《线性代数》第五章 矩阵的相似对角化（5.2）实对称矩阵的相似对角化

第二节实对称矩阵 的相似对角化

第二节 实对称矩阵 的相似对角化

如上面的讨论中看到的,一般的方阵不一定可对角化, 但对于在应用中常常遇到的实对称矩阵(满足A=A 的实矩阵),不仅一定可以对角化,而且解决起来 要简便得多,这是由实对称矩阵的特征值和特征向 量的特性所决定的。 定理1实对称矩阵的特征值为实数。 设复数λ为实对称矩阵A的特征值,复向量x为对应的 特征向量,即Ax=x,x≠0。用入表示λ的共轭复数, X表示x的共轭复向量,则

❖ 如上面的讨论中看到的,一般的方阵不一定可对角化， 但对于在应用中常常遇到的实对称矩阵（满足A=A 的实矩阵），不仅一定可以对角化，而且解决起来 要简便得多，这是由实对称矩阵的特征值和特征向 量的特性所决定的。 定理1 实对称矩阵的特征值为实数。 设复数为实对称矩阵A的特征值，复向量x为对应的 特征向量，即Ax=x，x0。用 表示的共轭复数， 表示x的共轭复向量，则 λ x

Ax=AX=(Ax)=(x)=入X 于是有 xAx=x(Ax)=x^x=入x'x xAx=(xA)x=(Ax)x=(入x)x=入xx 两式相减,得 (-)xx=0 但因x≠0,所以 x=∑xx=∑x1|≠0 故λ-x=0,即λ=,这就说明入为实数

于是有 两式相减，得 但因x  0，所以 故 ，即 ，这就说明为实数。 Ax = Ax = (Ax) = (x) = x x x x x x x x x x x. x x x x x x x x,  =   =  =   =    =  =  =   A ( A ) (A ) ( ) A (A ) ( − )xx = 0 x x | x | 0, 2 n i 1 i n i 1  =  i i =   = = x x  −  = 0  = 

定理2设λ1,λ2是实对称阵A的两个特征值, p1,p2是对应的特征向量。若λ1≠λ2,则p1,p2 正交。 证1p1=Ap1,λ2p2=Ap2,^1≠λ2。 因A对称,故 λ1p1=(1p1)=(Ap1)=p1A=p1A, 于是, A1p1p2=p1Ap2=p1(2p2)=2p1p2, 即(A2-1)p1p2=0 但A1≠2,故p1p2=0,即p1与p2正交

定理2 设1，2是实对称阵A的两个特征值， p1，p2是对应的特征向量。若1  2，则p1，p2 正交。 证 1 p1 = A p1，2p2 = Ap2，1  2。 因A对称，故 1p1 = (1p1) = (A p1) = p1A = p1A， 于是， 1p1p2 = p1Ap2 = p1 (2p2) = 2p1p2， 即 (2−1) p1p2 = 0 但1  2，故p1p2 = 0，即p1与p2正交

定理3设A为n阶对称阵,λ为A的特征方程的r重 根,则方阵A-E的秩R(A-E)=n-r,从而对应 特征值λ恰有r个线性无关的特征向量。 由此定理再结合上一节定理1,容易得到如下结 论:n阶对称阵A必有n个线性无关的特征向量,从 而n阶对称阵一定可以对角化。不仅如此,将实对称 阵A相似变换成对角阵的相似变换矩阵还可以是正 交阵。 定理4设A为n阶实对称阵,则必有正交阵P,使 P-1AP=A,其中A是以A的n个特征值为对角元素 的对角阵

定理3 设A为n阶对称阵，为A的特征方程的r重 根，则方阵A − E的秩R (A −E) = n − r，从而对应 特征值恰有r个线性无关的特征向量。 由此定理再结合上一节定理1，容易得到如下结 论：n阶对称阵A必有n个线性无关的特征向量，从 而n阶对称阵一定可以对角化。不仅如此，将实对称 阵A相似变换成对角阵的相似变换矩阵还可以是正 交阵。 定理4 设A为n阶实对称阵，则必有正交阵P，使 P−1AP = ，其中是以A的n个特征值为对角元素 的对角阵

证设A的互不相等的特征值为λ1,λ2,…,s, 它们的重数分别为r1,r2,…,,rs(r+r2+…+ s=n)。由定理3知,对应特征值i(=1,2,,s) 恰有ri个线性无关的实特征向量,把它们正交化并单 位化,即得r个单位正交的特征向量。由r1+r2 +…+rs=n知这样的特征向量共有n个。又由定理6 知对应于不同的特征值的特征向量正交,故这n个单 位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正 交阵P,并有P-1AP=A,其中对角阵A的对角元素 含r1个λ1,…,『s个λs,恰是A的n个特征值

证 设A的互不相等的特征值为1，2，… ，s， 它们的重数分别为r1，r2，… ，rs（r1 + r2 + … + rs = n）。由定理3知，对应特征值i (i = 1,2,… ,s) 恰有ri个线性无关的实特征向量，把它们正交化并单 位化，即得ri个单位正交的特征向量。由r1 + r2 + … +rs = n知这样的特征向量共有n个。又由定理6 知对应于不同的特征值的特征向量正交，故这n个单 位特征向量两两正交。于是以它们为列向量构成正 交阵P，并有P−1AP = ，其中对角阵的对角元素 含r1个1，… ，rs个s，恰是A的n个特征值

定理4的证明实际上提供了将n阶实对称阵A对角 化的方法: 1.求出A的所有特征值λ1,λ2,…,λs,其中 为A的n重特征根(i=1,2,…,s)且 n1+n2++ns=n。 2对每个特征值,解齐次线性方程组(A-x)x= 0,求得一个基础解系,并将它们正交化 (i=1,2,…,s),得到一个正交向量组。 3将得到的所有的正交向量组单位化 4用得到的正交单位向量组(列向量组)构成正交 阵P,则有P-1AP=A,且对角阵A的主对角元素 是A的n个特征值

定理4的证明实际上提供了将n阶实对称阵A对角 化的方法： 1. 求出A的所有特征值1，2，… ，s，其中I 为A的ni重特征根（i=1，2，… ，s）且 n1+n2+…+ns=n。 2.对每个特征值I，解齐次线性方程组(A −iE )x = 0，求得一个基础解系，并将它们正交化 （i=1，2，… ，s），得到一个正交向量组。 3.将得到的所有的正交向量组单位化。 4.用得到的正交单位向量组（列向量组）构成正交 阵P，则有P−1AP=，且对角阵的主对角元素 是A的n个特征值

冷注意: 1.此时得到的P为正交阵,从而P-1AP=A等价于 PAP=A。因此,这种方法称为用正交变换化实对 角阵为相似对角形。 2.由于基础解系的选取不是唯一的,而且构成P的 列矩阵的排列顺序可以是任意的,所以P不是唯 的;对角阵A的主对角元素的排列顺序与P的列 向量组的排列顺序相对应

❖ 注意： 1. 此时得到的P为正交阵，从而P−1AP=等价于 PAP=。因此，这种方法称为用正交变换化实对 角阵为相似对角形。 2. 由于基础解系的选取不是唯一的，而且构成P的 列矩阵的排列顺序可以是任意的，所以P不是唯 一的；对角阵的主对角元素的排列顺序与P的列 向量组的排列顺序相对应

例1设 102 A=012 220 求一个正交阵P,使P-1AP=A为对角阵。 解A的特征多项式为 A-E=01-x2=(3-)3+入) 20 故得A的特征值1=-3,2=0,λ3=3。 解齐次方程组 (A-E)x=0 求特征向量

例1设 求一个正交阵P，使P−1AP=为对角阵。 解 A的特征多项式为 故得A的特征值1 = −3，2 = 0，3 = 3。 解齐次方程组 ( A − iE ) x = 0 求特征向量。          − = 2 2 0 0 1 2 1 0 2 A (3 )(3 ) 2 2 0 0 1 2 1 0 2 A E =  −  +  −  −  − −  −  =

当λ1=-3,有 202Tx17「0 解得基础解系 当A2=0时,有 102|x 0 012x2|=0 X3

当1 = −3，有 解得基础解系 当2 = 0时，有           =                     0 0 0 x x x 2 2 3 0 4 2 2 0 2 3 2 1           −  = 2 1 2 1           =                    − 0 0 0 x x x 2 2 0 0 1 2 1 0 2 3 2 1