第七章欧氏空间 、教学目标 熟练掌握向量的内积,夹角,长度,距离概念 2.掌握 Schwarz不等式及应用; 3.理解标准正交基的概念,求法及应用,了解子空间正 补的概念及应用; 4.理解正交变换,正交矩阵的概念、性质及关系; 5.理解对称变换的概念,性质及其与对称矩阵的关系。熟 练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。 、重点: 内积,欧氏空间,正交,标准正交组,标准正交基, 正交变换,对称变换。 难点:正交变换,对称变换 四、课时:20学时
第七章 欧氏空间 一、教学目标 1．熟练掌握向量的内积，夹角，长度，距离概念； 2．掌握Schwarz不等式及应用； 3．理解标准正交基的概念，求法及应用，了解子空间正交 补的概念及应用； 4．理解正交变换，正交矩阵的概念、性质及关系； 5．理解对称变换的概念，性质及其与对称矩阵的关系。熟 练掌握对称矩阵化为对角阵的正交化方法。 二、重点： 内积，欧氏空间，正交，标准正交组，标准正交基， 正交变换，对称变换。 三、难点：正交变换，对称变换。 四、课时： 20学时
§7.1向量的内积 定义1设V是R上一个向量空间,如果∨、n∈V 有一个确定的实数记作与它对应,并且 满足 1)5>2)5+1,>+4)当2≠日时,>0; 这里点、小是中任意向量、如∈R则叫向量 点与n的内积,而V叫做对这个内积来说的一个 欧氏空间,记作(V、)
§７．１向量的内积 定义1 设V是R上一个向量空间，如果 、 V. 有一个确定的实数记作 . 与它对应，并且 满足： １） 、 =、 ; ２） + = + , , , ３） = a a , , ; ４） 当 时， , 0; 这里 、 、 是V a R 中任意向量、 , , 则 叫向量 与 的内积，而V叫做对这个内积来说的一个 欧氏空间，记作 (V、 • , • )
说明:①定义中的1)—4)称为内积公理。 ②这里把内积的符号记为<>主要是与Ⅳ3 中内积相区别,也就是说是对实数域上 的所有向量空间通用的符号。 ③今后,谈到欧氏空间R,如无特殊情况, 它的内积为:=∑xny k=1
说明：①定义中的 1）——4）称为内积公理。 ②这里把内积的符号记为 , 主要是与 V3 中内积相区别，也就是说 , 是对实数域上 的所有向量空间通用的符号。 ③今后，谈到欧氏空间 n R ，如无特殊情况， 它的内积为： 1 , n n n k x y = =
内积的性质: (1)V5∈V,有=0 (2)如果∈,有035=0 特别地,若=0→5=0 (3)V,n,δ∈V,∈R有 +;= (4)V51…5r,n…n∈V;Va1…an,b1…bn∈R 有: 1〓1 ∑∑ i=1j=1
内积的性质： （1） V ，有 ，0 = 0 （2）如果 V ，有 ， = 0 = 0 特别地，若 , = 0 = 0 （3） ,, V,aR 有 , + = , + , ； ,a = a, （4） 1 r ,1 n V； a1 ar ,b1 bn R = = = = = n j r i n j i j j i j i j r i ： ai b a b 1 1 1 1 有 , ,
定义2设5∈V,则的长度引为 说明:①向量的长度是零,非零向量的长度是正数 5|=l7 ③长度是1的向量,称为单位向量。即 引=1则为单位向量 ④任一非零向量ξ,都可以化为单位向量 事实上:5≠0,则0=即为单位向量
定义2 设 V，则的长度 为： = 〈，〉 ① 向量的长度是零,非零向量的长度是正数 ② a = a ③ 长度是1的向量，称为单位向量。即 =1则 为单位向量 ④ 任一非零向量 ，都可以化为单位向量 事实上： 0,则 = 即为单位向量 说明：
定理1在欧氏空间中,V,n∈V,有 2≤……(1) 当且仅当与与n线性相关,等式成立 说明:①在R"中取5=(a1…an)7=(b1…bn)∈R 则=ab+…+abn,由定理1得: (a1b1+…+anbn)2≤(a1+…an(b12+…bn2) 这正是大家熟知的 Cauchy(柯西)不等式
定理1 在欧氏空间中， ， V ，有： , , (1) ， 2 当且仅当 与 线性相关，等式成立。 ① , ( ), ( ) . 1 1 n n n n 在R 中 取 = a a = b b R , , 1 1 n n 则 = a b ++ a b 由定理1得： ( ) ( )( ) 2 2 1 2 2 1 2 1 1 n n n n a b ++ a b a +a b +b 这正是大家熟知的Cauchy（柯西）不等式。 说明：
在CIa,b中,f,g∈C[a,b],规定 =gx则∫"dh 这也是大家熟知的 Schwarz(施瓦兹)不等式 因此我们也把不等式(1)叫 Cauchy Schwarz不等式 ②v,n∈V,则 5+m+,当与n正交时,等式成立 称为内积勾股定理
因此我们也把不等式（１）叫Cauchy －Shwarz不等式。 在 C a b [ , ] 中， f , g C[a,b] ，规定 , b a = f g fgdx 则 2 2 b b b a a a fgdx f dx g dx 这也是大家熟知的Shwarz(施瓦兹)不等式。 ② , V,则： + + ，当 与 正交时，等式成立。 称为内积勾股定理
定义3设5,7是欧氏空间V的两个非零向量 2与n的夹角为0定义:cos 2x5,5×=k 1 <1 这样定义是符合意义的,且和7的夹角0 是唯一确定的(在[0,x1上)
设 , 是欧氏空间 V 的两个非零向量. 与 的夹角为θ.定义: = , cos 说明: ① ∵ 2 2 2 . , , = ∴ 1 , 1 − ∴这样定义是符合意义的, 且 和 的夹角θ 是唯一确定的 (在[0,]上) 定义3
cos= 5, 则: 6= arccos ③当O=时,cosO=0即=0称与n正交 补充定义:零向量与任意向量均正交 推广:在欧氏空间中,与向量m…m, 中每个向量正交则n1…n的任意线性组 合也正交即=03=0
② 由 = , cos 则: = , arccos ③ 当 ,cos 0. , 0 . 2 时 即 称与正交 = = = 补充定义: 零向量与任意向量均正交. 推广：在欧氏空间中， 与向量n 中每个向量正交.则 与1 的任意线性组 合也正交.即 , 0 , 0 1 = = = n i i ai i
定义4在欧氏空间V中.v,∈V则均与n 的距离d(,m)=k-m 说明:①7的距离实际是-的长度 ②距离的性质 (i)正定性:当≠付时,d(4,)>0 ()对称性:d(5,)=a(,5 )三角不等式(5,17)≤(5,5)+(与,) 称()、(i)、i)为距离公理 (ⅲ)在解析几何中的意义是:三角形两边 之和大于第三边
定义4 在欧氏空间 V 中. , , V 则与 的距离 d(,) = − 说明：① 与 的距离实际是 − 的长度. ② 距离的性质: （i）正定性：当 时,d(,) 0 : (ii) 对称性： d(,) = d(, ); (iii) 三角不等式： d(,) d(, ) + d( ,). 称(i)、(ii)、(iii)为距离公理。 （iii）在解析几何中的意义是：三角形两边 之和大于第三边