中山大学：《数学分析》第十八章 多元函数极值

第十七章隐函数存在定理 例1设x2=v,y2=l,z2=m及f(x,y,z)=F(u,v,w),证明 xf +y +if=uF,+vF+wF x=x(u, v, w) 证方程组{y2=确定了函数组{y=y(uv,w),先求这个函数组对各变元的偏导 z=二(l2v,w) 数,为此,对方程组求微分得 2xdx= wdy+vdl 2y=wd+h,即=-d 2 2 2ed=vdu+udv dz 2x2 将函数组代入方程f(x,y,z)=F(u,v,w),得关于变元,v,w的方程 f(x(u,v,w),y(u,v,w)=(u,v,w))=F(u, v, w) 在这方程两边分别对u,v,w求偏导,得 f 3+f ay aaa Jx+J,+厂=F az F 将上面三式分别乘以u,v,w后再相加,得 J,+y++2+n+f uF +vF+wF X=v) =ln,x2=l代入即得 x+yf,+/:=uE+vF+F

1 第十七章 隐函数存在定理 例 1 设 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 及 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，证明 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF + 证 方程组      = = = z uv y uw x vw 2 2 2 确定了函数组      = = = ( , , ) ( , , ) ( , , ) z z u v w y y u v w x x u v w ，先求这个函数组对各变元的偏导 数，为此，对方程组求微分得      = + = + = + zdz vdu udv ydy wdu udw xdx wdv vdw 2 2 2 ， 即          = + = + = + dv z u du z v dz dw y u du y w dy dw x v dv x w dx 2 2 2 2 2 2 故                                     w z v z u z w y v y u y w x v x u x                   = 0 2 2 2 0 2 2 2 0 z u z v y u y w x v x w 将函数组代入方程 f (x, y,z) = F(u,v,w) ，得关于变元 u, v,w 的方程 f (x(u,v,w), y(u,v,w),z(u,v,w)) = F(u,v,w) ， 在这方程两边分别对 u, v,w 求偏导，得 x y z Fu u z f u y f u x f =   +   +   x y z Fv v z f v y f v x f =   +   +   x y z Fw w z f w y f w x f =   +   +   将上面三式分别乘以 u, v,w 后再相加，得 + + z uv f y uw f y z 2 2 z uv f x vw f x z 2 2 + y uw f x vw f x y 2 2 + + u v wFw = uF + vF + 将 x = vw 2 ， y = uw 2 ， z = uv 2 代入即得 x y z u v wFw xf + yf + zf = uF + vF +

例2若==f(xy)有连续二阶偏导数,满足方程2=02=_,a2z =(-)2,证明:若把 =f(x,y)中y看成x,=的函数,则它满足同样形状的方程2x2=( ax2 a-2 axa 证由=f(x,y)确定y是x,的函数,则有z=f(x,y(x,=),方程两边分别对x,二求偏 0 ay ax af ay (2) (1)式再分别对x,z求偏导,得 0 2c+9y2+9 (3) ax ay f ay af ay ay af ay axdy a: ay ax a= ay= (4) (2)式再对二求偏导,得 0=2(9y2+ ay 由(3)(5)式 a2f a fe) ay of axoy ax ay2 ax Oy ax af ayra a-f ay a-fay2 af a ax ay yy(yy3+gayn2可+② oxo o ()2[2 ](由(5)式) ax az ay ayaya 2 af Oyoy af ay a-f ayay ax- a- ay ay- ax az andy az ay- ax a 由(4)式 f ay af ay ay af ay ax az ay axa 29 f ay ayof ay Oy ax ay ax az ay ax az ay axd=

2 例 2 若 z = f (x, y) 有连续二阶偏导数，满足方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，证明：若把 z = f (x, y) 中 y 看成 x,z 的函数，则它满足同样形状的方程 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     。 证 由 z = f (x, y) 确定 y 是 x,z 的函数，则有 z = f (x, y(x,z)) ，方程两边分别对 x,z 求偏 导，得 x y y f x f     +   0 = （1） z y y f     1 = （2） (1) 式再分别对 x,z 求偏导，得 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 ( ) x y y f x y y f x y x y f x f     +     +      +   = (3) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       +      = 2 2 2 2 0 （4） (2)式再对 z 求偏导，得 2 2 2 2 2 0 ( ) z y y f z y y f     +     = （5） 由（3）（5）式 2 2 2 2 2 ( ) z y y f x f       [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y y f x y x y f z y y f     +     +          = ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          +       = ( ) ( ) [2 ( ) ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x y y f x y x y f z y y f y f z y x y     +          −       = (由（5）式) ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y       +            −       = 由（4）式 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) x z y y f z y x y y f z y x y f      +       =      x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f            +       +      = 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2

=(90y)2+999+2y0 dy axa 因为 andy r129+9/c ax2 a22 ay ay2 Ox az axay az ay ax az af ay2 af ay ay, a f ay ay af ay ay axa ay ax a ay ax az ay axe 结合(4)式得 ayaya r af ay 2. af ay ayr af ay af oy ay. af ay ay ax az axoy az ay af a )2 ay oxa 2-2) l=f(x,y,,1) 例3设{8(,=,1)=0,问什么条件下是xy的函数啊?求anan h(=,D)=0 解当g,h对各变元有连续的偏导数,且2≠0时,方程组8(y,)=0 h(==0可确定函 数组 =(y),代入l=f(x,y,=,D)即得u是x,y的函数u=f(x,y,(y)1(y)。 =1(y) f(x,y,,t 对方程组{g(y=,1)=0求微分,得 h(=,D)=0 f dx+f dy+f d=+f, dt 8 dy+gd=+g, dt=0 hd=+hdt=0 记J=叫(8b) 若J≠0,由(2)(3)式 a(=,) gg-g,h中 J0 h

3 ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f      +             +      = 因为 2 2 2 2 2 2 ( ) x y z y z x z    =     ，则 ( ) [2 ] 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z y x y y f z y x y f z y x y y f y f z y x y       +            −       ( ) [ 2 ] 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y y f x z y y f      +             +      = 结合（4）式得 2 2 2 2 2 ( ) y f z y x y       ( ) 2 [ ] 2 2 2 2 2 2 2 2 x z y y f z y x y y f z y x y f z y x y y f x z y y f      +       +            +      = 2 2 ( ) x z y y f      = 即 2 2 2 2 2 2 ( ) x z y z y x y    =     。 例 3 设      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t ，问什么条件下 u 是 x, y 的函数啊？求 y u x u     , 。 解 当 g,h 对各变元有连续的偏导数，且 0 ( , ) ( , )    z t g h 时，方程组    = = ( , ) 0 ( , , ) 0 h z t g y z t 可确定函 数组    = = ( ) ( ) t t y z z y ，代入 u = f (x, y,z,t) 即得 u 是 x, y 的函数 u = f (x, y,z( y),t( y)) 。 对方程组      = = = ( , ) 0 ( , , ) 0 ( , , , ) h z t g y z t u f x y z t 求微分，得      + = + + = = + + + 0 (3) 0 (2) (1) h dz h dt g dy g dz g dt du f dx f dy f dz f dt z t y z t x y z t 记 ( , ) ( , ) z t g h J   = ，若 J  0 ，由（2）（3）式 J g h dy h g dy g J dz y t t y t − = − = 0 1

dt 18: -g,dy g,hdy 代入(1)得 d=f+J,中+-8,h g hdy =fdt+[,+g, J=/+r+8a(h, fh.-fh jdy f gy a(h,f) J(=,D) 注利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数,会使计算简单一些。 第十八章多元函数的极值 例1求函数∫=xyz在条件x2+y2+z2=1,x+y+z=0下的极值 解令L=xyz+(x2+y2+2-1)+(x+y+) L1=y2+2x+=0 L,=xz+2y+=0 L=xy+2-+=0 x2+ABx=2y2+0=2x2+E (1) 又 x-+y-+ (2) 由(1)得2(x2-y2)=(y-x),2(y2-z2)=(z-y) 当x≠y≠二时得 2A(y+-)=- 故得X=2,代入(2)(3)式得 2x2+y2=1解得稳定点P( P2(

4 J g h dy h g g dy J dt y z z z y = − = 0 1 代入（1）得 x y z du = f dx + f dy + f J g h dy − y t J g h dy f y z + t dy J f h f h f dx f g t z z t x y y [ ] − = + + dy z t h f J g f dx f y x y ] ( , ) ( , ) [   = + + 故 x f x u =   ， y u   ( , ) ( , ) z t h f J g f y y   = + 注 利用一阶微分形式不变性来求函数的偏导数，会使计算简单一些。 第十八章 多元函数的极值 例 1 求函数 f = xyz 在条件 1, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 下的极值。 解 令 ( 1) ( ) 2 2 2 L = xyz +  x + y + z − +  x + y + z Lx = yz + 2x +  = 0 Ly = xz + 2y +  = 0 L z = xy+ 2z +  = 0 得 x + x = y + y = z + z 2 2 2 2 2 2 （1） 又 1 2 2 2 x + y + z = （2） x + y + z = 0 （3） 由（1）得 2 ( ) ( ) 2 2  x − y =  y − x ， 2 ( ) ( ) 2 2  y − z =  z − y 当 x  y  z 时得 2(x + y) = − ， 2( y + z) = − 故得 x = z ，代入（2）（3）式得 2 1 2 2 x + y = 解得稳定点 ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 1 − P ， ) 6 1 , 6 2 , 6 1 ( 2 − − P

由对称性得B34(, 也是稳定点 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点 1、通过判别最值来求极值 注意约束集为单位圆,是有界闭集,故∫在其上必有最大(小)值,且最值必在稳定 点达到。比较稳定点的函数值 f(P)=f(P)=/(P26′(B)=f(P)=()=3 66 最大者一为极大值,最小者一为极小值。 2、用无条件极值的充分性判别 令F 1,G 2=P2 =2(y-2)≠0.(y≠2),故在B1,P点的某邻域,方程组 a0 x2+y2+z2=1,x+y+z=0可唯一地确定可微函数组y(x)(x) 方程组两边对x求导,得r2x+2yy+2=′=0 y 再求导,得1+y+y+z2+z"=0 将P,P2点代入,解得y(P)=y(P)=0 z(P)==(P) yP)=(P2)3’yVe)=)=36 26 又f(x)=yz+xy+xy f∫"(x)=yz+yz'+y+xy"-+xy'='+yz'+xy=’+xz f"(B) 0 f"(P2)= √6363√6 √63√63√6 故是极小值点,P2是极大值点。由x,y,=的对称性知,P3,P5是极小值点,P2,P6是极

5 2x + y = 0 由对称性得 ) 6 1 , 6 1 , 6 2 ( 3,4    P ， ) 6 2 , 6 1 , 6 1 ( 5,6    P 也是稳定点。 下面用几种不同的方法判别稳定点是否极值点。 1、通过判别最值来求极值 注意约束集为单位圆，是有界闭集，故 f 在其上必有最大（小）值，且最值必在稳定 点达到。比较稳定点的函数值： 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ， 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 最大者 3 6 1 为极大值，最小者 3 6 −1 为极小值。 2、用无条件极值的充分性判别 令 1 2 2 2 F = x + y + z − ， G = x + y + z 则 2( ) 1 1 2 2 ( , ) ( , ) y z y z y z F G = = −    0,( y  z) ，故在 1 2 P,P 点的某邻域，方程组 1, 0 2 2 2 x + y + z = x + y + z = 可唯一地确定可微函数组 y(x),z(x) 。 方程组两边对 x 求导，得 2x + 2yy  + 2zz  = 0 1+ y  + z  = 0 再求导，得 1 0 2 2 + y  + yy  + z  + zz  = y  + z  = 0 将 1 2 P,P 点代入，解得 y (P1 ) = y (P2 ) = 0 ， z (P1 ) = z (P2 ) = −1 3 2 6 ( ) ( ) y  P1 = z  P2 = ， 3 2 6 ( ) ( ) 2 1 − y  P = z  P = 又 f (x) = yz + xy  z + xyz  f (x) = y  z + yz  + y  z + xy  z + xy  z  + yz  + xy  z  + x yz  = 2y  z + 2yz  + 2xy  z  + xy  z + x yz  0 3 6 4 3 6 2 6 4 ( ) f  P1 = + +  ， 0 3 6 4 3 6 2 6 4 ( ) f  P2 = − − −  故 P1 是极小值点， P2 是极大值点。由 x, y,z 的对称性知， 3 5 P , P 是极小值点， 2 6 P ,P 是极

大值点 极小值f(B)=f(B3)=f(P5) 66 极大值∫(P2)=f(P)=f(P6) √6 3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时,所有变量是独立的,但dx,d,d应满 足约束条件的微分在P的关系式: 2xdx+2ydy +2zd==0J dx+dy+d==0 因为 dL= ydx+ xcd+xyd=+2(xdx+ ydy + =d)+u(dx+dy+ds) d2L=2a(dx+dy2+d=2)+2xdyd:+2ydxd:+2=dxdy 在P点(a-2+=0即rd=0 dy+d=0 dx+d=0 12 又P满足稳定点方程 λ+μ=0得 2√6 +1=0 故d2L(F)=(d2+c2-4a)=(dx2+t2+4dx2)>0 所以P是极小值点。由x,y,z的对称性知,B3,B也是极小值点。同理可证,P,P,P是 极大值点 极小值f()=(P3)=f(p、二 6√6 极大值f(P2)=f(P4)=f(P) 例2将长度为/的铁丝分成三段,用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分 法,才能使这三个图形的面积之和最小。 解设x,y,二分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 6

6 大值点。 极小值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ， 极大值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 。 3、用拉格朗日函数的二阶微分判别极值。求微分时，所有变量是独立的，但 dx, dy, dz 应满 足约束条件的微分在 Pi 的关系式： [ 2xdx + 2ydy + 2zdz = 0 ] Pi | dx + dy + dz = 0 因为 dL = yzdx + xzdy + xydz + 2(xdx + ydy + zdz) + (dx + dy + dz) d L 2 (dx dy dz ) 2xdydz 2ydxdz 2zdxdy 2 2 2 2 =  + + + + + 在 P1 点 dx − 2dy + dz = 0 即 dy = 0 dx + dy + dz = 0 dx + dz = 0 又 P1 满足稳定点方程 0 6 2 3 1 − +  +  = 得 2 6 1  = 0 6 4 6 1 −  +  = 故 ( 4 ) 0 6 1 ( 4 ) 6 1 ( ) 2 2 2 2 2 1 2 d L P = dx + dz − dxdz = dx + dz + dx  所以 P1 是极小值点。由 x, y,z 的对称性知， 3 5 P , P 也是极小值点。同理可证， 2 4 6 P ,P ,P 是 极大值点。 极小值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) 1 3 5 − f P = f P = f P = ， 极大值 6 6 2 ( ) ( ) ( ) f P2 = f P4 = f P6 = 。 例 2 将长度为 l 的铁丝分成三段，用此三段分别作成圆、正方形和等边三角形。问如何分 法，才能使这三个图形的面积之和最小。 解 设 x, y,z 分别为圆之半径、正方形边长、等边三角形边长。于是总面积 2 2 2 4 3 s = x + y + z

满足约束2x+4y+3x=l,x≥0,y≥0,2≥0 令L(x,y,) (2kmx+4y+3=-1) L1=2m+2r=0 解得x=-元 L,=2y+4A=0 z+3A=0 z=-2√3λ 2nx+4y+3==1 2z+8+63 s(-2-2.-2V34)=(x+4+33)2=(x+4+33 (2z+8+6√3)2 约束集为有界闭集,故在其上必有最小值。在边界上,即解下列三个条件极值问题 稳定点分别是 Py=-2 8+6√3 63 函数值分别是 4()=(4+35,s2(B)(2x+6√3)2( (x+332 丌+4)l (8+63 (2z+8)2 ,0.0 S(0,÷,0) 4 S(0,0,) 312√3 比较上述7个函数值得,最小值为 s(-1.-2,-2√3)=(x+4+3 33)2=(z+4+33y2 (2z+8+63)2° 下面再用无条件极值的充分性判别。 约束条件2m+4y+3z=可确定z=(x,y)。方程两边分别对x,y求导,得

7 满足约束 2x + 4y + 3z = l ， x  0, y  0,z  0 令 (2 4 3 ) 4 3 ( , , ) 2 2 2 L x y z = x + y + z +  x + y + z − l Lx = 2x + 2 = 0 解得 x = − Ly = 2y + 4 = 0 y = −2 3 0 2 3 Lz = z +  = z = −2 3 2x + 4y + 3z = l 2 + 8 + 6 3 = −   l 2 2 2 (2 8 6 3) ( 4 3 3) ( , 2 , 2 3 ) ( 4 3 3) + + + + − − − = + + =        l s 约束集为有界闭集，故在其上必有最小值。在边界上，即解下列三个条件极值问题： 2 2 1 4 3 s = y + z 2 2 2 4 3 s = x + z 2 2 3 s = x + y 4y + 3z = l 2x +3z = l 2x + 4y = l 稳定点分别是 y = −2 x = − x = − P1 z = −2 3 P2 z = −2 3 P3 y = −2 8 + 6 3 − = l  2 + 6 3 − =   l 2 + 8 − =   l 函数值分别是 2 2 1 1 (8 6 3) (4 3 3) ( ) + + = l s P , 2 2 2 2 (2 6 3) ( 3 3) ( ) + + =   l s P , 2 2 3 3 (2 8) ( 4) ( ) + + =   l s P 又  4 ,0,0) 2 ( 2 l l s = ， , 16 ,0) 4 (0, 2 l l s = 12 3 ) 3 (0,0, 2 l l s = 。 比较上述 7 个函数值得，最小值为 2 2 2 (2 8 6 3) ( 4 3 3) ( , 2 , 2 3 ) ( 4 3 3) + + + + − − − = + + =        l s 。 下面再用无条件极值的充分性判别。 约束条件 2x + 4y + 3z = l 可确定 z = z(x, y) 。方程两边分别对 x, y 求导，得

4+3z=0 2 a-s ax a 33 axon 33√3 a-s as as 8 丌 )2 G3(33+x3 4 27+33(4+m)>0 故稳定点是极小值点。从而是最小值点 从几何上看,当S=c是一常数时,m2+y2+x2=c是一椭球面,而约束条件给 出一个平面在第一挂限的部分,如图示。当c逐渐增大,首次与平面接触一点时,s达到最 小值。当c继续增大时,s的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到

8 2 + 3z x = 0， 3 2 z x = − ， z xx = 0 4 + 3z y = 0 ， 3 4 z y = − ， z yy = 0 x x zz x s 2 3 = 2 +    x z 3 2  =  − ， 3 3 2 2 3 2 2 2 2    =  − = +   x z x s y zz y z y s y 3 2 2 2 3 = 2 + = −   ， 3 3 8 2 3 2 2 2 2 = − = +   y z y s 3 3 4 3 2   = − =    y z x y s 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 3 3 4 ) ( 3 3 8 )(2 3 3 2 ( ) (2   =  + + −    −     x y s y s x s [(3 3 )(3 3 4) 4 ] (3 3) 4 2    = + + − [27 3 3(4 )] 0 (3 3) 4 2 = + +   故稳定点是极小值点。从而是最小值点。 从几何上看，当 s = c 是一常数时， x + y + z = c 2 2 2 4 3  是一椭球面，而约束条件给 出一个平面在第一挂限的部分，如图示。当 c 逐渐增大，首次与平面接触一点时， s 达到最 小值。当 c 继续增大时， s 的最大值必在平面与坐标轴的交点上达到