§53绝对连续函数与不定积分 教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛顿 莱布尼兹公式 教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿-莱布尼兹公式 定义1设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数若对任意E>0,存在δ>0,使得对 a,b上的任意有限个互不相交的开区间{(a,b)}m,当∑(b1-a1)0,存在δ>0,使得对[a,b]中 的任意可测集A,当m(A)0,令6=元(M是 Lipschitz常数)则当∑(b-a,)<6时
154 5.3 绝对连续函数与不定积分 教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛顿 -莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式. 定义 1 设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 若对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{( , )} , 1 n ai bi i= 当∑ − 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]中 的任意可测集 A , 当 m(A) 0, 令 M ε δ = ( M 是 Lipschitz 常数). 则当∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时
∑/()-f(a,)≤M∑(b-a)0,使得对[a,b]上的任 意有限个互不相交的开区间{(a,b)m,当∑(b-a1)0,设是绝对连续函数定义中相应的正数现在设 {(a,b)是b]上的互不相交的开区间使得∑(b-a1)<.对每个=1…,n,设 x0)<x)<…<x(=b 是(an,b)的任一分割则{(x1,x)j=1…k,=1…,m是[ab]上的限个互不相
155 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − ≤ ∑ − 0, 使得对[a,b]上的任 意有限个互不相交的开区间 {( , )} , 1 n i i i a b = 当 ∑ − 0, 设δ 是绝对连续函数定义中相应的正数. 现在设 n i i i a b 1 {( , )} = 是[a,b]上的互不相交的开区间使得 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) . 对每个i = 1,L,n, 设 i i k i i i a x x x b i = < < < = ( ) ( ) 1 ( ) 0 L 是 ( , ) i i a b 的任一分割. 则{( , ), 1, , , 1, , } 1 x x j k i n i i j i j − = L = L 是[a,b] 上的限个互不相
交的开区间,并且这些小区间的长度之和 ∑∑(x-x)=∑(b-a1)< 由∫的绝对连续性得到 <E 对(a1,b)(i=1,…,n.)的所有分割取上确界得到 b 这表明V(是[a,b]上的绝对连续函数■ 定理5设∫是[a,b]上的 Lebesgue可积函数.则∫的不定积分 x)= 在[a,b]上几乎处处可导并且F(x)=f(x)ae 证明由例1知道F(x)是[a,b]上的绝对连续函数.因而由推论3知道F(x)在 a,b]上几乎处处可导.往证F(x)=f(x)ae先证明若是[a,b上的 Lebesgue可积 函数,则成立 ) slo(x)dx 事实上由于,9(O)m和o()都是单调增加的函数,51定理5我们有 广(o0)aso( p"(odt dxs o (x)dx 因此 o* (dx+o(x)dx=o(x)d
156 交的开区间, 并且这些小区间的长度之和 ( ) ( ) . 1 1 1 ( ) 1 ( ) ∑ ∑ ∑ − = − < δ = = = − n i n i i i k j i j i j x x b a i 由 f 的绝对连续性得到 ( , , ) ( ) ( ) . 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 0 ∑ = ∑∑ − < ε = = − = n i n j i j i j n i i n i i f i i V x x Lx f x f x 对( , ) i i a b (i = 1,L, n.)的所有分割取上确界得到 ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − = ∑ ≤ ε = = n i b a n i a a b a V f V f V f i i i i 这表明V ( f ) x a 是[a,b]上的绝对连续函数. 定理 5 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 F x f t dt C x a = + ∫ ( ) ( ) 在[a,b]上几乎处处可导并且 F′(x) = f (x) a.e.. 证明 由例 1 知道 F(x) 是[a,b] 上的绝对连续函数. 因而由推论 3 知道 F(x) 在 [a,b]上几乎处处可导. 往证 F′(x) = f (x) a.e..先证明若ϕ 是[a,b]上的 Lebesgue 可积 函数, 则成立 ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ ≤ ′ b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx (1) 事实上, 由于 ∫ + x a ϕ (t)dt 和 ∫ − x a ϕ (t)dt 都是单调增加的函数, 5.1 定理 5, 我们有 ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ + + ≤ ′ b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx ( ) ( ) . ∫ ∫ ∫ − − ≤ ′ b a b a x a ϕ t dt dx ϕ x dx 因此 ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ≤ + = ′ + ′ ≤ ′ + − + −+ b a b a b a b a x a b a x a b a x a x dx x dx x dx t dt dx t dt dx t dt dx ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
即(1)成立,由§45定理2,对任意E>0,存在[a,b]上的一个连续函数g,使得 -g0的任意性我们得到 f(1)dn-f(x)=0.因此 f()d-f(x)=0ae.此即F(x)=∫(x) 定理6设∫是[a,b]上的绝对连续函数,并且在[a,b上f(x)=0ae.则∫在 b]上恒为常数 证明先证明∫(a)=∫(b).对任意E>0,存在δ>0,使得对[a,b]上的任意有限 个互不相交的开区间{a,b),当∑(b-a)0,使得当y’∈(y-h,y+h)时
157 即(1)成立. 由 4.5 定理 2, 对任意 ε > 0, 存在 [a,b] 上的一个连续函数 g , 使得 − 0 的任意性我们得到 ( ) − ( ) = 0. ′ ∫ ∫ b a x a f t dt f x dx 因 此 ( ) − ( ) = 0 a.e.. ′ ∫ f t dt f x x a 此即 F′(x) = f (x) a.e.. . 定理 6 设 f 是[a,b] 上的绝对连续函数, 并且在 [a,b] 上 f ′(x) = 0 a.e. 则 f 在 [a,b]上恒为常数. 证明 先证明 f (a) = f (b). 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]上的任意有限 个互不相交的开区间{( , )} , 1 n i i i a b = 当∑ − 0, 使得当 y′∈ ( y − h, y + h)时
(y)-f()0的任意性得到∫(a)=f(b)对任意x∈[a,b],用[{a,x代替{a,b],同样可 以得到∫(x)=f(a).因此∫在[a,b上恒为常数■ 定理7(微积分基本定理)设∫(x)是定义在[a,b上的实值函数.则成立牛顿-莱布尼 兹公式 f(x)-f(a=Lf'(dt, xE[a, b 的充要条件是f(x)是绝对连续函数 证明由例1即知必要性成立.往证充分性.设∫(x)是绝对连续的.由推论3,∫在 [a,b]上几乎处处可导,并且厂是 Lebesgue可积的.令 p(x)=f(x)-/'(dt,xe[a,b 由定理5知道,在[a,b上φ(x)=0ae.根据定理6,(x)在[a,b]使恒为常数.因此
158 f ( y′) − f ( y) 0的任意性得到 f (a) = f (b). 对任意 x ∈[a, b], 用[a, x]代替[a,b], 同样可 以得到 f (x) = f (a).因此 f 在[a,b]上恒为常数. 定理 7 (微积分基本定理)设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 则成立牛顿-莱布尼 兹公式 f (x) f (a) f (t)dt, x [a,b] x a − = ′ ∈ ∫ (2) 的充要条件是 f (x) 是绝对连续函数. 证明 由例 1 即知必要性成立. 往证充分性. 设 f (x) 是绝对连续的. 由推论 3, f 在 [a,b]上几乎处处可导, 并且 f ′是 Lebesgue 可积的. 令 ( ) ( ) ( ) , ∫ = − ′ x a ϕ x f x f t dt x ∈[a, b]. (4) 由定理 5 知道, 在[a,b]上ϕ′(x) = 0 a.e.. 根据定理 6, ϕ(x) 在[a,b]使恒为常数. 因此
qp(x)=p(a)=f(a).代入(4)即得(2)■ 推论8(分部积分公式)设∫,g是a,b上的绝对连续函数则成立 (5) 证明容易知道是[a,b上的绝对连续函数.利用定理7,我们有 f(b)g(b)-f(a)g(a)=(g)dx=[fg 'dx+gf'dx 由此即得(5).推论证毕 小结由于绝对连续函数的引进,微积分基本定理成功地推广到 Lebesgue积分.这 使得 Lebesgue积分理论更加完善,同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证 习题习题五,第15题一第30题 159
159 ϕ(x) = ϕ(a) = f (a). 代入(4)即得(2). 推论 8 (分部积分公式)设 f , g 是[a,b]上的绝对连续函数. 则成立 . ∫ ∫ ′ = − ′ b a b a b a fg dx fg gf dx (5) 证明 容易知道 fg 是[a,b]上的绝对连续函数. 利用定理 7, 我们有 f (b)g(b) f (a)g(a) ( fg) dx fg dx g f dx. b a b a b ∫a ∫ ∫ − = ′ = ′ + ′ 由此即得(5). 推论证毕. 小 结 由于绝对连续函数的引进, 微积分基本定理成功地推广到 Lebesgue 积分. 这 使得 Lebesgue 积分理论更加完善, 同时这也是新的积分理论成功的一个有力例证. 习 题 习题五, 第 15 题 第 30 题
