《线性代数》第五章 矩阵的相似对角化（5.1）矩阵的特征值和特征向量相似矩阵

第五章矩阵的相似对角化

第五章 矩阵的相似对角化

第一节矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵

第一节 矩阵的特征值和特征向量 相似矩阵

本节进一步讨论方阵的内在性质,加深对矩阵的 认识和理解,以便更好地使用矩阵解决线性代数中 的问题。 矩阵的特征值和特征向量 定义1设A是n阶矩阵,如果数入和n维非零列向量 x,使关系式 Ax=Nx 成立,则称数λ为矩阵A的特征值( eigenvalue),非 零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量 (eigenvector)

❖ 本节进一步讨论方阵的内在性质，加深对矩阵的 认识和理解，以便更好地使用矩阵解决线性代数中 的问题。 一.矩阵的特征值和特征向量 定义1 设A是n阶矩阵，如果数和n维非零列向量 x，使关系式 Ax =x (1) 成立，则称数为矩阵A的特征值(eigenvalue)，非 零向量x称为A的对应于特征值的特征向量 (eigenvector)

例1试验证 是矩阵 34 A 分别是属于特征值λ1=1和2=-5的特征向量

例1 试验证 是矩阵 分别是属于特征值1 = 1和2= −5的特征向量       −  =        = 1 2 , 1 1       − − = 2 1 3 4 A

证只需验证A=1a,AB=-5: 34 Aa 2 34‖2 10 Aβ 5β 5 式也可以写成, (A-E)x=0 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组,我们知 道,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 A-^E=0 (3)

证 只需验证A = 1，A = −5： (1) 式也可以写成， (A−E)x = 0 (2) 这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，我们知 道，它有非零解的充分必要条件是系数行列式 |A − E| = 0 (3) = −        − = −      − =      −       − −  =  =       =            − −  = 5 1 2 5 5 10 1 2 2 1 3 4 A 1 1 1 1 1 2 1 3 4 A

a1-入 21 22 入 =0 a a n 12 nn 上式是以λ为未知数的一元n次方程,称为方阵A的 特征方程。其左边是的n次多项式,记作f() 称为A的特征多项式。显然,A的特征值就是特征 方程的根或特征多项式的零点。这个n次的特征方 程在计算根的重数时应共有n个实根或复根。因 此,n阶矩阵有n个特征值

即 上式是以为未知数的一元n次方程,称为方阵A的 特征方程。其左边是 的n次多项式，记作f ()， 称为A的特征多项式。显然，A的特征值就是特征 方程的根或特征多项式的零点。这个n次的特征方 程在计算根的重数时应共有n个实根或复根。因 此,n阶矩阵有n个特征值。 0 a a a a a a a a a n1 n2 n n 2 1 2 2 2n 1 1 1 2 1n = −  −  −        

读者注意:(1)式也可改写成(AE一A)x=0,从 而(3)式变成|AE-A|=0, 12 a n a 21 入 22 n 0 n 2 入 nn 即有些教材把上式定义为方阵A的特征方程,其左边 是的n次首一多项式,亦记作f(),并称为A的特 征多项式。事实上,为叙述的方便,在本章的最后 一节中,作者采用的就是这种定义

读者注意：（1）式也可改写成（E－A）x＝0，从 而（3）式变成| E −A | = 0， 即有些教材把上式定义为方阵A的特征方程，其左边 是 的n次首一多项式，亦记作f ()，并称为A的特 征多项式。事实上，为叙述的方便，在本章的最后 一节中，作者采用的就是这种定义。 0 a a a a a a a a a n1 n2 n n 2 1 2 2 2n 1 1 1 2 1n = − −  − −  − −  − − −       

设n阶矩阵A=(a的特征值为12,n,由多项式 根与系数之间的关系可得: 1.1+入2+∴+n=a11+a22+…+ann 2.12.An=|A 由(2)知,方阵A可逆的充要条件是A有n个非零的特征 值 设λ=λi是方阵A的一个特征值,则由方程 (A-)x=0 可求得非零解x=Pi,那么P就是A的对应于特征值A 的特征向量。 (注意:若为λ是实数,则Pi可取实向量;若丸为复 数,则Pi为复向量。)

设n阶矩阵A=(aij)的特征值为1,2,…,n，由多项式 根与系数之间的关系可得： 1. 1 + 2 + … + n = a11 + a22 + … + ann 2. 12…n = |A| 由(2)知，方阵A可逆的充要条件是A有n个非零的特征 值。 设=i是方阵A的一个特征值，则由方程 ( A − iE ) x = 0 可求得非零解x = Pi，那么Pi就是A的对应于特征值I 的特征向量。 （注意：若为i是实数，则Pi可取实向量；若i为复 数，则Pi为复向量。）

例2求 A 的特征值和特征向量。 解A的特征多项式为 A-入E (3-)2-1=(4-^)(2-) 所以A的特征值为λ1=4,λ2=2。 当λ1=2时,由(A-1E)x=0,即 3-2 XI 3-2×2 00

例2 求 的特征值和特征向量。 解 A的特征多项式为 所以A的特征值为1=4，2=2。 当1=2时，由( A − 1E ) x = 0，即       − − = 1 3 3 1 A (3 ) 1 (4 )(2 ) 1 3 3 1 A E = −  2 − = −  −  − −  −  − −  =        =            − − − − 0 0 x x 1 3 2 3 2 1 2 1

X1-X2=0 X1+X2=0 解得x1=x2,所以对应的特征向量可取为 当λ2=4时,由(A-2E)X=0,即 3-4 1‖x 0 X2 0 解得x1=-x2,所以对应的特征向量可取为

即 解得x1 = x2，所以对应的特征向量可取为 当2 = 4时，由( A − 2E ) x = 0，即 解得x1 = − x2，所以对应的特征向量可取为    − + = − = x x 0 x x 0 1 2 1 2       = 1 1 p1       =            − − − − 0 0 x x 1 3 4 3 4 1 2 1