àg ©§Ï) 1 6 ) N´wѧ (D 2 x − DxDy − 2D 2 y + 2Dx + 2Dy)u = (Dx + Dy)(Dx − 2Dy + 2)u = 0. §Ï) u = φ(x − y) + e −2xψ(y + 2x). F ekE5Ïf§X(Dx − αDy − β) 2 z = 0§KÏ) z = xe βxφ(y + αx) + e βxψ(y + αx)
13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第7页 13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 非齐次方程的通解=非齐次方程的任一特解 +相应齐次方程的通解 将方程 L(Dr, Dy)u= f(a, y) 的特解形式地表示为 L(Dx, Dy) f(r, y) 而后按下列法则求出uo(x,y) 1.若f(x,y)=ex+by,且L(a,b)≠0,则 ar+by ar+ ★L(a,b)=0的情形 不妨设L(Dx,Dy)=bDx-aD3 (bDr -aDy)u=eaz+by 仿照132节中的方法,得到 Lagrange辅助方程组 d a dx+bdy=0, F adu +ear+budy=0 由第一个方程得 代入第二个方程, +edy=0 所以 即 bDr -aDy earthy=--yeax
13.3 ~Xê5àg ©§Ï) 1 7 13.3 ~Xê5àg ©§Ï) àg§Ï) = àg§?A) + Aàg§Ï)© ò§ L(Dx, Dy)u = f(x, y) A)/ª/L« u0 = 1 L(Dx, Dy) f(x, y), Ue{K¦Ñu0(x, y)µ 1. ef(x, y) = eax+by§ L(a, b) 6= 0§K 1 L(Dx, Dy) e ax+by = 1 L(a, b) e ax+by . F L(a, b) = 0/© ØL(Dx, Dy) = bDx − aDy§ (bDx − aDy)u = e ax+by . ì13.2!¥{§Lagrange9ϧ| dx b = dy −a = du e ax+by , = a dx + b dy = 0, Ú adu + e ax+bydy = 0. d1§ ax + by = c. \1§§ adu + ec dy = 0. ¤± u = − 1 a ye c = − 1 a ye ax+by , = 1 bDx − aDy e ax+by = − 1 a ye ax+by .
13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第8页 上述求解过程中注意两点.第一,在求出了第一个方程的解(含有积分常数c)后 需代入第二个方程,以消去x,其代价是引入了积分常数c;在求出第二个方程的 解后,又需反过来消去积分常教.第二,在求解第二个方程时,不必再引进第二 个积分常数 若f( ),显然有 L(Dr, Dy) F(ia, ib) 因此,当a和b为实数,且L(Dx,D3)中的系数也为实数时, s sin(at +by)= m (az+b L(Dz, Dy) L(ia, ib) cos(ar +by )=Re ★如果L(Dx,Dy)是D2,D=D2和D的简单复合函数 L(Dx, D,)=G(D2, DrDy, D4) G(D2, D Dy, Di sin(ar +by) G(a 62) sin(ar+ by). G(D,D2D,D万(ax+b) 3.若f(x,y)=ex+g(x,y),则 L(Dr, Dy) +by 证注意 L(Dz, Du)earby g(a,y)=etyL(D2 +a, D,+6)g(a, y) 这样,就有 L(Dr, Dy) (Dx +a, Dy+b) g(r, y) az+b L(Dx +a, Dy+b)
13.3 ~Xê5àg ©§Ï) 1 8 þã¦)L§¥5¿ü:©1§3¦Ñ 1§)(¹kÈ©~êc) I\1§§±x§Ùd´Ú\ È©~êc¶3¦Ñ1§ )§qIL5È©~ê©1§3¦)1§§Ø72Ú?1 È©~ê© 2. ef(x, y) = ei(ax+by)§w,k 1 L(Dx, Dy) e i(ax+by) = 1 F(ia, ib) e i(ax+by) . Ïd§aÚb¢ê§ L(Dx, Dy)¥Xê¢ê§ 1 L(Dx, Dy) sin(ax + by) = Im · 1 L(ia, ib) e i(ax+by) ¸ , 1 L(Dx, Dy) cos(ax + by) = Re · 1 L(ia, ib) e i(ax+by) ¸ . F XJL(Dx, Dy)´D 2 x, DxDyÚD 2 y{üEÜ¼ê§ L(Dx, Dy) = G(D 2 x, DxDy, D2 y), K 1 G(D2 x, DxDy, D2 y) sin(ax + by) = 1 G(−a 2, −ab, −b 2) sin(ax + by), 1 G(D2 x, DxDy, D2 y) cos(ax + by) = 1 G(−a 2, −ab, −b 2) cos(ax + by). 3. ef(x, y) = e ax+byg(x, y)§K 1 L(Dx, Dy) e ax+byg(x, y) = eax+by 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y). y 5¿ Dx £ e ax+by g(x, y) ¤ = e ax+by(Dx + a)g(x, y), Dy £ e ax+by g(x, y) ¤ = e ax+by(Dy + b)g(x, y), Ïd L(Dx, Dy)eax+by g(x, y) = eax+byL(Dx + a, Dy + b)g(x, y). ù§Òk L(Dx, Dy) ½ e ax+by 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y) ¾ = e ax+byL(Dx + a, Dy + b) ½ 1 L(Dx + a, Dy + b) g(x, y) ¾ = e ax+by g(x, y).
13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第9页 公式得证 4.若f(x,y)=rmy",则可将1/L(Dx,D3)展开为Dx,Dy的幂级数,而后求出特解 例4求非齐次方程(D2-2DD+D2)u=12xy的通解 解方程的特解可取为 D2-2D2 Dy+ Day(Dr-)2y 12 厉(-D)m=m+2D+ 2 D ay+ D2 D3 其中利用了 D 2 dr2 dx324 相应齐次方程的通解已在例2中求出,故非齐次方程的通解为 u=xo(x+y)+(x+y)+r+2x y 将1/L(Dx,D)展开时可以有不同的方法,因而得到不同的结果.例如,在上面 的例题中,也可以得到 D D2 因此,非齐次方程的特解也可以取为 12 D,2y=2xy+y 这两种办法得到的特解之差 x3y-2xy3-y4=(x-y)(x+y)3=2r(x+y) 正是相应齐次方程的解 推论1若非齐次项为f(ax+by),且L(Dx,Dy)是Dx,D3的齐(n)次式,则 Dig(ar+ by )=a g(ar+by), Dsg(az +by)=bg(s(ar+by)
13.3 ~Xê5àg ©§Ï) 1 9 úªy© 4. ef(x, y) = x my n§Kò1/L(Dx, Dy)ÐmDx, Dy?ê§ ¦ÑA)© ~4 ¦àg§(D 2 x − 2DxDy + D 2 y)u = 12xyÏ)© ) §A) u0 = 12 D2 x − 2DxDy + D2 y xy = 12 (Dx − Dy) 2 xy = 12 D2 x µ 1 − Dy Dx ¶−2 xy = 12 D2 x · 1 + 2Dy Dx + · · · ¸ xy = 12 D2 x · xy + 2 Dx x ¸ = 12 · y 1 D2 x x + 2 D3 x x ¸ = 12 · 1 6 x 3 y + 1 12 x 4 ¸ = x 4 + 2x 3 y, Ù¥|^ 1 Dx x = 1 2 x 2 ³ ∵ d dx x 2 2 = x ´ , 1 D2 x x = 1 6 x 3 ³ ∵ d 2 dx2 x 3 6 = x ´ , 1 D3 x x = 1 24 x 4 ³ ∵ d 3 dx3 x 4 24 = x ´ . Aàg§Ï)®3~2¥¦Ñ§àg§Ï) u = xφ(x + y) + ψ(x + y) + x 4 + 2x 3 y. ò1/L(Dx, Dy)Ðm±kØÓ{§Ï ØÓ(J©~X§3þ¡ ~K¥§± 1 (Dx − Dy) 2 = 1 D2 y ³ 1 − Dx Dy ´−2 = 1 D2 y h 1 − 2 Dx Dy + · · · i . Ïd§àg§A)± u0 = 12 (Dx − Dy) 2 xy = 2xy 3 + y 4 . ùü«{A) x 4 + 2x 3 y − 2xy 3 − y 4 = (x − y)(x + y) 3 = 2x(x + y) 3 − (x + y) 4 ´Aàg§)© íØ1 eàgf(ax + by)§ L(Dx, Dy)´Dx, Dyà(n)gª§K D r xg(ax + by) = a r g (r) (ax + by), D s yg(ax + by) = b s g (s) (ax + by).
13.3常系数线性非齐次偏微分方程的通解 第10页 所以 L(Dx, Du)g(ar +by)=l(a, b)g(ar by). 因此,当L(a,b)≠0时,就有 LD2,D2)9 g()(ar+by) (a, 69(ar +by 例5求解方程 02 y2=12(x 解先求特解.方程显然符合推论1的条件.所以特解为 (x+y) (x+y)3=(x+y) 容易求出相应齐次方程的通解,从而得出非齐次方程的通解 t wla ★L(a,b)=0的情形 先考虑一个特殊的一阶非齐次偏微分方程 (Dx-aDy)u=rvl(y+az), 相应的 Lagrange辅助方程组为 w(y+ar) 于是y+ax=c,从而求得 所以 npxy(y+ar r+12+1y(g+ax) 反复利用这个结果,还可以进一步得到 (D-①D(y+ar)=+b”+v(y+ax). 例6求解(D≥-6DDy+9D3)u=6x+2y,即 解例3已求出相应齐次方程的通解xo(y+3r)+v(y+3x) 非齐次方程的特解为 (Dx -3Dy)2
13.3 ~Xê5àg ©§Ï) 1 10 ¤± L(Dx, Dy)g(ax + by) = L(a, b)g (n) (ax + by). Ïd§L(a, b) 6= 0§Òk 1 L(Dx, Dy) g (n) (ax + by) = 1 L(a, b) g(ax + by). ~5 ¦)§ ∂ 2 v ∂x2 + ∂ 2 v ∂y2 = 12(x + y)© ) k¦A)©§w,ÎÜíØ1^©¤±A) v0 = 12 D2 x + D2 y (x + y) = 12 ¡ 1 2 + 12 ¢ · 3! (x + y) 3 = (x + y) 3 . N´¦ÑAàg§Ï)§l Ñàg§Ï) v = (x + y) 3 + φ(x + iy) + ψ(x − iy). F L(a, b) = 0/© kÄAÏ àg ©§ (Dx − αDy)u = x rψ(y + αx), ALagrange9ϧ| dx 1 = dy −α = du xrψ(y + αx) . u´y + αx = c§l ¦ u = 1 r + 1 x r+1ψ(c) = 1 r + 1 x r+1ψ(y + αx). ¤±§k 1 Dx − αDy x rψ(y + αx) = 1 r + 1 x r+1ψ(y + αx). E|^ù(J§±?Ú 1 (Dx − αDy) k x rψ(y + αx) = r! (r + k)!x r+kψ(y + αx). ~6 ¦)(D 2 x − 6DxDy + 9D 2 y)u = 6x + 2y§= (Dx − 3Dy) 2 u = 6x + 2y. ) ~3®¦ÑAàg§Ï)xφ(y + 3x) + ψ(y + 3x)© àg§A) u0 = 1 (Dx − 3Dy) 2 (6x + 2y) = 2 (Dx − 3Dy) 2 (3x + y) = x 2 (y + 3x).