第四章积分 在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann积分.在处理连续函数或者逐段连续函数 时,在计算一些几何和物理的量时它是很有用的.但它也存在一些缺陷.例如, Riemann积 分对被积函数的要求较高,它要求被积函数“基本上”是连续的(其确切含义将在§44 讨论),在处理极限与积分交换次序时,需要对函数列加上一致收敛性的条件等由于这些 缺陷,使得 Riemann积分在处理分析数学中的一些问题时显得不够有力.因此需要建立 新的积分的理论二十世纪初, Lebesgue建立了一种新的积分理论.新的积分理论消除了 上述缺陷,并且包含了原有的 Riemann积分理论这就是本章将要介绍的 Lebesgue积分 理论 由于现代数学的许多分支如概率论,泛函分析,群上调和分析等越来越多的用到一 般空间上的测度与积分理论,因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论.前几章我们 已经为介绍新的积分理论作了必有的准备.本章将定义测度空间上可测函数的积分,讨论 积分的性质, Lebesgue积分与 Riemann积分的关系,可积函数的逼近性质,以及重积分交 换积分顺序的性质等 §4.1积分的定义 教学目的由于理论和应用的需要,需要建立新的积分理论本节在抽象测 度空间上定义可测函数的积分,并简单讨论可积条件 本节要点定义积分的过程分三个步骤,逐步定义非负简单函数,非负可 测函数和一般可测函数的积分.其中第一,二个步骤要验证定义的合理性本 节介绍的积分是在一般测度空间上的, Lebesgue积分是其特例 设(X,分,)为一测度空间我们通过三个步骤定义可测函数的积分 L.非负简单函数的积分 定义1设∫=∑4,4是一非负简单函数定义∫关于测度的积分为 =∑a1(4) 在不引起混淆的情况下,和可简记为fd
96 第四章 积 分 在数学分析课程中我们已经熟悉 Riemann 积分. 在处理连续函数或者逐段连续函数 时, 在计算一些几何和物理的量时它是很有用的. 但它也存在一些缺陷. 例如, Riemann 积 分对被积函数的要求较高, 它要求被积函数 基本上 是连续的(其确切含义将在 4.4 讨论), 在处理极限与积分交换次序时, 需要对函数列加上一致收敛性的条件等. 由于这些 缺陷, 使得 Riemann 积分在处理分析数学中的一些问题时显得不够有力. 因此需要建立 新的积分的理论. 二十世纪初, Lebesgue 建立了一种新的积分理论. 新的积分理论消除了 上述缺陷, 并且包含了原有的 Riemann 积分理论. 这就是本章将要介绍的 Lebesgue 积分 理论. 由于现代数学的许多分支如概率论, 泛函分析, 群上调和分析等越来越多的用到一 般空间上的测度与积分理论, 因此我们将在一般的测度空间上介绍积分理论. 前几章我们 已经为介绍新的积分理论作了必有的准备. 本章将定义测度空间上可测函数的积分, 讨论 积分的性质, Lebesgue 积分与 Riemann 积分的关系, 可积函数的逼近性质, 以及重积分交 换积分顺序的性质等. 4.1 积分的定义 教学目的 由于理论和应用的需要, 需要建立新的积分理论.本节在抽象测 度空间上定义可测函数的积分, 并简单讨论可积条件. 本节要点 定义积分的过程分三个步骤, 逐步定义非负简单函数, 非负可 测函数和一般可测函数的积分. 其中第一, 二个步骤要验证定义的合理性. 本 节介绍的积分是在一般测度空间上的, Lebesgue 积分是其特例. 设(X , F ,µ) 为一测度空间. 我们通过三个步骤定义可测函数的积分. I. 非负简单函数的积分 定义 1 设 ∑= = n i i Ai f a I 1 是一非负简单函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫X fdµ = ( ). 1 ∑= n i aiµ Ai 在不引起混淆的情况下, ∫X fdµ 可简记为 ∫ fdµ
由定义知道这里|d≥0.一般情况下可能为+∞ 在上述定义中,fa的值是确定的,即不依赖于∫的表达式的选取事实上,设 ∫=∑b,l2,是∫的另一表达式注意到X=U4=∪B,并且当当A⌒B≠②时 必有a1=by,我们有 a(A)=∑∑a,(4∩B)=∑∑bA(A∩B1)=∑b,(B) 这表明的∫值不依赖于厂的表达式的选取 上面定义的非负简单函数的积分,在 Lebesgue测度空间的情形有明显的几何意义 例如若∫=∑a1为[a,b上的非负阶梯函数,其中J1,Jn为[ab]上的互不相交的 子区间,则 am(1)=∑aJ 恰好是函数∫的下方图形{(x,y):a≤x≤b,0≤y≤f(x)}的面积(见图4-1).若 ∫=∑a,L是上一般的非负简单函数,其中J…J是[ab上互不相交的L可 测集则[nm也可以想象为某个平面图形的面积借助于非负简单函数的几何意义 读者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释 y↑ a2 JI J2 J3 J4 b
97 由定义知道这里 ≥ 0. ∫ fdµ 一般情况下 ∫ fdµ 可能为 + ∞. 在上述定义中, ∫ fdµ 的值是确定的, 即不依赖于 f 的表达式的选取. 事实上, 设 ∑= = m j j Bj f b I 1 是 f 的另一表达式. 注意到 , 1 1 U U m j j n i X Ai B = = = = 并且当当 Ai ∩ Bj ≠ ∅ 时 必有 , i j a = b 我们有 ∑ ∑∑ = == = ∩ n i n i m j i i i Ai Bj a A a 1 11 µ( ) µ( ) ∑∑= = = ∩ m j n i i Ai Bj b 1 1 µ( ) ( ). 1 j m j ∑bj B = = µ 这表明的 ∫ fdµ 值不依赖于 f 的表达式的选取. 上面定义的非负简单函数的积分, 在 Lebesgue 测度空间的情形有明显的几何意义. 例如, 若 i J n i i f ∑a I = = 1 为[a,b]上的非负阶梯函数, 其中 n J ,, J 1 为[a,b]上的互不相交的 子区间, 则 ∫ ∑ ∑ = = = = n i i i n i i i a b fdm a m J a J 1 1 [ , ] ( ) 恰好是函数 f 的下方图形 {(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)} 的面积(见图 4 1). 若 i J n i i f ∑a I = = 1 是[a,b]上一般的非负简单函数, 其中 n J ,LJ 1 是[a,b]上互不相交的 L 可 测集, 则 ∫[a,b] fdm 也可以想象为某个平面图形的面积. 借助于非负简单函数的几何意义, 读者可以自己作出下面将要定义的非负可测函数和一般可测函数积分的几何解释. 图 4 1 x y O 5 a 1 a 2 a 3 a 4 a 2 J 3 J 1 J 5 J 4 J f (x) a b
当然在一般测度空间的情形,积分∫无几何意义可言但仍可以看成是一种加权 和,而 ()a则可以看成是∫在X上的一种平均值 例1设A是一可测集,则A的特征函数A是非负简单函数因此 1:d=1.p(A)=H(A) 这个简单事实以后会经常用到 为进一步定义可测函数的积分,我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质 定理2设∫,g是非负简单函数则 ()[cf=c,(c20是实数 (ii). (+g)du= fdu+ gdu i)若∫gae,则Ms」sd (iv)若g,Jn(m≥1)是非负简单函数,满足∫n≤fn1(n≥1),并且 imnf()2g(x)处处成立则im42」m 证明(i).是显然的.(i) g=∑b,ln 不妨设x=∪4=∪B,则∫,8可以写成 故不妨设∫=∑aJEg=∑bE于是 (f +g)du= ∑(an +b)(E)=∑a.H(E)+∑bH(E)=m+」gd (i)不妨设∫=∑a4,8=∑bl4由于∫≤gae,因此对任意=1…n 当(A1)>0时,a1≤b,所以
98 当然在一般测度空间的情形, 积分 ∫ fdµ 无几何意义可言. 但仍可以看成是一种加权 和, 而 ∫ µ µ fd (X ) 1 则可以看成是 f 在 X 上的一种平均值. 例 1 设 A 是一可测集, 则 A 的特征函数 A I 是非负简单函数. 因此 ∫ I d = 1⋅ (A) = (A). A µ µ µ 这个简单事实以后会经常用到. 为进一步定义可测函数的积分, 我们需要先证明非负简单函数积分的几个简单性质. 定理 2 设 f , g 是非负简单函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii).若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . (iv). 若 g, f (n ≥ 1) n 是非负简单函数 , 满 足 ( 1) f n ≤ f n+1 n ≥ , 并 且 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ 处处成立, 则 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim . 证明 (i).是显然的. (ii).设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = m j j Bj g b I 不妨设 . 1 1 U U m j j n i X Ai B = = = = 则 f , g 可以写成 , 1 1 ∑∑= = = ∩ n i m j i Ai Bj f a I . 1 1 ∑∑= = = ∩ m j n i j Ai Bj g b I 故不妨设 ∑= = n i i Ei f a I 1 ∑= = n i i Ei g b I 1 于是 ∫ ∑ ∑ ∑ ∫ ∫ + = + = + = + = = = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .. 1 1 1 f g dµ a b µ E a µ E b µ E fdµ gdµ n i i i n i i i n i i i i (iii).不妨设 ∑= = n i i Ai f a I 1 , . 1 ∑= = n i i Ai g b I 由于 f ≤ g a.e., 因此对任意 i = 1,L, n, 当 ( ) > 0 µ Ai 时, , i i a ≤ b 所以
∫=∑(4)=∑b(4)=Jsd )由于{}是单调增加的由(1)知道∫,4是单调增加的故极限imJf, 存在设g=∑b4又设E是任意给定的,满足0<E<1.对每个=1…,k和自然数 ≥1,令 An={x∈A:fn(x)≥(1-E)b} 则对每个i=1,…,k,{An}是单调增加的可测集列并且由于limJ(x)≥g(x),我们 有4=U4n对每个自然数n≥1令 E 则{8n}是非负简单函数列满足gn≤fn,n≥1.由(i)和测度的下连续性,我们得到 inJ42lmng4=lm∑(-(A) =∑(-6(4)=(-8)d 由于E是任意的,我们得到 lim f,dp2gd■ 引理3设∫是一非负可测函数,{n}是一非负简单函数列并且fn个f.则有 imJ,4=spg∈S,并且gs (其中S+表示非负简单函数的全体) 证明显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边反过来设g是非负简 单函数并且g≤∫.由于imn=f≥g,由定理2必有!m,d28dm因此 imJ42 sup( gd,:g∈S,并且gsf 所以(1)成立 I.非负可测函数积分 定义414设∫是一非负可测函数定义∫关于测度的积分为
99 ( ) ( ) . 1 1 µ µ µ µ ∫ ∑ ∑ ∫ = = = ≤ = n i i i n i i i fd a A b A gd (iv).由于{ }n f 是单调增加的,由(iii) 知道 ∫ f n dµ 是单调增加的,故极限 ∫ →∞ f n dµ n lim 存在.设 . 1 ∑= = k i i Ai g b I 又设ε 是任意给定的, 满足 0 < ε < 1. 对每个 i = 1,L, k 和自然数 n ≥ 1, 令 { : ( ) (1 ) }. i,n i n i A = x ∈ A f x ≥ − ε b 则对每个i = 1,L, k, , 1 { } Ai n n≥ 是单调增加的可测集列,并且由于 lim f (x) g(x) n n ≥ →∞ , 我们 有 . 1 U , ∞ = = n Ai Ai n 对每个自然数 n ≥ 1, 令 (1 ) . , 1 Ai n i k i n g ∑ b I = = − ε 则{ }n g 是非负简单函数列满足 g ≤ f ,n ≥ 1. n n .由(iii) 和测度的下连续性, 我们得到 (1 ) ( ) (1 ) .. lim lim lim (1 ) ( ) 1 , 1 ∑ ∫ ∫ ∫ ∑ = − = − ≥ = − = = →∞ →∞ →∞ ε µ ε µ µ µ ε µ b A gd f d g d b A i i k i i i n k i n n n n n 由于ε 是任意的, 我们得到 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim . 引理 3 设 f 是一非负可测函数,{ }n f 是一非负简单函数列并且 f f . n ↑ 则有 lim sup{ : , }. ∫ ∫ = ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 (1) (其中 + S 表示非负简单函数的全体). 证明 显然(1)式左边的极限存在并且小于或等于(1)式的右边.反过来,设 g 是非负简 单函数并且 g ≤ f . 由于 lim f f g, n n = ≥ →∞ 由定理 2,必有 ∫ ∫ ≥ →∞ f n dµ gdµ n lim .因此 lim sup{ : , }. ∫ ∫ ≥ ∈ ≤ + →∞ f d gd g S g f n n µ µ 并且 所以(1)成立. II. 非负可测函数积分 定义 4.1.4 设 f 是一非负可测函数.定义 f 关于测度 µ 的积分为
∫=m∫f,4 其中{fn}是非负简单函数列并且∫n↑∫. 由§3定理9上述的{m}是存在的又有引理3,Jd的值不依赖于{m}的选取 因此的定义是确定的而且我们也可以用()的右边作为∫的定义这两种定 义式等价的 定理5设∫,g是非负可测函数则 ()Jc=g,(c20是实数 )j(+g)d-J+ i)若f≤gae,则fSgd 证明()和(i)是显然的.下面证明(i).设{n}和{gn}是非负简单函数列使得 fn↑∫,8n↑8.由于∫≤gae,我们可适当选取{fn}和{gn}使得 fn≤gn,ae.,n≥1.于是由定理2(i),我们有 ∫a=lm∫,du s lim g,48d 故(i)成立■ Il一般可测函数的积分 定义6设∫是一可测函数,f和厂分别是∫的正部和负部若d和 ∫d至少有一个是有限的,则称∫的积分存在,并定义厂关于测度的积分为 f au=lfdu-If dA 当∫fd和fd都是有限值时称∫是可积的设EcX是一可测集,厂是定义在E 上的可测函数,若f的积分存在(或可积,则称∫在E上的积分存在(相应地,可积)并 定义∫在E上的积分为 M=」mE 测度空间(X,,)上的可积函数的全体记为L(X,,4)或者简记为L(4) 注1注意∫的积分存在与∫可积之间的区别当∫的积分存在的时候,其积分值可 能是有限的,也可能为±∞.只有当∫可积的时候,其积分值才是有限的另外非负可测
100 ∫ ∫ →∞ fdµ = lim f dµ. n n 其中{ }n f 是非负简单函数列并且 f f . n ↑ 由 3.1 定理 9, 上述的{ }n f 是存在的.又有引理 3,∫ fdµ 的值不依赖于{ }n f 的选取. 因此 ∫ fdµ 的定义是确定的.而且我们也可以用(1)式的右边作为 ∫ fdµ 的定义. 这两种定 义式等价的. 定理 5 设 f , g 是非负可测函数. 则 (i). ∫ ∫ c fdµ = c fdµ , ( c ≥ 0 是实数). (ii). ∫ ∫ ∫ ( f + g)dµ = fdµ + gdµ. (iii). 若 f ≤ g a.e., 则 ∫ ∫ fdµ ≤ gdµ . 证明 (i) 和 (ii) 是显然的. 下面证明 (iii) . 设{ }n f 和{ }n g 是非负简单函数列使得 f f , n ↑ g g. n ↑ 由 于 f ≤ g a.e., 我们可适当选取 { }n f 和 { }n g 使 得 f ≤ g , a.e., n ≥ 1. n n 于是由定理 2 (iii), 我们有 ∫ ∫ ∫ ∫ = ≤ = →∞ fdµ lim f dµ lim g dµ gdµ . n n n n 故(iii) 成立. III. 一般可测函数的积分 定义 6 设 f 是一可测函数, + f 和 − f 分别是 f 的正部和负部.若 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 至少有一个是有限的, 则称 f 的积分存在, 并定义 f 关于测度 µ 的积分为 ∫ ∫ ∫ + − fdµ = f dµ − f dµ. 当 µ ∫ + f d 和 ∫ − f dµ 都是有限值时,称 f 是可积的.设 E ⊂ X 是一可测集, f 是定义在 E 上的可测函数. 若 E fI 的积分存在(或可积), 则称 f 在 E 上的积分存在(相应地,可积). 并 定义 f 在 E 上的积分为 ∫ = E fdµ ∫ fI E dµ . 测度空间(X , F ,µ) 上的可积函数的全体记为 L(X , F ,µ) 或者简记为 L(µ). 注 1 注意 f 的积分存在与 f 可积之间的区别. 当 f 的积分存在的时候, 其积分值可 能是有限的, 也可能为 ± ∞. 只有当 f 可积的时候, 其积分值才是有限的. 另外非负可测
函数的积分总是存在的,但积分值可能为+∞.之所以允许积分值为±∞,是因为这样处 理有时会带来一些方便.例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些 注2在上述定义中,丌g的意义是明显的.它表示 f(x)若x∈E, (x) 0 若x∈E 显然,若∫是可测集E上的可测函数,则g是全空间X上的可测函数 注3设E∈X是一可测集,∫是E上的可测函数由§3.1注1知道∫可以视为可 测空间(E,E)上的可测函数.容易知道,∫在X的可测子集E上的积分等于将∫视为 (E,E,4)上的可测函数时,∫在全空间E上的积分.因此在讨论积分的性质的时候,不 妨只考虑在全空间上积分的情形.所有结果对可测子集上的积分都成立 当测度空间(X,分,p)取为 Lebesgue测度空间(R",M(R"),m)时,相应的积分称 为 Lebesgue积分∫在L可测集E上的L积分记为fdr.设EcR是L可测集,E 上的L可积函数的全体记为L(E).又设F是一单调增加的右连续函数,F是由F导出 的 Lebesgue-Stieltjes测度.则称测度空间(R,,H)上的积分为关于F的 Lebesgue Stieltjes积分,定义6中定义的一般测度空间上的积分可以称为抽象 Lebesgue积分 以后 Lebesgue积分简称为L积分, Lebesgue-Stieltjes积分简称为L-S积分 个自然的问题是,R"上的 Lebesgue积分与我们熟悉的 Riemann积分有什么联系和 区别?在§44中我们将详细考察 Riemann积分与 Lebesgue积分的关系这里只考虑一个 简单的例子.设D(x)是区间[O,上的 Dirichlet函数.即D(x)=lo(x),其中Q表示 [O,1中的有理数的全体则由例1知道 Ddx= Io dr=m(2o)=0 0,1 即D(x)在[0,1上是 Lebesgue可积的并且积分值为零.但我们知道D(x)在[0,1]上不是 Riemann可积的 关于积分的性质在后面几节将系统讨论下面只给出关于函数可积性的几个结果 定理7设∫,g是可测函数 (i)若g可积,并且∫≤gae.或者f∫≥gae,则∫的积分存在 ()若g可积并且/≤gae,则∫可积
101 函数的积分总是存在的, 但积分值可能为 + ∞. 之所以允许积分值为 ± ∞, 是因为这样处 理有时会带来一些方便. 例如可以使得某些定理的条件叙述得更简明一些. 注 2 在上述定义中, E fI 的意义是明显的. 它表示 ∉ ∈ = 0 . ( ) , ( ) x E f x x E fI x E 若 若 显然, 若 f 是可测集 E 上的可测函数, 则 E fI 是全空间 X 上的可测函数. 注 3 设 E ⊂ X 是一可测集, f 是 E 上的可测函数. 由 3.1 注 1 知道 f 可以视为可 测空间 ( , ) E FE 上的可测函数. 容易知道, f 在 X 的可测子集 E 上的积分等于将 f 视为 ( , ,µ) E FE 上的可测函数时, f 在全空间 E 上的积分. 因此在讨论积分的性质的时候, 不 妨只考虑在全空间上积分的情形. 所有结果对可测子集上的积分都成立. 当测度空间(X , F ,µ) 取为 Lebesgue 测度空间( , ( ), m) n n R M R 时,相应的积分称 为 Lebesgue 积分. f 在 L 可测集 E 上的 L 积分记为 . ∫E f dx 设 E ⊂ n R 是 L 可测集, E 上的 L 可积函数的全体记为 L(E). 又设 F 是一单调增加的右连续函数, µ F 是由 F 导出 的 Lebesgue-Stieltjes 测度. 则称测度空间( , , ) 1 µ F ∗ R R 上的积分为关于 F 的 LebesgueStieltjes 积分, 定义 6 中定义的一般测度空间上的积分可以称为抽象 Lebesgue 积分. 以后 Lebesgue 积分简称为 L 积分, Lebesgue-Stieltjes 积分简称为 L-S 积分. 一个自然的问题是, n R 上的 Lebesgue 积分与我们熟悉的 Riemann 积分有什么联系和 区别? 在 4.4 中我们将详细考察 Riemann 积分与 Lebesgue 积分的关系.这里只考虑一个 简单的例子. 设 D(x) 是区间[0, 1]上的 Dirichlet 函数. 即 ( ) ( ), 0 D x I x = Q 其中Q0 表示 [0, 1]中的有理数的全体. 则由例 1 知道 ( ) 0. 0 [0,1] 0 [0,1] = = = ∫ Ddx ∫ I Q dx m Q 即 D(x) 在[0, 1]上是 Lebesgue 可积的并且积分值为零. 但我们知道 D(x) 在[0, 1]上不是 Riemann 可积的. 关于积分的性质,在后面几节将系统讨论.下面只给出关于函数可积性的几个结果. 定理 7 设 f , g 是可测函数. (i).若 g 可积, 并且 f ≤ g a.e.或者 f ≥ g a.e., 则 f 的积分存在. (ii).若 g 可积, 并且 f ≤ g a.e., 则 f 可积
(i)若(x)∞).由积分的定义,我们有 fdu= lim f, du=lim 2a,u((i))=lim 这表明正项级数可以表示成一个积分.一般地,若任意项级数∑a绝对收敛则∑a可
102 (iii).若 µ(X ) < +∞, f ≤ M < +∞ a.e., 则 f 可积. 即有界测度空间上的有界可 测函数必可积. 证明 (i).设 f ≤ g a.e. 则 a.e. + + f ≤ g . 由于 g 可积, 因此 . ∫ < +∞ + g dµ 于是由 定理 5 (iii) 得到 . ∫ ∫ ≤ < +∞ + + f dµ g dµ 因此 f 的积分存在. 类似可以证明若 f ≥ g a.e., 则 f 的积分存在. (ii).若 f ≤ g a.e., 则 f ≤ g a.e. + 并且 f ≤ g a.e. − 由于 g 可积, 因此 ∫ + g dµ 和 ∫ − g dµ 都是有限的.由定理 5 (iii) 知道 ∫ + f dµ 和 ∫ − f dµ 都是有限值的. 因此 f 可积. (iii).若 µ(X ) < +∞, 则常数函数 g = M 可积. 由(ii) 即知 f 可积. 例 2 设 ≥ < = 1. 0 1 ( ) 2 x x x F x 若 若 又设 ( ) . ( ,1) {1} (1,2] f x = aI + bI + cI −∞ 其中 a,b,c ≥ 0. 计算 L-S 积分 ∫(0,+∞) . F fdµ 解 注意到 (0, ) (0,1) {1} (1,2] fI = aI + bI + cI +∞ 是非负简单函数. 由积分的定义得到 ((0, 1)) ({1}) ((1, 2]). ∫( 0,+∞) F = a F + b F + F fdµ µ µ µ 不难算出 ((0,1)) = 0, ({1}) = 1, ((1,2]) = 3. µ F µ F µ F 所以 ∫ +∞ = + (0, ) fd b 3c. µ F 例 3 设 ∑ ∞ i=1 ai 是一个正项级数. 对任意i ≥ 1, 令 ( ) .i f i = a 则 f 是自然数集的计数 测度空间 (N,P (N),µ) 上的非负可测函数. 对每个 n ≥ 1, 令 . 1 ∑ { } = = n i n i i f a I 则{ }n f 是 非负简单函数列并且处处成立 f → f (n → ∞). n 由积分的定义, 我们有 lim lim ({ }) lim . 1 1 1 ∫ ∫ ∑ ∑ ∑ ∞ = = →∞ = →∞ →∞ = = = = i i n i i n n i i n n n f dµ f dµ a µ i a a 这表明正项级数可以表示成一个积分. 一般地, 若任意项级数 ∑ ∞ i=1 ai 绝对收敛, 则∑ ∞ i=1 ai 可
以表示成(N,尹(N),4)上一个可积函数的积分.其证明留作习题 例4设f(x)是R”上的L可积函数y∈R",则f(x+y)是L可积的并且成 「nf(x+y)a=f( 证明由第三章习题第13题的结果,当∫(x)是L可测函数时,f(x+y)是L可测 的下面证明∫(x+y)是L可积的先设∫=∑a,4是非负简单函数则 f(x+y)=∑a14(x+y)=∑a,l4-,(x) 由积分的定义和L测度的平移不变性(§2.3定理8),我们有 「n1(x+y)dk=∑am(4-y)=∑am(4)=Jm(x)t 因此当∫是非负简单函数时,结论成立.当∫是非负可测函数时,存在一列非负简单函数 }使得k个∫.则由积分的定义和上面所证的结果我们有 「nf(x+y)dk=lmn[f(x+y)dk=lm」(x)k=,f()ak 当∫是L可积函数时易知∫(x+y)是L可积的,并且 R A(x+y)dx=je /(x+y)dr-J/(x+y) =』f(x)dk-(xh f(x)dx 因此对任意L可积函数f(x),(2)式成立■ 例4的证明方法是证明关于积分性质时常用的一种方法.设我们要证明某一命题对 所有的可积函数都成立.若一开始就对一般可积函数证明比较困难时,可以先对可测集的 特征函数或者非负简单函数证明.然后在利用所证明的结果对非负可测函数证明.最后再 对一般的可积函数证明命题成立 小结本节在抽象测度空间上定义了可测函数的积分. Lebesgue积分和 Lebesgue Stieljes积分都是其特例 Lebesgue积分有明显的几何意义本节还简单讨论可积条件例3 表明,在抽象测度空间上积分的框架下,可以把无穷级数与积分统一起来.例4的证明方 法是证明积分性质时常用的一种方法,应引起注意 习题习题四,第1题一第4题
103 以表示成(N,P (N),µ) 上一个可积函数的积分. 其证明留作习题. 例 4 设 f (x) 是 n R 上的 L 可积函数. y ∈ n R . 则 f (x + y)是 L 可积的并且成立. f (x y) ddx f (x) dx. ∫ n ∫ + = n R R (2) 证明 由第三章习题第 13 题的结果, 当 f (x) 是 L 可测函数时, f (x + y) 是 L 可测 的. 下面证明 f (x + y) 是 L 可积的. 先设 Ai k i i f ∑a I = = 1 是非负简单函数. 则 ( ) ( ) ( ). 1 1 f x y a I x y a I x A y k i A i k i i i i − = = + = ∑ + = ∑ 由积分的定义和 L 测度的平移不变性( 2.3 定理 8), 我们有 ( ) ( ) ( ) ( ) . 1 1 f x y dx a m A y a m A f x dx k i i k i ∫ n ∑ i i ∑ ∫ + = − = = = = n R R 因此当 f 是非负简单函数时, 结论成立. 当 f 是非负可测函数时, 存在一列非负简单函数 { }k f 使得 f f . k ↑ 则由积分的定义和上面所证的结果 我们有 f (x y) dx lim f (x y) dx lim f (x) dx f (x) dx. k k k k ∫ n ∫ ∫ ∫ + = + = = →∞ →∞ n n n R R R R 当 f 是 L 可积函数时,.易知 f (x + y) 是 L 可积的, 并且 f x y dx f x y dx f x y dx ∫ n ∫ n ∫ n + = + − + + − R R R ( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ) f x dx f x dx f x dx ∫ ∫ ∫ = = − + − n n n R R R 因此对任意 L 可积函数 f (x), (2)式成立. 例 4 的证明方法是证明关于积分性质时常用的一种方法. 设我们要证明某一命题对 所有的可积函数都成立. 若一开始就对一般可积函数证明比较困难时, 可以先对可测集的 特征函数或者非负简单函数证明. 然后在利用所证明的结果对非负可测函数证明. 最后再 对一般的可积函数证明命题成立. 小 结 本节在抽象测度空间上定义了可测函数的积分. Lebesgue 积分和 LebesgueStieljes 积分都是其特例. Lebesgue 积分有明显的几何意义.本节还简单讨论可积条件. 例 3 表明, 在抽象测度空间上积分的框架下, 可以把无穷级数与积分统一起来. 例 4 的证明方 法是证明积分性质时常用的一种方法, 应引起注意. 习 题 习题四, 第 1 题 第 4 题
