§43积分的极限定理 教学目的本节讨论关于积分号下取极限的性质,即取极限和求积分交 换顺序的定理.内容包括三个重要的定理以及一些推论 本节要点积分的极限定理有三个重要定理,即单调收敛定理, Fatou引 理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况.学习本节的内容应注意分 清各个定理的条件和结论 本节所有讨论都是在一给定的测度空间(x,,p)上进行的 定理I(Levi单调收敛定理)设∫,fn(n≥1)是非负可测函数,满足 f≤∫2≤…,ae.,并且n->f.则 imJ4=丁 证明由于在一个零测度集上改变一个函数的函数值不改变该函数的积分值,因此不 妨设设∫n≤fn1(n≥1),Jn→∫处处成立由积分的单调性得到 ∫,4≤ NiDus,n2l 因此 lim f,dp存在并且 imJ,4s∫ 下面证明相反的不等式对每个n≥1,由§31定理9,存在非负简单函数列{8nk}k使 得gnk个fn,(k→∞)令 max- > 则{gk}是非负简单函数列并且gk个.由于当k≥n时gnk≤Jn≤fk,故 ≤fk,k≥ 令k→∞得fn≤ lim g≤∫.再令n→∞得 lim g=∫.由积分的定义和(3),我们有 gad≤lim|fd 结合(2)得到(1) (一般情形,设A是一个零测度集使得当xgA时,∫n≤∫n1,J→f.令 f=fnx,f=n则f≤fm,Jn→∫处处成立由§42定理3和上面的证明
108 4.3 积分的极限定理 教学目的 本节讨论关于积分号下取极限的性质,即取极限和求积分交 换顺序的定理. 内容包括三个重要的定理以及一些推论. 本节要点 积分的极限定理有三个重要定理,即单调收敛定理, Fatou 引 理和控制收敛定理, 它们分别适用于不同的情况. 学习本节的内容应注意分 清各个定理的条件和结论. 本节所有讨论都是在一给定的测度空间(X , F ,µ) 上进行的. 定 理 1 (Levi 单调收敛定理 ) 设 f , f (n ≥ 1) n 是非负可测函数 , 满 足 , a.e. f1 ≤ f 2 ≤ L , 并且 . a.e. f f n → 则 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n (1) 证明 由于在一个零测度集上改变一个函数的函数值不改变该函数的积分值, 因此不 妨设设 f f n f f n ≤ n+1 ( ≥ 1), n → 处处成立. 由积分的单调性得到 ∫ ∫ ∫ ≤ + ≤ , ≥ 1. 1 f d f d fd n n µ n µ µ 因此 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在并且 ∫ ∫ ≤ →∞ lim f dµ fdµ . n n (2) 下面证明相反的不等式. 对每个 n ≥ 1, 由 3.1 定理.9, 存在非负简单函数列 , 1 { } gn k k≥ 使 得 , ( ). gn,k ↑ f n k → ∞ 令 max{ , }, k 1,k k ,k g = g Lg k ≥ 1. 则{ }k g 是非负简单函数列并且 . k ↑ g 由于当 k ≥ n 时 , n,k n k g ≤ f ≤ f 故 , . , g g f k n n k ≤ k ≤ k ≥ 3 令 k → ∞ 得 f lim g f . k k n ≤ ≤ →∞ 再令 n → ∞ 得 lim g f . k k = →∞ 由积分的定义和(3), 我们有 ∫ ∫ ∫ →∞ →∞ fdµ = lim g dµ ≤ lim f dµ. k k k k 结合(2)得到(1). ( 一般情形 , 设 A 是一个零测度集使得当 x ∉ A 时 , , . 1 f f f f n ≤ n+ n → 令 . ~, ~ c c n n A A f = f I f = fI 则 f f f f n n n ~ ~ , ~ ~ ≤ +1 → 处处成立. 由 4.2 定理 3 和上面的证明
得到 月→① ∫4=lm4== 推论2设∫,fn(n≥1)是可测函数,满足f≤f2≤…,ae,并且存在可积函数g, 使得fn≥g,ae.(n≥1).若∫n-°→f,则 lim f,du= fdA 证明由于存在可积函数g,使得n≥g,ae.(n≥1),因此f≥gae.由§4l.定 理7知道∫n和∫的积分存在.对非负可测函数列{fn-f}应用定理1,我们有 lim , du-gdu= lim (r-g) 由此得mn∫,4= 推论3(Lev单调收敛定理的级数形式)设{fn}是一列非负的可测函数则 /d=∑∫ 证明令gn=∑,n21,8=∑f.则0≤gn↑8.应用定理1得到 ∑/4=mJgd=mCJ4=∑J4 例1(积分对积分域的可数可加性设/的积分存在,{An}是一列互不相交的可测集则 证明由推论3,我们有 fdA ∑∫4=∑∫d n=1 类似地成立 f du 由于∫的积分存在,因此fd和fd至少有一个是有限的将(5)和(6)的 两端相加即得(4)■ 定理4( Fatou引理)设{fn}是一列非负可测函数则
109 得到 ∫ ∫ ∫ ∫ = = = →∞ →∞ . ~ ~ lim f dµ lim f n dµ fdµ fdµ n n n ) 推论 2 设 f , f (n ≥ 1) n 是可测函数, 满足 , a.e. f1 ≤ f 2 ≤ L , 并且存在可积函数 g, 使得 f ≥ g, a.e. (n ≥ 1). n 若 , a.e. f f n → 则 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n 证明 由于存在可积函数 g, 使得 f ≥ g, a.e. (n ≥ 1), n 因此 f ≥ g a.e. 由 4.1.定 理 7 知道 n f 和 f 的积分存在. 对非负可测函数列{ f f } n − 应用定理 1, 我们有 lim lim ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ − = − = − = − →∞ →∞ f dµ gdµ f n g dµ f g dµ fdµ gdµ n n n 由此得 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n 推论 3 (Levi 单调收敛定理的级数形式)设{ }n f 是一列非负的可测函数. 则 . 1 1 ∫∑ ∑∫ ∞ = ∞ = = n n n f n dµ f dµ 证明 令 , 1, . 1 1 ∑ ∑ ∞ = = = ≥ = i i n i n i g f n g f 则0 g g. n ↑ ≤ 应用定理 1 得到 ∫∑ ∫ ∑ ∑ ∫ ∫ = ∞ = →∞ ←∞ ∞ = = = = n i i i i n n n i i f d g d f d f d 1 1 1 µ lim µ lim µ µ. 例1 (积分对积分域的可数可加性)设f的积分存在, { } An 是一列互不相交的可测集. 则 . 1 1 ∫ ∑∫ ∞ = ∞ = = n A An n n f dµ f dµ U (4) 证明 由推论 3, 我们有 .. 1 1 1 1 ∫ ∫∑ ∑∫ ∑∫ ∞ = + ∞ = + ∞ = + + ∞ = = = = n A n A n A A n n n n n f dµ f I dµ f I dµ f dµ U (5) 类似地成立 . 1 1 ∫ ∑∫ ∞ = − − ∞ = = n A An n n f dµ f dµ U (6) 由于 f 的积分存在, 因此 f dµ n An ∫ ∞ = + U 1 和 f dµ n An ∫ ∞ = − U 1 至少有一个是有限的. 将(5)和(6)的 两端相加即得(4). 定理 4 (Fatou 引理)设{ }n f 是一列非负可测函数. 则
limf, d≤ limf,d n→0 证明对每个n2令gn=m则gn}是单调增加的并且 ≤gn≤fn, lim g= lim f由单调收敛定理得到 ∫imJ4=Jmg4=imJg, du slim∫ 推论5设{fn}是一列可测函数则 ()若存在一可积函数g使得fn≥g,ae.(n≥1)则 ∫ limf, du s lim∫fda (i)若存在一可积函数g使得f≤g,ae.(n≥1)则 lim ff d/≥lim|Jfnd 证明对函数列{n-g}应用定理4即得()再对函数列{-fn}应用()的结果并注 意到lm(-fn)=- .lim f,即得(i) 定理6(控制收敛定理)设∫,fn(n≥1)是可测函数,并且存在可积函数g使得 Jl≤gae(n21)若∫n→∫或∫n→f,则∫可积并且 fn du= fau 证明先证f>∫的情形由于f|≤gae(n21)故≤gae由于g可 积,由§41定理6知道∫和∫都可积.由 Fatou引理,我们有 「=∫ limf,du s lim∫ f,du s lim,dus间 n→ 因此m∫d存在并且(成立再证一→f的情形由§32定理6对{n}的任 一子列{fn}都存在其子列{n},使得∫n)∫(k→∞)由上面所证的结果有 i「fnd=「d 这蕴涵 i f,4存在并且(7成立 推论7(有界收敛定理)设{〃n}是有限测度空间上的可测函数列并且存在常数M 使得| sMae(n21).若fn)f或f→f,则∫可积并且 lim,du= fdu 证明由于有限测度空间上的常数函数是可积的,取g=M,由定理6即知推论成
110 limf dµ lim f dµ. n n n n ∫ ∫ →∞ →∞ ≤ 证 明 对每个 n ≥ 1, 令 inf . k k n n g f ≥ = 则 { }n g 是单调增加的并且 0 , n n ≤ g ≤ f lim lim . n n n n g f →∞ →∞ = 由单调收敛定理得到 lim lim lim lim . ∫ ∫ ∫ ∫ →∞ →∞ →∞ →∞ f dµ = g dµ = g dµ ≤ fndµ n n n n n n n 推论 5 设{ }n f 是一列可测函数. 则 (i).若存在一可积函数 g 使得 f ≥ g, a.e. (n ≥ 1). n 则 limf dµ lim f dµ. n n n n ∫ ∫ →∞ →∞ ≤ (ii).若存在一可积函数 g 使得 f ≤ g, a.e. (n ≥ 1). n 则 lim lim . ∫ ∫ →∞ →∞ f dµ ≥ f n dµ n n n 证明 对函数列{ f g} n − 应用定理 4 即得(i). 再对函数列{ }n − f 应用(i) 的结果并注 意到 n n n n f f →∞ →∞ lim(− ) = − lim 即得(ii). 定理 6 (控制收敛定理) 设 f , f (n ≥ 1) n 是可测函数, 并且存在可积函数 g 使得 f ≤ g a.e.(n ≥ 1). n 若 f f n →a.e. 或 f f , n →µ 则 f 可积并且 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n (7) 证明 先证 f f n →a.e. 的情形. 由于 f ≤ g a.e.(n ≥ 1). n 故 f ≤ g a.e..由于 g 可 积, 由 4.1.定理 6 知道 n f 和 f 都可积. 由 Fatou 引理, 我们有 lim lim lim . ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ≤ ≤ ≤ →∞ →∞ →∞ fdµ f dµ f dµ f n dµ fdµ n n n n n 因此 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在并且(7)成立. 再证 f f n →µ 的情形. 由 3.2 定理.6, 对{ }n f 的任 一子列{ } nk f 都存在其子列{ } nk f ′ , 使得 ( ). a.e. → ′ → ∞ ′ f f k nk 由上面所证的结果有 ∫ ∫ = ′ ′→∞ lim f dµ fdµ . k n k 这蕴涵 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在并且(7)成立. 推论 7 (有界收敛定理) 设{ }n f 是有限测度空间上的可测函数列,并且存在常数 M 使得 f ≤ M a.e.(n ≥ 1). n 若 f f n →a.e. 或 f f , n →µ 则 f 可积并且 ∫ ∫ = →∞ lim f dµ fdµ. n n 证明 由于有限测度空间上的常数函数是可积的, 取 g = M , 由定理 6 即知推论成
推论8设对每个固定的t∈[a,b],f(x,1)是X上的可测函数,又设f(x)是X上的 可测函数,使得limf(x,1)=f(x)ae.若存在X上的可积函数g使得 f(x,1)≤g(x) 则∫可积并且 「f(x,n)du(x)=「f(x)du(x) (这里为强调是对x的函数积分,将f(x,)4记为f(x)d(x)) 证明由(8)知道八|≤gae,因此∫可积设{n}是(ab)中的数列使得n,→la 由于lmf(x,D)=f(x)ae.,因此lmf(x,tn)=f(x)ae.又 (x,n)≤g(x)ae(n21) 由定理6得到 lim f(x, tn )du(x)=f(x)du(x) 这表明limf(x,1)d(x)存在并且(9)成立 例2(积分号下求导)设f(x,y)是定义在[a,b]×[c,d]上的函数,使得对每个 y∈[e,dl,f(x,y)是[a,b上的L可积函数对每个(x,y)∈[a,b]x[c,dl,fy(x,y) 存在,并且存在[a,b]上的L可积函数g(x),使得 f(, ysg(x),(x, y)E[a, b]x[c, 则函数1(y)=[f(x,y)d可导,并且成立 f(x,y)dx=f(x,y) (11) 证明对任意(x,y)∈[a,b]×[c,d],令 P(x, n) f(x,y+1)-f(x,y) 其中和≠0并且充分小,使得y+t∈cd]则对任意x∈lab有 lim(x, 1)=f(x, y) 由微分中值定理和(10.当x∈ab]并且充分小时,成p(x,)≤g(x) 因此由推论8,我们有 f(x, y)dx=lim]p(x, Idx=.f'(x,y)
111 立. 推论 8 设对每个固定的t ∈[a,b], f (x,t) 是 X 上的可测函数, 又设 f (x) 是 X 上的 可测函数, 使得lim ( , ) ( ) a.e.. 0 f x t f x t t = → 若存在 X 上的可积函数 g 使得 f (x,t) ≤ g(x) a.e., t ∈[a,b]. (8) 则 f 可积并且 ∫ ∫ = → lim ( , ) ( ) ( ) ( ). 0 f x t d x f x d x t t µ µ (9) (这里为强调是对 x 的函数积分, 将 ∫ f (x,t)dµ 记为 f (x,t)d (x) ∫ µ ). 证明 由(8)知道 f ≤ g a.e., 因此 f 可积. 设{ }nt 是 (a,b) 中的数列使得 . 0 t t n → 由于lim ( , ) ( ) a.e., 0 f x t f x t t = → 因此 lim f (x,t ) f (x) a.e.. n n = →∞ 又 f (x,t ) ≤ g(x) a.e.(n ≥ 1). n 由定理 6 得到 ∫ ∫ = →∞ lim f (x,t )d (x) f (x)d (x). n n µ µ 这表明lim ( , ) ( ) 0 f x t d x t t → ∫ µ 存在并且(9)成立. 例 2 (积分号下求导)设 f (x, y) 是定义在 [a,b]×[c, d] 上的函数, 使得对每个 y ∈[c,d], f (x⋅, y ) 是[a,b]上的 L 可积函数. 对每个 (x, y) ∈ [a,b]×[c,d], f (x, y) y ′ 存在, 并且存在[a,b]上的 L 可积函数 g(x), 使得 f (x, y) g(x), y ′ ≤ (x, y) ∈ [a,b]×[c, d]. (10) 则函数 ∫ = b a I( y) f (x, y)dx 可导, 并且成立 ( , ) ( , ) . ∫ ∫ = ′ b a y b a f x y dx f x y dx dy d (11) 证明 对任意(x, y) ∈ [a,b]×[c, d], 令 . ( , ) ( , ) ( , ) t f x y t f x y x t + − ϕ = 其中和t ≠ 0并且 t 充分小, 使得 y + t ∈[c,d]. 则对任意 x ∈[a,b], 有 lim ( , ) ( , ). 0 x t f x y y t = ′ → ϕ 由微分中值定理和(10), 当 x ∈[a,b] 并且 t 充分小时, 成 ϕ(x,t) ≤ g(x). 因此由推论 8, 我们有 ( , ) lim ( , ) ( , ) . 0 ∫ ∫ ∫ = = ′ → b a y b t a b a f x y dx x t dx f x y dx dy d ϕ
因此函数(y)=f(x,y)x可导,并且()成立■ 小结本节介绍了积分的极限定理.主要是三个重要定理,即单调收敛定理, Fatou 引理和控制收敛定理,它们分别适用于不同的情况.与关于 Riemann积分的相应结果比较, 本节所介绍的积分的极限定理的条件较少而且较容易验证,因此它们在理论推导和积分 计算方面有广泛的应用 习题习题四,第15题一第25题」
112 因此函数 ∫ = b a I( y) f (x, y)dx 可导, 并且(11)成立. . 小 结 本节介绍了积分的极限定理. 主要是三个重要定理, 即单调收敛定理, Fatou 引理和控制收敛定理, 它们分别适用于不同的情况.与关于 Riemann 积分的相应结果比较, 本节所介绍的积分的极限定理的条件较少而且较容易验证, 因此它们在理论推导和积分 计算方面有广泛的应用. 习 题 习题四, 第 15 题 第 25 题