§4.5 Lebesgue可积函数的逼近 教学目的本节考虑可积函数的逼近问题.本节要证明几个关于积分的 逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理 教学要点 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数 逼近.由于连续函数具有较好的性质,因此L可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的应通过例题和习题掌握这种方法 设给定一个测度空间(X,,4),C是可积函数类L(4)的一个子类.若对任意可积 函数∫∈L()和E>0,存在一个g∈C,使得-gd0,存在L(4)中的 简单函数g,使得∫f-g0(m→∞),利用控制收敛定理得到 im』n-fd=0 因此存在一个n,使得一/0,存在 R上具有紧支集的连续函数g,使得-80,由§2.3定理6,存在开集G和有界闭集F,使得 FCACG,使得 m(G-F)<E.由于F是有界集,因此存在半径充分大的开球U(0,r)使得
120 4.5 Lebesgue 可积函数的逼近 教学目的 本节考虑可积函数的逼近问题. 本节要证明几个关于积分的 逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 教学要点 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数 逼近. 由于连续函数具有较好的性质, 因此 L 可积函数的逼近性质在处理有 些问题时是很有用的.应通过例题和习题掌握这种方法. 设给定一个测度空间(X , F ,µ), C 是可积函数类 L(µ) 的一个子类. 若对任意可积 函数 f ∈ L(µ) 和ε > 0, 存在一个 g ∈C , 使得 − µ 0, 存在 L(µ) 中的 简单函数 g, 使得 − µ 0, 存在 n R 上具有紧支集的连续函数 g, 使得 − 0, 由 2.3 定 理 6, 存在开集 G 和有界闭集 F, 使 得 F ⊂ A ⊂ G, 使 得 m(G − F) < ε . 由 于 F 是有界集 , 因此存在半径充分大的开球 U(0,r) 使 得
FcU(0,r).令B=(G∩U(0,r),则B是闭集并且F∩B=②.由§33引理3,存 在R”上的连续函数g,使得g=1,g=0.则g是R"上具有紧支集的连续函数注 意到0≤g(x)≤1,我们有 U-gdx=」-gtx+jJ-gdk ≤m(E-A)+m(A-F ≤m(G-F)0,存在[a,b]上的一个阶梯函数g,使得 dx0,存在开集U,U是有限个开区间的并集,使 得m(dA-U)∪(-A)<E.显然我们可以设Uc(an,b),令g=LU,则g是阶梯函 数.并且 m(A-U)+m(U-a)<8
121 F ⊂ U(0,r). 令 ( (0, )) , c B = G ∩U r 则 B 是闭集并且 F ∩ B = ∅. 由 3.3 引理 3, 存 在 n R 上的连续函数 g, 使得 = 1, F g = 0. B g 则 g 是 n R 上具有紧支集的连续函数. 注 意到0 ≤ g(x) ≤ 1, 我们有 ( ) . ( ) ( ) ≤ − 0, 存在[a,b] 上的一个阶梯函数 g , 使得 − 0,存在开集U, U 是有限个开区间的并集, 使 得 m((A −U) ∪ (U − A)) < ε.. 显然我们可以设U ⊂ (a,b), 令 , U g = I 则 g 是阶梯函 数. 并且 ( ) ( ) . ( ) ( ) = − + − < ε − ≤ − ∫ ∫ − ∪ − m A U m U A f g dx I I dx A U U A A U b a
定理4设∫∈L(R)则对任意E>0,存在R上的一个具有紧支集的阶梯函数g, 使得-gr0,存在k使得m()-m(41)0.由定理3存在一个阶梯函数g,使得∫-80,使得当n>N时,g(x) cos nrcN时有 f(x)cosnxdxs(f(x)-g(x)cos nxdx+ g(x) cos nxd glar+<8 因此(1)成立类似地可以证明(2)成立 例2设厂是R”上的L可积函数,则
122 定理 4 设 f ∈ ). 1 L(R 则对任意ε > 0, 存在 1 R 上的一个具有紧支集的阶梯函数 g, 使得 ∫ − 0, 存在 0 k 使得 . 2 ( ) ( ) 0 ε m A − m Ak 0, 由定理 3, 存在一个阶梯函数 g , 使得 . 2 ε − 0, 使得当 n > N 时, . 2 ( ) cos ε N 时有 .. 2 ( ) cos ( ( ) ( )) cos ( ) cos ε ε ≤ − + < ≤ − + ∫ ∫ ∫ ∫ b a b a b a b a f g dx f x nxdx f x g x nxdx g x nxdx 因此(1)成立. 类似地可以证明(2)成立. 例 2 设 f 是 n R 上的 L 可积函数, 则
「/(x+0)-/x) 证明先设∫是具有紧支集的连续函数.则存在闭球S(0,r)使得当xS(0,r)时 ∫=0.由于∫在S(O,r)上连续,因此∫在S(0,r)上一致连续.因此对任意E>0,存在 6>0,使得当x,x”∈SO.n,d(x,x”)0,使得当 d06时,pkg-gk<由41例4有 g d x 于是当d(0,1)<δ时,我们有 -f≤-gk+[-gr+f-/d 8 因此(3)成立 小结本节证明了几个关于积分的逼近定理主要是关于 Lebesgue积分的逼近定理 本节的结果表明 Lebesgue可积函数可以用比较简单的函数特别是用连续函数逼近.利用 积分的逼近定理,可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题例 1和例2说明了可积函数的逼近定理的典型方法 习题习题四,第40题一第42题
123 lim ( ) ( ) 0. 0 + − = → ∫ n f x t f x dx t R (3) 证明 先设 f 是具有紧支集的连续函数. 则存在闭球 S(0,r), 使得当 x ∉ S(0,r) 时 f = 0. 由于 f 在 S(0,r) 上连续, 因此 f 在 S(0,r) 上一致连续. 因此对任意ε > 0, 存在 δ > 0, 使得当 x′, x′′∈ S(0,r), d(x′, x′′) 0, 使得当 d(0,t) < δ 时, ∫ − < n g g dx t R . 3 ε 由 4.1 例 4, 有 . 3 ε − = − < ∫ n ∫ n f g dx f g dx t t R R 于是当 d(0,t) < δ 时, 我们有 . 3 3 3 ε ε ε ε < + + = − ≤ − + − + − ∫ n ∫ n ∫ n ∫ n f f dx f g dx g g dx g f dx t t t t R R R R 因此(3)成立. 小 结 本节证明了几个关于积分的逼近定理.主要是关于 Lebesgue 积分的逼近定理. 本节的结果表明 Lebesgue 可积函数可以用比较简单的函数,特别是用连续函数逼近. 利用 积分的逼近定理, 可以把一般可积函数的问题转化为比较容易处理的连续函数的问题.例 1 和例 2 说明了可积函数的逼近定理的典型方法. 习 题 习题四, 第 40 题 第 42 题