第四节IRn的基 和向量关于基的坐 标
第四节 IRn的基 和向量关于基的坐 标
定义1设IRm中的向量组A:a1,a2,…,an 线性无关,β是IRm任一向量, 则β,1,a2…,线性相关(因为这 是n+1个n维向量,向量个数大于向量维数),于 是根据第三章第二节定理2知道向量p可以用a1, 2,…,an唯一线性表示 β=k11+k2a2+….+kn0no 我们称向量组A:a1,a2,…,a为空间 IR的一组基( basis,把数k,k2,…,k称为 向量β在基1,a2…,an下的坐标 ( coordinate),记为 B4=(k1,k2,…,kn)
定义1 设IR n 中的向量组A ：α 1 , α 2 , …, α n 线性无关，β是IR n中任一向量， 则β,α 1 , α 2 , …, α n线性相关（因为这 是n＋1个n维向量，向量个数大于向量维数），于 是根据第三章第二节定理2知道向量β可以用α1 , α 2 , …, α n唯一线性表示 β＝k1α 1 + k2 α 2 + … + k n α n 。 我们称向量组A：α1 , α 2 , …, α n为空间 IR n的一组基(basis), 把数k1 , k2 , …, kn称为 向量β在基α1 , α 2 , …, α n下的坐标 (coordinate)，记为 βA＝（k1 , k2 , …, kn）
例1验证1=(1,0,0), a2=(1,1,0)’,a3=(1,1,1)为IR3 的一组基并求向量a=5,3,5)在这组基 下的坐标。 解显然,向量组a1,a2,a3组成的矩 阵的行列式为 1≠0 011 001
例1 验证α 1 ＝(1，0，0)′, α 2 ＝(1，1，0)′, α 3 ＝(1，1，1)′为IR3 的一组基并求向量α＝(5，3，5)′在这组基 下的坐标。 解 显然，向量组α1 ，α 2，α 3 组成的矩 阵的行列式为 1 1 1 ＝1≠ 0 0 1 1 0 0 1
因此这三个向量线性无关,所以它们构成 IR3的一组基。要求向量a在这组基下的坐 标,实际上就是求解关于x1,x2,x3的 方程组a=x101+x2a2+x3a30 即
因此这三个向量线性无关，所以它们构成 IR3的一组基。要求向量α在这组基下的坐 标，实际上就是求解关于x1 , x 2 , x 3的 方程组α＝ x 1 α 1＋ x 2 α 2 ＋x 3 α 3。 即
+X2+x3 3|=x|0+x21+x311也即{0+x2+x3=3 0+0+x2=5 容易求得x1=2,x2=-2,x3=5 因此向量a在这组基下的坐标为 (2 2,5)
+ + = + + = + + = + + = 0 0 x 5 0 x x 3 x x x 5 1 1 1 x 0 1 1 x 0 0 1 x 5 3 5 3 2 3 1 2 3 1 2 3 也即 容易求得x1 ＝2, x2 ＝－2, x3 ＝5， 因此向量α在这组基下的坐标为 （2 ， －2 ，5）
当然,对于同一向量β,若选定的基不同,则向量 β的坐标一般而言也是不同的。 例如 e1=(1,0,0)’,e2=(0,1,0),e3=(0,0,1)是R3 的一组基 (我们通常称之为R3的自然基) 定义2设向量组A:α1,a2,…,an和向量组B: β1,β2,…,βn分别为Rn的两组基,则向量 组B:β1,β2,…,βn可由向量组A:a1, a2,…,an线性表示,即存在n2个常数cij(i, j=1,2,…,n)使得
当然，对于同一向量β，若选定的基不同，则向量 β的坐标一般而言也是不同的。 例如 e1＝(1, 0, 0)′, e2 ＝(0, 1, 0)′, e3＝(0, 0, 1)′是IR3 的一组基 （我们通常称之为IR3的自然基） 定义2 设向量组A ：α 1 , α 2, …, α n和向量组B： β1，β 2，…，β n分别为IR n的两组基，则向量 组B：β1，β 2，…，β n可由向量组A ：α 1 , α 2, …, α n线性表示，即存在n 2个常数c i j（i， j＝1，2，…，n）使得
β1=c1x1+c21C2+…+Cn1On β2=c12C1+c22O2+…+cn2On βn=c1nO1+c2nO2+…+c 若我们所论及的向量均为列向量,则上式写成矩 阵的形式为 c√2 12 B 2n aa n 12 1O aC=AC
= + + + = + + + = + + + n 1n 1 2n 2 n n n 2 1 2 1 2 2 2 n2 n 1 1 1 1 2 1 2 n1 n c c c c c c c c c 若我们所论及的向量均为列向量，则上式写成矩 阵的形式为 ( ) ( ) ( )C AC c c c c c c c c c B 1 2 n n1 n2 n n 2 1 2 2 2n 1 1 1 2 1n 1 2 n 1 2 n = = = =
我们称矩阵C为从基A:a1,a2,…,an 到基B:β1,β2,…,βn的过渡矩阵。 定理1过渡矩阵是可逆矩阵 定理2设向量α在两组基A:a1,a2,,an 和B:β1,β2,…,βn下的坐标分别为x x1,x2,…,xn和y=Ⅳ1,y2,…,yn].从基A到 基B的过渡矩阵为C,即B=AC,则 cy=x或y=C-1x
我们称矩阵C为从基A ：α 1 , α 2, …, α n 到基B：β1，β 2，…，β n的过渡矩阵。 定理1 过渡矩阵是可逆矩阵 定理2 设向量α在两组基A ：α 1 , α 2, …, α n 和B：β1，β 2，…，β n下的坐标分别为 x ＝ [x1, x2, …, x n]′ 和 y ＝[y1,y2,…,yn]′.从基A到 基B的过渡矩阵为C，即B＝AC，则 Cy＝x 或 y＝C－1x
定义1设a=(a1,a2,…,an)和b=(b1,b2 ,bn)是两个n维向量,规定a与b的内积为: (a, b=a1b1++. tann 有时也记为a·b=a1b+a2b2+…+anbn。 从矩阵的角度,显然(a,b)=a'b=ba 向量内积具有下列性质: (a,b)=(b,a); (a+b,c)=(a,c)+(b,c); (ka,b)=k(a,b),其中k是任意实数; (a,a)≥0,等号成立当且仅当a=0
定义1 设a＝(a1，a2，…，an) 和b＝(b1，b2， …，bn) 是两个n维向量，规定a与b的内积为： (a ，b)＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn ， 有时也记为a ·b＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn。 从矩阵的角度，显然 (a ，b)＝ a b ＝ ba 。 向量内积具有下列性质： (a ，b)＝( b，a)； (a ＋ b，c)＝( a ，c)＋( b，c)； ( k a ，b)＝ k(a ，b)，其中 k 是任意实数； (a ，a)≥ 0 ，等号成立当且仅当a ＝ 0
定义2向量a的长度或模( length, modulus) 定义为 a|=(a,a) 般地,称长度等于1的向量为单位向量 定理1(柯西一施瓦兹不等式, Cauchy- Schwarz 不等式)向量的内积满足 (a, b)= arccos a‖lb 如果a,b的夹角等于π/2,则称向量a,b正交。 特别,规定零向量与任何向量正交
定义2 向量a的长度或模（length，modulus） 定义为 | a |= (a, a). 一般地，称长度等于1的向量为单位向量 定理1 （柯西－施瓦兹不等式，Cauchy-Schwarz 不等式） 向量的内积满足 | (a, b) | | a || b | . 定义3 规定向量a和b之间的夹角 为 . | || | ( ) arccos a b a, b a, b = 如果a，b的夹角等于π/2，则称向量a，b正交。 特别，规定零向量与任何向量正交