§1.0基本预备知识 教学目标: 使学生进一步了解集合的运算,集合的映射和相 关概念,了解数环数域的相关概念,为后续学习 提供必备的基本知识,温故知新,实现承上启下 的目的。 重点 集合的各种运算及集合的映射(象与原象,单射, 满射,双射)的概 难点: 集合概念的反面叙述和单射满射的证明技巧
§ 1.0 基本预备知识 ❖ 教学目标： 使学生进一步了解集合的运算，集合的映射和相 关概念，了解数环数域的相关概念，为后续学习 提供必备的基本知识，温故知新，实现承上启下 的目的。 ❖ 重点： 集合的各种运算及集合的映射（象与原象，单射， 满射，双射）的概念。 ❖ 难点： 集合概念的反面叙述和单射满射的证明技巧
(-)集合的运算,集合的映射主要概念 先介绍几个符号: (表示任意的) (表示存在) (表示由此推出) "<→" (表示当且仅当)
(一) 集合的运算，集合的映射主要概念。 " " " " （表示任意的） （表示存在） （表示由此推出） （表示当且仅当） 先介绍几个符号：
定义设A,B是两个集合,a是集合A的元素,记作 a∈A。 反面叙述:a不是集合A的元素,记作 a∈A (可举例说明) A是B的子集可表示为:AcB分(对一切x:x∈A→x∈B) 反面叙述:如果A不是B的子集,就记作 A B 因此A不是B的子集⊙A中至少有一个元素不属于B
❖ 定义 设A,B是两个集合， a 是集合A的元素，记作 a A 。 反面叙述： a 不是集合A 的元素，记作 a A 。 （可举例说明） A是B的子集可表示为： A B （对一切 x x A x B : ） 反面叙述：如果A不是B的子集, 因此,A不是B的子集 A中至少有一个元素不属于B, 即 A B 就记作
AB分(存在一个元素x∈A但xgB) (A=B)分(对一切x:x∈Ax∈B 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A 与B的并集(简称并),记作A∪B 根据定义有:x∈B分(x∈城∈B) 反面叙述:xgA∪B分(xA且x≠B)(可举例说明) 由A与B的公共元素所成的集合叫做A与B的交集 (简称交),记作A∩B,显然 ,A∩BgA,A∩BcB 根据定义有:x∈A∩B(x∈A且x∈B) 反面叙述:xA∩B分(x我xgB)
A B （存在一个元素 x A , 但 x B ） ( ) A B = （对一切 x x A x B : ） 由A的一切元素和B的一切元素所成的集合叫做A 与B的并集(简称并),记作 A B 根据定义有： x A B x A x B ( ) 或 反面叙述： x A B ( ) x A x B 且 （可举例说明） 由A与B的公共元素所成的集合叫做A与B的交集 (简称交),记作 A B, 显然， A B A , A B B . 根据定义有： x A B x A x B ( ) 且 反面叙述： x A B ( ) x A x B 或
请同学们抓住特征,注意“交”与“并”的定义,正反两 方面的叙述,特别注意逻辑语言“或”与“且”的正反两 方面的表述,进一步巩固中学已学过的内容。同时注意上 述概念可以推广到n个集合上去。 令另外还需要了解下面的两个概念: 由一切属于A但不属于B的元素所组成的集合叫做 A与B的差集,记作:A-B,根据定义有: A-B={xx∈A,但x≠B} 由一切元素对(a,b)所成的集合,其中a取自A, b取自B)叫作A与B的笛卡尔积(简称积) 根据定义有 AxB={(0)gAb∈B
❖ 请同学们抓住特征，注意“交”与“并”的定义，正反两 方面的叙述，特别注意逻辑语言“或”与“且”的正反两 方面的表述，进一步巩固中学已学过的内容。同时注意上 述概念可以推广到n个集合上去。 ❖ 另外还需要了解下面的两个概念： 由一切属于A但不属于B的元素所组成的集合叫做 A与B的差集，记作：A－B，根据定义有： A B x x A x B − = { , } 但 ( , ) a b a A B a b a A b B = {( , ) , } 由一切元素对 所成的集合，其中 取自A， b取自B）叫作A与B的笛卡尔积（简称积） 根据定义有
定义设A,B是两个非空集合,A到B的一个映 射指的是一个对应法则,通过这个法则对于集 合A中的每一个元素ⅹ有集合B中一个唯一确定的 元素y与它对应 常用记号 f: AH B 表示提是A到B的一个映射。用元素表示为 ∫:xy(x∈A,y∈B) 如果f(x)=y∈B则y称为x在f下的像,称Ⅹ为y在f 下的原像。A的所有元素在f下的像构成的B的子 集,称为A在f下的像,记作f(4
❖ 定义 设A，B是两个非空集合，A到B的一个映 射指的是一个对应法则，通过这个法则对于集 合A中的每一个元素x有集合B中一个唯一确定的 元素y与它对应。 常用记号 f A B : 表示f是A到B的一个映射。用元素表示为 f x y : ( , ) x A y B 如果 f x y B ( ) , = 则y称为x在f下的像，称x为y在f 下的原像。A的所有元素在f下的像构成的B的子 集，称为A在f下的像，记作 f A( )
f(4)={f(x)x∈A 注意f(4)=那么就称是A到B上的一个映射,也称f 是一个满射。根据定义有: f:A|>B是满射分对vy∈B,3x∈A使得∫(x)=y 如果对于A中任意两个元素x和x2只要x≠x2就有 f(x1)≠f(x2),则称是A到B的一个单射 注意:证明中常用到单射的逆否命题 是AB的单射分对Mx,x2∈A由f(x)=f(x)→x=x2
即 f A f x x A ( ) { ( ) } = 注意 f A B ( ) , = 那么就称f是A到B上的一个映射，也称f 是一个满射。根据定义有： f A B : 是满射 对 y B x A , 使得 f x y ( ) = 如果对于A中任意两个元素 1 x 2 x , 1 2 x x 就有 1 2 f x f x ( ) ( ), 则称f是A到B的一个单射。 和 只要 注意：证明中常用到单射的逆否命题： f是 A B 的单射 对 1 2 x x A , , 由 1 2 f x f x ( ) ( ) = 1 2 x x =
如果穊是单射又是满射,则称伪双射,或一一映射, 此时在逆映射 f:B→>A 用方和表示A和B的恒等映射,则有: f。j4=f,jB°f=f →,双射 等价于 八f=j,f°∫=j
如果f既是单射又是满射，则称f为双射，或一一映射， 此时f存在逆映射 1 f B A : − 用 A j 和 B j 表示A和B的恒等映射，则有： , A B f j f j f f = = f是双射 等价于 1 1 , A B f f j f f j − − = =
(二)数环和数域 令提出问题引入新课:整数集,有理数集,通过 加减乘除四则运算还仍然是整数有理数吗? 通过提问总结规律引入数环数域的定义 定义1设S是复数集C的一个非空子集如果对于 S中任意两个数ab来说,a+ba-bb都在S内, 那么就称S是一个数环(加、减、乘运算封闭) 显然上述问题中的整数集,有理数集都是数环 注意抓住共性:①S是非空数集 ②加、减、乘运算封闭
（二） 数环和数域 ❖ 提出问题引入新课：整数集，有理数集，通过 加减乘除四则运算还仍然是整数有理数吗？ ❖ 通过提问总结规律引入数环数域的定义 定义1 设S是复数集C的一个非空子集如果对于 S中任意两个数 a b, 来说， a b a b ab + − , , 那么就称S是一个数环（加、减、乘运算封闭） 都在S内， 显然上述问题中的整数集，有理数集都是数环。 注意抓住共性：①S是非空数集 ②加、减、乘运算封闭
例1验证S=Ⅷmhm∈z,湜是一取定整数}是一个数环(略) 例2验证S={a+bab∈z,2=-是一个数环。 定义2设F是一个数环,如果(i)F含有一个不等于 零的数;(ⅱ)如果a1b∈F,且b≠0,则称F是一个 数域 注意:数域的三个特性: (1)F必是数环; (2)F中存在非零元素; (3)除法(分母不为零时)封闭
例1 验证 S na n Z a = { , 是一取定整数}是一个数环（略） 例2 验证 2 S a bi a b Z i = + = − { , , 1} 是一个数环。 定义2 设F是一个数环，如果（i） F含有一个不等于 零的数；（ii）如果 a b F , , 且 b 0, 则称F是一个 数域。 注意：数域的三个特性： （1）F必是数环； （2）F中存在非零元素； （3）除法（分母不为零时）封闭