§23R"上的 Lebesgue测度 教学目的本节利用§22中一般测度的构造方法,构造一个重要的测度, 即欧氏空间R上的 Lebesgue测度. Lebesgue测度的建立,为定义 Lebesgue积 分打下基础 本节要点利用§22一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue测 Lebesgue测度不仅具有抽象测度具有的基本性质,而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等 Lebesgue可测集包含了常见的一些集 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes测度是 Lebesgue度的推广,应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue测度理论的理解 在§2.1和§22中讨论了一般测度的性质和构造方法.本节将讨论一个十分重要的情 形,就是n维欧式空间R”上的 Lebesgue测度和 Lebesgue-Stieltjes测度,我们将重点讨论 Lebesgue测度,然后介绍直线上的 Lebesgue-Stieltjes测度 方体的体积我们将要定义的 Lebesgue测度是熟知的长度,面积和体积概念的推广,因 此我们先对R”上的方体的体积作一些规定.设Ⅰ是直线上的一个有界区间(I可以是开 的,闭的或半开半闭的)用表示区间的长度,即的右端点与左端点之差若是无 界区间,则规定1=+0.又规定空集也是区间并且=0.设1…是直线上的n个 区间称R的子集=1x…×Ln为R”中的一个方体在直线R和平面R2中,方体分 别就是区间和矩形.若l1…,n都是开区间,则称/为R中的开方体类似可定义R”中 的闭方体和半开半闭方体设/=1x…×n为R”中的一个方体,称1=1…1n为 的体积 环上的测度设C是R"中有界的左开右闭方体的全体所成的集类.不难证明C 是一个半环(在R的情形是显然的一般情形可以对R”的维数n用数学归纳法证明之 具体过程留作习题)对每个Ⅰ∈C,令 则显然集函数m在C上是有限可加的并且m(⑦)=0.又设界是由C生成的环,即 R={4=∪1:其中12…属于C并且互不相交,k21 (见§13定理4)对每个A∈R,若A的一个分解式为A=Ul,则令
59 2.3 n R 上的 Lebesgue 测度 教学目的 本节利用 2.2 中一般测度的构造方法, 构造一个重要的测度, 即欧氏空间 n R 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度的建立, 为定义 Lebesgue 积 分打下基础. 本节要点 利用 2.2 一般测度的构造方法,可以较快的构造出 Lebesgue 测 度. Lebesgue 测度不仅具有抽象测度具有的基本性质, 而且还具有一些特有的 性质,如利用开集或闭集的逼近性质等. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集. Lebesgue-Stieljes 测度是 Lebesgue 度的推广. 应利用较多 的例题,习题和几何直观使学生逐步加深对 Lebesgue 测度理论的理解. 在 2.1 和 2.2 中讨论了一般测度的性质和构造方法. 本节将讨论一个十分重要的情 形, 就是 n 维欧式空间 n R 上的 Lebesgue 测度和 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们将重点讨论 Lebesgue 测度, 然后介绍直线上的 Lebesgue- Stieltjes 测度. 方体的体积 我们将要定义的 Lebesgue 测度是熟知的长度, 面积和体积概念的推广, 因 此我们先对 n R 上的方体的体积作一些规定. 设 I 是直线上的一个有界区间( I 可以是开 的, 闭的或半开半闭的). 用 I 表示区间 I 的长度, 即 I 的右端点与左端点之差. 若 I 是无 界区间, 则规定 I = +∞. 又规定空集也是区间并且 ∅ = 0. 设 n I , ,I 1 L 是直线上的 n 个 区间. 称 n R 的子集 n I = I ×L× I 1 为 n R 中的一个方体. 在直线 1 R 和平面 2 R 中, 方体分 别就是区间和矩形. 若 n I , ,I 1 L 都是开区间, 则称 I 为 n R 中的开方体. 类似可定义 n R 中 的闭方体和半开半闭方体. 设 n I = I ×L× I 1 为 n R 中的一个方体, 称 n I = I ⋅L⋅ I 1 为 I 的体积. 环R 上的测度 设C 是 n R 中有界的左开右闭方体的全体所成的集类. 不难证明C 是一个半环(在 1 R 的情形是显然的. 一般情形可以对 n R 的维数 n 用数学归纳法证明之. 具体过程留作习题). 对每个 I ∈C , 令 m(I) = I . 则显然集函数 m 在C 上是有限可加的并且 m(∅) = 0 . 又设R 是由C 生成的环, 即 { : , , , 1}. 1 1 = = ≥ = A I I I k k k i R U i 其中 L 属于C 并且互不相交 (见 1.3 定理 4).对每个 A∈ R , 若 A 的一个分解式为 , U 1 ∞ = = i i A I 则令
2 (A) 由§22引理7,m(A)的值不依赖于A的分解式的选取,因此m在咒上的值是确定的 引理1由(1)式定义的上的集函数m具有如下性质 (i)m是有限可加的 (i)m是单调的 (i)m是次有限可加的,即若A,…,A∈,则 m(∪4)s∑m(A) 证明设A1,…,A是R中的k个互不相交的集令A=∪巴A设A的一个分解 式为 i=1.…k 则A=UUl是A的一个分解式因此有 i=1J= ∑∑m(1)=∑m(4) 故(1)得证.利用m的有限可加性,类似于§2.1测度的单调性和次可数可加性的证明,可 以证明(i)和(i)成立 定理2由(1)式定义的集函数m是上的测度 证明由§22定理8,只需证明m在C上是可数可加的设{}是C中的一列互不 相交的集并且=U∈C由引理231,对任意k≥1成立 mtu,)=m(U/.)5mU 令k→,即得∑m(1)≤m(D) 下面证明反向不等式.任意给定一个E>0.容易知道,存在闭方体JcⅠ和开方体 J1l,(≥1)使得
60 ( ) ( ). 1 ∑= = k i i m A m I (1) 由 2.2 引理 7, m(A) 的值不依赖于 A 的分解式的选取, 因此 m 在R 上的值是确定的. 引理 1 由(1)式定义的R 上的集函数 m 具有如下性质: (i) m 是有限可加的. (ii) m 是单调的. (iii) m 是次有限可加的, 即若 A1 ,L, Ak ∈ R, 则 ( ) ( ). 1 1 ∑ = = ≤ k i i k i m UAi m A 证明 设 A Ak , , 1 L 是R 中的 k 个互不相交的集. 令 . U 1 k i A Ai = = 设 Ai 的一个分解 式为 , 1, , . 1 A I i k mi j i =U ij = L = 则 UU k i m j ij i A I = = 1 1 = 是 A 的一个分解式. 因此有 ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑∑ ∑ = = = = = k i i k i m j m A m Iij m A i 故(i) 得证. 利用 m 的有限可加性, 类似于 2.1 测度的单调性和次可数可加性的证明, 可 以证明(ii) 和(iii) 成立. 定理 2 由(1)式定义的集函数m 是R 上的测度. 证明 由 2.2 定理 8, 只需证明 m 在C 上是可数可加的. 设{ }i I 是C 中的一列互不 相交的集并且 = ∈ ∞ = U i 1 i I I C .由引理 2.3.1, 对任意k ≥ 1成立 ( ) ( ) ( ). 1 1 m I m I m I k i i k i i = ≤ = = ∑ U 令 k → ∞, 即得 ( ) ( ). 1 m I m I i ∑ i ≤ ∞ = 下面证明反向不等式. 任意给定一个ε > 0. 容易知道, 存在闭方体 J ⊂ I 和开方体 J ⊃ I (i ≥ 1) i i 使得
m(D)-m()≤E,m(1)-m(1)≤,i≥1 (以一维情形为例,若I=(a,b],l,=(a1,b],则取J=[a+s,b],J=(a,b+) 于是 U1∈UJ 由有限覆盖定理,可以从开方体列中{l}选出有限个也覆盖J.不妨设这有限个方体为 J1…Jx.设J和J(1≤i≤k)分别是与J和J有相同端点的左开右闭方体(例如 若J={a+E,b],J1=(a1,b,+),则取J=(a+E,b],J=(a2,b+])由于 Jc∪J于是更加有Jc∪J.由引理1我们有 m(J)=m(/)≤mU)s∑m()=∑m) 因此由(2)得到 m()-E≤m(J)≤∑m()≤∑m(1)+E 由于E>0是任意的,由上式得到m(1)≤∑m(1)综合前面的不等式得到 m()=∑m(1) 这就证明了集函数m在C上是可数可加的.由§22定理8,集函数m是上的测■ Lebesgue可测集与 Lebesgue测度设m是由上的测度m导出的外测度,称之为 Lebesgue外测度.称m-可测集为 Lebesgue可测集,R"中的 Lebesgue可测集的全体 所成的集类记为(R").由§22定理4知道,M(R")是一个-代数,m是M(R") 上的测度,称之为 Lebesgue测度.今后 Lebesgue测度m简记为m.称测度空间 (R”,M(R"),m)为 Lebesgue测度空间.由§2.2定理10, Lebesgue测度空间 (Rn,M(R"),m)是完备的.又显然 Lebesgue测度空间是a-有限的.今后 Lebesgue可 测集和 Lebesgue测度可以分别简称为L可测集和L测度 上面我们定义了L可测集和L测度那么L可测集类究竟有多大?L测度是否就是我 们熟知的长度、面积和体积的推广?下面的两个定理回答了这个问题 定理3每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集,即(R")cM(R")
61 m(I) − m(J ) ≤ ε, , 1. 2 m(J ) − m(I ) ≤ i ≥ i i i ε (2) (以一维情形为例, 若 I = (a,b], ( , ], i i i I = a b 则取 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i i i J a b ε = + ). 于是 . 1 1 U U ∞ = ∞ = ⊂ = ⊂ i i i i J I I J 由有限覆盖定理, 可以从开方体列中{ }i J 选出有限个也覆盖 J. 不妨设这有限个方体为 , , . 1 k J L J 设 J ′ 和 J (1 i k) i ′ ≤ ≤ 分别是与 J 和 i J ′ 有相同端点的左开右闭方体 (例如, 若 J = [a + ε ,b], ) 2 ( , i i i i J a b ε = + , 则 取 J ′ = (a + ε,b], ] 2 ( , i i i i J a b ε ′ = + ). 由 于 . 1 U k i i J J = ⊂ 于是更加有 . 1 U k i i J J = ′ ⊂ ′ 由引理 1 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ = = = = ′ ≤ ′ ≤ ′ = k i i k i i k i i m J m J m UJ m J m J 因此由(2)得到 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 − ε ≤ ≤ ∑ ≤ ∑ + ε ∞ = i= i k i i m I m J m J m I 由于ε > 0是任意的, 由上式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ≤ i i m I m I 综合前面的不等式得到 ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = i i m I m I 这就证明了集函数 m 在C 上是可数可加的. 由 2.2 定理 8, 集函数 m 是R 上的测. Lebesgue 可测集与 Lebesgue 测度 设 ∗ m 是由R 上的测度 m 导出的外测度, 称之为 Lebesgue 外测度. 称m∗ −可测集 为 Lebesgue 可测集, n R 中的 Lebesgue 可测集的全体 所成的集类记为 ( ). n M R 由 2.2 定理 4 知道, ( ) n M R 是一个σ -代数, ∗ m 是 ( ) n M R 上的测度, 称之为 Lebesgue 测度. 今后 Lebesgue 测度 ∗ m 简记为 m. 称测度空间 ( , ( ), m) n n R M R 为 Lebesgue 测度空间 . 由 2.2 定 理 10, Lebesgue 测度空间 ( , ( ), m) n n R M R 是完备的. 又显然 Lebesgue 测度空间是σ − 有限的. 今后 Lebesgue 可 测集和 Lebesgue 测度可以分别简称为 L 可测集和 L 测度. 上面我们定义了 L 可测集和 L 测度. 那么 L 可测集类究竟有多大? L 测度是否就是我 们熟知的长度 面积和体积的推广? 下面的两个定理回答了这个问题. 定理 3 每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集, 即 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R
证明设是上面所定义的环.容易证明σ()=B(R").由§22定理5知道 a(R)cM(R").因此(R)cM(R"),即每个 Borel可测集都是 Lebesgue可测集 定理证毕 定理3表明 Lebesgue可测集类包含了足够多的集特别是一些常见的集都是L可测 集.尽管如此,R"中仍然存在子集不是L可测的.这样的集称为 Lebesgue不可测集.在 本节的最后我们将给出一个 Lebesgue不可测集的例子.在§31例6中我们将证明,在 R”中存在子集是 Lebesgue可测集但不是 Borel集,即3(R")严格包含(R”) 由定理3知道,R"中的有限集,可数集和各种方体都是L可测集.现在来计算它们 的L测度 定理4R”中有限集和可数集的 Lebesgue测度为零,方体的 Lebesgue测度等于该方 体的体积 证明首先注意到,若I是R"中的一个有界的左开右闭方体,则由L测度的定义有 n(1)=现在设是R中的任意一个有界方体容易知道对任意E>0,存在左开右 闭方体l1和l2,使得l1CIcI2并且 1-|0的任意性即得m(1)=4再考虑/是无界方体的情形设=1x…xn,其中 1,…,n是直线上的区间并且至少有一个是无界的.容易知道对每个i=1,…,n,在中 存在一列单调增加的有界闭区间{ks,使得UJk=l并且im=1令 J,k≥1 则{}是一列单调增加的有界闭方体使得/=UJ,并且 im4|= limJi…m=l…n= 由于J是有界方体,由上面已证的结果有m(Jk)={于是由测度的下连续性我们有 m(I)=lim m(k)=limp/[=7. 因此任何方体的L测度等于该方体的体积.由于单点集{a}可看成是方体,即 {a}=[a,a]×…×[a,a],因此 m({a})=[ad×…×adl=0
62 证明 设 R 是上面所定义的环. 容易证明 σ (R ) = ( ). n B R 由 2.2 定理.5 知道 σ (R ) ⊂ ( ) n M R . 因此 ( ) n B R ⊂ ( ) n M R , 即每个 Borel 可测集都是 Lebesgue 可测集. 定理证毕. 定理.3 表明 Lebesgue 可测集类包含了足够多的集. 特别是一些常见的集都是L 可测 集. 尽管如此, n R 中仍然存在子集不是 L 可测的. 这样的集称为 Lebesgue 不可测集. 在 本节的最后我们将给出一个 Lebesgue 不可测集的例子. 在 3.1 例 6 中我们将证明, 在 n R 中存在子集是 Lebesgue 可测集但不是 Borel 集, 即 ( ) n M R 严格包含 ( ) n B R . 由定理 3 知道, n R 中的有限集, 可数集和各种方体都是 L 可测集. 现在来计算它们 的 L 测度. 定理 4 n R 中有限集和可数集的 Lebesgue 测度为零, 方体的 Lebesgue 测度等于该方 体的体积. 证明 首先注意到, 若 I 是 n R 中的一个有界的左开右闭方体, 则由 L 测度的定义有 m(I) = I . 现在设 I 是 n R 中的任意一个有界方体. 容易知道对任意ε > 0, 存在左开右 闭方体 1 2 I 和I , 使得 , 1 2 I ⊂ I ⊂ I 并且 , . 1 2 I − I 0的任意性即得 m(I) = I . 再考虑 I 是无界方体的情形. 设 , 1 n I = I ×L× I 其中 n I , ,I 1 L 是直线上的区间并且至少有一个是无界的. 容易知道对每个i = 1,L, n, 在 i I 中 存在一列单调增加的有界闭区间 , 1 { } i k k≥ J , 使得 i k i k J = I ∞ = U 1 , 并且 lim . i,k i k J = I →∞ 令 , k 1,k n,k J = J ×L× J k ≥ 1. 则{ }k J 是一列单调增加的有界闭方体使得 , 1 U ∞ = = k k I J 并且 lim lim . 1, , 1 J J J I I I k n k n k k k = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = →∞ →∞ L L 由于 k J 是有界方体, 由上面已证的结果有 ( ) . k k m J = J 于是由测度的下连续性我们有 m(I) lim m(J ) lim J I . k k k k = = = →∞ →∞ 因此任何方体的 L 测度等于该方体的体积. 由于单点集 {a} 可看成是方体, 即 {a} = [a,a]×L×[a, a], 因此 m({a}) = [a, a]×L×[a, a] = 0
再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的L测度为零 由定理4知道, Lebesgue测度确实是区间的长度,矩形的面积和方体的体积概念的 推广,而且它能对R”中的更多的子集给予一种类似于体积的度量 例1由于直线上有理数集是可数集,由定理4知道,直线上有理数集的L测度等于 零又实数集R的一维L测度mR)=R|=+2但R作为R2的子集,其二维L测度 m(R)=m(R×{0})=R×{0)=+∞0=0 这里顺便指出证明区间[O1不是可数集的另一方法由定理4,可数集的L测度为零 但m([O,1])=1,因此[0,1不是可数集 例2设K是 Cantor集,在§14中构造 Cantor集时,从[O,]中去掉的那些开区间的 并记为G.我们已经知道这些区间长度之和为1,即m(G)=1.由于K=[0,1-G,因此 m(K)=m([0,1)-m(G)=1-1=0 我们知道K不是可数集(其基数为c),这个例子表明一个不可数集的L测度也可能为零 设A是R"的子集,是上面所定义的环则由L外测度的定义有 m(4)=mf1∑m(4){4}是中的集列并且Ac∪A (3) 下面给出 Lebesgue外测度的另一种表示方法 定理5设A是R”的子集.则 m(4)=inf∑4是一列有界开区间并且A 证明设A是R"的子集若m'(A)=+∞,则(4)显然成立.现在设m'(4)0,存在中的一列集{4}使得AcUA并且 ∑m(4)<m(4)+ 由于每个A都可以表为有限个左开右闭方体的并,故不妨设每个A都是左开右闭方体 容易知道对每个存在开方体L使得A=1并且A4<2由于AUL,利 用(5)得到 m(4)s∑m1)=∑H≤∑A4|+E≤m(4)+2 在上式里对A的所有有界开方体的覆盖取下确界得到
63 再由测度的可数可加性即知有限集和可数集的 L 测度为零. 由定理 4 知道, Lebesgue 测度确实是区间的长度, 矩形的面积和方体的体积概念的 推广, 而且它能对 n R 中的更多的子集给予一种类似于体积的度量. 例 1 由于直线上有理数集是可数集, 由定理 4 知道, 直线上有理数集的 L 测度等于 零. 又实数集 1 R 的一维 L 测度 ) . 1 1 m(R = R = +∞ 但 1 R 作为 2 R 的子集, 其二维 L 测度 ( ) ( {0}) {0} 0 0. 1 1 1 m R = m R × = R × = +∞ ⋅ = 这里顺便指出证明区间[0,1]不是可数集的另一方法. 由定理 4, 可数集的 L 测度为零. 但 m([0,1]) = 1, 因此[0,1]不是可数集. 例 2 设 K 是 Cantor 集. 在 1.4 中构造 Cantor 集时, 从[0,1]中去掉的那些开区间的 并记为G. 我们已经知道这些区间长度之和为 1, 即 m(G) = 1. 由于 K =[0,1] − G, 因此 m(K) = m([0,1]) − m(G) = 1−1 = 0. 我们知道 K 不是可数集(其基数为c ), 这个例子表明一个不可数集的 L 测度也可能为零. 设 A 是 n R 的子集, R 是上面所定义的环. 则由 L 外测度的定义有 = ∑ ⊂ ∞ = ∞ = ∗ 1 1 ( ) inf ( ) :{ } , i i m A m Ai Ai 是R 中的集列 并且A UAi . (3) 下面给出 Lebesgue 外测度的另一种表示方法. 定理 5 设 A 是 n R 的子集. 则 = ⊂ ∞ = ∞ = ∗ ∑ U 1 1 ( ) inf :{ } , i i i i i m A I I 是一列有界开区间 并且A I . (4) 证明 设 A 是 n R 的子集. 若 ( ) = +∞, ∗ m A 则(4)显然成立. 现在设 ( ) 0, 存在R 中的一列集{ } Ai 使得 U ∞ = ⊂ i 1 A Ai 并且 ( ) ( ) . 1 < + ε ∗ ∞ = ∑m A m A i i (5) 由于每个 Ai 都可以表为有限个左开右闭方体的并, 故不妨设每个 Ai 都是左开右闭方体. 容易知道对每个 i , 存在开方体 i I 使得 i i A ⊂ I 并且 . 2i i Ai I ε − < 由于 , 1 U ∞ = ⊂ i i A I 利 用(5)得到 ( ) ( ) ( ) 2 . 1 1 1 ≤ = ≤ + ε ≤ + ε ∗ ∞ = ∞ = ∞ = ∗ m A ∑m I ∑ I ∑ A m A i i i i i i 在上式里对 A 的所有有界开方体的覆盖取下确界得到
m(4)≤if∑小1是一列有界开区间并且AcU}≤m(4)+26 由于E>0是任意的,故(2)成立 L可测集与L测度的逼近我们知道G型集和F型集都是 Borel集,当然也是L 可测集.下面我们进一步考察L可测集的构造 定理6设A为R中的L可测集.则 (i)对任意E>0,存在开集G彐A,使得m(G-A)0,存在闭集FcA,使得m(A-F)<E.若 m(A)<+∞,则F可以取为是有界闭集 (i)存在G型集G→A,使得m(G-A)=0 (iv)存在F型集FcA,使得m(A-F)=0 证明(1)先设m(A)<+∞.由定理5,存在一列覆盖A开方体{n}使得 Jn|<m(4)+E 令G=Un,则G为开集G=A并且 m()s∑m(ln)=∑n<m(A)+E 于是得到 m(G-A=m(G)-m(a)<a. 现在设m(A)=+∞.设{E}一列互不相交的L可测集,使得m(E)<+∞并且 R"=UE,令A=A∩E,121.则m(4)<+并且A=∪A.由上面所证的结果 对每个,存在开集G4,使得m(G-4)<%令G=U,则G是开集 GA.由于 A=UG - CU(G-A,), 我们有m(G-A)≤∑m(G-4)<E (i)由于A也是可测集,根据(1)的结果,存在开集GA°,使得m(G-A°)<E
64 ( ) inf :{ } ( ) 2ε 1 1 , ≤ + ≤ ⊂ ∗ ∞ = ∞ = ∗ m A ∑ I I A I m A i i i i i 是一列有界开区间 并且 U . 由于ε > 0是任意的, 故(2)成立. L 可测集与 L 测度的逼近 我们知道Gδ型集 和 Fσ型集都是 Borel 集, 当然也是 L 可测集. 下面我们进一步考察 L 可测集的构造. 定理 6 设 A 为 n R 中的 L 可测集. 则 (i).对任意ε > 0, 存在开集G ⊃ A, 使得m(G − A) 0, 存在闭集 F ⊂ A, 使 得 m(A − F) < ε. 若 m(A) < +∞, 则 F 可以取为是有界闭集. (iii).存在Gδ型集 G ⊃ A, 使得m(G − A) = 0. (iv).存在 Fσ型集 F ⊂ A, 使得m(A − F) = 0. 证明 (i).先设 m(A) < +∞. 由定理 5, 存在一列覆盖 A 开方体{ }n I 使得 ( ) . 1 ∑ < + ε ∞ = I m A n n 令 , 1 U ∞ = = n n G I 则 G 为开集, G ⊃ A并且 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ≤ ∑ = ∑ < + ε ∞ = ∞ = m G m I I m A n n n n 于是得到 m(G − A) = m(G) − m(A) < ε. 现在设 m(A) = +∞ . 设 { } Ei 一列互不相交的 L 可测集 , 使 得 m(Ei) < +∞ 并 且 n R U ∞ = = i 1 Ei . 令 A = A ∩ E , i ≥ 1. i i 则 m(Ai) < +∞ 并且 . 1 U ∞ = = i A Ai 由上面所证的结果, 对每个 i , 存在开集 . 2 , ( ) Gi Ai m Gi Ai i ⊃ 使得 − < ε 令 . 1 U ∞ = = i G Gi 则 G 是开集, G ⊃ A. 由于 ( ), 1 1 1 U U U ∞ = ∞ = ∞ = − = − ⊂ − i i i i i i G A Gi A G A 我们有 ( ) ( ) . 1 − ≤ ∑ − < ε ∞ i= m G A m Gi Ai (ii). 由于 c A 也是可测集, 根据(1)的结果, 存在开集 , c G ⊃ A 使得 ( − ) < ε. c m G A
令F=G,则F是闭集并且FcA.由于 A-F=A∩F=(A)∩G=G-A (6) 于是得 m(A-F)=m(G-A°)0,存在有限个开区间 的并集U,使得m(AAU)0,存在开集GA,使得m(G-A)<.由直线上开 集的构造定理,存在一列互不相交的开区间{(an,b)使得G=U(an,b)由于 m(A)<+∞知道m(G)<+.于是∑(b-a1)=m(G)<+.因此可以取n足够大使
65 令 , c F = G 则 F 是闭集并且 F ⊂ A. 由于 ( ) . c c c c A − F = A ∩ F = A ∩G = G − A (6) 于是得 ( − ) = ( − ) 0,存在有限个开区间 的并集U , 使得m(A∆U) 0, 存在开集G ⊃ A, 使得 . 2 ( ) ε m G − A < 由直线上开 集的构造定理 , 存在一列互不相交的开区间 {( , )} i i a b 使 得 ( , ). 1 U ∞ = = i G ai bi 由 于 m(A) < +∞ 知道 m(G) < +∞. 于是 ( ) ( ) . 1 ∑ − = < +∞ ∞ = b a m G i i i 因此可以取 n 足够大使
得∑-a)<2令U=Ua1,b)则m(G-U)<5,我们得到 m(AAU)=m(A-0)+m(U-A ≤m(G-U)+m(G-A)< 下面的定理8表明 Lebesgue测度具有平移不变性,其证明留作习题 定理8设A是R”中的L可测集,x0∈R”,则x0+A是L可测集并且 m(o+ A)=m(a) 其中x0+A={x+x:x∈A Lebesgue-Stieltjes测度下面讨论 Lebesgue测度的推广即 Lebesgue-Stieltjes测度.我们 仅讨论R的情形 设F是定义在R上的单调增加的右连续实值函数.令 R={4=∪(an,b](a,b]…(a,b互不相交k21 则是一个环(见§13例3)对任意A∈,若A的一个分解式为A=∪(a,b]则令 (A)=∑(F(b)-F(a) 则μ是定义在?上的非负值集函数.类似于定理2的证明(需要作必要的修改,读者可 以自行考虑),可以证明pp是上的测度.设F是由H导出的外测度,是F可测 集的全体所成的a-代数由§22定理5,山是上的测度,称之为由F导出的 Lebesgue-Stieltjes测度,简称为LS测度.今后将延拓后的测度F仍记为pp.由§2.2定 理10,R关于测度F是完备的由§22定理5,(R)=a()c界”.因此山至少 在(R)有定义显然 Lebesgue测度m就是 Lebesgue-Stieltjes测度山p当F(x)=x时 的情形 由LS测度的定义,对直线上的每个有界左开右闭区间(a,b],有 uF(a,b )=F(b)-F(a) (上式的物理意义是,如果F(x)表示分布在区间(-∞,x]上的质量,则4(a,b])表示分 布在区间(a,b上的质量)利用(8)式和测度的性质,容易计算出其它类型的区间、有限 集和可数集的L-S测度 例4设F(x)={2当≤x<2,则F(x)是单调增加的右连续函数计算
66 得 . 2 ( ) 1 ε ∑ − < ∞ i=n+ bi ai 令 ( , ), 1 U n i U ai bi = = 则 . 2 ( ) ε m G −U < 我们得到 .. 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε ≤ − + − < + = ∆ = − + − m G U m G A m A U m A U m U A 下面的定理 8 表明 Lebesgue 测度具有平移不变性, 其证明留作习题. 定理 8 设 A 是 n R 中的 L 可测集, x0 ∈ n R , 则 x0 + A 是 L 可测集并且 ( ) ( ). m x0 + A = m A 其中 { : }. x0 + A = x0 + x x ∈ A Lebesgue-Stieltjes 测度 下面讨论 Lebesgue 测度的推广即 Lebesgue-Stieltjes 测度. 我们 仅讨论 1 R 的情形. 设 F 是定义在 1 R 上的单调增加的右连续实值函数. 令 { ( , ]: ( , ], ,( , ] , 1}. 1 1 1 = = ≥ = A a b a b a b k k k k i R U i i L 互不相交 则R 是一个环(见 1.3 例 3). 对任意 A∈ R ,若 A 的一个分解式为 ( , ], 1 U k i A ai bi = = 则令 ( ) ( ( ) ( )). 1 ∑= = − k i F i i µ A F b F a (7) 则 µ F 是定义在R 上的非负值集函数. 类似于定理 2 的证明(需要作必要的修改, 读者可 以自行考虑), 可以证明 µ F 是R 上的测度. 设 ∗ µ F 是由 µ F 导出的外测度, ∗ R 是 ∗ µ F 可测 集的全体所成的σ − 代数. 由 2.2 定理 5, ∗ µ F 是 ∗ R 上的测度, 称之为由 F 导出的 Lebesgue-Stieltjes 测度, 简称为 L-S 测度. 今后将延拓后的测度 ∗ µ F 仍记为 µ F . 由 2.2 定 理 10, ∗ R 关于测度 µ F 是完备的. 由 2.2 定理 5, ( ) = 1 B R σ (R ) ⊂ ∗ R . 因此 µ F 至少 在 ( ) 1 B R 有定义. 显然 Lebesgue 测度m 就是 Lebesgue-Stieltjes 测度 µ F 当 F(x) = x 时 的情形. 由 L-S 测度的定义, 对直线上的每个有界左开右闭区间(a,b], 有 ((a,b]) F(b) F(a). µ F = − (8) (上式的物理意义是, 如果 F(x) 表示分布在区间(−∞, x] 上的质量, 则 ((a,b]) µ F 表示分 布在区间 (a,b] 上的质量). 利用(8)式和测度的性质, 容易计算出其它类型的区间 有限 集和可数集的 L-S 测度. 例 4 设 ≥ ≤ < < = . 2 2 1 2, 0 1, ( ) 2 x x x x F x 当 当 当 则 F(x) 是单调增加的右连续函数. 计算
F(0,1),pF(0,+∞)和F({) 解利用测度的下连续性和可减性,我们有 4(0.1)=4(U(0-1)=lm(0,1-1]) =lim(F(1-)-F(0)=0 H(0,+∞)=H(U(0,n)=limp(O.,m)=lim(n2-0)=+0 F({1)=H(0,1)-1(0,1)=F()-F(0)-0=2 Lebesgue不可测集最后我们给出一个 Lebesgue不可测集的例子.由于R"中的常 见的集都是通过一些方体经过有限或者可数次并交余和差运算得到的,由定理233,这 样的集都是 Borel集,因而也是L可测集.因此要构造一个 Lebesgue不可测集是不容易的 下面的例子要用到关于等价关系的知识和 Zermelo选取公理.在本书附录I已有介绍 例5 Lebesgue不可测集的例.对任意x,y∈[O,],若x-y是有理数,则记为x~y 容易验证关系“~”是区间[O1上的一个等价关系.因此这个等价关系“~”将[0,1分成 一些互不相交的等价类.根据 Zermelo选取公理,存在[0,1的一个子集E,使得E与每个 等价类只交于一点我们证明E不是L可测的 设{n}是[-1中的有理数的全体对每个n,令En=n+E.则集列{En}具有如 下性质: (1).当m≠n时,Em∩En=.若不然,设x∈En∩En,则x-rm∈E, x-n∈E.由于x--(x-)=rn-m是有理数,因此x-rm和x-属于同一等 价类.但x-rm≠x-Fn这样E就包含了同一等价类中的两个不同的元这与E的性质 矛盾!因此En∩En= (2)成立如下包含关系 [O,]CUE C[12] 事实上,设x∈[0,1]由E的性质,E应包含x所在的等价类中的某一元y.由于x和y 在同一等价类中,故r=x-y是一有理数.由于-1≤r≤1,故r是{n}中的某一数,设 r=则x=+y∈E因此[01lc∪En至于包含关系∪E,c[-12]是显然的 现在用反证法.假定E是L可测的.由定理8,每个E,是L可测的,并且 m(En)=m(E).由测度的可数可加性,我们有
67 ((0, 1)), µ F ((0, + ∞)) µ F 和 ({1}). µ F 解 利用测度的下连续性和可减性, 我们有 ) (0)) 0. 1 lim( (1 ] ) 1 ]) lim ((0 ,1 1 ((0, 1)) ( (0 ,1 1 = − − = = − = − →∞ →∞ ∞ = F n F n n n F n n µ F µ F U µ ((0, )) ( (0 , ]) lim ((0, )) lim( 0) . 2 1 + ∞ = = = − = +∞ →∞ →∞ ∞ = n n n n F n n µ F µ F U µ ({1}) = ((0, 1]) − ((0, 1)) = F(1) − F(0) − 0 = 2. µ F µ F µ F Lebesgue 不可测集 最后我们给出一个 Lebesgue 不可测集的例子. 由于 n R 中的常 见的集都是通过一些方体经过有限或者可数次并,交,余和差运算得到的, 由定理 2.3.3 , 这 样的集都是 Borel 集, 因而也是 L 可测集. 因此要构造一个 Lebesgue 不可测集是不容易的. 下面的例子要用到关于等价关系的知识和 Zermelo 选取公理. 在本书附录 I 已有介绍. 例 5 Lebesgue 不可测集的例. 对任意 x, y ∈[0,1], 若 x − y 是有理数, 则记为 x ~ y. 容易验证关系 ~ 是区间[0,1]上的一个等价关系. 因此这个等价关系 ~ 将[0,1]分成 一些互不相交的等价类. 根据 Zermelo 选取公理, 存在[0,1]的一个子集 E, 使得 E 与每个 等价类只交于一点. 我们证明 E 不是 L 可测的. 设{ }nr 是[−1,1]中的有理数的全体. 对每个 n, 令 E r E. n = n + 则集列{ } En 具有如 下性质: (1). 当 m ≠ n 时 , ∩ = ∅. Em En 若不然 , 设 , Em En x ∈ ∩ 则 x r E, − m ∈ x r E. − n ∈ 由于 m n n m x − r − (x − r ) = r − r 是有理数, 因此 m x − r 和 n x − r 属于同一等 价类. 但 . m n x − r ≠ x − r 这样 E 就包含了同一等价类中的两个不同的元. 这与 E 的性质 矛盾! 因此 ∩ = ∅. Em En (2). 成立如下包含关系: [0,1] [ 1,2]. 1 ⊂ ⊂ − ∞ = U n En 事实上, 设 x ∈[0,1]. 由 E 的性质, E 应包含 x 所在的等价类中的某一元 y. 由于 x 和 y 在同一等价类中, 故 r = x − y 是一有理数. 由于 −1 ≤ r ≤ 1, 故 r 是{ }nr 中的某一数, 设 . n0 r = r 则 . n0 n0 x = r + y ∈ E 因此[0,1] . 1 U ∞ = ⊂ n En 至于包含关系 [ 1,2] 1 ⊂ − ∞ = U n En 是显然的. 现在用反证法. 假定 E 是 L 可测的. 由定理 8, 每个 En 是 L 可测的, 并且 m(E ) m(E). n = 由测度的可数可加性, 我们有
∑m(25(E)=m(13 故必须m(E)=0.于是m(UE,)=0.但另一方面由于0]cUEn,应有 1≤m(UEn)这样就导致矛盾因此E不是L可测的 小结本节利用§22中一般测度的构造方法,建立了R"上的 Lebesgue测度 Lebesgue测度是长度,面积和体积概念的推广 Lebesgue测度能对更多的集即可测集给出 度量. Lebesgue可测集包含了常见的一些集,但仍存在不可测集由于R"是具有丰富的结 构的空间,因此R”上的 Lebesgue测度具有一些一般测度不具有的性质如利用开集或闭 集的逼近性质等 Lebesgue-Stieljes测度是 Lebesgue度的推广充分利用几何直观,可以帮 助理解本节的内容 习题习题二,第17题一第37题
68 ( ) ( ) ([ 1,2]) 3. 1 1 1 ≤ − = = = ∞ = ∞ = ∞ = ∑m E ∑m E m E m n n n n n U 故必须 m(E) = 0. 于 是 ( ) 0. 1 = ∞ = U n m En 但另一方面由于 [0,1] , 1 U ∞ = ⊂ n En 应 有 1 ( ). 1 U ∞ = ≤ n m En 这样就导致矛盾. 因此 E 不是 L 可测的. 小 结 本节利用 2.2 中一般测度的构造方法, 建立了 n R 上的 Lebesgue 测度. Lebesgue 测度是长度, 面积和体积概念的推广. Lebesgue 测度能对更多的集即可测集给出 度量. Lebesgue 可测集包含了常见的一些集, 但仍存在不可测集.由于 n R 是具有丰富的结 构的空间, 因此 n R 上的 Lebesgue 测度具有一些一般测度不具有的性质.如利用开集或闭 集的逼近性质等.Lebesgue-Stieljes 测度是 Lebesgue 度的推广.充分利用几何直观, 可以帮 助理解本节的内容. 习 题 习题二, 第 17 题 第 37 题