《线性代数》第二章 矩阵（2.1）矩阵的定义及其基本运算

第二章矩阵

第二章 矩 阵

第一节矩阵的定义及其基本运算

第一节 矩阵的定义及其基本运算

矩阵的定义 定义1由mxn个数a;(i=1,2,…,m; j=1,2,…,n),排成m行n列的数表 11 12 21 22 n m1 m mn

1.矩阵的定义 定义 1 由 mn个数aij（i=1，2，  ，m； j=1,2，，n），排成m行n列的数表： 11 12 1n 21 22 2n m1 m2 mn a a a a a a a a a A     =          

称为m行n列矩阵,简称为mxn矩阵。这m×n个 数称为矩阵A的元素,a1叫做矩阵A的第第列 元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵,元素是复 数的矩阵叫做复矩阵。 本教程中的矩阵除特别说明外,都指实矩阵 通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示矩阵。有 时为了指明矩阵的第第列元素为an,可将A记 作A=(a小mn或A=(a),也可将m×n矩阵A记为 mxn° 当A的行数与列数相等时,称A为n阶方阵 或n阶矩阵。显然,一阶矩阵就是一个数

称为m行n列矩阵，简称为mn矩阵。这mn个 数称为矩阵A的元素，aij叫做矩阵A的第i行第j列 元素。元素是实数的矩阵叫做实矩阵，元素是复 数的矩阵叫做复矩阵。 本教程中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵。 通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示矩阵。有 时为了指明矩阵的第i行第j列元素为aij，可将A记 作A=(aij)mn 或A= (aij) ，也可将mn矩阵A记为 Amn。当A的行数与列数相等时，称A为n阶方阵 或n阶矩阵。显然，一阶矩阵就是一个数

只有一行的矩阵A=(a1a2,…,an) 叫做行矩阵;只有一列的矩阵叫做列矩阵。 两个矩阵的行数相等、列数也相等时,就称它们 为同型矩阵。如果A=a与B=(b是同型矩阵, 并且它们的对应元素相等,即 a=b(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n), 那末就称矩阵A与矩阵B相等,记作A=B。元素 都是零的矩阵,记作0。注意不同型的零矩阵是 不同的

只有一行的矩阵A=（a1，a2，，an） 叫做行矩阵；只有一列的矩阵叫做列矩阵。 两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称它们 为同型矩阵。如果A=(aij)与B=(bij)是同型矩阵， 并且它们的对应元素相等，即 aij=bij （i=1，2，，m；j=1，2，，n）， 那末就称矩阵A与矩阵B相等，记作 A=B。元素 都是零的矩阵，记作0。注意不同型的零矩阵是 不同的

几种特殊矩阵 a)对角矩阵( diagonal matrix),如下的矩阵称为对 角矩阵,记为diag(a142,…,am) 11 22

II 几种特殊矩阵 a a ann , , 11, 22  a) 对角矩阵(diagonal matrix)，如下的矩阵称为对 角矩阵，记为diag（ ） 11 22 0 0 0 0 0 0 nn a a a            

b)数量矩阵( scalar matrix) 00 00

b) 数量矩阵(scalar matrix) 0 0 0 0 0 0 a a a            

c)三角矩阵 triangular matrix) 上三角矩阵{ upper triangular matrix) 12 00 mn

c) 三角矩阵(triangular matrix) 上三角矩阵(upper triangular matrix) 11 12 1n 22 2n mn a a a 0 a a 0 0 a            

)对称阵( symmetric matrix)和反对 称阵anti- symmetric matrix) 如果n价矩阵A=(a)的元素满足aan(,j=1 2,…,n),则称A为n阶对称矩阵, 420 20

d) 对称阵(symmetric matrix）和反对 称阵(anti-symmetric matrix) ❖ 如果n阶矩阵A=（aij）的元素满足aij=aji（i，j=1， 2，，n），则称A为n阶对称矩阵 ，如 4 2 0 2 2 1 0 1 3     −       −

如果n阶矩阵A=(an)的元素满足 J (i,j=1,2,…,n),则称A为n阶反对称矩 阵。显然,故a:=0(i=1,2,…,n) 如 「0 10 230 2-3

如果n阶矩阵A=（aij）的元素满足aij= −aji （i，j=1，2，，n），则称A为n阶反对称矩 阵。显然，故aii=0（i=1，2，，n） 如： 0 1 2 1 0 3 2 3 0     −       − −