第四章多项式
第四章 多项式
教学要求: 1、了解多项式的基本概念; 2、掌握多项式的整除概念及其判定方法; 3、掌握多项式的因式分解定理及最大公因式 的求解方法; 4、了解多项式函数及其根等概念; 5、有理多项式解的理论(了解)
教学要求： 1、了解多项式的基本概念； 2、掌握多项式的整除概念及其判定方法； 3、掌握多项式的因式分解定理及最大公因式 的求解方法； 4、了解多项式函数及其根等概念； 5、有理多项式解的理论(了解)
教学重点 1、除概念及其判定方法 2、转相除法、综合除法; 3、因式分解定理; 4、有理数域上的多项式 难点: 1、多项式互素的概念及其应用 2、最大公因式的求法 3、有理根的求法及应用
教学重点： 1、除概念及其判定方法； 难 点： 1、多项式互素的概念及其应用； 2、转相除法、综合除法； 3、因式分解定理； 4、有理数域上的多项式。 2、最大公因式的求法； 3、有理根的求法及应用
§4.1一元多项式的定义 和运算 ●教学目标 掌握一元多项式的定义并会进行简单运算 冷重点 元多项式的概 难点 元多项式的概念
§4.1 一元多项式的定义 和运算 ⚫ 教学目标 掌握一元多项式的定义并会进行简单运算。 ❖ 重点 一元多项式的概念。 ❖ 难点 一元多项式的概念
§4.1一元多项式的定义和运算 大家来看以下的式子: x+l: x+1; x+y; sin x+cos x 大家能告诉我它们是一些什么式子吗?由此引出: 定义4.1.1 设n是一非负整数,x是一个文字,是一个数域, ao. a CLn∈ F
§4.1 一元多项式的定义和运算 1 2 x + 1 1 x + 2 ； ； x + y ； sin x + cos x 定义4.1.1 大家能告诉我它们是一些什么式子吗？ 大家来看以下的式子： a a an , , , 0 1 F F 是一个数域， 。 设 n 是一非负整数， x 是一个文字， 由此引出：
则形式表达式 a tartar +.tax (1 称为系数在数域F中的一元多项式,或者简称为 数域F上的一元多项式。(与初中所学的多项式进行 比较)。这里 C1C称为次项,Cz称为t次项的系数。用 f(x),g(x),…或f, 等来表示多项式
则形式表达式 n n a + a x + a x + ......+ a x 2 0 1 2 （1） 称为系数在数域 F 中的一元多项式，或者简称为 比较）。这里 数域 F 上的一元多项式。（与初中所学的多项式进行 i i a x 称为 i 次项， ai 称为 i 次项的系数。用 f (x), g(x), 或 f , g, 等来表示多项式
定义4.1.2 若多项式f(x)与g(x)同次项的系数全相等,那么就 称多项式f(x)与g(x)相等,记为f(x)=8(x) 系数全为零的多项式称为零多项式,记为0 定义4.13 如果an≠0,那么anx”称为多项式(1)的首项 n称为首项系数,称为多项式的次数。零多项式 是唯一不定义次数的多项式。多项式f(x)的次数记 为O(f(x)
定义4.1.2 若多项式 f (x) 与 g(x) 同次项的系数全相等，那么就 系数全为零的多项式称为零多项式，记为0。 定义4.1.3 如果 an 0 ，那么 n n a x 称为多项式（1）的首项， an 称为首项系数， n 称为多项式的次数。零多项式 为 ( f (x)) 。 称多项式 f (x) 与 g(x) 相等，记为 f (x) = g(x) 。 是唯一不定义次数的多项式。多项式 f (x) 的次数记
设 x=a+,x+.tax g(x)=b+bx+……+bnx 是数域F上两个多项式,那么可以写成 f(x)=∑ax,g(x)=∑bx 在表示多项式f(x)与g(x)的和时,如果n≥m, 为了方便起见,在g(x)中令bn=bn m+1 0 那么f(x)与g(x)的和为 f(x)+g(x)=(ao+b0)+(a1+b1)x+…+(an+bn)x"+…+(an+bn)x” ∑(an+b)x i=0
设 n n f (x) = a + a x + ...... + a x 0 1 m m g(x) = b + b x + ......+ b x 0 1 是数域 F 上两个多项式，那么可以写成 = = n i i i f x a x 0 ( ) ； = = m j j j g x b x 0 ( ) 在表示多项式 f (x) 与 g(x) 的和时，如果 n m ， 为了方便起见，在 g(x) 中令 bn = bn−1 == bm+1 = 0 ， 那么 f (x) 与 g(x) 的和为 = = + + = + + + + + + + + + n i i i i n n n m m m a b x f x g x a b a b x a b x a b x 0 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
而f(x)与g(x)的乘积为 x)g(x =a,bm x"m+(a, b +a,-bmx+.+(a,bo +aob)x+a 其中S次项的系数是 f(x)g(x)=∑(∑a,b)x s=O i+j=s 所以f(x)g(x)可表成 +n2 f(x)g(x)=∑(∑ab)x s=O i+i=S 利用多项式的加法可以定义多项式的减法: f(x)-g(x)=f(x)+(-g(x)
而 f (x) 与 g(x) 的乘积为 1 0 0 1 0 0 1 1 1 f (x)g(x) a b x (a b a b )x (a b a b )x a b n m n m n m n m = n m + + + + + + + − − − + 其中 s 次项的系数是 所以 f x g x ( ) ( ) 可表成 s n m s i j s f (x)g(x) ( ai bj )x 0 + = + = = 。 s n m s i j s f (x)g(x) ( ai bj )x 0 + = + = = 。 利用多项式的加法可以定义多项式的减法： f (x) − g(x) = f (x) + (−g(x))
由多项式的加法、乘法和减法的定义可知,数 域P中的多项式经过加、减、乘之后,仍是 P中的的多项式。 运算法则: 加法交换律:f(x)+g(x)=g(x)+f(x) 2.加法结合律 (f(x)+g(x)+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)
( f (x) + g(x)) + h(x) = f (x) + (g(x) + h(x)) 2.加法结合律： P P 由多项式的加法、乘法和减法的定义可知，数 中的多项式经过加、减、乘之后，仍是 中的的多项式 。 域 1. 加法交换律： f (x) + g(x) = g(x) + f (x) 运算法则：