例2若==f(xy)有连续二阶偏导数,满足方程2=02=_,a2z =(-)2,证明:若把 =f(x,y)中y看成x,=的函数,则它满足同样形状的方程2x2=( ax2 a-2 axa 证由=f(x,y)确定y是x,的函数,则有z=f(x,y(x,=),方程两边分别对x,二求偏 0 ay ax af ay (2) (1)式再分别对x,z求偏导,得 0 2c+9y2+9 (3) ax ay f ay af ay ay af ay axdy a: ay ax a= ay= (4) (2)式再对二求偏导,得 0=2(9y2+ ay 由(3)(5)式 a2f a fe) ay of axoy ax ay2 ax Oy ax af ayra a-f ay a-fay2 af a ax ay yy(yy3+gayn2可+② oxo o ()2[2 ](由(5)式) ax az ay ayaya 2 af Oyoy af ay a-f ayay ax- a- ay ay- ax az andy az ay- ax a 由(4)式 f ay af ay ay af ay ax az ay axa 29 f ay ayof ay Oy ax ay ax az ay ax az ay axd=2 例 2 若 z = f (x, y) 有连续二阶偏导数，满足方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，证明：若把 z = f (x, y) 中 y 看成 x,z 的函数，则它满足同样形状的方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     。 证 由 z = f (x, y) 确定 y 是 x,z 的函数，则有 z = f (x, y(x,z)) ，方程两边分别对 x,z 求偏 导，得 x y y f x f     +   0 = （1） z y y f     1 = （2） (1) 式再分别对 x,z 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) x y y f x y y f x y x y f x f     +     +      +   = (3) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       +      = 2 2 2 2 0 （4） (2)式再对 z 求偏导，得 2 2 2 2 2 0 ( ) z y y f z y y f     +     = （5） 由（3）（5）式 2 2 2 2 2 ( ) z y y f x f       [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y y f x y x y f z y y f     +     +          = ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          +       = ( ) ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          −       = (由（5）式) ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y       +            −       = 由（4）式 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       =      x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f            +       +      = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2