§4.6乘积测度与 Fubini定理 教学目的本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理一 Fubini定理 本节要点乘积测度的构造利用了§22测度的延拓定理 Fubini定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分累次积分交换积 分顺序的定理 Fubini定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用 设X和Y是两个非空集,AcX,BcY.称AxB为XxY中的矩形(定义 A×=,×B=) 例如平面可以看成是直线与直线的乘积,即R×R=R2.当A和B是直线上的 有界区间时,AxB就是平面上的通常意义下的矩形本节在抽象空间的情形下讨论乘积 空间,但可以将RxR=R2这一特殊情形作为直观模型.通过直接验证,不难证明矩形 具有如下性质(图6-1) (1).(A1×B1)∩(A2×B2)=(A1∩A2)×(B1∩B2) (2).(A1×B1)-(A2×B2)=[(A-A2)×B1]u[(A1∩A2)×(B1-B2) B E E, A X A E1=(A1-A2)×B1E2=(A1∩A2)×(B1-B2) 图6-1 设(X,A,p)和(Y,,v)是两个测度空间.若A∈.A,B∈B,则称A×B为可测矩形 设C是可测矩形的全体所成的集类.利用上面所列的矩形的性质,容易验证C是一个半
124 4.6 乘积测度与 Fubini 定理 教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理 Fubini 定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了 2.2 测度的延拓定理. Fubini 定理是 积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积 分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用. 设 X 和 Y 是两个非空集, A ⊂ X , B ⊂ Y. 称 A× B 为 X ×Y 中的矩形(定义 A×∅ = ∅, ∅ × B = ∅ ). 例如,平面可以看成是直线与直线的乘积, 即 1 R × =1 R . 2 R 当 A 和 B 是直线上的 有界区间时, A× B 就是平面上的通常意义下的矩形. 本节在抽象空间的情形下讨论乘积 空间, 但可以将 1 R × =1 R 2 R 这一特殊情形作为直观模型. 通过直接验证, 不难证明矩形 具有如下性质(图 6 1): (1).( ) ( ) ( ) ( ). A1 × B1 ∩ A2 × B2 = A1 ∩ A2 × B1 ∩ B2 (2).( ) ( ) [( ) ] [( ) ( )]. A1 × B1 − A2 × B2 = A1 − A2 × B1 ∪ A1 ∩ A2 × B1 − B2 图 6-1 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个测度空间. 若 A∈ A, B ∈B, 则称 A× B 为可测矩形. 设C 是可测矩形的全体所成的集类. 利用上面所列的矩形的性质, 容易验证C 是一个半 ( ) ( ) 1 1 2 1 E 2= A1 ∩ A2 × B1 − B2 E = (A − A )× B X A1 64 744 4 844 A2 E1 B2 B1 Y 14 24 4 34 E2
环由C生成的σ-代数(C)称为与B的乘积a-代数,记为x 在C上定义一个非负值集函数如下.对任意AxB∈C,令 (×v)(A×B)=(A)v(B) 定理1由(1)式定义的集函数xv是C上的测度 证明显然(xv)()=0.往证Xv在C上是可数可加的.设A×B是一个可测 矩形,{ A xB}是一列互不相交的可测矩形使得AxB= UA,xB由于{4nxBn}是 互不相交的,故成立 14(x)2(y)=∑4(x)2(y) 对任意固定的y∈Y,将上式两边对x积分并利用单调收敛定理得到 (A)2(y)=∑(A1)B(y) 再对y积分得到(4)(B)=∑(A)(Bn)这就是 (uxv(Ax B)=2(uxv(A, xB,) 即yxv在C上是可数可加的因此Xv是C上的测度■ 设R是由C生成的环,即 ={4=UE,:E1,E是互不相交的可测矩形k≥1 注意由于X×Y∈,故实际上是一个代数.按下面的方式将xv延拓到上.若 E∈R,E的一个分解式为E=UA1xB,则令 (4xvE)=∑(4)v(B) 由§22引理7,(xν(AxB)的值不依赖于AxB的分解式的选取由定理1和§22 定理8立即得到如下定理 定理2由(2)式定义的集函数xv是上的测度 设(4xv)是由Xv导出的外测度,M是(4xv)可测集的全体所成的a-代
125 环. 由C 生成的σ − 代数 σ (C ) 称为 A 与B 的乘积σ -代数, 记为A ×B. 在C 上定义一个非负值集函数如下. 对任意 A× B ∈C , 令 (µ ×ν )(A× B) = µ(A)⋅ν (B). (1) 定理 1 由(1)式定义的集函数 µ ×ν 是C 上的测度. 证明 显然 (µ ×ν )(∅) = 0 . 往证 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 设 A× B 是一个可测 矩形, { } An × Bn 是一列互不相交的可测矩形使得 . 1 U ∞ = × = × n A B An Bn 由于{ } An × Bn 是 互不相交的, 故成立 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ − = n A B A B I x I y I x I y n n 对任意固定的 y ∈Y, 将上式两边对 x 积分并利用单调收敛定理得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = = n B n B A I y A I y n µ µ 再对 y 积分得到 ( ) ( ) ( ) ( ). 1 ∑ ∞ = ⋅ = ⋅ n µ A ν B µ An ν Bn 这就是 ( )( ) ( )( ). 1 ∑ ∞ = × × = × × n µ ν A B µ ν An Bn 即 µ ×ν 在C 上是可数可加的. 因此 µ ×ν 是C 上的测度. 设R 是由C 生成的环, 即 { : ,, , 1}. 1 1 = = ≥ = A E E E k k k i R U i 是互不相交的可测矩形 注意由于 X ×Y ∈ R, 故R 实际上是一个代数. 按下面的方式将 µ ×ν 延拓到R 上. 若 E∈R, E 的一个分解式为 , U 1 k i E Ai Bi = = × 则令 ( )( ) ( ) ( ). 1 ∑= × = ⋅ k i µ ν E µ Ai ν Bi (2) 由 2.2.引理 7, (µ ×ν )(A× B) 的值不依赖于 A× B 的分解式的选取. 由定理 1 和 2.2 定理 8 立即得到如下定理. 定理 2 由(2)式定义的集函数 µ ×ν 是R 上的测度. 设 ∗ (µ ×ν ) 是由 µ ×ν 导出的外测度, Mµ×ν 是 ∗ (µ ×ν ) 可测集的全体所成的σ − 代
数由§22定理5,(Xv)在上是一个测度,称这个测度为和v的乘积测度,仍 记为xv.称测度空间(X×Y,Mm,×V)为(X,,)与(X,罗,v)乘积空间.由§ 22定理10,测度空间(X×Y220x,×V)是完备的容易证明若和V都是σ-有限 的,则Xv也是G一有限的(其证明留作习题) 由第一章习题第26题的结果知道σ(C)=σ().由.A×乃的定义和§22定理5,我 们有 因此Xv也是A×罗上的测度.有时也称测度空间(X×Y,4×,Axv)为(X,A,p) 与(,,v)乘积空间 下面我们将证明 Fubini定理为此需要作一些准备 设 ECXXY,x∈X.称集Ex={y∈:(x,y)∈E}为E在x的截口.类似地,对 y∈Y,称集E,={x∈X:(x,y)∈E}为E在y的截口.注意E和E,分别是Y和X 的子集(图6-2) E E 容易验证关于截口成立 ()(UE)2=U(En) (i1).(E-F)2=E2-F 同样,关于y的截口也成立类似的性质 定理3设(X,A,p)和(Y,,v)是两个a-有限的测度空间,E∈.×.则 ()对任意x∈X,必有Ex∈ (i).v(E2)和是(X,A,p)上的可测函数.并且成立等式 (XV(E)=ME, du
126 数. 由 2.2 定理 5, ∗ (µ ×ν ) 在Mµ×ν 上是一个测度, 称这个测度为 µ 和ν 的乘积测度, 仍 记为 µ ×ν . 称测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 为 (X , A,µ) 与 (Y, B,ν ) 乘积空间. 由 2.2.定理 10, 测度空间 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 是完备的. 容易证明若 µ 和ν 都是σ − 有限 的, 则 µ ×ν 也是σ − 有限的(其证明留作习题). 由第一章习题第 26 题的结果知道σ (C ) =σ (R ). 由A ×B 的定义和 2.2定理 5, 我 们有 A ×B =σ (C ) =σ (R ) ⊂ Mµ×ν . 因此 µ ×ν 也是 A ×B 上的测度. 有时也称测度空间(X ×Y,A ×B,µ ×ν )为(X , A,µ) 与(Y, B,ν ) 乘积空间. 下面我们将证明 Fubini 定理. 为此需要作一些准备. 设 E ⊂ X ×Y, x ∈ X. 称集 E {y Y : (x, y) E} x = ∈ ∈ 为 E 在 x 的截口. 类似地, 对 y ∈Y, 称集 E {x X : (x, y) E} y = ∈ ∈ 为 E 在 y 的截口. 注意 Ex 和 Ey 分别是Y 和 X 的子集(图 6 2). 图 6 2 容易验证关于截口成立 (i). ( ) ( ) , 1 1 U U ∞ = ∞ = = n x n x n En E (ii). ( ) . E − F x = Ex − Fx 同样, 关于 y 的截口也成立类似的性质. 定理 3 设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个σ − 有限的测度空间, E ∈ A ×B . 则 (i).对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex ( ) ii). ( ν Ex 和是(X , A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (3) X Y Ex Ey x y E 14 244 4 344
证明(i).设C是可测矩形的全体令 T={E∈4×B:对任意x∈X,E2∈} 若E=A×B∈C,则当x∈A时,Ex=B.当xgA时,E2=.故对任意 x∈X,E∈B.因此Cc丌.利用截口的性质容易证明J是一个-代数.因此得 到AX=(C)∈.即对任意x∈X必有Ex∈ (i)先设W(Y)<+.由本定理的结论(),对任意x∈X,必有E∈.故函数 v(Ex)有意义令 丌={E∈Ax罗:以(Ex)是.A可测的} 若E=A×B是一个可测矩形,则vE)=v(B)A(x)是4可测的这表明Cc界.往 证是一个A类.显然Xxy∈丌.设E,F∈并且E彐F.注意到 v(Fx)≤v(Y)<+∞,我们有 (E-F)2)=v(Ex-F2)=v(E)-(F) 故v(E-F)2)是A可测的因此E-F∈,即对包含差运算封闭再设 {En}∈并且En个.则(En)个.于是有 V(,=VU(E,))=limv((E,),) 由上式看出v(UEn),)是4可测的因此∪En∈丌,即对单调增加的集列的并运 算封闭.所以牙是包含C的一个λ类.注意到C是一个丌类.由§1.3推论12,我们有 A×B=a(C)c分 即对任意E∈x,(E2)是可测的若vY)=+∞.由于(Y,B,v是a一有限的 因此存在Y的一列互不相交的可测集{x}使得v(x)<+∞并且Y=∪Fn,对每个 n≥1,在上定义测度 (B)=v(B∩Y),B∈ 则v(Y)=v(X)<+0.设E∈.×B.则由上面所证,每个n≥1,vn(E)是A可测 的.我们有 E) E2∩n)=∑v(E2∩H)=∑v(E) 由此可见v(E)是可测的 在A×上定义集函数A如下
127 证明 (i).设C 是可测矩形的全体. 令 F = { ∈ A ×B : ∈ , ∈B}. X Ex E 对任意x 若 E = A× B ∈C , 则 当 x ∈ A 时 , E B. x = 当 x ∉ A 时 , = ∅. Ex 故对任意 x∈ X , ∈B. Ex 因此C ⊂ F . 利用截口的性质容易证明F 是一个σ − 代数. 因此得 到 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 x ∈ X 必有 ∈B. Ex (ii) 先设ν (Y) < +∞. 由本定理的结论 (i), 对任意 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex 故函数 ( ) ν Ex 有意义. 令 F { A B : ( )是A 可测的}. = E ∈ × ν Ex 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E ) (B)I (x) ν x =ν A 是 A 可测的. 这表明C ⊂ F . 往 证 F 是一个 λ 类 . 显 然 X ×Y ∈ F . 设 E, F ∈ F 并 且 E ⊃ F. 注意到 (F ) ≤ (Y) < +∞, ν x ν 我们有 (( ) ) ( ) ( ) ( ). ν E − F x =ν Ex − Fx =ν Ex −ν Fx 故 (( ) ) ν E − F x 是 A 可测的. 因此 E − F ∈ F , 即F 对包含差运算封闭.再设 {En } ⊂ F 并且 ↑ . En 则( ) ↑ . En x 于是有 (( ) ) ( ( ) ) lim (( ) ). 1 1 n x n n x n x n ν En ν E ν E →∞ ∞ = ∞ = U = U = 由上式看出 (( ) ) 1 x n UEn ∞ = ν 是 A 可测的. 因此 ∈ ∞ = U n 1 En F , 即F 对单调增加的集列的并运 算封闭. 所以F 是包含C 的一个λ 类. 注意到C 是一个π 类. 由 1.3.推论 12, 我们有 A ×B = σ (C ) ⊂ F . 即对任意 E ∈ A ×B , ( ) ν Ex 是 A 可测的. 若ν (Y) = +∞. 由于(Y, B,ν ) 是σ − 有限的, 因此存在 Y 的一列互不相交的可测集{ } Yn 使得ν (Yn ) < +∞ 并且 . 1 U ∞ = = n Y Yn 对每个 n ≥ 1, 在B 上定义测度 ν n (B) =ν (B ∩Yn ), B ∈ B. 则 ( ) = ( ) < +∞. ν n Y ν Yn 设 E ∈ A ×B . 则由上面所证, 每个 n ≥ 1, ( ) ν n Ex 是 A 可测 的. 我们有 ( ) ( ( )) ( ) ( ). 1 1 1 ∑ ∑ ∞ = ∞ = ∞ = = ∩ = ∩ = n n x n x n n ν Ex ν U Ex Yn ν E Y ν E 由此可见 ( ) ν Ex 是 A 可测的. 在A ×B 上定义集函数λ 如下:
A(E)=v(E)d,E∈x罗 则λ是非负值集函数并且m()=0.设{En}是Ax中的一列互不相交的集.则由单 调收敛定理得到 a UEn)=v(UEn))du=VU(E,),)du ∫Σ"(En)M=∑4(E,) 即λ是可数可加的故A是4×罗上的测度.若E=A×B是一个可测矩形,则 a(E)=vE, du=MB)L(x)du=u(A)v(B)=(uxv)E) 故在C上λ=xV.测度的有限可加性蕴涵在由C生成的环上A=xV.由于和 v都是σ-有限的,容易知道λ和×v也是σ一有限的(参见习题)由§22定理6知道 在xB上A=xV.这表明对任意E∈x,(3)式成立■ 注1由定理3,我们也可以用(3)式来定义A×上的乘积测度XV,这样定义的 v与我们前面定义的上的乘积测度xV在×上是一致的.但是这样得到 的乘积测度空间(X×Y,4x,×v)一般说来不是完备的本节所用的定义乘积测度 的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间(X×Y,m,xV),这样就避免了对 (X×yY,A×,Xv)再进行完备化的讨论 引理4设(X,A,p)和(Y,B,V)是两个完备的测度空间,若E∈并且 (×v)(E)=0.则对几乎所有x∈X,E∈B并且v(E2)=0ae 证明由§22定理11,存在F∈()=A×B,使得F=E并且 (4×v)(F)=(4×v)E)=0 定理3(i)蕴涵以(F2)=0ae.由于关于W是完备的,因此由E2cF得到 Ex∈B,ae.并且v(E1)=0ae 定理5设(X,,)和(Y,,v)是两个完备的-有限的测度空间,E∈.m 则 ()则对几乎所有x∈X,必有E2∈ (i).v(E2)是(X,,p)上的可测函数并且成立等式 (uXVE)=ME,)du (in)若f(x,y)是(X×Y,Mmx,xv)上的可测函数,则对几乎所有x∈X,函数 f2(y)=f(x,y)是(Y,,v)上的可测函数 证明设E∈.w由§22定理13,存在F∈x和N∈.m (×v(N)=0,使得E=F-N.由引理4,Nx∈,ae.并且v(Nx)=0ae.再利用 定理3,我们有
128 = ∈ ∫ λ(E) ν (Ex )dµ, E A ×B . 则 λ 是非负值集函数并且 m(∅) = 0. 设{ } En 是 A ×B 中的一列互不相交的集. 则由单 调收敛定理得到 (( ) ) ( ). ( ) (( ) ) ( ( ) ) 1 1 1 1 1 ∫∑ ∑ ∫ ∫ ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = ∞ = = = = = n n n n x n x n x n n n n E d E E E d E d ν µ λ λ U ν U µ ν U µ 即λ 是可数可加的. 故λ 是A ×B 上的测度. 若 E = A× B 是一个可测矩形, 则 (E) (E )d (B)I (x)d . (A) (B) ( )(E). λ = ν x µ = ν A µ = µ ⋅ν = µ ×ν ∫ ∫ 故在C 上λ = µ ×ν. 测度的有限可加性蕴涵在由C 生成的环R 上λ = µ ×ν. 由于 µ 和 ν 都是σ − 有限的, 容易知道λ 和 µ ×ν 也是σ − 有限的(参见习题). 由 2.2 定理 6 知道 在 A ×B 上λ = µ ×ν. 这表明对任意 E ∈ A ×B, (3)式成立. 注 1 由定理 3, 我们也可以用(3)式来定义 A ×B 上的乘积测度 µ ×ν , 这样定义的 µ ×ν 与我们前面定义的Mµ×ν 上的乘积测度 µ ×ν 在 A ×B 上是一致的. 但是这样得到 的乘积测度空间 (X ×Y,A ×B,µ ×ν ) 一般说来不是完备的. 本节所用的定义乘积测度 的方式的优点是直接得到了完备的乘积测度空间( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × , 这样就避免了对 (X ×Y,A ×B,µ ×ν )再进行完备化的讨论. 引理 4 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的测度空间, 若 E ∈Mµ×ν 并且 (µ ×ν )(E) = 0. 则对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B 并且 ( ) = 0 a.e., ν Ex 证明 由 2.2 定理 11, 存在 F ∈ σ (R ) = A ×B, 使得 F ⊃ E 并且 (µ ×ν )(F) = (µ ×ν )(E) = 0. 定 理 3 (ii) 蕴 涵 ( ) = 0 a.e. ν Fx 由 于 B 关 于 ν 是完备的 , 因此由 Ex ⊂ Fx 得 到 Ex ∈B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Ex . 定理 5 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间, E ∈Mµ×ν . 则 (i).则对几乎所有 x ∈ X , 必有 ∈B. Ex ( ) ii). ( ν Ex 是(X , A,µ) 上的可测函数. 并且成立等式 ∫ (µ ×ν )(E) = ν (E )dµ. x (4) (iii).若 f (x, y) 是( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数, 则对几乎所有 x ∈ X , 函数 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 证 明 设 E ∈Mµ×ν . 由 2.2 定 理 13, 存 在 F ∈ A ×B 和 N ∈ Mµ×ν , (µ ×ν )(N) = 0,使得 E = F − N. 由引理 4, Nx ∈ B, a.e.并且 ( ) = 0 a.e. ν Nx 再利用 定理 3, 我们有
Ex=Fx-Nx∈B 因此(i)得证由定理3,W(F)是A可测的由于,A关于是完备的,并且 V(E=VF-V(N=V(F) 故v(Ex)是.可测的(参见第三章习题第7题)注意到(×v(N)=0,由定理3(i),我 们有 Xv)(E))=(uXV)(F)=V(F dv=ME,) 即(4)成立.因此(i)得证.由于对任意实数a, (x,y):f(x,y)<a}∈ 于是由结论(1),对几乎所有x∈X,我们有 {y∈Y:f(x,y)<a}={(x,y):f(x,y)<a}x∈. 即f(y)=f(x,y)是(Y,,v)上的可测函数.因此(i)得证 由对称性,关于E,和川(E,)成立类似于定理3引理4和定理5的结果 设(X,4,p)和(,罗,v是两个测度空间,f(x,y)是X×Y上的可测函数.若对几 乎所有固定的x∈X,f(x,y)在Y上的积分存在记g(x)=Jf(x,y)dv.(g(x)可能 在一个4-零测度集上没有定义,在这个零测度集上令g(x)=0).若g(x)是X上的可测 函数并且在X上的积分存在,则称∫的二次积分存在,并且称,g(x)4为∫的二次积 分记为,0,如或d类似可以定义另一个顺序的二次积分dn 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系,我们由如下的定理这 是本节最主要的结果 定理6( Fubini定理)设(X,4,p)和(Y,,v是两个完备的a-有限的测度空间.则 ()若f是(Xx,0m,xV)上的非负可测函数,则1(x)=Jf(x,y)dv和 J(y)=[f(xy)d分别是X和y上的非负可测函数并且成立 x fduxv=f dvl=ff. fd lv (i)若∫是(XxY,mx,×v)上的可积函数,则(x)=f(x,y)dv和 J(y)=J(xyd分别是关于和v可积的,并且(S成立 证明()由对称性我们只需证明(x)=f(xy)v是x上的非负可测函数,并 且成立 fduxv=f dvl 6
129 Ex = Fx − Nx ∈B, a.e. 因此(i) 得证. 由定理 3, ( ) ν Fx 是A 可测的. 由于A 关于 µ 是完备的, 并且 ( ) ( ) ( ) ( ), a.e. ν Ex =ν Fx −ν Nx =ν Fx 故 ( ) ν Ex 是 A 可测的(参见第三章习题第 7 题). 注意到(µ ×ν )(N) = 0, 由定理 3 (ii) , 我 们有 ∫ ∫ ( × )( )) = ( × )( ) = ( ) = ( ). µ ν E µ ν F ν Fx dν ν Ex 即(4)成立. 因此(ii) 得证. 由于对任意实数 a, {(x, y) : f (x, y) < a}∈ Mµ×ν . 于是由结论(i), 对几乎所有 x ∈ X , 我们有 { . y ∈Y : f (x, y) < a} = {(x, y) : f (x, y) < a}x ∈ B 即 f ( y) f (x, y) x = 是(Y, B,ν ) 上的可测函数. 因此(iii) 得证. 由对称性,关于 Ey 和 (( ) µ Ey 成立类似于定理 3,引理 4 和定理 5 的结果. 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个测度空间, f (x, y) 是 X ×Y 上的可测函数. 若对几 乎所有固定的 x ∈ X , f (x, y) 在Y 上的积分存在. 记 g(x) f (x, y) dν. ∫Y = ( g(x) 可能 在一个 µ − 零测度集上没有定义, 在这个零测度集上令 g(x) =0). 若 g(x) 是 X 上的可测 函数并且在 X 上的积分存在, 则称 f 的二次积分存在, 并且称 g x dµ ∫X ( ) 为 f 的二次积 分,记为 ( fdν )dµ ∫ ∫ X Y 或 . ∫ ∫ X Y dµ fdν 类似可以定义另一个顺序的二次积分 ∫ ∫ Y X dν fdµ. 关于在乘积空间上的积分和两个不同顺序的二次积分之间的关系, 我们由如下的定理. 这 是本节最主要的结果. 定理6 (Fubini定理)设(X , A,µ) 和(Y, B,ν ) 是两个完备的σ − 有限的测度空间. 则 (i). 若 f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的非负可测函数, 则 ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 和 ∫ = X J ( y) f (x, y)dµ 分别是 X 和Y 上的非负可测函数. 并且成立 ∫ × × = X Y f dµ ν ( fdν )dµ ∫ ∫ X Y = ( ) . ∫ ∫ Y X fdµ dν (5) (ii). 若 f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可积函数 , 则 ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 和 ∫ = X J ( y) f (x, y)dµ 分别是关于 µ 和ν 可积的. 并且(5)成立. 证明 (i).由对称性, 我们只需证明 ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 是 X 上的非负可测函数, 并 且成立 ∫ × × = X Y f dµ ν ( fdν )dµ ∫ ∫ X Y (6)
先设∫=lE是特征函数,其中E∈.M/x由定理5(1),对几乎所有x∈X,E∈罗.于 是 SIE(x, ydv=IE,(y)dv=v(E,).H-ae 由定理5(i),V(E2)是X上的可测函数并且 ∫ REdux=(xE)=JE,)d=.(∫drka 这表明当∫是特征函数时,I(x)=f(x,y)dv是X上的非负可测函数并且(6)成立.由 积分的线性性质知道,当∫是非负简单函数时,(x)是X上的非负可测函数并且(6)成立 般情形,设∫是非负可测函数则存在非负简单函数列{fn}使得fn↑∫.由上面的证 明,l(x)=J(xyd是x上的非负可测函数.由单调收敛定理得到 ∫f(x.y)d↑J(xy)dv.因此1(x)是x上的非负可测函数再对函数列{n)应用 单调收敛定理,我们有 Sy. Sduxv=limy S,duxv= limL, (,S, drAu= dvp 即(6)成立.因此(i)得证 (i).由对称性,我们只需证明I(x)是关于可积的,并且(6)成立.由()的结论 (xy)dv和∫(xy)dv是X上的非负可测函数因此/(x)是X上的可测函数 对∫和∫分别运用(6),我们有 f dp fdv fdi 注意由于∫是关于xv可积的,故上式中出现的积分都是有限的,因此作减法运算是允 许的这就证明了(x)是关于可积的,并且(6)成立 推论7设(X,A,)和(,,v)是两个完备的a-有限的测度空间,∫是 (X×y,,4xv)上的可测函数若 「 dv urdu<+或∫4Jv<+ 则∫可积并且成立 fduxv=L. fdv=ldv. fau 证明设jdr<+,由Fm定理我们有
130 先设 E f = I 是特征函数, 其中 E ∈Mµ×ν . 由定理 5 (i), 对几乎所有 x ∈ X , Ex ∈B. 于 是 ( , ) ( ) ( ). x Y Y I E x y d I E y d E x ν = ν =ν ∫ ∫ µ − a.e.. 由定理 5 (ii) , ( ) ν Ex 是 X 上的可测函数. 并且 I dµ ν (µ ν )(E) ν (E )dµ ( I dν ).dµ. X Y E X x X Y ∫ E ∫ ∫ ∫ × = × = = × 这表明当 f 是特征函数时, ∫ = Y I(x) f (x, y)dν 是 X 上的非负可测函数并且(6)成立. 由 积分的线性性质知道, 当 f 是非负简单函数时, I(x) 是 X 上的非负可测函数并且(6)成立. 一般情形, 设 f 是非负可测函数. 则存在非负简单函数列{ }n f 使得 f f . n ↑ 由上面的证 明 , ∫ = Y I n (x) f n (x, y)dν 是 X 上的非负可测函数 . 由单调收敛定理得到 ( , ) ( , ) . ∫ ∫ ↑ Y Y f n x y dν f x y dν 因此 I(x) 是 X 上的非负可测函数. 再对函数列{ }n I 应用 单调收敛定理, 我们有 f dµ ν lim f dµ ν lim ( f dν )dµ ( fdν )dµ. X Y X Y n X Y n n X Y n ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ × = × = = × →∞ × →∞ 即(6)成立. 因此(i) 得证. (ii). 由对称性, 我们只需证明 I(x) 是关于 µ 可积的, 并且(6)成立. 由 (i) 的结论, ∫ + Y f (x, y)dν 和 ∫ − Y f (x, y)dν 是 X 上的非负可测函数. 因此 I(x) 是 X 上的可测函数. 对 + f 和 − f 分别运用(6), 我们有 ( )( ) ( ) ν µ. ν µ ν µ µ ν µ ν µ ν fd d f d d f d d f d f d f d X Y X Y X Y X Y X Y Y X ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = = − × = × − × + − × × + − × 注意由于 f 是关于 µ ×ν 可积的, 故上式中出现的积分都是有限的, 因此作减法运算是允 许的. 这就证明了 I(x) 是关于 µ 可积的, 并且(6)成立. 推论 7 设 (X , A,µ) 和 (Y, B,ν ) 是两个完备的 σ − 有限的测度空间, f 是 ( , ,µ ν ) X ×Y Mµ×ν × 上的可测函数. 若 < +∞ ∫Y ∫X dν f dµ 或 < +∞, ∫X ∫Y dµ f dν 则 f 可积并且成立 ∫ × × = X Y f dµ ν ∫ ∫ X Y dµ fdν = ∫ ∫ Y X dν fdµ. (7) 证明 设 < +∞ ∫Y ∫X dν f dµ . 由 Fubini 定理, 我们有
「,duxv=Jagd1)dt 证明令E={(x,D1):f(x)>t≥0},则E,={x:∫(x)>t}.显然∫(x)-t是乘积 空间(X×R,×.M(R,4xm)上的可测函数 故 E={(x,D):f(x)-1>0}∈了×.(R).因此函数g(x)=l2(x,D)是关于 ×(R)可测的由 Fubini定理我们有 「f(x)2d=Jpr2d pre-ldtf /is(pn,(xdu p"({x:f(x)>t})d 下面我们将本节的结果用到R”上的 Lebesgue积分上去 定理8设(R)和(R2)分别是R和R2上的 borel g-代数,m1和m2分别是 R和R2上的 Lebesgue测度.则f(R)xB(R)=B(R2)并且在(R2)上 m1×m1=m2.即 (R×R,O(R)×B(R),m1xm)=(R2,(R2),m2) 证明设是R2中的左开右闭方体的全体生成的环,是由R2中的 Lebesgue可 测矩形的全体生成的环则G(R)=B(R2),σ(R)=B(R)×B(R).由于c (R2)=()ca()=f(R)×B(R) 反过来,令P1和p2是R2到R的投影函数,即p(x,y)=x,p2(x,y)=y.则p1和 P2都是连续的,因而是R2上的 Borel可测函数由§31定理2,若A,B∈f(R),则 p(A)∈(R2),p2(B)∈(R2).于是
131 ∫ × × = X Y f dµ ν 0 1 f d p t ({x : f (x) t})dt. p p µ µ 证明 令 E = {(x,t) : f (x) > t ≥ 0}, 则 E {x : f (x) t}. t = > 显然 f (x) − t 是乘积 空 间 ( , ( ), ) 1 1 X × R F ×M R µ × m 上的可测函数 , 故 E = {(x,t) : f (x) − t > 0}∈ ( ) 1 F ×M R . 因此函数 I (x) I (x,t) Et = E 是关于 ( ) 1 F ×M R 可测的. 由 Fubini 定理我们有 ({ : ( ) }) . ( ) ( ) ( ) 0 1 0 { : ( ) } 1 0 { : ( ) } 1 ( ) 0 1 ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ − +∞ > − +∞ > − − = > = = = pt x f x t dt pt dt I x d d pt I x dt f x d d pt dt p X x f x t p X x f x t p X f x p X p µ µ µ µ µ 下面我们将本节的结果用到 n R 上的 Lebesgue 积分上去. 定理 8 设 ( ) 1 B R 和 ( ) 2 B R 分别是 1 R 和 2 R 上的 Borelσ − 代数, m1和 m2 分别是 1 R 和 2 R 上 的 Lebesgue 测 度 . 则 ( ) × 1 B R ( ) = 1 B R ( ) 2 B R 并且在 ( ) 2 B R 上 . m1 × m1 = m2 即 ( × , ( )× ( ), 1 × 1 ) = 1 1 1 1 R R B R B R m m ( , ( ), ). 2 2 2 R B R m 证明 设R 是 2 R 中的左开右闭方体的全体生成的环, R ′ 是由 2 R 中的 Lebesgue 可 测矩形的全体生成的环. 则σ (R ) = ( ), 2 B R σ (R ′) = ( ) × 1 B R ( ). 1 B R 由于R R ⊂ ′ , 因此 ( ) = 2 B R σ (R ) ⊂ σ (R ′) = ( ) × 1 B R ( ). 1 B R 反过来, 令 1 p 和 2 p 是 2 R 到 1 R 的投影函数, 即 ( , ) , . 1 p x y = x p (x, y) = y 2 . 则 1 p 和 2 p 都是连续的, 因而是 2 R 上的 Borel 可测函数. 由 3.1 定理 2, 若 A, B ∈ ( ) 1 B R , 则 ∈ − ( ) 1 p1 A ( ) 2 B R , ∈ − ( ) 1 p2 B ( ). 2 B R 于是
AxB=(AxR)∩(R×B)=p(4)∩p2(B)∈B(R2) 故R’c(R2).于是 (R)×(R)=a()cB(R2) 因此(R)×B(R)=B(R2)由乘积测度的定义容易知道在R上m1Xm1=m2由 §2.2定理6知道在a()上m1Xm1=m2即在B(R2)上面m1xm1=m2 定理9两个一维 Lebesgue测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue测度空间,即 R,Mmm, m,xm)=(R ,M(R), m2) 证明仍设,,m1和m2如定理8.由定理8 (RXR, B(R)XB(R), m,xm)=(R, 3(R), m2) 此即 (R×R,a(R),m1xm1)=(R2,O(R),m2 由§22定理15,(R×R,Mmm,m1xm1)和(R2,M(R2),m2)分别是 (R×R,a(),m1xm1)和(R2,(R,m2)的完备化空间因此(8)成立■ 推论10设∫是R2上的非负L可测函数或L可积函数则成立 「 R:/dxdy=dJdx=na 特别地当小1<+或者1<+∞时,成立 「ndn,fd=hh 我们将R2上的L积分记为「fdd) 证明将定理6和推论7应用到乘积空间(R×R, M,m1Xm1)上,并利用定 理9即得 显然,对R”与R的乘积空间RP的情形成立与推论10类似的结果 例2计算/=J sInx (e-e")dx(0<a<b) 解我们有 r dre 由于 dy e sin t∫de"= 由 Fubin定理(推论7),我们有 dxe dy= dy di tg b
132 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). 1 2 2 1 1 1 1 × = × R ∩ R × = ∩ ∈B R − − A B A B p A p B 故R ′ ⊂ ( ). 2 B R 于是 ( ) × 1 B R ( ) = 1 B R σ (R ′) ⊂ ( ). 2 B R 因此 ( ) × 1 B R ( ) = 1 B R ( ) 2 B R . 由乘积测度的定义容易知道在 R 上 . m1 × m1 = m2 由 2.2 定理 6 知道在σ (R ) 上 . m1 × m1 = m2 即在 ( ) 2 B R 上面 . m1 × m1 = m2 定理 9 两个一维 Lebesgue 测度空间的乘积测度空间是二维 Lebesgue 测度空间, 即 ( × , × , 1 × 1 ) = 1 1 m m Mmi mi R R ( , ( ), ). 2 2 2 R M R m (8) 证明 仍设R , R ′ , m1和m2如定理 8. 由定理 8, ( × , ( )× ( ), 1 × 1 ) = 1 1 1 1 R R B R B R m m ( , ( ), ). 2 2 2 R B R m 此即 ( × , ( ′), 1 × 1 ) = 1 1 R R σ R m m ( , ( ), ). 2 2 R σ R m 由 2.2 定 理 15, ( , , ) 1 1 1 1 m m mi mi R × R M × × 和 ( , ( ), ) 2 2 2 R M R m 分别是 ( , ( ), ) 1 1 1 1 R × R σ R ′ m × m 和( , ( ), ) 2 2 R σ R m 的完备化空间. 因此(8)成立. 推论 10 设 f 是 2 R 上的非负 L 可测函数或 L 可积函数.则成立 = ∫ 2 R f dxdy ∫ ∫ 1 1 R R dy f dx = . ∫ ∫ 1 1 R R dx f dy 特别地, 当 < +∞ ∫ ∫ 1 1 R R dy f dx 或者 < +∞ ∫ ∫ 1 1 R R dx f dy 时, 成立 ∫ ∫ 1 1 R R dy f dx = . ∫ ∫ 1 1 R R dx f dy (我们将 2 R 上的 L 积分记为 . 2 f dxdy ∫R ) 证明 将定理 6 和推论 7 应用到乘积空间( , , ) 1 1 1 1 m m mi mi R × R M × × 上, 并利用定 理 9 即得. 显然, 对 p R 与 q R 的乘积空间 p+q R 的情形,成立与推论 10 类似的结果. 例 2 计算 ( ) (0 ). sin 0 e e dx a b x x I ax bx = − < < ∫ +∞ − − 解 我们有 ( ) sin . sin ∫0 ∫ ∫ 0 +∞ − +∞ − − − = b a ax bx xy e e dx dx e xdy x x 由于 ln . 1 sin 0 0 ∫ ∫ ≤ ∫ ∫ = ∫ = < +∞ +∞ − +∞ − a b dy y dy e x dx dy e dx b a b a xy b a xy 由 Fubini 定理(推论 7), 我们有 arctg arctg . 1 1 sin sin 2 0 0 dy b a y I dx e xdy dy e xdx b a b a xy b a xy = − + = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫+∞ − +∞ −
小结本节首先介绍了测度空间的乘积空间乘积测度的构造利用了§22测度的延 拓定理.本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理一 Fubini定理 Fubin定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用 习题习题四,第43题—第57题
133 小 结 本节首先介绍了测度空间的乘积空间.乘积测度的构造利用了 2.2 测度的延 拓定理. 本节的主要结果是二重积分和累次积分交换积分顺序的定理 Fubini 定理. Fubini 定理是积分理论的基本定理之一,它在理论推导和积分计算方面有广泛的应用. 习 题 习题四, 第 43 题 第 57 题
