《线性代数》第四章 线性方程组（4.4）综合与提高

第四节综合与提高

第四节 综合与提高

齐次线性方程组 例1设A为n阶矩阵,证明 R(A)=R(AA)。 证明由于若Ax=0,有AAx=0,这说明凡是 Ax=0的解必为AAx=0的解 另一方面,若AAx=0,我们记AxG=y,则有 yy=xAAx=x(AAx)=0,则y=0,亦 即Ax=0。这说明凡是AAx=0的解必为Ax=0的 解。故AAx=0与Ax=0的同解。当两齐次线性 方程组同解,意味着它们的基础解系包含的向 量个数相等,亦即有: n-R(A)=n-R(A'A 所以R(A)=R(AA)

一、齐次线性方程组 例1 设A为n阶矩阵，证明 R（A）=R（AA）。 证明 由于若Ax=0，有AAx=0，这说明凡是 Ax=0的解必为AAx=0的解。 另一方面，若A‘Ax=0，我们记Ax=y，则有 yy=x AAx=x（AAx）=0，则y=0，亦 即Ax=0。这说明凡是AAx=0的解必为Ax=0的 解。故AAx=0与Ax=0的同解。当两齐次线性 方程组同解，意味着它们的基础解系包含的向 量个数相等，亦即有： n－ R(A)=n－R(AA) 所以 R(A)=R(AA)

例2已知齐次线性方程组 0 C1x1+a12X+…+a1,x,,=( 1.2 x,+a2 x2 anx+an2x2+.+an2nx2n=o 的一个基础解系为 12 b1 2n 21,122,,12,2n/, 2 2

例2 已知齐次线性方程组 的一个基础解系为 (b11，b12，…，b1，2n )' ， (b21，b22，…，b2，2n )' ，…, (bn1，bn2，…，bn，2n )' ， 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0 0 (1) 0 n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x  + + + =   + + + =    + + + = 

试写出线性方程组 1y1+b2V2+…+b2ny2n=0 b,V1+b,1+…+b y1 2.2n2n =0 bny+b,y,+…+b n2n.2n 的通解,并说明理由。 解我们记线性方程组(1)(2)的系数矩阵分 别为A,B,由于

试写出线性方程组 的通解，并说明理由。 解 我们记线性方程组（1）（2）的系数矩阵分 别为A，B，由于 11 1 12 2 1,2 2 21 1 22 2 2,2 2 1 1 2 2 ,2 2 0 0 (2) 0 n n n n n n n n n b y b y b y b y b y b y b y b y b y  + + + =   + + + =    + + + = 

11 12 2n 21,225 2,n (bn1,bn2,…,bn,2)为(1)的一个基础解系,则 AB=0,亦即有BA=(AB)=O,此说明A的n个 行向量的转置向量为(2)的n个解向量。 另一方面,由于B的秩为n,则以B为系数矩阵 的方程组(2)的解空间的维数为2n-n=n。而 R(A)为2n与(1)的解空间维数的差,即为n,故 有A的n个行向量线性无关,从而A的n个行向量的 转置向量构成了(2)的一个基础解系,于是 (2)的通解为 y=c1(a1,a12,…,a12n)+c2(a21a2,…,a2n)+ FC n." 3n 2n 其中C1,c2,…cn为任意实数

(b11，b12，…，b1，2n )' ,(b21，b22, …，b2，n )' ，…， (bn1，bn2，…，bn，2n )‘为（1）的一个基础解系，则 AB’ =0，亦即有BA‘=（AB’)‘=O，此说明A的n个 行向量的转置向量为（2）的n个解向量。 另一方面，由于B的秩为n，则以B为系数矩阵 的方程组（2）的解空间的维数为2n－n=n。而 R(A)为2n与（1）的解空间维数的差，即为n，故 有A的n个行向量线性无关，从而A的n个行向量的 转置向量构成了（2）的一个基础解系，于是 （2）的通解为 y=c1 (a11, a12，…,a1,2n )'+c2 (a21,a22，…,a2,2n )' +… +cn (an1 ,an2 ,…,an,2n ) ' 其中c1， c2，… cn为任意实数

、非齐次线性方程组 例3问a,b为何值时,线性方程组 +x2+x2+x=0 +2x2+2x1=1 x2+(a-3)x3-2x4=b 3x1+2x2+x3+ax1=1 有唯一解、无解、有无穷多个解?并其唯一解和 通解

二、非齐次线性方程组 例3 问a，b为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多个解？并其唯一解和 通解。 1 2 3 4 234 2 3 4 1 2 3 4 0 2 2 1 ( 3) 2 3 2 1 x x x x x x x x a x x b x x x ax  + + + =   + + =  − + − − =    + + + =

解对其增广矩阵进行初等行变换 110 10 2214-3n012 B 3-2b 3-2b 0-1-2a-3-1 3+21012 012 4+n2 00a-10b+1 00 10b+1 000 000 10

解 对其增广矩阵进行初等行变换 4 1 3 2 1 2 4 2 3 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 1 3 2 0 1 3 2 3 2 1 1 0 1 2 3 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 2 2 1 0 1 2 2 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 r r r r r r r r B a b a b a a a b a b a a − + − +         = − − − − − −     − − − − −     − − −     − + − +     − − → → →

1)当a≠时,R(A)=R(B)=4,这时原方程 组有唯一解为 x=(b-a+2)|(a-1) x2=(a-2b-3)/(a-1) x3=(b+1)/(a-1),x4=0 2)当a=1,R(A)=2。 若b≠—1,R(B)=3#R(A),这时方程组无 解 若b=-1,R(B)=2=R(A),这时方程组有无穷多 个解

1）当a≠1时，R（A）=R（B）=4，这时原方程 组有唯一解为 x1=（b－a＋2）/(a－1), x2=（a－2b－3）/（a－1） x3=（b+1）/（a－1), x4=0 2）当a=1，R（A）=2。 若b≠－1，R（B）=3≠R（A），这时方程组无 解。 若b=－1，R(B)=2=R(A)，这时方程组有无穷多 个解

与原方程组同解的方程组为: XI lx2+2x3+2x1=1 则方程组的通解为: +k,+k2,其中k1,k2∈R 0 0

与原方程组同解的方程组为： 则方程组的通解为： 1 3 4 234 1 2 2 1 x x x x x x  − − = −   + + = 1 2 1 2 1 2 3 4 1 1 1 1 2 2 , , 0 1 0 0 0 1 x x k k k k R x x         −         − −   = + +                                  其中

三、利用线性方程组讨论矩阵的秩 例4设A,B为n阶矩阵,证明:若AB=0,则 R(A)+R(B)≤n 证设R(A=r,R(B)=s,由AB=0知,B的每 列向量都是Ax=0的解向量 当rn时,Ax=0只有零解,故B=0, 而R(A=n,R(B)=0,结论成立。 当r<n时,Ax=0的基础解系含有n-r个解,从而 B的列向量组的秩≤n-r, 即R(B)≤n—r,故R(A)+R(B)n

三、利用线性方程组讨论矩阵的秩 例4 设A，B为n阶矩阵，证明：若AB=0，则 R(A)+R(B)≤n。 证 设R(A)=r，R(B)=s，由AB=0知，B的每一 列向量都是Ax=0的解向量。 当r=n时，Ax=0只有零解，故B=0， 而R(A)=n，R(B)=0，结论成立。 当r＜n时，Ax=0的基础解系含有n-r个解，从而 B的列向量组的秩≤n－r， 即R(B)≤n－r，故R(A)+R(B)≤n