《线性代数》第三章 向量组的线性相关性（3.5）矩阵的秩和向量组的秩

第五节矩阵的秩和向量组的秩

第五节 矩阵的秩和向量组的秩

定理1(1)若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B,则A的行向量组与B的行向量组等价 而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量 有相同的线性相关性。 (2)若矩阵A经过有限次初等列变换变 成B,则A的列向量组与B的列向量组等价;而 A的任意k个行向量与B中对应的k个行向量有 相同的线性相关性

定理1 （1）若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B，则A的行向量组与B的行向量组等价； 而A的任意k个列向量与B中对应的k个列向量 有相同的线性相关性。 （2）若矩阵A经过有限次初等列变换变 成B，则A的列向量组与B的列向量组等价；而 A的任意k个行向量与B中对应的k个行向量有 相同的线性相关性

证明: (1)当矩阵A经某个初等变换变为B时,B 的行向量组能由A的行向量组线性表示;而B 经过这个初等行变换的逆变换(仍为初等行变 换)可变为A,因而A的行向量组也能由B的行 向量组线性表示。于是矩阵A,B的行向量组 等价。 由于矩阵A,B的行向量组等价,因此方程 组A=0与Bx=0同解。所以A的任意k个列向 量与B的相应的k个列向量有相同的线性相关性。 (为什么?请思考!)

证明: （1）当矩阵A经某个初等变换变为B时，B 的行向量组能由A的行向量组线性表示；而B 经过这个初等行变换的逆变换（仍为初等行变 换）可变为A，因而A的行向量组也能由B的行 向量组线性表示。于是矩阵A，B的行向量组 等价。 由于矩阵A，B的行向量组等价，因此方程 组Ax = 0与Bx= 0同解。所以A的任意k个列向 量与B的相应的k个列向量有相同的线性相关性。 （为什么？请思考！）

定义1矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩 A的列向量组的秩称为A的列秩。 定理2设A为一个矩阵,则A的行秩=A的列秩= 矩阵A的秩。 证: 对A进行初等行变换将其化为行阶梯形U,则 由定理1(1)知道A的行向量组与U的行向量组 等价,故 A的行秩=U的行秩; 同时,由定理1(1)的后半部分结论知道 A的列秩=U的列秩。 而对于行阶梯形矩阵U来说,显然 U的行秩=U的列秩=矩阵U的秩, 因此定理2的结论成立

定义1 矩阵A的行向量组的秩称为矩阵A的行秩； A的列向量组的秩称为A的列秩。 定理2 设A为一个矩阵，则A的行秩＝A的列秩＝ 矩阵A的秩。 证: 对A进行初等行变换将其化为行阶梯形U，则 由定理1（1）知道A的行向量组与U的行向量组 等价，故 A的行秩＝U的行秩； 同时，由定理1（1）的后半部分结论知道 A的列秩＝U的列秩。 而对于行阶梯形矩阵U来说，显然 U的行秩＝U的列秩＝矩阵U的秩， 因此定理2的结论成立

定理3设A为n阶方阵,则R(A)=n的充分必要条 件为|A|≠0。 证“充分性∈”:设A0,则由 Cramer法则 知道Aⅹ=0只有零解。故A的列向量组线性无 关,因此由定理2知道R(A)=n “必要性→”:设R(A)=n,则A的标准型为 n阶单位矩阵E,即存在可逆矩阵P,Q使得 PAQ=En。等式两边取行列式则有A|≠0

定理3 设A为n阶方阵，则R(A)＝n的充分必要条 件为 |A|≠0。 证 “充分性” ： 设|A|≠0，则由Cramer法则 知道Ax＝0只有零解。故A的列向量组线性无 关，因此由定理2知道R(A)＝n。 “必要性”：设R(A)＝n，则A的标准型为 n阶单位矩阵En，即存在可逆矩阵P，Q使得 PAQ＝E n。等式两边取行列式则有|A|≠0

例1设a=(1,2,3,4),02=(2,3,4,5) a3=(1,1,0,0),a4=(0,0,1,1), 求α1,2,3,Q4的秩和它的一个最大无关 组 a 234 2345 2-73 0000 A 1-I 100 00 00 0011 00

例1 设α1= (1, 2, 3, 4), α2= (2, 3, 4, 5), α3= (1, 1, 0, 0), α4= (0, 0, 1, 1)， 求α1，α2，α3，α4的秩和它的一个最大无关 组。 2 3 2 1 2 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 5 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 r r r r r r A     − − −                 = = ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→                                  

吃<>乃 1234 乃>41 3-4 00 0000 冷故由定理2的证明和定理1,R(A)=3.且 在矩阵A中 110≠0 00

❖ 故由定理２的证明和定理１，Ｒ(A)＝３．且 在矩阵Ａ中， 2 3 3 41 2 1 1 2 3 4 0 1 3 4 . 0 0 1 1 0 0 0 0 r r r r r r   −     − − − ⎯⎯⎯→        234 1 1 0 0 0 0 1 

今因此由定理3,向量(2,3,4)(1,1,0) (0,0,1)线性无关,故由第二节定理4,知道α2, a3,α4线性无关,所以,α2,3,α4是所论向 量组的一个最大无关组.实际上,我们可以证 明,对于此例而言,a1Q2,a3,a4中任意 个向量均是最大无关组

❖ 因此由定理３，向量（2, 3, 4）(1, 1, 0 ) (0, 0, 1)线性无关 ,故由第二节定理４，知道α2， α3，α4线性无关，所以，α2，α3，α4是所论向 量组的一个最大无关组．实际上，我们可以证 明，对于此例而言，α1，α2，α3，α4中任意三 个向量均是最大无关组．

定理4(1)设A,B分别为m×n和s×n矩阵, 则 max(R(A2R(B)≤R AB ≤R(A)+R(B) (2)设A,B分别为r阶和s阶方阵,C为 r×s阶矩阵,则 「ACl 「CB R O|≥R(A)+R(B),(类似,R ≥R(A)+R(B).) a O 且当A(或B为可逆方阵时,或C=O时,上述不 等式为等式。 (3)设A,B分别为m×r矩阵和r×n矩 阵,则R(AB)smin{R(A,R(B)}

*定理４（1）设A，B分别为m×n和s×n矩阵， 则 （2）设A，B分别为r阶和s阶方阵，C为 r×s阶矩阵，则 且当A(或B)为可逆方阵时，或C＝O时，上述不 等式为等式。 （3）设A，B分别为m×r矩阵和r×n矩 阵，则 A max(R(A), R(B)) R R(A) R(B). B     +     A C C B R R(A) R(B), ( R R(A) R(B). ) B A T O O        +  +       类似， R(AB) min{R(A), R(B)}. 

例2设A,B均为m×n矩阵, 证明R(A+B)≤R(A)+R(B) 证明因为A+B可以表示为 A+b=EE B A.定理43)A定理4(1) R(A+B)=RE rmb ≤R|n|≤R(A)+R(B) B

例2 设A，B均为m×n矩阵， 证明 R(A+B)≤ R(A)＋R(B)。 证明 因为A+B可以表示为   , m m A A B E E B   + =     4 3) 4(1) A R(A B) [ ] R R(A) R(B) B m m A R E B +      + =   +         定理 （ 定理